精品解析：新疆阿克苏地区2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年第一学期期中质量检测试卷 九年级数学 （考试时间：120分钟 总分：150分） 注意事项： 1．答题时，务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 一元二次方程的一次项系数是（ ） A. 7 B. 9 C. 3 D. 2. 下列图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列是关于x 的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于x 的一元二次方程的一个根是2，则m 的值为（ ） A. 1 B. 4 C. 6 D. 8 5. 将配成的形式后，m 的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 6. 如图，在中，，，，将绕点A顺时针旋转一定角度后，得到，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于y轴对称，左轮廓所在抛物线的解析式为．则右轮廓所在抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 8. 某校区有一个面积为的矩形篮球场，它的长比宽多，该篮球场的宽是多少米？设该篮球场的宽为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 下列关于抛物线的描述中，错误的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 顶点坐标为 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 10. 方程的根为_______． 11. 在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则的值为_________ 12. 若是关于x的二次函数，则m的值为______． 13. 关于x的一元二次方程x2+mx+9＝0有两个相等的实数根，则m的值是__． 14. 将抛物线向右平移2个单位长度后，得到新抛物线______． 15. 如图，P是等边内一点，连接AP，CP，将绕点A逆时针旋转一定角度，得到，连接，若，则的长为______． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 按要求解下列方程： （1）（配方法）； （2）（公式法）． 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知 三个顶点的坐标分别是，，． （1）画出与关于原点对称的； （2）画出将绕点逆时针旋转后得到的． 18. 已知关于x 的二次函数的图象经过点． （1）求该二次函数的解析式； （2）在平面直角坐标系中，画出该二次函数的图象； （3）当时，y随x的增大而 ．（填“增大”或“减小”） 19. 如图，在四边形中，，点E是上一点，点D与点C关于点E成中心对称，连接并延长，与的延长线交于点F．证明：点A与点F关于点E成中心对称． 20. 如图，某公司将手工绘画的风景画安装上一个四周宽度相等的画框（空白部分），制 成一个矩形工艺品后，进行销售，该工艺品长32， 宽20． （1）若该工艺品中间的风景画的面积为， 求画框（空白部分）的宽度． （2）已知该工艺品的成本是40元/件，若以100元/件销售，则每天可售出200件，另外每天 除工艺品的成本外还需支付其它费用共2000元．为了让顾客得到优惠，该公司决定降价 销售该工艺品，根据销售经验，销售单价每降低1元，每天可多售出20件，则当该公司把 销售单价降低多少元时，每天所获利润为10000元？ 21. 定义：若关于x 的一元二次方程满足，则称这样的方程 为“归零方程”． （1）一元二次方程 “ 归零方程”；一元二次方程 “归零方程”．（填“是”或“不是”） （2）已知关于x 的一元二次方程是“归零方程”，且m 是这个“归零方程”的一 个根，求 m 的值． 22. 【项目式学习】某项目小组准备合作制作出一个水流装置，下面是制作装置的活动过程： 活动目的 制作简易水流装置 方案及示意图 如图，是进水通道，是出水通道，是圆柱形容器的底面直径．从将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，水流从处流出且呈抛物线形．以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系（为1个单位长度），水流最终落到轴上的点处． 已知条件 轴，，，，点为水流抛物线的顶点，点，，在同一平面内，水流所在抛物线的函数表达式为． 任务一 求水流抛物线的函数表达式； 任务二 现有一个底面半径为，高为的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在处，水流是否能流进圆柱形水杯内？请通过计算说明理由（圆柱形水杯的厚度忽略不计）． 23. 综合与探究． 【问题情境】如图，将正方形的 边绕 点A 逆时针旋转到的位置（旋转角为，），连接，作的平分线，与射线相交于点P，与直线交下点F． 【特例分析]（1）如图1，当点 E 恰好落在正方形的对角线上时，旋转角为 ， 的度数为 °． 【深入探究】（2）如图2． ①判断的度数是否为定值，若是，求出的度数；若不是，请说明理由． ②求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期中质量检测试卷 九年级数学 （考试时间：120分钟 总分：150分） 注意事项： 1．答题时，务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 一元二次方程的一次项系数是（ ） A. 7 B. 9 C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，根据一元二次方程的一般式中的一次项系数是，进行分析，即可作答． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数是， 故选：D． 2. 下列图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是中心对称图形的定义，解题关键是熟练掌握中心对称图形的定义． 根据中心对称图形的定义对选项进行逐一分析即可得解． 【详解】解：选项A，不符合中心对称图形定义，不是中心对称图形，不符合题意，选项A错误； 选项B，符合中心对称图形定义，是中心对称图形，符合题意，选项B正确； 选项C，不符合中心对称图形定义，不是中心对称图形，不符合题意，选项C错误； 选项D，不符合中心对称图形定义，不是中心对称图形，不符合题意，选项D错误． 故选：B． 3. 下列是关于x 的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的一般式进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、不是二次函数，故该选项不符合题意； B、不是二次函数，故该选项不符合题意； C、不是二次函数，故该选项不符合题意； D、是二次函数，故该选项符合题意； 故选：D． 4. 若关于x 的一元二次方程的一个根是2，则m 的值为（ ） A. 1 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据题意，把代入，得，即可解得m 的值． 【详解】解：∵关于x 的一元二次方程的一个根是2， ∴把代入， 得， 整理得 解得， 故选：A． 5. 将配成的形式后，m 的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用，根据题意，则把运用配方法整理得，即可得出m的值． 【详解】解：∵， ∴， 则， ∴， ∵将配成的形式 ∴， 故选：C． 6. 如图，在中，，，，将绕点A顺时针旋转一定角度后，得到，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答的关键． 根据旋转的性质即可直接得出结果． 【详解】解：∵将绕点A顺时针旋转一定角度后，得到，， ∴， 故选：B． 7. 为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于y轴对称，左轮廓所在抛物线的解析式为．则右轮廓所在抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确地理解题意是解题的关键．先根据左边抛物线的解析式得出其顶点C的坐标，进而可得右边抛物线的顶点F的坐标，再根据左右轮廓相同可得右轮廓所在抛物线的解析式． 【详解】解：∵左轮廓所在抛物线的解析式为， ∴左边抛物线的顶点C的坐标为， ∴右边抛物线的顶点F的坐标为， 故右边抛物线的解析式为， 故选：B． 8. 某校区有一个面积为的矩形篮球场，它的长比宽多，该篮球场的宽是多少米？设该篮球场的宽为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．根据矩形面积公式，面积等于长乘以宽，已知长比宽多米，设宽为x米，则长为米，据此列方程． 【详解】解：设宽为x米，则长为米，， ∴． 故选：B． 9. 下列关于抛物线的描述中，错误的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 顶点坐标为 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了二次函数的性质，通过将二次函数化为顶点式 ，分析开口方向、对称轴、增减性和顶点坐标． 【详解】解：∵ 抛物线为 ， ∴ 与顶点式对比，得 ， ， ． 对于 A：∵ ， ∴ 开口向下，正确． 对于 B：对称轴为 ，正确． 对于 C：∵ 开口向下，对称轴为 ， ∴ 当 时，y 随 x 的增大而增大，故选项描述错误． 对于 D：顶点坐标为 ，正确． ∴ 错误的是 C． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 10. 方程的根为_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：x（x－3）=0 ， 解得：x1=0，x2=3． 故答案为：x1=0，x2=3． 11. 在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则的值为_________ 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，解题的关键是掌握关于原点对称的两个点，横纵坐标分别互为相反数． 直接利用关于原点对称点的性质得出，的值，进而得出答案． 【详解】解：点与点关于原点对称， ， ∴ 则， 故答案为：． 12. 若是关于x的二次函数，则m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．根据二次函数的定义，自变量的最高次项为二次且二次项系数不为零． 【详解】解：∵函数是关于的二次函数， ∴， 解得 ， ∴ 或 ， 又∵， ∴． 故答案为 2． 13. 关于x的一元二次方程x2+mx+9＝0有两个相等的实数根，则m的值是__． 【答案】±6 【解析】 【分析】先根据一元二次方程有两个相等的实数根得出△=0即可得到关于m的方程，求出m的值即可． 【详解】解：∵关于x的方程x2-mx+4=0有两个相等实根， ∴△=m2-4×9=0， 解得m=±6． 故答案为：±6． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数根；△＜0⇔方程没有实数根． 14. 将抛物线向右平移2个单位长度后，得到新抛物线______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的平移规律，根据“左加右减”的规则，向右平移2个单位长度，需将原函数中的x替换为． 【详解】解：将抛物线 向右平移2个单位长度，根据平移规律，新抛物线为 ． 故答案为：． 15. 如图，P是等边内一点，连接AP，CP，将绕点A逆时针旋转一定角度，得到，连接，若，则的长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，根据旋转前后对应边相等证明是等边三角形，即可求解； 【详解】解：∵绕点A逆时针旋转 ，得到， ∴是等边三角形， ∴； 故答案为：2. 三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 按要求解下列方程： （1）（配方法）； （2）（公式法）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用配方法进行解方程，即可作答． （2）运用公式法进行解方程，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 则， 则， 解得，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 则 解得，． 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知 三个顶点的坐标分别是，，． （1）画出与关于原点对称的； （2）画出将绕点逆时针旋转后得到的． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了旋转作图和中心对称作图，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先画出三角形各顶点关于原点的对称点，然后顺次连接即可； （2）先画出，绕点逆时针旋转后的对应点，然后顺次连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 已知关于x 的二次函数的图象经过点． （1）求该二次函数的解析式； （2）在平面直角坐标系中，画出该二次函数的图象； （3）当时，y随x的增大而 ．（填“增大”或“减小”） 【答案】（1） （2） 如图所示： （3）减小 【解析】 【分析】本题考查了画二次函数的图象，求二次函数的解析式，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用待定系数法进行求解二次函数的解析式，即可作答． （2）先找出图象经过点，再结合题干的该二次函数图象经过点，再描点连线，即可作答． （3）函数图象开口向下，对称轴为直线，在对称轴的右边，y随着x的增大而减小，故当时，y随x的增大而减小，即可作答． 【小问1详解】 解：∵关于x 的二次函数的图象经过点． ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得二次函数的解析式， 令，则， 令，则， 令，则， ∵图象经过点． ∴把，分别在平面直角坐标系上表示出来，再依次连接即可； 【小问3详解】 解：∵二次函数的解析式， ∴得出函数图象开口向下，对称轴为直线， 在对称轴的右边，y随着x的增大而减小， ∴当时，y随x的增大而减小． 19. 如图，在四边形中，，点E是上一点，点D与点C关于点E成中心对称，连接并延长，与的延长线交于点F．证明：点A与点F关于点E成中心对称． 【答案】 证明：点与点关于点中心对称， 是线段的中点，即， ， ， 在与中， ， ， ，， 点A与点F关于点E成中心对称． 【解析】 【分析】本题考查了中心对称，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．证明得，，即可得证． 【详解】略 20. 如图，某公司将手工绘画的风景画安装上一个四周宽度相等的画框（空白部分），制 成一个矩形工艺品后，进行销售，该工艺品长32， 宽20． （1）若该工艺品中间的风景画的面积为， 求画框（空白部分）的宽度． （2）已知该工艺品的成本是40元/件，若以100元/件销售，则每天可售出200件，另外每天 除工艺品的成本外还需支付其它费用共2000元．为了让顾客得到优惠，该公司决定降价 销售该工艺品，根据销售经验，销售单价每降低1元，每天可多售出20件，则当该公司把 销售单价降低多少元时，每天所获利润为10000元？ 【答案】（1）画框（空白部分）的宽度为； （2）当该公司把销售单价降低元时，每天所获利润为元． 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程在实际问题中的应用． （1）设画框宽度为未知数，根据工艺品长和宽与画框宽度的关系表示出风景画的长和宽，再利用面积公式列方程求解； （2）设降价金额为未知数，根据利润=（售价-成本）×销售量-其他费用的关系列方程求解． 【小问1详解】 解：设画框（空白部分）的宽度为， 可列方程， 整理得， 解得，， 因为，当时，，不符合实际，舍去， 所以， 答：画框（空白部分）的宽度为． 【小问2详解】 设销售单价降低元， 可列方程， 整理得， 解得（不符合降价让顾客得到优惠的题意，舍去），． 答：当该公司把销售单价降低元时，每天所获利润为元． 21. 定义：若关于x 的一元二次方程满足，则称这样的方程 为“归零方程”． （1）一元二次方程 “ 归零方程”；一元二次方程 “归零方程”．（填“是”或“不是”） （2）已知关于x 的一元二次方程是“归零方程”，且m 是这个“归零方程”的一 个根，求 m 的值． 【答案】（1）是，不是 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程，新定义，理解新定义解题的关键． （1）根据“归零方程”的定义将各项系数相加计算结果是否为零进行判断即可； （2）根据“归零方程”的定义可得，则，方程可变形为，因为m 是这个“归零方程”的一 个根，代入即可求解． m 是这个“归零方程”的一 个根， 【小问1详解】 解：， ∵， ∴此方程是“归零方程”； ， ∵， ∴此方程不是“归零方程”； 故答案为：是，不是； 【小问2详解】 解：是“归零方程”， ， ， ． 是这个“归零方程”的一个根， ， 解得． 22. 【项目式学习】某项目小组准备合作制作出一个水流装置，下面是制作装置的活动过程： 活动目的 制作简易水流装置 方案及示意图 如图，是进水通道，是出水通道，是圆柱形容器的底面直径．从将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，水流从处流出且呈抛物线形．以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系（为1个单位长度），水流最终落到轴上的点处． 已知条件 轴，，，，点为水流抛物线的顶点，点，，在同一平面内，水流所在抛物线的函数表达式为． 任务一 求水流抛物线的函数表达式； 任务二 现有一个底面半径为，高为的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在处，水流是否能流进圆柱形水杯内？请通过计算说明理由（圆柱形水杯的厚度忽略不计）． 【答案】任务一：； 任务二：水流能流到圆柱形水杯内， 理由如下： 圆柱形水杯最左端到点O的距离是， 当时，， ∵， ∴水流能流到圆柱形水杯内． 【解析】 【分析】本题考查求二次函数解析式及二次函数的应用． 任务一：根据题意得到抛物线的顶点坐标为，，利用待定系数法解答即可； 任务二：先求出圆柱形水杯最左端到点O的距离及高度，求出抛物线在此处的高度比较即可得到答案． 【详解】解：任务一：根据题意得：抛物线的顶点坐标为，， ∵水流所在抛物线的函数表达式为， ∴水流所在抛物线的函数表达式为， 把点代入得：， 解得：， ∴水流所在抛物线的函数表达式为； 任务二：略 23. 综合与探究． 【问题情境】如图，将正方形的 边绕 点A 逆时针旋转到的位置（旋转角为，），连接，作的平分线，与射线相交于点P，与直线交下点F． 【特例分析]（1）如图1，当点 E 恰好落在正方形的对角线上时，旋转角为 ， 的度数为 °． 【深入探究】（2）如图2． ①判断的度数是否为定值，若是，求出的度数；若不是，请说明理由． ②求证：． 【答案】（1），； （2）的度数为定值， 证明：连接，， 由得，，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴由勾股定理得：， ∴， ∴； 【解析】 【分析】（）由四边形是正方形，得，，由旋转性质可知，，故有，然后根据外角性质即可求解； （）同（）理，通过三角形的外角性质即可求解； 连接，，证明，则有，，最后通过勾股定理得出，，然后代入即可求证； 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵当点 E 恰好落在正方形的对角线上时 ∴由旋转性质可知：，， ∴在中，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）的度数为定值，，过程如下： ∵四边形是正方形， ∴，， 由旋转性质可知：，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 略 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，等边对等角等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $