精品解析： 浙江省杭州市西湖区之江实验中学2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年浙江省杭州市西湖区之江实验中学九年级（上）期中数学试卷 一.选择题：（本大题有10个小题，每小题3分，共30分） 1. 若（a，b均不为0），则的值是（ ） A. 2 B. 3 C. 2：3 D. 3：2 2. “一个仅装有红球的不透明布袋（只有颜色不同）中摸出一个白球”这一事件是（ ） A. 不可能事件 B. 不确定事件 C. 必然事件 D. 随机事件 3. 若二次函数y＝a（x＋b）2＋c（a≠0）图象，经过平移后可与y＝（x＋3）2的图象完全重合，则a，b，c的值可能为（ ） A. a＝1，b＝0，c＝﹣2 B. a＝2，b＝6，c＝0 C. a＝﹣1，b＝﹣3，c＝0 D. a＝﹣2，b＝﹣3，c＝﹣2 4. 在比例尺为的地图上，，两地间的图上距离为2厘米，则，两地间的实际距离是千米（ ） A. B. 3 C. 30 D. 300 5. 在中，，如果，那么下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，与相交于点（点在，之间），若，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 以下点可能成为二次函数顶点的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，点，分别在，上，，，且，，则的长为（ ） A. B. 4 C. 5 D. 9. 如图，在中，斜边．若，则( ) A. 点到的距离为sin54° B. 点到的距离为tan36° C. 点到的距离为sin36°sin54° D. 点到的距离为cos36°sin54° 10. 已知，均为关于x函数，当时，函数值分别为，，若对于实数a，当时，都有，则称，为亲函数，则以下函数和是亲函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 二.填空题：（本大题有6个小题，每小题3分，共18分） 11. __________． 12. 在一个不透明的袋子里装有红球4个，黄球若干个，这些球除颜色外其它都相同，通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.5左右，则袋子中黄球个数可能是_____个． 13. 如图，若与都是正方形网格中格点三角形（顶点在格点上），则与的周长比为_________． 14. 图①是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图②是它的侧面示意图，和相交于点O，点A、B之间的距离为米，，根据图②中的数据可得C、D之间的距离为__________米． 15. 设二次函数（a，b，c是常数，），如表列出了、的部分对应值． 1 2 3 0 则方程的解是______，不等式的解集是______． 16. 如图，在矩形中，，，是的中点，将沿折叠，点落在矩形内点处，连接，则_____，_____． 三.解答题：（本大题有8个小题，共72分） 17. 一球从地面抛出的运动路线呈抛物线，当球离抛出地的水平距离为时，达到最大高度，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求球运动路线的函数表达式． （2）球被抛出多远？ 18. 一个仅装有球的不透明布袋里共有3个球（只有颜色不同），其中1个红球，2个白球．从中任意摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球．求： （1）摸出的2个球都是白球的概率． （2）摸出的2个球中，1个是白球，1个是红球的概率． 19. 如图，在一个坡角为的斜坡上有一棵树，高为，当太阳光线与水平线成角时，测得该树斜坡上的树影的长为，延长，交过点的水平线于点，求与树高（精确到），（已知，，，，，．供选用）． 20. 已知二次函数的图象经过、两点． （1）求该函数解析式； （2）当时，求的取值范围． 21. 如图，在中，．点在上，点在上，连结，，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 如图，在矩形中，点，分别在，上，连结，，且． （1）求证：． （2）连结，，线段是线段与比例中项． ①若，求线段的长． ②求证：． 23 已知二次函数， （1）若，求函数的对称轴和顶点坐标． （2）若函数图象向下平移一个单位，恰好与x轴只有一个交点，求a的值． （3）若抛物线过点，且对于抛物线上任意一点都有，若点是这条抛物线上不同的两点，求证：． 24. 问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张矩形纸片探究折叠的性质在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处． 实践探究： （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，当，且时，求的长； 问题解决： （3）如图3，延长，与的角平分线交于点，交于点，当时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年浙江省杭州市西湖区之江实验中学九年级（上）期中数学试卷 一.选择题：（本大题有10个小题，每小题3分，共30分） 1. 若（a，b均不为0），则的值是（ ） A. 2 B. 3 C. 2：3 D. 3：2 【答案】D 【解析】 【分析】依据比例的性质内项积等于外项积即可得出结论． 【详解】解：， ， ， 故选D． 【点睛】本题考查比例的性质，掌握内项积等于外项积是解题的关键． 2. “一个仅装有红球的不透明布袋（只有颜色不同）中摸出一个白球”这一事件是（ ） A. 不可能事件 B. 不确定事件 C. 必然事件 D. 随机事件 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件；根据事件发生的可能性大小判断即可得出答案． 【详解】解：“一个仅装有红球的不透明布袋（只有颜色不同）中摸出一个白球”这一事件是不可能事件， 故选：． 3. 若二次函数y＝a（x＋b）2＋c（a≠0）的图象，经过平移后可与y＝（x＋3）2的图象完全重合，则a，b，c的值可能为（ ） A. a＝1，b＝0，c＝﹣2 B. a＝2，b＝6，c＝0 C a＝﹣1，b＝﹣3，c＝0 D. a＝﹣2，b＝﹣3，c＝﹣2 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的平移性质得出a不发生变化，即可判断a=1． 【详解】解：∵二次函数y=a（x+b）2+c的图形，经过平移后可与y=（x+3）2的图形完全叠合， ∴a=1． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了二次函数的平移性质，根据已知得出a的值不变是解题关键． 4. 在比例尺为的地图上，，两地间的图上距离为2厘米，则，两地间的实际距离是千米（ ） A. B. 3 C. 30 D. 300 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查比例，比例尺是表示图上距离比实地距离缩小的程度，也叫缩尺，其公式为：比例尺图上距离/实地距离． 【详解】解：设两地间的实际距离是厘米， 根据题意得， 解得， 所以两地间的实际距离是30千米． 故选：C． 5. 在中，，如果，那么下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是锐角三角函数，灵活运用正弦函数的定义是解题的关键．根据正弦的定义，结合已知条件求出边的关系． 【详解】解：如图，在中，， ， ， 故选：． 6. 如图，，与相交于点（点在，之间），若，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例求解． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 7. 以下点可能成为二次函数顶点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据顶点公式求得顶点坐标为，即可得出横坐标和纵坐标的关系，然后就能确定可能的顶点． 【详解】解：二次函数中， ，， 顶点坐标为， 可能成为函数顶点的是， 故选A． 【点睛】本题考查二次函数的性质，熟练掌握顶点公式是解题的关键． 8. 如图，在中，点，分别在，上，，，且，，则的长为（ ） A. B. 4 C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，可得，从而得到，可证明，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，解得：， ∴． 故选：C 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 9. 如图，在中，斜边．若，则( ) A. 点到的距离为sin54° B. 点到的距离为tan36° C. 点到的距离为sin36°sin54° D. 点到的距离为cos36°sin54° 【答案】C 【解析】 【分析】根据图形得出B到AO的距离是指BO的长，过A作AD⊥OC于D，则AD的长是点A到OC的距离，根据锐角三角形函数定义得出BO=ABsin36°，即可判断A、B；过A作AD⊥OC于D，则AD的长是点A到OC的距离，根据锐角三角形函数定义得出AD=AOsin36°，AO=AB•sin54°，求出AD，即可判断C、D． 【详解】B到AO的距离是指BO的长， ∵， ∴∠BAO=∠AOC=36°， ∵在Rt△BOA中，∠BOA=90°，AB=1， ∴sin36°=， ∴BO=ABsin36°=sin36°， 故A、B选项错误； 过A作AD⊥OC于D，则AD的长是点A到OC的距离， ∵∠BAO=36°，∠AOB=90°， ∴∠ABO=54°， ∵sin36°=， ∴AD=AO•sin36°， ∵sin54°=， ∴AO=AB•sin54°， ∵AB=1， ∴AD=AB•sin54°•sin36°=1×sin54°•sin36°=sin54°•sin36°，故C选项正确，D选项错误， 故选C． 【点睛】本题考查了对解直角三角形和点到直线距离的应用，解此题的关键是①找出点A到OC的距离和B到AO的距离，②熟练地运用锐角三角形函数的定义求出关系式，是一道容易出错的题目． 10. 已知，均为关于x的函数，当时，函数值分别为，，若对于实数a，当时，都有，则称，为亲函数，则以下函数和是亲函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】结合题意，根据二次函数、反比例函数图像的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案． 【详解】∵， ∴ 当时，，且 ∴，即选项A不符合题意； ∵， ∴， 当时，，即选项B不符合题意； ∵， ∴， 当时，，即选项C不符合题意； ∵， ∴， 当时，，即选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了不等式、二次函数、反比例函数的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、反比例函数图像的性质，从而完成求解． 二.填空题：（本大题有6个小题，每小题3分，共18分） 11. __________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值．根据即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 在一个不透明的袋子里装有红球4个，黄球若干个，这些球除颜色外其它都相同，通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.5左右，则袋子中黄球个数可能是_____个． 【答案】4 【解析】 【分析】设袋子中黄球的个数可能有x个，根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案． 【详解】解：设袋子中黄球的个数可有x个，根据题意得： ， 解得：x=4， 经检验x=4是原方程的解， ∴袋子中黄球的个数可能是4个． 故答案为：4． 【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 13. 如图，若与都是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），则与的周长比为_________． 【答案】 【解析】 【分析】设正方形网格的边长为1，根据勾股定理求出△EFD、△ABC的边长，运用三边对应成比例，则两个三角形相似这一判定定理证明△EDF∽△BAC，即可解决问题． 【详解】解：设正方形网格的边长为1， 由勾股定理得： DE2＝22+22，EF2＝22+42， ∴DE＝2，EF＝2； 同理可求：AC＝，BC＝， ∵DF＝2，AB＝2， ∴， ∴△EDF∽△BAC， ∴与的周长比为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和相似三角形的判定及其性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 14. 图①是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图②是它的侧面示意图，和相交于点O，点A、B之间的距离为米，，根据图②中的数据可得C、D之间的距离为__________米． 【答案】 【解析】 【分析】根据相似三角形对应高的比等于相似比，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应高的比等于相似比． 15. 设二次函数（a，b，c是常数，），如表列出了、的部分对应值． 1 2 3 0 则方程的解是______，不等式的解集是______． 【答案】 ①. 或 ②. 或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，根据题意得出二次函数的对称轴为直线是解题的关键；根据函数与方程及不等式的关系求解即可. 【详解】解：∵当时，，当时，， ∴二次函数的对称轴为直线． ∵当时，， ∴当时，， ∴方程的解是或． ∵当时，， ∴当时，． ∵当时，随的增大而增大， ∴， ∴不等式的解集是或． 故答案为：或；或． 16. 如图，在矩形中，，，是的中点，将沿折叠，点落在矩形内点处，连接，则_____，_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握翻折变换的性质；如图，过点作于点．设交于点，利用勾股定理，面积法求解即可. 【详解】解：如图，过点作于点．设交于点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵是的中点， ∴， 由翻折变换的性质可知，垂直平分线段， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；． 三.解答题：（本大题有8个小题，共72分） 17. 一球从地面抛出运动路线呈抛物线，当球离抛出地的水平距离为时，达到最大高度，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求球运动路线的函数表达式． （2）球被抛出多远？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是根据题意求出抛物线的解析式． （1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）求出抛物线与x轴的交点坐标即可得出答案． 【小问1详解】 解：根据题意，设抛物线的解析式为：， 把代入得， 抛物线解析式为：； 【小问2详解】 解：由（1）， 令，则， 解得：，， 抛物线与轴的交点为，， 球被抛出． 18. 一个仅装有球的不透明布袋里共有3个球（只有颜色不同），其中1个红球，2个白球．从中任意摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球．求： （1）摸出的2个球都是白球的概率． （2）摸出的2个球中，1个是白球，1个是红球的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查树状图法或列表法求概率，正确画出树状图得到所有可能结果是解答的关键． （1）从树状图中找出摸出的2个球都是白球的结果数，再利用概率公式求解即可； （2）从树状图中找出摸出1个是白球，1个是红球的结果数，再利用概率公式求解即可； 【小问1详解】 解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中摸出的2个球都是白球的结果有4种， ∴摸出的2个球都是白球的概率为． 【小问2详解】 解：由树状图可知，摸出的2个球中，1个是白球，1个是红球的结果有4种， ∴摸出的2个球中，1个是白球，1个是红球的概率为． 19. 如图，在一个坡角为的斜坡上有一棵树，高为，当太阳光线与水平线成角时，测得该树斜坡上的树影的长为，延长，交过点的水平线于点，求与树高（精确到），（已知，，，，，．供选用）． 【答案】，树高 【解析】 【分析】本题考查的是直角三角形的三角函数应用，灵活运用三角函数的定义是解题的关键．通过分析图形中的两个直角三角形和，利用三角函数分别求出，，，进而通过线段的和差关系求出树高． 【详解】解：为水平线， ， 在中，，， ， ； 在中，，， ． ． 20. 已知二次函数的图象经过、两点． （1）求该函数解析式； （2）当时，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式的知识及二次函数的顶点坐标的知识，解答本题的关键是待定系数法的运用． （1）根据待定系数法，可得函数解析式； （2）根据二次函数最小值、增减性等性质即可得到结论． 【小问1详解】 解：将点和点的坐标代入函数解析式，得， 解得， ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：二次函数的解析式为， 二次函数的对称轴为， ，二次函数的开口向上， 时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 时，取最小值，， 时，， 时，， 综上所述：当时，函数的取值范围为． 21. 如图，在中，．点在上，点在上，连结，，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键． （1）先根据等腰三角形的性质得到，再根据三角形外角性质得到，然后根据相似三角形的判定方法可得到； （2）根据相似三角形的性质得到，则． 【小问1详解】 证明：， ， ， 即， 而， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ． 22. 如图，矩形中，点，分别在，上，连结，，且． （1）求证：． （2）连结，，线段是线段与的比例中项． ①若，求线段的长． ②求证：． 【答案】（1）见解析 （2）①；②见解析 【解析】 【分析】（1）利用同角的余角相等推出，再利用证明，即可推出； （2）①利用线段是线段与的比例中项以及，建立一元二次方程，求解即可；②由，推出，，利用相似三角形的判定定理即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①如图， ∵线段是线段与的比例中项， ∴， ∵， ∴， ∴（负值舍去）； ②证明：由（1）可知，， ∴， ∴， ∵线段是线段与的比例中项， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，比例中项的意义，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 23. 已知二次函数， （1）若，求函数的对称轴和顶点坐标． （2）若函数图象向下平移一个单位，恰好与x轴只有一个交点，求a的值． （3）若抛物线过点，且对于抛物线上任意一点都有，若点是这条抛物线上不同的两点，求证：． 【答案】（1）， （2） （3）见详解 【解析】 【分析】（1）将带入二次函数，再将二次函数化为顶点式即可得到答案； （2）根据二次函数平移的性质得到平移后的函数，再根据新函数与x轴只有一个交点建立方程，解方程即可得到答案； （3）由题意可得为抛物线顶点，从而得到抛物线的对称轴为，从而计算出a的值，再将带入如抛物线的解析式得到，即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴函数的对称轴和顶点坐标分别为：直线，； 【小问2详解】 解：函数图象向下平移一个单位得， ∴与x轴只有一个交点， ∴， 解方程得：； 【小问3详解】 解：∵抛物线过点，且对于抛物线上任意一点都有， ∴为抛物线的顶点， ∴抛物线的对称轴为， ∴， ∴， ∴抛物线为：， ∵在抛物线上， ∴，， ∴， ∴， ∵是这条抛物线上不同的两点， ∴， ∴ ∴． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数顶点式以及二次根式的性质． 24. 问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张矩形纸片探究折叠的性质在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处． 实践探究： （1）如图1，若，求度数； （2）如图2，当，且时，求的长； 问题解决： （3）如图3，延长，与的角平分线交于点，交于点，当时，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质得出，，根据直角三角形的性质得出； （2）根据相似三角形的判定解答即可； （3）过点N作于点G，证明，得出，设，设，则，由勾股定理得出，解出，则可求出答案． 【详解】解：（1）四边形是矩形， ， 将沿翻折，使点恰好落在边上点处， ，，， ， ， ； （2）将沿翻折，使点恰好落在边上点处， ，， 又矩形中，， ，， ， ， ， ， ，， ； （3）过点作于点， ， ， ， ， ，， ， ， 设， 平分，，， ，， 设，则， ， ， 解得， ， ． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了矩形的性质，直角三角形的性质，折叠的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质及矩形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $