精品解析：四川省射洪中学校2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题

射洪中学高2023级高三上期期中考试 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡对应题号的位置上.写在本试卷上无效. 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题:(本题共小题共分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 若全集，，，则集合的元素个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 若命题“”为假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 函数是偶函数，则（ ） A. B. C. D. 4. 定义在上的奇函数满足，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 将函数图象向左平移1个单位长度，得到函数的图象，则函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 若向量，则（ ） A. B. C. D. 在上投影向量是 8. 已知，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 二､多选题:(本题共小题，每小题分，共分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分) 9. 已知数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则是等差数列 B. 若，则是等比数列 C. 若是等差数列，则 D. 若是等比数列，且（为常数），则 10. 设函数，则下列结论正确的是（ ） A. ，在上单调递减 B. 若且，则 C. 若在上有且仅有2个不同的解，则的取值范围为 D. 存在，使得的图象向右平移个单位长度后得到的函数为奇函数 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 最大值为 B. 曲线关于对称 C. 方程在上有3个不相等的实数解 D. 存在，使得不等式成立 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，则的最小值为______. 13. 函数恒有，且在上单调递增，则__________． 14. 设函数，若，则的最大值为__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 等比数列中，，且数列单调递增. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 16. 记的内角的对边分别为，已知三角形，角的平分线交边于点. （1）证明：； （2）若，求周长. 17. 2025年10月1日，某商场为了迎接促销，决定在商场内举办抽奖活动，盒子内有编号1—5的大小相同、质地均匀的5个小球．小球上的编号对应着获奖等级：一等奖、二等奖、三等奖、四等奖、五等奖（安慰奖）．规则如下：某顾客可以连续抽奖2次，每次抽奖完成后将小球放回盒子，且每次抽奖的结果互不影响． （1）若某顾客第1次未抽到一等奖，求该顾客在第2次抽到一等奖的概率； （2）记某顾客第k次抽到的奖品等级为，若用表示“2次抽到奖品的等级差”，求Y的分布列与数学期望． 18. 已知函数，． （1）当时，求图象在处的切线方程； （2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围； （3）若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围． 19. 设函数定义在区间I上，若对任意，有，则称为I上下凸函数，等号成立当且仅当.若函数在区间I上存在二阶可导函数，则为区间I上的下凸函数的充要条件是. （1）若是上的下凸函数，求实数a的取值范围. （2）在锐角三角形中，求的最大值. （3）已知正实数满足，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 射洪中学高2023级高三上期期中考试 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡对应题号的位置上.写在本试卷上无效. 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题:(本题共小题共分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 若全集，，，则集合的元素个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的运算法则计算即可. 【详解】因为， 所以，所以有4个元素. 故选：D 2. 若命题“”为假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用存在量词命题为真，结合一元二次不等式有解求出范围，再求其补集即可. 【详解】由命题“为真，得，解得， 因此命题“”为假命题，则， 所以实数的取值范围是， 故选：D 3. 函数是偶函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求函数定义域，结合偶函数的定义运算求解即可. 【详解】令，解得或， 可知函数的定义域为， 因为， 若函数是偶函数，则， 即，可得， 结合的任意性可得. 故选：B. 4. 定义在上的奇函数满足，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析可知函数一个周期为2，根据周期性以及奇函数分析求解即可. 【详解】因为，则， 可知函数的一个周期为2， 又因为为奇函数，且当时，， 所以. 故选：A. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由，确定的范围，求得，然后由cosα=cos[(30°+α)-30°]，利用两角差的余弦公式求解. 【详解】∵60°<α<150°， ∴90°<30°+α<180°， ∴cos(30°+α)=-， ∴cosα=cos[(30°+α)-30°]， =cos(30°+α)cos30°+sin(30°+α)sin30°， =. 故选：A 6. 将函数的图象向左平移1个单位长度，得到函数的图象，则函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的平移变换求得的解析式，结合奇偶性、零点个数及特殊值可排除错误选项. 【详解】． 因为， 即，所以为奇函数，排除A； 令，解得，即有唯－的零点，排除C； 由解析式可知，排除D． 只有B符合条件． 故选：B． 【点睛】本题考查了根据函数解析式选择函数图象，结合奇偶性、单调性、特殊值等性质即可排除错误选项，属于基础题. 7. 若向量，则（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量是 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，利用向量的模的坐标公式计算即得；对于B，利用向量共线的坐标公式计算即可判断；对于C，利用向量垂直的坐标公式计算即可判断；对于D，结合数量积的坐标运算，利用向量投影的计算公式即得. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，因，则， 又，由，可得不成立，故B错误； 对于C，因，则， 又，由，可得不成立，故C错误； 对于D，因， 则在上的投影向量为，故D正确. 故选：D 8. 已知，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数,,利用函数单调性以及零点存在定理分析，的范围，再逐一分析选项即可. 【详解】由题可得：，则为方程的一个根, 令,则，所以在上单调递增； ,, 根据零点存在定理可得：当时，存在唯一零点，即， 同理：为方程的一个根, 令,则，所以在上单调递增； ,, 根据零点存在定理可得：当 时，存在唯一的零点，即， 所以,则，故A错误； 令,则,当时，,所以在上单调递减， 由于，所以,即,则，故B不正确； 由于，由，显然，所以C错误； 由于，则,即, 由于，则,则,所以,故D错误； 故选：C 二､多选题:(本题共小题，每小题分，共分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分) 9. 已知数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则是等差数列 B. 若，则是等比数列 C. 若是等差数列，则 D. 若是等比数列，且（为常数），则 【答案】CD 【解析】 【分析】求出判断A；求出通项公式进而判断B；利用等差数列性质判断C；找出通项公式，结合等比数列意义判断D. 【详解】对于A，，， 数列不是等差数列，A错误； 对于B，当时，，满足上式，因此，当时， 数列不是等比数列，B错误； 对于C，是等差数列，，C正确； 对于D，当时，，， 由是等比数列，得，因此，，D正确. 故选：CD 10. 设函数，则下列结论正确的是（ ） A. ，在上单调递减 B. 若且，则 C. 若在上有且仅有2个不同的解，则的取值范围为 D. 存在，使得的图象向右平移个单位长度后得到的函数为奇函数 【答案】AC 【解析】 【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质逐项判断即可. 【详解】函数， 对于A，，当时，， 而函数在上单调递增，因此在上单调递减，A正确； 对于B，当时，的最小正周期为，， 由，得，B错误； 对于C，由，得，由在上有且仅有2个不同的解， 得，解得，C正确； 对于D，，要为奇函数， 当且仅当，而当时，，因此不可能是奇函数，D错误. 故选：AC 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 曲线关于对称 C. 方程在上有3个不相等的实数解 D. 存在，使得不等式成立 【答案】ABD 【解析】 【分析】对分子分母分别求出最值，且能同时取等号，即可判断A；化简与相等即可判断B；先求出左右两边同时为0的情况，再讨论不为0时化简得到的方程，利用函数与方程的关系，画出图像来判断C；根据分子三角函数的有界性，进行放缩，再分离参数求出最值即可判断D； 【详解】，当且仅当，时等号成立， 且时，，，， 所以，故A选项正确； ，所以曲线关于对称，故B选项正确； 对于方程， 当，，时，左右两式均为0，符合题意， 当，，且时，原方程可化简为， 对于，，则，在单调递增， 画出图象以及图象可得，在有1个根， 最终方程在上有4个不相等的实数解，故C选项错误； 由于，故， 对于，当时才有意义， 可化为， 设，则， 设，则， 由基本不等式，， 则，即单调递增， 单调递增，且， 所以时，，单调递减， 时，，单调递增， 故， 所以时，原不等式成立，故D选项正确； 故选：ABD. 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，则的最小值为______. 【答案】##4.5 【解析】 【分析】由数量积运算可得，再由“1”的技巧及基本不等式得解. 【详解】因为向量， 所以，且. 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故答案为： 13. 函数恒有，且上单调递增，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用函数最值得出，所以，已知在上单调递增，所以，解出.分和，根据在上单调性进行讨论，得出值. 【详解】已知恒有，根据正弦函数的性质可得：，即， 所以，所以 已知在上单调递增，所以，即，解得. 当时，因为，所以， 因为在上单调递增，所以， 解得，所以， 解得，故. 当时，因为，所以. 取，则，因为， 所以，故在上单调递减，不满足题意. 同理可得，时，也不满足题意. 综上可得：. 故答案为：. 14. 设函数，若，则的最大值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由题意函数，根据得，即， 令，通过导数求的最大值即可. 【详解】由题意，， 令，解得， 当时， 令，解得或， 令，解得，不满足,， 当时， 令，解得或， 令，解得，不满足，， 当时，函数成立，符合条件， 所以，即. 令， 则， 令，则， 令，则， 所以在单调递增，在单调递减， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了导数判断函数的单调性并求最值，本题解题的关键是由得，即，再构造函数，通过导数求的最大值即可. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 等比数列中，，且数列单调递增. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等比数列的定义与性质列方程计算即可； （2）利用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 设等比数列的公比为q， 由题意得，解得， 因为单调递增，所以， 所以的通项公式为， 即； 【小问2详解】 因为，所以， 记，则， 所以， 即， 综上所述. 16. 记的内角的对边分别为，已知三角形，角的平分线交边于点. （1）证明：； （2）若，求的周长. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 分析】（1）由结合三角形面积公式和余弦定理，解得，再根据角平分线和面积公式由得，化简既可； （2）由内角平分线定理结合（1）中的结论，求出，再由余弦定理求，可得三角形周长. 【小问1详解】 由可知，， 所以，又，故，如图所示， 所以，得， 化简整理得； 【小问2详解】 因为，故，所以，又， 化简得，解得，又， 故，所以的周长为. 17. 2025年10月1日，某商场为了迎接促销，决定在商场内举办抽奖活动，盒子内有编号1—5的大小相同、质地均匀的5个小球．小球上的编号对应着获奖等级：一等奖、二等奖、三等奖、四等奖、五等奖（安慰奖）．规则如下：某顾客可以连续抽奖2次，每次抽奖完成后将小球放回盒子，且每次抽奖的结果互不影响． （1）若某顾客第1次未抽到一等奖，求该顾客在第2次抽到一等奖的概率； （2）记某顾客第k次抽到的奖品等级为，若用表示“2次抽到奖品的等级差”，求Y的分布列与数学期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据两次抽奖的独立性应用古典概型即可求解； （2）先分别写出Y的取值可能为0，1，2，3，4，再应用独立事件概率乘积公式分别求出对应概率最后应用分布列求解数学期望公式计算求解. 【小问1详解】 因为两次抽奖相互独立，记“第2次抽到一等奖”为事件B，则； 【小问2详解】 由题意知Y的取值可能为0，1，2，3，4， ， ， ， ， ， 所以Y的分布列为 Y 4 3 2 1 0 P 所以Y的数学期望为. 18. 已知函数，． （1）当时，求图象在处的切线方程； （2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围； （3）若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）先求导数，求出和的值，利用导数的几何意义和点斜式可得出所求切线的方程； （2）由题意，通过参变分离得到对恒成立，令再利用导数求即得答案； （3），令，，，因是单调函数，故有两个零点，等价于在上有两个零点.进而通过利用导数求得函数的单调性、极值，即可得的取值范围；或通过参变量分离，利用导数求得函数的单调性，由与图象有两个公共点可得的取值范围. 【小问1详解】 时，，∴， ，则，即切线的斜率为. ∴图象在处的切线方程为. 【小问2详解】 ，即， ∴ 由题意，得对恒成立. 令，则. . 由，得，∴在上单调递增； 由，得，∴在上单调递减. 所以， 故 【小问3详解】 ，令，，， 因是单调函数，故有两个零点，等价于在上有两个零点. 方法1： ①当时，，则在上递减，最多有一个零点，故不满足题意； ②当时， 令可得，即在上单调递增； 令可得，即在上单调递减. 且当时，，则 当时，与一次函数相比，指数函数呈爆炸性增长，故 要使在上有两个零点，则，解得 方法2：在上有两个零点，等价于方程有两个实根，即有两个根 也等价于与图象有两个公共点 ，则可得在递增，递减 且，当时，，则 当时，与一次函数相比，指数函数呈爆炸性增长，故 则的大致图象为 故当时，与图象有两个公共点，即有两个零点 19. 设函数定义在区间I上，若对任意，有，则称为I上的下凸函数，等号成立当且仅当.若函数在区间I上存在二阶可导函数，则为区间I上的下凸函数的充要条件是. （1）若是上的下凸函数，求实数a的取值范围. （2）在锐角三角形中，求的最大值. （3）已知正实数满足，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）令，分离参数得，令，求导得到，由可得结果； （2）令，，可得函数在上是下凸函数，由下凸函数的定义求解即可； （3）由题意可得，令，，可得在上是下凸函数，结合下凸函数的定义及对数函数的性质求解即可. 【小问1详解】 由，可得，， 因为是上的下凸函数， 所以在上恒成立，即恒成立， 所以在上恒成立， 令，则，当时，， 所以在上单调递增，所以，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 令，， 则，， 所以在上是下凸函数， 又因为， 所以， 即， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为. 【小问3详解】 因为正实数满足， 所以. 令，， 则，， 因为，所以，，， 即， 所以， 所以在上是下凸函数， 所以， 即， 即， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $