精品解析：四川省自贡市蜀光中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题

自贡市蜀光中学高2023级高三上期中考试数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由集合的运算求解． 【详解】依题意得，， 则． 故选：B 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算得，再计算模长即可． 【详解】，． 故选：C． 3. 已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用向量的数量积及运算律，结合投影向量公式计算即可得解. 【详解】因为，与的夹角为， 所以， 则， 所以在上的投影向量为． 故选：B. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由基本不等式结合特例即可判断. 【详解】对于A,当时，，故A错误； 对于BD，取，此时， ，故BD错误； 对于C，由基本不等式可得，故C正确. 故选：C. 5. 已知随机事件互相独立，满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据独立性，则，结合得到，最后利用条件概率公式求解即可． 【详解】因为随机事件互相独立，所以， 则， , 解得，，， ． 故选：A． 6. 子贡曰：“夫子温、良、恭、俭、让以得之”，“温、良、恭、俭、让”指五种品德：温和、善良、恭敬、节俭、谦让．现有分别印有这5个字的卡片各2张（同字卡片颜色不同），同学甲从中抽取4张卡片分给另外4位同学，每人一张卡片，恰有2位同学分到的卡片是相同字的分配方案有（ ） A. 120种 B. 210种 C. 1440种 D. 2880种 【答案】D 【解析】 【详解】先把字相同的卡片看成一组， 第一步：从这5组中选出一组有种选法. 第二步：再从余下的4组中选2组，这2组中，每组各选一张卡片有. 第三步：把选出的4张卡片，分给4位同学有. 所以不同的分配方案有种. 7. 已知等差数列中，，则数列的前2026项的和为（ ） A. 1013 B. 1014 C. 2026 D. 2028 【答案】C 【解析】 【分析】先根据等差数列的性质求出数列的通项公式，再分析数列的规律，进而求出其前2026项的和. 【详解】设等差数列的首项为，公差为，则由，得 化简得，解得，， 又，故数列的通项公式为， 设数列的前项和为， 则， ， 从到共项，两两一组，可分为组， . 故选：. 8. 已知，若，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先证明此函数为偶函数，再利用其导函数得到其单调性，利用其是偶函数得到，，通过指数函数单调性得，再根据幂函数性质证明出，同取对数得到，则有，再利用单调性即可得到大小关系. 【详解】因为，定义域关于原点对称， ， 所以为上的偶函数， 当时,，设， 则，，， 所以即在上单调递减,所以, 所以在上单调递减,又因为为偶函数, 所以在上单调递增， 又因为,, 又因为, 因为,，所以, 所以，即, 所以, 所以, 即. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题首先证明函数的奇偶性与单调性，对于其单调性的求解需要二次求导，其次就是利用函数的奇偶性对进行一定的变形得，,然后就是比较的大小关系，需要结合指数函数的单调性以及幂函数的单调性进行合理放缩，对于这种较为接近的数字比较大小问题，通常需要利用函数的单调性以及寻找合适的中间量放缩. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，在直三棱柱中，为的中点，则（ ） A. B. 三棱锥的体积为 C. 直线与所成角的余弦值为 D. 三棱锥的外接球的表面积为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，只需说明即可判断；对于B，由等体积法即可求解；对于C，将所求转换为相交直线的角，结合余弦定理即可求解；对于D，只需求得该外接球的直径即可. 【详解】对于A，如图，设分别为的中点，连接. 在直三棱柱中，有. 因为为的中点， 所以.又， 所以，则， 从而与不垂直，A不正确. 对于B，易得平面，则，B正确. 对于C，易知，则与所成的角为，由， 得，C正确. 对于D，易知三棱锥的外接球即为直三棱柱的外接球， 该外接球的直径为， 则三棱锥的外接球的表面积为，D不正确. 故选：BC. 10. 函数的部分图象如图所示，其中，图象向右平移个单位后得到函数的图象，且在上单调递减，则下列说正确的是（ ） A. B. 为图象的一条对称轴 C. 可以等于8 D. 的最小值为2 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数的图象确定的值，得，排除A项，代入检验可判断B项；根据题意求得，利用其单调性确定，结合，取值计算可判断C，D两项. 【详解】由图可知，函数的周期满足，解得，则，即. 当时，函数图象经过点，可得， 即，又，方程无解，舍去； 当时，函数图象经过点，可得， 即，又，则，即， 因时，，故A错误，B正确； 依题意，，当时，， 因在上单调递减，可得， 解得，因，当时，，则取得最小值2； 当时，，则，故C，D均正确. 故选：BCD. 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，且为非常数函数，，为奇函数，则下列结论中正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由奇函数的性质判断出的图象关于点对称后可判断A，对后得出的对称性判断B，由对称性得出周期性判断C，结合周期性求值判断D． 【详解】对A，因为为奇函数，所以，即，即，所以的图象关于点对称，所以，A正确； 对B，由，两边求导得，即，又的图象关于点对称，得，所以，B正确； 对C，因为，即，所以，令可得, ，所以的图象关于直线对称， 所以，又，所以，所以的图象关于点成中心对称， 由得，所以， 所以是周期函数，4是它的一个周期，C错误； 对D，由得，，所以， 又，所以 ，D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，且能被19整除，则a的最小值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】利用二项式定理展开，即可得出也能被19整除，进而求出. 【详解】， 因能被19整除， 则也能被19整除，则，即， 因，故a的最小值为. 故答案为： 13. 一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，该圆锥的顶点和底面圆周都在同一个球面上，则该球的表面积为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由圆锥的侧面展开图，可求得圆锥的母线、高以及底面圆的半径，结合几何关系得，进而可求得球体的半径，再根据球体的表面积公式即可求解. 【详解】由题意，圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，如图1所示， 则，圆的周长，则， 所以， 又，，， 所以，即，解得， 即球体的半径为，所以其表面积为. 故答案为：. 14. 函数满足恒成立，则的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，利用函数的单调性求解即可. 【详解】，设，在上单调递增， ， 令，，当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，又， 则的取值范围为： 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记为数列的前项和．已知． （1）求的通项公式； （2）记为在区间上的项的个数，求数列的前项和． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用变形，再利用等差数列定义求出通项公式. （2）求出，再利用分组求和法及等比数列前项和公式求解. 【小问1详解】 当时，由，得，则， 又，因此数列是以1为公差，2为首项的等差数列， . 【小问2详解】 由（1）知，且，而区间内有个整数，则， 因此 ， 所以数列的前项和. 16. 在中，分别为角的对边，且满足． （1）求角； （2）若为锐角三角形，设为的中点，若，且，求的面积． 【答案】（1）或； （2）3 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角结合三角恒等变换的公式即可求解； （2）在和中运用余弦定理建立方程组，解方程组，最后再根据面积公式即可求解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得：， 因为，所以，所以， 即，所以或， 即或， 若，则， 若，则，因为，所以，即， 综上，或． 【小问2详解】 若为锐角三角形，则， 在中由余弦定理得，即① 在中由余弦定理得② 由①②消去，得，即． 因为，所以， 所以． 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为梯形，，，，，为等边三角形． （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1） 取的中点，连， 是正三角形，， 又，则, 平面，故平面， 平面，故， 四边形是直角梯形，，平面， 故平面． （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连，推导出，，由此能证明，结合即可求证， （2）建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由（1）知平面．平面, 故平面平面, 取中点，以为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， ,的高为， 则,0,，，，，， ，， , 设平面的法向量,,， 则，取，得， 设平面的一个法向量， ,取，得， 设平面与平面所成角为，则． 平面与平面所成角的余弦值为． 18. 某单位有400名员工，其中男员工240人，女员工160人，该单位为了了解该单位员工的高密度脂蛋白胆固醇情况，以便调整食堂菜品，使员工身体更加健康、该单位男员工的高密度脂蛋白胆固醇的均值为1.4，女员工的高密度脂蛋白胆固醇的均值为1.5，该单位男员工的高密度脂蛋白胆固醇的方差为0.6，女员工的高密度脂蛋白胆固醇的方差为0.3．为了让员工吃得更健康，该单位设立了营养餐厅A和素食餐厅B两家餐厅，经过统计分析发现：一个员工第一天会随机地选择一家餐厅用餐，然后前一天选择了A餐厅的员工第二天选择A餐厅的概率为，第二天选择B餐厅的概率为；前一天选择了B餐厅的员工第二天选择A餐厅的概率为，第二天选择B餐厅的概率为，如此往复． （1）求该单位全部员工的高密度脂蛋白胆固醇的均值与方差； （2）按男女员工的比例分配进行分层抽样抽取5名员工，再从这5名员工中随机选择3人参加座谈会，记抽到男员工的人数为，求的分布列及数学期望； （3）设第天选择A餐厅用餐的概率为，求；经过一年（365天）后，在A餐厅和B餐厅就餐的员工趋于稳定，如果A餐厅准备每天180人的用餐，是否合理，请说明理由．注：若 【答案】（1）1.44；0.4824 （2）分布列见解析， （3）不合理，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由平均数公式、分层抽样的方差公式即可求解； （2）先确定按分层抽样抽取5名员工，抽取了3名男员工，2名女员工，进而得到的取值为1，2，3，求出对应的概率，可得分布列，进一步得数学期望； （3）由题意可得，进一步构造等比数列求得，进而得到一年以后，员工选择A餐厅的概率，再设400名员工选择A餐厅的人数为，则，进而利用二项分布的均值求解判断即可. 【小问1详解】 由题意知，该单位全部员工的高密度脂蛋白胆固醇的均值平均数为： ； 该单位全部员工的高密度脂蛋白胆固醇的方差为： . 【小问2详解】 按男女员工的比例分配进行分层抽样抽取5名员工， 则抽取名男员工，名女员工. 从这5名员工随机选择3人，记抽到男员工的人数为，可得的取值为1，2，3. 可得的分布列为： 1 2 3   所以期望. 【小问3详解】 设第n天选择A餐厅用餐的概率为，则， 由题意可得：. ∴，且， 所以是以为首项，为公比的等比数列. ∴，即， ∴，即一年以后，员工选择A餐厅的概率约为. 设400名员工选择A餐厅的人数为，则， 所以400名员工中选择A餐厅的平均人数约为（人）， ，A餐厅每天准备180人的用餐是不合理的. 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若的极小值小于－1，求的取值范围； （3）当时，证明：有2个零点． 【答案】（1） （2） （3）证明：． 令，得， 令，则与有相同的零点， 且． 令，则， 因为，则，所以在区间上单调递增， 又，，所以，使得， 所以当时，，即；当时，，即， 所以在单调递减，在单调递增， 所以的最小值为． 由，得， 即， 令，，则，则在单调递增． 因为，所以，则， 所以，从而，， 所以的最小值． 当趋近于0时，趋近于，当趋近于时，趋近于， 又因，所以， 所以有2个零点，故有2个零点． 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求得切线斜率，由点斜式即可得到切线方程； （2）函数求导后，根据参数的取值分类讨论，得到时，极小值，构造函数，求导推得，即可求得不等式的解集； （3）由得，令，则，令，求导判断在区间上单调递增，结合零点存在定理，推得，使得，求出的最小值为，由可得，，故得的最小值，由即可判断函数，即函数的零点个数. 【小问1详解】 当时，，则， 所以，， 则曲线在点处的切线方程为， 整理得：． 【小问2详解】 函数的定义域为，且， ① 当时，易得，在上单调递减，则无极小值，不合题意； ② 当时，由，得，即在上单调递增； 由，得时，即在上单调递减， 所以的极小值为：， 因为的极小值小于，所以，即． 令，则， 所以当时，，当时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 因为，所以由可得. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：求单调性及最值，需要引入隐零点，因为这个隐零点不好代入消元求值，需要再同构函数，则可得隐零点满足，，从而再代入隐零点即可求出的最小值，再结合两边的极限值，从而问题得证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 自贡市蜀光中学高2023级高三上期中考试数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知随机事件互相独立，满足，，则（ ） A. B. C. D. 6. 子贡曰：“夫子温、良、恭、俭、让以得之”，“温、良、恭、俭、让”指五种品德：温和、善良、恭敬、节俭、谦让．现有分别印有这5个字的卡片各2张（同字卡片颜色不同），同学甲从中抽取4张卡片分给另外4位同学，每人一张卡片，恰有2位同学分到的卡片是相同字的分配方案有（ ） A. 120种 B. 210种 C. 1440种 D. 2880种 7. 已知等差数列中，，则数列的前2026项的和为（ ） A. 1013 B. 1014 C. 2026 D. 2028 8. 已知，若，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，在直三棱柱中，为的中点，则（ ） A. B. 三棱锥的体积为 C. 直线与所成角的余弦值为 D. 三棱锥的外接球的表面积为 10. 函数的部分图象如图所示，其中，图象向右平移个单位后得到函数的图象，且在上单调递减，则下列说正确的是（ ） A. B. 为图象的一条对称轴 C. 可以等于8 D. 的最小值为2 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，且为非常数函数，，为奇函数，则下列结论中正确的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，且能被19整除，则a的最小值为______． 13. 一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，该圆锥的顶点和底面圆周都在同一个球面上，则该球的表面积为__________. 14. 函数满足恒成立，则的取值范围是_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记为数列的前项和．已知． （1）求的通项公式； （2）记为在区间上的项的个数，求数列的前项和． 16. 在中，分别为角的对边，且满足． （1）求角； （2）若为锐角三角形，设为的中点，若，且，求的面积． 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为梯形，，，，，为等边三角形． （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面所成角的余弦值． 18. 某单位有400名员工，其中男员工240人，女员工160人，该单位为了了解该单位员工的高密度脂蛋白胆固醇情况，以便调整食堂菜品，使员工身体更加健康、该单位男员工的高密度脂蛋白胆固醇的均值为1.4，女员工的高密度脂蛋白胆固醇的均值为1.5，该单位男员工的高密度脂蛋白胆固醇的方差为0.6，女员工的高密度脂蛋白胆固醇的方差为0.3．为了让员工吃得更健康，该单位设立了营养餐厅A和素食餐厅B两家餐厅，经过统计分析发现：一个员工第一天会随机地选择一家餐厅用餐，然后前一天选择了A餐厅的员工第二天选择A餐厅的概率为，第二天选择B餐厅的概率为；前一天选择了B餐厅的员工第二天选择A餐厅的概率为，第二天选择B餐厅的概率为，如此往复． （1）求该单位全部员工的高密度脂蛋白胆固醇的均值与方差； （2）按男女员工的比例分配进行分层抽样抽取5名员工，再从这5名员工中随机选择3人参加座谈会，记抽到男员工的人数为，求的分布列及数学期望； （3）设第天选择A餐厅用餐的概率为，求；经过一年（365天）后，在A餐厅和B餐厅就餐的员工趋于稳定，如果A餐厅准备每天180人的用餐，是否合理，请说明理由．注：若 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若的极小值小于－1，求的取值范围； （3）当时，证明：有2个零点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $