四川省射洪中学校2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题

数学参考答案 一.选填题答案 DDBBA BDC CD ACD ABD 911 2 6 e 二.解答题 15.（1)设等比数列an}的公比为q 由题意得6十16十60=56，☐ .2分 9 解得g=2或 3分 因为{an}单调递增，所以g=2… 4分 所以{an}的通项公式为a。=a,g”-2=2+2，即a,=2+2(n∈N） 6分 (2)因为bn=log20’所以b,=n+2,7分 ，则c=n+3+2+2n+3 1 记c.2b。b 11 9分 =}2t+++1 所以T=c,+c2+c++c.=34+4556 n+2n+3 即T,=c,+c+c+…+c,=3n+33n+9 11 n 12分 综上所述T3n∈NB分 16【解】由8c=96:+c2-可知，csn4= ·2 bccosA, 4 4 m4=V5,又A0,列，故4=背，如图所示， A 所以SABc=SABD+SACD,得 IbcsincADsinbDsin, π1 化简整理得 “32 62 6 3bc B D AD= b+c 方7分 2因为BD2Dc,故6C2,所以c=2b,义0=4BEYa b+c 化简得4b+d=bc,解得b=6,c=2,又4=胥， 故a=Vb2+c2-2 bccosA=6√3，所以ABC的周长为18+6V515分 1.1)因为两次抽奖相互独立，记“第2次抽到一等奖”为事件6。则P(8-写5分 (2)由题意知Y的取值可能为0,1,2,3,4， 第1页共4页 -×2= 2 6分 25 PY=3)=2xx2 4 8分 55 25 P(Y=2) 25*2 6 10分 25 PrY=-若2 8 25 12分 PrV=0叭-- 14分 所以Y的分布列为 4 3 2 1 0 4 P 6 8 25 25 25 25 5 所以Y的数学期望为E(Y)=4× 3x4 2x6 +1x 8 +0× 18 25 5 25 25 5 15分 18.【小问1详解】 a=0时，f(x)=-2lnx-4x,∴.f(1)=-4, “fx)=-2-4,则f1=-6,即切线的斜率为k=-6 .f(x)图象在x=1处的切线方程为y=-6x+2 【小问2详解】 f到2+2 121 x-2lnx,即ae2x≥x2+ 4 4 11 x2+ x- a≥ 4 11 由愿意，得、+ a≥24对x>0恒成立. 11 令E24x>0,则a之8m e2x 2 g'(x)= -(2x+1(x-1 e e 由g'(x>0,得0<x<1,gx)在(0，)上单调递增； 由g'x)<0,得x>1,∴.gx在1，+o）上单调递减. 所以gxx=g=4e' 5 故a24 小问3详解】 f(x)=aex2-2(Inx+2x),=nx+2x,g(t)=ae'-2t,tER, 因t=lnx+2x是单调函数，故f(x)有两个零点，等价于gt)在R上有两个零点. 第2页共4页 方法1：g'(t)=ae-2 ①当a≤0时，g't)<0,则gt)在R上递减，g(t最多有一个零点，故不满足题意； ②当a>0时， 2 令g'(t)>0可得t>ln二，即gt)在n二，+oo 上单调递增； a a 令g4<0可得1<1n2,即gd在o,ln2 上单调递减. a 且当t→-0时，e'→0，则gt)→+0 当t→+0时，与一次函数相比，指数函数y=e'呈爆炸性增长，故gt→+oo 要使g(t)在R上有两个零点，则gln三 E2-2n2<0,解得a∈0，/ 方法2：g(t)在R上有两个零点，等价于方程g(t)=0有两个实根，即a 21有两个根 也等价于a与=兰用象有青个公共点 nf=21- ,则可得h(t)在(-o,1递增，(1，+o)递减 e 且h1=2,当1→-D时，e→0，则)→ 当1→+切时，与一次函数相比，指数函数y=星爆炸性增长，故h)= 2t →0 则h(t)的大致图象为右图 y 2 时，y=a与h(t)= 图聚有两个公关点，即因有丙 2 y=h(t) 故当a∈0， e 个零点 19.【小问1详解】 由fx=xe-ax2,可得f'x=(x+l)e-2ax, f"(x=(x+2)e*-2a, 因为f(x)=xe*-ax2是[1,2]上的下凸函数， 所以f"(x)≥0在[1,2]上恒成立，即(x+2)e-2a≥0恒成立， 所以2a≤(x+2)e*在[1,2]上恒成立， 令gx)=(x+2e,则g'(x)=(x+3)e,当x∈[1,2]时，g'(x>0, 所以8（在[1,2]上单调递增，所以gx)。=g山=3e,所以2a≤3c,解得a≤e 2 所以实数a的取值范围为 剖 【小问2详解】 令=-eos,xe0 f(x)=sinx,f"(x)=cosx>0 第3页共4页 所以f(到=-cosx在x0 上是下凸函数， 所以fA+f(®)+f1C 3 即-(cosA+c0sB+cosC)≥-3cos7= 3 3 2 3 所以cosA+cosB+cosC≤ ,当且仅当A=B=C=兀时，等号成立， 厅以co9A+c0sB+c0sC的最大值为 【小问3详解】 因为正实数x,x2,,xn满足x+x2+…+xn=a0<0≤2)，所以x1,x2,,xn∈(0,2). =n(+ 0<x<2, 11 则h(x刘= -x2-1 -2+-(-3x2++4r+ +1x(x2+1 x+- x2(x2+1月 x2(x2+1月 因为0<x<2,所以0<x2<4,-2<x2-2<2,0≤(x2-22<4, 即-+4r+1=5--2>0,所以=+4>0， x2(x2+12 所以h(x在(0,2)上是下凸函数， 所以+++之+5++远 n0 即ln 所以 ++ 当且仅当x===x,=0时，等号成立， +}+批层 第4页共4页 射洪中学高2023级高三上期期中考试 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡对应题号的位置上。写在本试卷上无效。 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题:(本题共小题共分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1. 若全集，，，则集合的元素个数有( ▲ ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是( ▲ ) A. B. C. D. 3. 函数是偶函数,则( ▲ ) A. B. C. D. 定义在上的奇函数满足,且当时,,则 A. B. C. D. 5. 已知，则( ▲ ) A. B. C. D. 6．将函数的图象向左平移个单位长度,得到函数的图象,则函数的图象大致是( ▲ ) A．B．C．D． 7. 若向量，则( ▲ ) A. B. C. D. 在上的投影向量是 8．已知，，则下列说法正确的是( ▲ ) A． B． C． D． 二､多选题:(本题共小题,每小题分,共分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得分,部分选对的得部分分,有选错的得分) 9.已知数列的前项和为，则下列结论正确的是( ▲ ) A. 若，则是等差数列 B. 若，则是等比数列 C. 若等差数列，则 D. 若是等比数列，且（为常数），则 10. 设函数，则下列结论正确是( ▲ ) A. ，在上单调递减 B. 若且，则 C. 若在上有且仅有2个不同的解，则的取值范围为 D. 存在，使得的图象向右平移个单位长度后得到的函数为奇函数 11．已知函数，则下列说法正确的是( ▲ ) A．的最大值为 B．曲线关于对称 C．方程在上有3个不相等的实数解 D．存在，使得不等式成立 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，则的最小值为______. 13. 函数恒有，且在上单调递增，则______. 14．设函数，若，则的最大值为__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）等比数列中，，且数列单调递增. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. ▲ 16. （本小题满分15分）记的内角的对边分别为，已知三角形，角的平分线交边于点. （1）证明：； （2）若，求周长. ▲ 17．（本小题满分15分）2025年10月1日，某商场为了迎接促销，决定在商场内举办抽奖活动，盒子内有编号1—5的大小相同、质地均匀的5个小球．小球上的编号对应着获奖等级：一等奖、二等奖、三等奖、四等奖、五等奖（安慰奖）．规则如下：某顾客可以连续抽奖2次，每次抽奖完成后将小球放回盒子，且每次抽奖的结果互不影响． （1）若某顾客第1次未抽到一等奖，求该顾客在第2次抽到一等奖的概率； （2）记某顾客第k次抽到的奖品等级为，若用表示“2次抽到奖品的等级差”，求Y的分布列与数学期望． ▲ 18.（本小题满分17分）已知函数，． （1）当时，求图象在处的切线方程； （2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围； （3）若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围． ▲ 19. （本小题满分17分）设函数定义在区间I上，若对任意，有，则称为I上的下凸函数，等号成立当且仅当.若函数在区间I上存在二阶可导函数，则为区间I上的下凸函数的充要条件是. （1）若是上的下凸函数，求实数a的取值范围. （2）在锐角三角形中，求的最大值. （3）已知正实数满足，求的最小值. ▲ 高三强基数学 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $