精品解析：河南省信阳市羊山中学2025-2026学年九年级上学期10月半月考数学试卷

九年级第三次适应性训练数学试卷 一、选择题（共计30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若与关于坐标原点成中心对称，则a，b分别为（ ）． A. 4，3 B. -4，3 C. 4，-3 D. -4，-3 3. 若x＝1是方程x2+ax﹣2＝0的一个根，则a的值为（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 下列关于二次函数的说法正确的是（ ） A. 它的图象经过点(，) B. 它的图象的对称轴是直线 C. 当x<0时，y随x的增大而减小 D. 当x=0时，y有最大值为0 5. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可以是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 6. 广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，中，，，将绕点A顺时针旋转得到，点B，点C的对应点分别为点D，点E，连接，点D恰好落在线段上，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 6 9. 如图，在中，顶点，，，将与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第70次旋转结束时，点D的坐标为（　　） A. B. C. ） D. 10. 在平面直角坐标系中，两点，在抛物线，则下列结论中正确的是（ ） A. 当且时，则 B. 当时，则 C. 当且时，则 D. 当时，则 二、填空题（共计15分） 11. 方程x2﹣2x=0的解为_____________ 12. 抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度所得抛物线的解析式是______________ 13. 已知二次函数，若它的图象经过点，则 ___ （填>，<，或=） 14. 如图，正方形的边长为2，将其绕顶点按逆时针方向旋转一定角度到如图所示的位置，使得点落在对角线上，则阴影部分的面积是__________________． 15. 如图，在矩形中，，．将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，边与相交于点，边与的延长线相交于点．在矩形旋转过程中，当落在线段上时，_____；当是线段的三等分点时，_____． 三、解答题（共计75分） 16. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于点的中心对称图形； （2）请画出绕原点逆时针旋转的，并写出点，的坐标 （3）在轴上找一点，使的值最小，请直接写出点坐标_____________． 17. 已知二次函数的部分图象如图所示． （1）该函数图象与轴的另一个交点坐标为______； （2）求这个二次函数的解析式； （3）若，则函数值的范围是______ （4）直接写出满足时的取值范围：__________________ 18. 列方程（组）解应用题：某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长35m，另外三面用69m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）．求这个茶园的长和宽． 19. 如图，是正方形中边上一点，以点为中心把顺时针旋转． （1）在图中画出旋转后的图形； （2）若旋转后点的对应点记为，点在上，且，连接． ①求证：； ②若正方形的边长为6，，求． 20. 某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示： 销售单价x（元/千克） 55 60 65 70 销售量y（千克） 70 60 50 40 （1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式； （2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？ （3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？ 21. 综合与实践 在学校项目化学习中，某研究小组开展主题为“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的研究．请你阅读以下材料，解决“数学建模”中的问题． 【研究背景】已知一定浓度的生长素既能促进种子发芽，也会因浓度过高抑制种子发芽．探索生长素使用的适宜浓度等最优化问题，可以借助数学模型进行解决． 【数据收集】研究小组选择某类植物种子和生长素，以生长素浓度x（标准单位）为自变量，种子的发芽率y（%）为因变量，进行“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的实验，获得相关数据： 生长素浓度：x（标准单位） 0 0.6 1 1.7 2 2.5 2.7 3 3.3 4 4.2 发芽率y（%） 35.00 49.28 56.00 62.37 63.00 61.25 59.57 56.00 51.17 35.00 29.12 【数据分析】如图，小组成员以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点． 说明：①当生长素浓度时，种子的发芽率为自然发芽率； ②当发芽率大于等于零且小于自然发芽率时，该生长素抑制种子发芽； ③当生长素抑制种子发芽，使得发芽率减小到0时，停止实验． 【数学建模】请你结合所学知识解决下列问题： （1）观察上述各点的分布规律，判断y关于x的函数类型，并求出该函数的表达式； （2）请计算抑制种子发芽时的生长素浓度范围． 22. 如图，抛物线与直线相交于点和点B． （1）求m和b的值； （2）求点B的坐标，并结合图象写出不等式的解集； （3）点M是直线上的一个动点，将点M向左平移4个单位长度得到点N，若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标的取值范围． 23. 综合与实践 在探索几何图形变化的过程中，通过直观猜想、逻辑推理、归纳总结可以获得典型的几何模型，运用几何模型能够轻松解决很多问题，让我们共同体会几何模型的“数学之美”． （1）【几何直观】如图1，中，，，在内部取一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接、，则与的数量关系是________；与的数量关系是________； （2）【类比推理】如图2，在正方形内部取一点，使，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，延长交的延长线于点，求证：四边形是正方形； （3）【拓展延伸】在矩形中，点为边上的一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，若，，则的最小值为________________ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级第三次适应性训练数学试卷 一、选择题（共计30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：根据轴对称图形与中心对称图形的概念可知： A选项不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B选项是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C选项不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D选项是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 2. 若与关于坐标原点成中心对称，则a，b分别为（ ）． A. 4，3 B. -4，3 C. 4，-3 D. -4，-3 【答案】C 【解析】 【分析】根据关于坐标原点成中心对称的特点即可求解． 【详解】∵与关于坐标原点成中心对称， ∴b=-3，a=4 故选C． 【点睛】此题主要考查中心对称的性质，解题的关键是熟知关于坐标原点成中心对称的两坐标横纵坐标都互为相反数． 3. 若x＝1是方程x2+ax﹣2＝0的一个根，则a的值为（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】把x＝1代入方程x2+ax﹣2＝0得到关于a的一次方程，然后解一次方程即可． 【详解】解：把x＝1代入方程x2+ax﹣2＝0得1+a﹣2＝0，解得a＝1． 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，理解方程的解是使得等式左右两边成立的未知数的值是解题关键． 4. 下列关于二次函数的说法正确的是（ ） A. 它的图象经过点(，) B. 它的图象的对称轴是直线 C. 当x<0时，y随x的增大而减小 D. 当x=0时，y有最大值为0 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的图象性质即可判断． 【详解】解：A、当x=0时，y=0≠2，故此选项错误； B、它的图象的对称轴是直线x=0，故此选项错误； C、当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大，故此选项正确； D、当x=0时，y有最小值是0，故此选项错误； 故选：C． 【点睛】此题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 5. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可以是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根是解题关键．根据方程有两个不相等的实数根，得到关于的不等式，求解得出的取值范围，再对选项判断即可得解． 【详解】解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得， 则a的值可以是， 故选：A． 6. 广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及平均增长率问题，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，根据连续两个月的月均增长率建立方程即可． 【详解】解：设该公司6，7两个月产值的月均增长率为， 根据题意，得． 故选：A． 7. 如图，在中，，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设与相交于点，如解图，∵绕点按逆时针方向旋转后得到，∴，，∴，∴，∵，∵，∴，∵，∴为等腰直角三角形，∴，，∴，． 8. 如图，中，，，将绕点A顺时针旋转得到，点B，点C的对应点分别为点D，点E，连接，点D恰好落在线段上，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，直角三角形的性质以及旋转的性质，由等腰三角形的性质得；再由旋转的性质得，从而得，故可得，从而可求出结论． 【详解】解：在中，， ∴； 由旋转可知， ∴， 由旋转得：， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 9. 如图，在中，顶点，，，将与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第70次旋转结束时，点D的坐标为（　　） A. B. C. ） D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出，再利用正方形的性质确定，由于，所以第70次旋转结束时，相当于与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2次，每次旋转，此时旋转前后的点D关于原点对称，于是利用关于原点对称的点的坐标特征可出旋转后的点D的坐标． 【详解】解：，， ， 四边形ABCD为正方形， ， ， ， 每4次一个循环，第70次旋转结束时，相当于与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2次，每次旋转， 点D的坐标为． 故选D． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：，，，，． 10. 在平面直角坐标系中，两点，在抛物线，则下列结论中正确的是（ ） A. 当且时，则 B. 当时，则 C. 当且时，则 D. 当时，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，抛物线开口向上，顶点为，与x轴交于和，分析各选项时需结合抛物线的对称性、增减性及函数值的符号，据此进行作答即可． 【详解】解：∵ ∴抛物线的开口向上， 则对称轴为直线， 把代入，得， ∴顶点为， ∵两点，在抛物线， ∴当且时，（因时抛物线在x轴上方）， 故， 此时 故A选项的结论正确； 当时，抛物线在时递减， 故越大，越小， 即， 故B选项的结论错误； 当且时，， 此时应满足或， 故C选项的结论错误； 当时，抛物线在时递增， 故越大，越大， 即， 故D选项的结论错误； 故选：A 二、填空题（共计15分） 11. 方程x2﹣2x=0的解为_____________ 【答案】x1=0，x2=2 【解析】 【分析】把方程的左边分解因式得x（x-2）=0，得到x=0或 x-2=0，求出方程的解即可． 【详解】解：x2-2x=0， x（x-2）=0， x=0或 x-2=0， 故答案为：x1=0 ，x2=2． 【点睛】本题主要考查对解一元二次方程-因式分解法，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键． 12. 抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度所得抛物线的解析式是______________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据图象平移规律即可求解，掌握自变量加减左右移，函数值加减上下移的平移规律是解题的关键． 【详解】解：将抛物线先向左平移3个单位长度，所得的抛物线的解析式是； 再向下平移2个单位长度，则所得的抛物线的解析式是； 故答案为：． 13. 已知二次函数，若它的图象经过点，则 ___ （填>，<，或=） 【答案】> 【解析】 【分析】首先求出二次函数的对称轴为，然后根据二次函数的对称性得到点A的对称点为，最后根据二次函数的增减性判断即可． 【详解】解：∵， ∴二次函数的对称轴为， ∴点A关于对称轴对称的点的坐标为， ∵， ∴图像开口向上， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴． 故答案为：>． 【点睛】此题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是根据题意求出点A关于对称轴对称的点的坐标． 14. 如图，正方形的边长为2，将其绕顶点按逆时针方向旋转一定角度到如图所示的位置，使得点落在对角线上，则阴影部分的面积是__________________． 【答案】 【解析】 【分析】该题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，根据题意求出，再利用阴影部分的面积求解即可． 【详解】解：正方形的边长为2，将其绕顶点按逆时针方向旋转一定角度到位置，使得点落在对角线上， ， ， ， ， ∴阴影部分的面积； 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，．将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，边与相交于点，边与的延长线相交于点．在矩形旋转过程中，当落在线段上时，_____；当是线段的三等分点时，_____． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】当落在线段上时，，在中利用勾股定理进行求解即可，当是线段的三等分点时，分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵旋转， ∴， 当落在线段上时，如图，则， 在中，， 即：； 当是线段的三等分点时，分两种情况： ①当时，设，则：，， 连接，过点作，则：（平行线间的距离处处相等）， ∴，即：， ∴， 在中，， ∴， 解得：或（舍去）； ∴； ②当时，设，则：， 同法可得：， 在中，， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）； ∴； 综上：或； 故答案为：；或． 【点睛】本题考查旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，二次根式的运算，解一元二次方程，熟练掌握相关知识点，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 三、解答题（共计75分） 16. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于点的中心对称图形； （2）请画出绕原点逆时针旋转的，并写出点，的坐标 （3）在轴上找一点，使的值最小，请直接写出点坐标_____________． 【答案】（1） 即为所求作； （2）即为所求作， （3） 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，两点之间线段最短，中心对称变换的性质，画旋转图形，熟练掌握轴对称变换的性质是解题的关键． （1）根据中心对称变换的性质找出对应点即可求解； （2）根据旋转变换的性质找出对应点即可求解； （3）作点A关于x轴对称点M，连接交x轴于点P，连接，则，点P即为所求，求出直线表达式，进而求出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：作点A关于x轴对称点M，连接交x轴于点P，连接，如下图， ， 则，此时值最小； ， ， 设直线表达式为，把，代入， ， 解得：， ∴直线表达式为， 当时，， 解得：， ． 17. 已知二次函数的部分图象如图所示． （1）该函数图象与轴的另一个交点坐标为______； （2）求这个二次函数的解析式； （3）若，则函数值的范围是______ （4）直接写出满足时的取值范围：__________________ 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】此题主要考查了顶点式求二次函数解析式以及二次函数与x轴交点坐标求法和利用二次函数图象求自变量取值范围等知识，此题是基础题． （1）由图象可知抛物线的顶点，与轴交于，可得拋物线的对称轴为直线，利用拋物线的对称性可求解； （2）由图象可知二次函数的顶点坐标和与轴的应该解得坐标，即可利用顶点式求出二次函数解析式； （3）根据图象即可得出的的取值范围． （4）根据图象即可得出的的取值范围． 【小问1详解】 解：由图象可知抛物线的顶点， ∴拋物线的对称轴为直线， ∵抛物线与轴交于一点为， ∴抛物线与轴交于另一点为； 【小问2详解】 解：由图象可知抛物线的顶点，与轴交于， ∴设抛物线的解析式为， 把代入得，， 解得， 所以二次函数解析式为． 【小问3详解】 解：∵抛物线与轴交于点，，顶点，二次函数解析式为， 令，则，即抛物线与轴交于点， 由图象可知：，则函数值的范围是． 【小问4详解】 解：由图象可知：满足的的取值范围是． 18. 列方程（组）解应用题：某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长35m，另外三面用69m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）．求这个茶园的长和宽． 【答案】30m，20m 【解析】 【分析】设当茶园垂直于墙的一边长为xm时，则另一边的长度为（69+1﹣2x）m，根据茶园的面积为600m2，列出方程并解答． 【详解】设茶园垂直于墙的一边长为xm，则另一边的长度为（69+1﹣2x）m， 根据题意，得x（69+1﹣2x）＝600， 整理，得x2﹣35x+300＝0， 解得x1＝15，x2＝20， 当x＝15时，70﹣2x＝40＞35，不符合题意舍去； 当x＝20时，70﹣2x＝30，符合题意． 答：这个茶园的长和宽分别为30m、20m． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出方程是解题的关键． 19. 如图，是正方形中边上一点，以点为中心把顺时针旋转． （1）在图中画出旋转后的图形； （2）若旋转后点的对应点记为，点在上，且，连接． ①求证：； ②若正方形的边长为6，，求． 【答案】（1）如图，为所作； （2）①如图，连接EF． ∵四边形ABCD是正方形， ， 点顺时针旋转得到， ， 又， ， 在和中， ， ． ②． 【解析】 【分析】（1）在CB的延长线上截取BM=DE，再连接AM即可． （2）①由旋转性质可得．由，可证明，即可用“边角边”证明． ②由①得，即可证明．在中利用勾股定理可求出DE长，即得到CE长．设，则，．在利用勾股定理可列出关于x的方程，求出x即可． 【详解】（1）略 （2）①略 ②， ， 即， 而， ， 在中，， ， 设，则， ． 在中，，即， 解得：． 即． 【点睛】本题考查作图-旋转变换，三角形全等的判定和性质，正方形的性质以及勾股定理．掌握判断三角形全等的判定条件和利用勾股定理解三角形是解答本题的关键． 20. 某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示： 销售单价x（元/千克） 55 60 65 70 销售量y（千克） 70 60 50 40 （1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式； （2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？ （3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）；（2）60元/千克或80元/千克；（3）70元/千克；800元 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法来求一次函数的解析式即可； （2）依题意可列出关于销售单价x的方程，然后解一元二次方程组即可； （3）利用每件的利润乘以销售量可得总利润，然后根据二次函数的性质来进行计算即可． 【详解】解：（1）设y与x之间的函数表达式为（），将表中数据（55，70）、（60，60）代入得： ， 解得：， ∴y与x之间的函数表达式为； （2）由题意得：， 整理得， 解得， 答：为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为60元/千克或80元/千克； （3）设当天的销售利润为w元，则： ， ∵﹣2＜0， ∴当时，w最大值=800． 答：当销售单价定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键． 21. 综合与实践 在学校项目化学习中，某研究小组开展主题为“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的研究．请你阅读以下材料，解决“数学建模”中的问题． 【研究背景】已知一定浓度的生长素既能促进种子发芽，也会因浓度过高抑制种子发芽．探索生长素使用的适宜浓度等最优化问题，可以借助数学模型进行解决． 【数据收集】研究小组选择某类植物种子和生长素，以生长素浓度x（标准单位）为自变量，种子的发芽率y（%）为因变量，进行“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的实验，获得相关数据： 生长素浓度：x（标准单位） 0 0.6 1 1.7 2 2.5 2.7 3 3.3 4 4.2 发芽率y（%） 35.00 49.28 56.00 62.37 63.00 61.25 59.57 56.00 51.17 35.00 29.12 【数据分析】如图，小组成员以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点． 说明：①当生长素浓度时，种子的发芽率为自然发芽率； ②当发芽率大于等于零且小于自然发芽率时，该生长素抑制种子发芽； ③当生长素抑制种子发芽，使得发芽率减小到0时，停止实验． 【数学建模】请你结合所学知识解决下列问题： （1）观察上述各点的分布规律，判断y关于x的函数类型，并求出该函数的表达式； （2）请计算抑制种子发芽时的生长素浓度范围． 【答案】（1）y关于x的函数是二次函数，； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）先判断出y关于x的函数是二次函数，再利用待定系数法求解即可； （2）先计算出种子自然发芽率为35，令和时，分别求得x的值，再结合图象求解即可． 【小问1详解】 解：观察上述各点的分布规律， y关于x的函数是二次函数， 设该二次函数的解析式为， 将，，代入得， ， 解得， ∴该二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， ∴种子自然发芽率为35， ∴当时，， 解得，， 当时，， 解得（舍去），， ∴抑制种子发芽时的生长素浓度范围为． 22. 如图，抛物线与直线相交于点和点B． （1）求m和b的值； （2）求点B的坐标，并结合图象写出不等式的解集； （3）点M是直线上的一个动点，将点M向左平移4个单位长度得到点N，若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标的取值范围． 【答案】（1）， （2），或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数综合应用，一次函数的图象及性质，二次函数的图象和性质等知识，数形结合和分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解． （2）求出点B的坐标为，再观察函数图象即可． （3）分类讨论：当点M在线段上时，当点M在点B的左侧时，线段与抛物线没有公共点；当点M在点A的右侧时，三种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入得：， 解得：， 将点A的坐标代入得：，解得； ∴，； 【小问2详解】 解：由（1）可知抛物线解析式为，一次函数解析式为， 联立，解得或， ∴， ∴由函数图象可知，不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：当点M在线段上时，线段与抛物线只有一个公共点， ∵M，N的距离为4，而A、B的水平距离是4，故此时只有一个交点，即 ； 当点M在点B的左侧时，线段与抛物线没有公共点； 当点M在点A的右侧时，且恰好经过抛物线顶点时， ∵， ∴抛物线顶点坐标为， 在中，当时，， ∴； 如图所示，直线与直线平行，且两条直线的水平距离为4，即点N一定在直线上，由函数图象可知当点M在点A的右侧时，除去恰好经过抛物线顶点这种情况，与抛物线都不存在只有一个交点的情况， 综上所述，或． 23. 综合与实践 在探索几何图形变化的过程中，通过直观猜想、逻辑推理、归纳总结可以获得典型的几何模型，运用几何模型能够轻松解决很多问题，让我们共同体会几何模型的“数学之美”． （1）【几何直观】如图1，中，，，在内部取一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接、，则与的数量关系是________；与的数量关系是________； （2）【类比推理】如图2，在正方形内部取一点，使，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，延长交的延长线于点，求证：四边形是正方形； （3）【拓展延伸】在矩形中，点为边上的一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，若，，则的最小值为________________ 【答案】（1），； （2） 解：正方形， ，， 由旋转的性质可知，，， ，即， 在和中， ， ， ， ，， 四边形是正方形； （3） 【解析】 【分析】（1）利用“”证明，得到，，即可求解； （2）根据正方形和旋转的性质，证明，得到，再结合正方形的判定定理证明即可； （3）根据题意作图，连接、交于点，连接、，根据矩形的性质和勾股定理，证明是等边三角形，再结合旋转的性质，证明，得到 ，则点在射线上运动，且，当时，有最小值，再根据30度角所对的直角边等于斜边一半求解即可． 【小问1详解】 解：由旋转的性质可知，，， ， ，即， 又， ， ，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，根据题意作图，连接、交于点，连接、， 矩形， ，，， ，， ， ， 是等边三角形， ， 由旋转的性质可知，，， ， ，即， 又，， ， ， 点在射线上运动，且， 当时，有最小值， ， ， ， 在中，， 即的最小值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $