专题训练（三）解直角三角形的应用-【一飞冲天·同步训练】2024-2025学年九年级数学下册（人教版）

一冲天 第二十八章镜角三角函数□ 专题训练（三） 解直角三角形的应用 题型一 仰角、俯角问题 2.如图，学校数学兴趣小组同学计划测量建筑物 1.如图，某座山AB的顶部有一座通信塔BC,且 AB的高度，先在D处测得该建筑物顶端A的 点A,B,C在同一条直线上.从地面P处测得 仰角为28°，然后从D处前进40m到达C处， 塔顶C的仰角为42°，测得塔底B的仰角为 在C处测得该建筑物顶端A的仰角为60°， 35°.已知通信塔BC的高度为32m,求这座山 点B,C,D在同一条直线上，且AB⊥CD.求建 AB的高度（结果取整数） 筑物AB的高度（结果精确到0.1m), 参考数据：tan35°≈0.70，tan42°≈0.90. 参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88， tan28°≈0.53，√3≈1.73. ▣ 4 60° 28° B D 飞冲天 中天 ※ 回品同步训练九年级教学下册 一冲天 3.亮亮同学用所学知识在自家阳台测对面大楼4.位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国 CD的高度，如图，他利用自制的测角仪测得该 现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一 大楼顶部C的仰角是45°，底部D的俯角是 某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测 38°，又用绳子测得测角仪到地面的高度AB为 角仪测量观星台的高度.如图所示，他们在地 31.6m,求该大楼CD的高度（精确到0.1m). 面一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M 参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79， 处测得观星台最高点A的仰角为22°，然后沿 tan38°≈0.78. MP方向前进16m到达点N处，测得点A的 仰角为45°，测角仪的高度为1.6m. (1)求观星台最高点A距离地面的高度（结果 精确到0.1m); (2)“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m,请 计算本次测量结果的误差 参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93， tan22°≈0.40，√2≈1.41. 飞冲天 B122 C459 冲天 一冲天 第二十入章锐角三角函数回 题型二方向角问题 2.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东54°方向 1.如图，某旅游景区为方便游客，修建了一条东 距离灯塔90 n mile的A处，它沿正南方向航 西走向的栈道AB,栈道AB与景区道路CD 行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东459 平行.在C处测得栈道一端A位于北偏西45° 方向上的B处.这时，B处距离灯塔P有多远 方向，在D处测得栈道另一端B位于北偏东 (结果取整数)？ 32°方向.已知AC=60m,CD=46m,求栈道 参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59， AB的长度（结果保留整数）， tan54°≈1.38，J2≈1.414. 参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85 北 tan32°≈0.62，√2≈1.414. 549 东 45 飞冲天 中天 米 同步训练九年级数学下册 一冲天 3.如图，一艘小船以11 n mile/h的速度向正北4.如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔， 方向航行，在A处测得灯塔C在北偏东37°方 由A地到C地需要绕行B地，已知B地位于 向，航行2h后到达B处，测得灯塔C在南偏 A地北偏东67°方向，距离A地520km,C地 东42°方向，求B处距离灯塔C的距离BC(结 位于B地南偏东30°方向，若打通穿山隧道，建 果保留1位小数)： 成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线 参考数据：tan37°≈0.75，sin42°≈0.67， 路AC的长（结果保留整数）. tan42°≈0.90. 参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，√3≈ 1.732. 3。 北 30 飞冲天 冲天 一冲天 第二十八章镜角三角函数国 题型三坡度、坡角问题 2.如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的 1.如图是东方货站传送货物的平面示意图，为了 某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡 提高安全性，工人师傅打算减小传送带与地面 近似是“直”的，测得坡长AB=800米，BC= 的夹角，由原来的45°改为36°，已知原传送带 200米，坡角∠BAF=30°，∠CBE=45° BC长为4米，求新传送带AC的长及新、原传 (1)求AB段山坡的高度EF; 送带触地点之间AB的长（结果精确到0.1米）. (2)求山峰的高度CF.(结果取整数，√2≈ 参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81， 1.414) tan36°≈0.73，√2≈1.414. 飞冲天 中天 米 同步训练九年极数学下册 一心冲天 3.如图，已知斜坡AB长为60√2米，坡角（即4.如图，有一段斜坡BC长为10米，坡角∠CBD= ∠BAC)为45°，BC⊥AC.现计划在斜坡中点 12°，为方便残疾人的轮椅车通行，现准备把坡 D处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线 角降为5. AC的休闲平台DE和一条新的斜坡BE,若修 (1)求坡高CD; 建的斜坡BE的坡度为√3：1，求休闲平台DE (2)求斜坡新起点A到原起点B的距离（精确 的长是多少米（结果保留根号）. 到0.1米) 参考数据：sin12°≈0.21，cos12°≈0.98， tan5°≈0.09. wmmmwom 飞冲天 冲天同步训练九年级数学下册 一冲天 专题训练（三）解直角三角形的应用 题型一 1.解：在Rt△APB中，∠APB=35°， B122°C459 -+D ,∴.AB=AP·tan35°， M N P E 在Rt△APC中，∠APC=42°， 则CD⊥AE,BM=CN=DE=1.6m,BC=MN=16m, ∴.AC=AP·tan42°， ∠ABC=22°，∠ACD=45°， AC-AB=BC=32, 在Rt△ACD中，AD=CD, AP·tan42°-AP·tan35°=32， 在Rt△ABD中， 32 ∴AP=tan42-tan35, AD=BD·tan22°=(16+CD)·tan22°， .(16+CD)·tan22°=CD, .AB=AP·tan35° 32×tan35 tan42-tan35≈112(m), .CD=16 X tan 22 .这座山AB的高度约为112m. 1-tan22≈10.7(m), .AE=AD+DE=10.7+1.6=12.3(m). 2.解：AB⊥CD,∠ABC=90°， 即观星台最高点A距离地面的高度约为12.3m 在Rt△ABC中，∠ACB=60°， (2)12.6-12.3=0.3(m). ..BC=-AB tan60°， ∴.本次测量结果的误差为0.3m. 在Rt△ABD中，∠D=28°，BD= AB 题型二 tan 28. 1.解：如图，过C作CH⊥AB于点H,过点D作DG⊥AB .BD-BC=CD=40, 于点G, “A经A=40 AB H ↑北 G .AB=40X tan 28Xtan 60 ≈30.6(m), tan60°-tan28 ∴.建筑物AB的高度约为30.6m. 459 32 3.解：如图，过点A作AH⊥CD,垂足为H, 7777777777777777777777 :AB∥CD, .CH∥DG, .四边形CHGD是矩形， ∴.CH=DG,HG=CD. H 在Rt△ACH中，∠ACH=45°，AC=60m, B 0 CH=AC·as45=60x号-30E, 则DH=AB=31.6m, AH=CH=30√2 由题意得：∠CAH=45°，∠DAH=38°， 在Rt△BDG中，∠BDG=32°，DG=CH=30√2 在R△AHD中，AH=DH tan 38, ,∴.BG=DG·tan32°=30W2×tan32° 在Rt△AHC中，CH=AH·tan45°=AH, ∴.AB=AH+HG+BG≈30√2+46+30√2×0.62≈ 115(m). ∴CD=CH+DHD38+DH≈72.1(m), .栈道AB的长度约为115m. ∴该大楼CD的高度约为72.1m. 2.解：由题意得，∠A=54°，∠B=45°， 4.解：(I)如图，过点A作AE⊥MP,交MP的延长线于点 AP-=90 n mile, E,连接BC并延长，交AE于点D. 在R△APC中，'sinA=AP, PC 同步训练九年级数学下册 一冲天 ..PC=AP·sin54°， AD=AB·sin67°，BD=AB·cos67°， PC 在Rt△CBD中， 在Rt△BPC中，，sinB= PB' CD=BD·tan30°， ..PB= pC=AP·sin54≈103(n mile), .AC=AD+CD=AB·sin67°+AB·cos67°·tan30 sin 453= sin45° .∴.B处距离灯塔P大约103 n mile. ≈520×0.92+520×0.39×1.732≈595(km). 3 3.解：如图，过C作CH⊥AB于H. .A地到C地之间高铁线路AC的长约为595km. 色 北 题型三 东 1.解：如图，作CD⊥AB于点D. 429 H 由题意可得：∠A=36°，∠CBD=45°，BC=4, 379 A 在Rt△BCD中，sin∠CBD=CP, BC' 由题意得，∠HBC=42°，∠HAC=37°， AB=11×2=22(n mile). CD=BC·sin∠CBD=4X2 =2√2， 2 在Rt△CBH中，ian∠HBC-CH :∠CBD=45°，.BD=CD=2√2， BH' ·BH=,CH 在RIAACD中，sinA8光.tanA=CD tan 423. AD 在Rt△ACH中，tan∠HAC=C H ac品品品米 ..AH=CH tan 37s, AD= CD2√2 tan A tan 365, .AB-BH+AH. AB=AD-=BDan3622≈1.0（米） ..CH tan42otan32。=A3 ∴新传送带AC的长约为4.8米，新、原传送带触地点之 CH=AB:tan42°：tan37°≈22×0.90×0.75 间AB的长约为1.0米. tan42°+tan37 0.90+0.75 2.解：(1)如图，作BH⊥AF于H, =9.00(n mile). 在Rt△ABH中，.∠BAF=30°， 在Rt△CBH中，sin∠HBC CH BC· ÷BH=2AB=40, .BC= sin42≈13.4(n mile). CH .EF=BH=400米， .B处距离灯塔C的距离BC约为13.4 n mile AB段山坡的高度EF为400米； 4.解：如图，过点B作BD⊥AC于点D. B 个北 671 309 H 由题意得，∠ABD=67°，AB=520,∠CBD=30°， (2)在Rt△CBE中，'sin∠CBE= CE BC' 在Rt△ABD中， .CE=BC·sin∠CBE=200×sin45°≈141.4， ∴.CF=CE+EF=141.4+400≈541（米）. ∴.山峰的高度CF约为541米. 同步训练九年级数学下册 一冲天 3.解：如图，延长DE交BC于点F A ,DF∥AC, .∠BDF=∠BAC=45. :AB=60√2，D是AB的中点， ∴.BD=302. 在Rt△BDF中， DF=BD·os∠BDF=30w2Xcos45°=30V2×2=30. 2 .BF=DF=30, ,斜坡BE的坡度为√3：1， 即邵-r-g-1ov5 3 .DE=DF-EF=(30-103)米. ∴.休闲平台DE的长是(30-103)米. 4.解：(1)在Rt△BCD中， CD=BC·sin12°≈10×0.21=2.1（米）， .坡高CD约为2.1米； (2)在Rt△BCD中， BD=BC·cos12°≈10×0.98=9.8（米）， 在R△ACD中，AD=CD tan 5, AB=AD-B0-=-BD&品-A81米 ∴.斜坡新起点A与原起点B的距离约为13.5米.