精品解析：甘肃省陇南市康县2025-2026学年九年级上学期10月期中数学试题

2025-2026学年度第一学期周期学业能力评鉴 九年级数学 考生注意：本试卷满分150分，考试时间120分钟，所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项． 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 3. 抛物线可以由抛物线平移得到，则下列平移方法正确的是（　　） A. 先向左平移2个单位，再向上平移7个单位 B. 先向左平移2个单位，再向下平移1个单位 C. 先向右平移2个单位，再向上平移7个单位 D. 先向右平移2个单位，再向下平移1个单位 4. 若函数是二次函数，那么的值是（ ） A. 2 B. -2或2 C. -2 D. 0或2 5. 三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 12或14 6. 在同一平面直角坐标系中，函数和（是常数，且）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 用配方法解方程2x2﹣8x﹣15=0，配方后的方程是（） A. （x﹣2）2=19 B. （x﹣4）2=31 C. （x﹣2）2= D. （x﹣4）2= 8. 为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，某种原价为元的药品连续两次降价后为元，则平均每次降价的百分率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集为( ) A. B. C. 或 D. 10. 已知二次函数的图象如图所示，顶点坐标为（m，3），则下列结论：①；②；③；④关于x的一元二次方程有两个相等的实数根．其中正确结论的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 抛物线的对称轴为直线：___． 12. 若点与点关于原点中心对称，则_______． 13. 若点M（﹣1，y1），N（1，y2），P（，y3）都在抛物线y＝x2﹣4x+1上，则y1、y2、y3大小关系为___________（用“＜”连接）． 14. 设，是方程的两个实数根，则的值为_______________． 15. 如图，是等腰直角三角形，，，将绕点旋转，得到，此时点的坐标为______ ． 16. 杨辉是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家，他与秦九韶、李冶、朱世杰并称“宋元数学四大家”．他所著《田亩比类乘除算法》（1275年）中提出这样一个问题：“直田积（矩形面积八百六十四步（平方步），阔不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步．”若设阔为步，则可列方程为___________． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，将逆时针旋转一定角度后得到，点D恰好为的中点． （1）若，指出旋转中心，并求出旋转角度； （2）若，求的长． 19. 如图，和关于点成中心对称． （1）找出它们的对称中心O； （2）若，，，求的周长． 20. 已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0． （1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根． 21. 同学们在操场玩跳大绳游戏，跳大绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线，正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距为6米，到地面的距离与均为0.9米，绳子甩到最高点C处时，最高点距地面的垂直距离为1.8米，距甲同学的水平距离为3米，以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求该抛物线的解析式； （2）如果身高为1.7米的聪聪站在之间，当绳子甩到最高处时，求聪聪站在距点O的水平距离为多少时，绳子刚好通过他的头顶上方？ 22. 已知二次函数． （1）用列表描点法，在如图所示的坐标系中画出这个二次函数的图象； x … 0 1 2 3 … y … … （2）根据图象写出当为正数时的取值范围为_________； （3）当时，的取值范围为_________． 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位的正方形，建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为． （1）试作出以为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形； （2）以原点为对称中点，画出关于原点对称的，并写出点、、的坐标． 24. 如图，在中，点E在边上，，将线段绕A点旋转到的位置，使得，连接，与交于点G． （1）求证：； （2）若，求的度数． 25. 疫情期间，小颖在家制作一种工艺品，并通过网络进行线上销售．经过一段时间后发现：当售价是40元/件时，每天可售出该工艺品60件，且每件的售价每降低1元，就会多售出3件．若每件工艺品需要19元成本，设该工艺品的售价为x元/件（）． （1）请用含x的代数式填空： ①销售每件工艺品的利润为________元； ②每天能售出该工艺品的件数为________． （2）为了支持抗疫行动，小颖决定每销售一件该工艺品便通过网络平台自动向医疗基金会捐款1元，若每天销售该工艺品的纯利润为900元，求该工艺品的售价． 26. 某商场新进一批商品，每个成本价25元，销售一段时间后发现销售量（个）与销售单价（元/个）之间呈一次函数关系，如表： （元/个） 30 50 （个） 190 150 （1）求与之间的函数关系式； （2）若该商品的销售单价在45元~80元之间浮动，销售单价定为多少元时，销售利润最大？此时销售量为多少？ 27. 如图，二次函数的图象经过坐标原点，与轴交于点． （1）求此二次函数的表达式及顶点的坐标； （2）在抛物线上存在一点，使，请求出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期周期学业能力评鉴 九年级数学 考生注意：本试卷满分150分，考试时间120分钟，所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项． 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选D． 2. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】题目主要考查一元二次方程根的判别式，理解题意，列出式子求解是解题关键． 根据一元二次方程有两个相等的实数根的条件，判别式为零且二次项系数不为零，列方程求解． 【详解】解：∵，有两个相等的实数根， ∴ 且 ∴， 解得 ， ，符合条件， 的值为 ， 故选：A． 3. 抛物线可以由抛物线平移得到，则下列平移方法正确的是（　　） A. 先向左平移2个单位，再向上平移7个单位 B. 先向左平移2个单位，再向下平移1个单位 C. 先向右平移2个单位，再向上平移7个单位 D. 先向右平移2个单位，再向下平移1个单位 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键；将抛物线解析式化为顶点式，根据顶点坐标的变化确定平移方法即可． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为， 而的顶点为， ∴需要向右平移2个单位，再向下平移1个单位所得到； 故选D． 4. 若函数是二次函数，那么的值是（ ） A. 2 B. -2或2 C. -2 D. 0或2 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的定义得出且，继而即可求解． 【详解】∵函数是二次函数， ∴且， ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的定义，解题的关键是根据二次函数的定义得出：且． 5. 三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 12或14 【答案】B 【解析】 【分析】用因式分解法求得方程的根，后根据三角形三边关系判断三角形的存在性，后计算周长. 【详解】∵， ∴（x-7）(x-5)=0, ∴x=7或x=5； 当x=7时, 3+4=7， ∴三角形不存在； 当x=5时, 3+4＞5， ∴三角形存在， ∴三角形的周长为3+4+5=12； 故选B. 【点睛】本题考查了一元二次方程的因式分解求解法和三角形的存在性，熟练求方程的根，准确判断三角形的存在性是解题的关键. 6. 在同一平面直角坐标系中，函数和（是常数，且）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，掌握二次函数与一次函数的图象与性质是关键． 首先观察各选项中的一次函数的图象，得到字母系数的正负性，然后再将字母系数的正负性与二次函数的开口方向相比较，看是否一致，不能判断的需同时结合二次函数的对称轴进行验证，由此即可作出判断. 【详解】解：A、由一次函数的图象可得，此时二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，故该选项错误； B、由一次函数的图象可得，此时二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，故该选项正确； C、由一次函数的图象可得，此时二次函数的图象应该开口向下，故该选项错误； D、由一次函数的图象可得，此时二次函数的图象应该开口向上，故该选项错误； 故选：B． 7. 用配方法解方程2x2﹣8x﹣15=0，配方后的方程是（） A. （x﹣2）2=19 B. （x﹣4）2=31 C. （x﹣2）2= D. （x﹣4）2= 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵2x2-8x-15=0，∴2x2-8x=15，x2-4x= ，x2-4x+4=+4，（x-2）2=．故选C． 8. 为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，某种原价为元的药品连续两次降价后为元，则平均每次降价的百分率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 设平均每次降价的百分率为，根据题意列出方程即可求解． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为， 由题意得，， 解得，（不合题意，舍去）， ∴平均每次降价的百分率为， 故选：． 9. 如图，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集为( ) A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】只需要找到抛物线的函数图象在一次函数图象下方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线与直线交于两点， 的解集是， 的解集是， 故选：D． 【点睛】本题考查了根据二次函数与直线的交点坐标求一元二次不等式的解集，根据题意得出的解集即为的解集是解本题的关键． 10. 已知二次函数的图象如图所示，顶点坐标为（m，3），则下列结论：①；②；③；④关于x的一元二次方程有两个相等的实数根．其中正确结论的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况和二次函数的最值进行推理即可． 【详解】解：有图意可得：抛物线与x轴有两个交点，所以关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，故①正确； 由抛物线开口向下，可得a＜0，由抛物线与y轴交于原点上方，可得c＞0，∴ac＜0，故②正确； 由抛物线对称轴为直线且a＜0，可得，故③错误； 由抛物线的顶点坐标为（m，3），可得当x=m时，y有最大值为3 ∴关于x的一元二次方程的解为，即有两个相等的实数根，故④正确 正确的共3个， 故选：B 【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，会利用抛物线的开口方向、与坐标轴的交点以及对称轴的位置确定系数的符号，理解二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用是解题的关键． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 抛物线的对称轴为直线：___． 【答案】 【解析】 【分析】抛物线的对称轴为 利用公式直接计算可得答案． 【详解】解：∵，， ∴抛物线对称轴为直线． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是抛物线的对称轴，掌握抛物线的对称轴方程的公式是解题的关键． 12. 若点与点关于原点中心对称，则_______． 【答案】## 【解析】 【分析】关于原点成中心对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，据此列方程解答． 【详解】解：由题意得a+1+2a+1=0，2b-3-b-1=0， 解得， ∴=， 故答案为：． 【点睛】此题考查中心对称的性质：关于原点成中心对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，熟记性质是解题的关键． 13. 若点M（﹣1，y1），N（1，y2），P（，y3）都在抛物线y＝x2﹣4x+1上，则y1、y2、y3大小关系为___________（用“＜”连接）． 【答案】 【解析】 【分析】利用图象法即可解决问题． 【详解】解：y＝y＝x2﹣4x+1， 对称轴为x＝2， 二次函数的图像为： 根据二次函数的图象可知：． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数图象上的点的特征，解题的关键是学会利用图象法比较函数值的大小． 14. 设，是方程的两个实数根，则的值为_______________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】先根据根与系数的关系得到，，再把所求的式子进行整理，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查根与系数的关系，解答的关键是熟记根与系数的关系：，． 15. 如图，是等腰直角三角形，，，将绕点旋转，得到，此时点的坐标为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的性质求得的坐标，根据旋转的性质即可求得的坐标． 【详解】解：过点作轴于点， 是等腰直角三角形，，， 是的中点，， ， ， 将绕点旋转，得到，此时点与点关于原点对称， 点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质，求得点的坐标是解题的关键． 16. 杨辉是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家，他与秦九韶、李冶、朱世杰并称“宋元数学四大家”．他所著《田亩比类乘除算法》（1275年）中提出这样一个问题：“直田积（矩形面积八百六十四步（平方步），阔不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步．”若设阔为步，则可列方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设阔为x步，则长为步，再利用矩形面积公式列方程即可． 【详解】解：设阔为x步，则长为步， 由题意得，． 故答案为：． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用直接开平方的方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得． 18. 如图，将逆时针旋转一定角度后得到，点D恰好为的中点． （1）若，指出旋转中心，并求出旋转角度； （2）若，求的长． 【答案】（1）旋转中心为点C，旋转角度为 （2）3 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的旋转．熟练掌握旋转的定义和性质，是解题的关键． （1）根据旋转的性质，可知旋转中心为点C，旋转角为，再由周角的定义，即可求解； （2）根据旋转的性质，可得，由中点性质得，即得． 【小问1详解】 ∵由逆时针旋转得到， ∴，， ∵，， ∴， ∴旋转中心为点C，旋转角度为； 【小问2详解】 由（1）知，， ∵点D为的中点， ∴， ∴． 19. 如图，和关于点成中心对称． （1）找出它们的对称中心O； （2）若，，，求的周长． 【答案】（1） 解：如图所示，点即为所求．（作法不唯一） （2）18 【解析】 【分析】本题考查了中心对称，正确掌握中心对称图形的性质是解此题的关键． （1）连接、，其交点就是对称中心； （2）根据和关于点成中心对称，得出，，，再由三角形周长公式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵和关于点成中心对称， ∴，，， ∴的周长， 答：的周长为18． 20. 已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0． （1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根． 【答案】 （1）证明：∵△=a2﹣4（a﹣2）=a2﹣4a+8=a2﹣4a+4+4=（a﹣2）2+4>0， ∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． （2）a=，x1=﹣ 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式即可求解； （2）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0，求出a，再利用根与系数的关系求出方程的另一根． 【详解】解：（1）略 （2）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0 得1+a+a﹣2=0， 解得a=； ∴方程为x2+x﹣=0， 即2x2+x﹣3=0， 设另一根为x1，则1×x1==﹣， ∴另一根x1=﹣． 【点睛】此题主要考查一元二次方程根的求解，解题的关键是熟知根的判别式与根与系数的关系． 21. 同学们在操场玩跳大绳游戏，跳大绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线，正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距为6米，到地面的距离与均为0.9米，绳子甩到最高点C处时，最高点距地面的垂直距离为1.8米，距甲同学的水平距离为3米，以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求该抛物线的解析式； （2）如果身高为1.7米的聪聪站在之间，当绳子甩到最高处时，求聪聪站在距点O的水平距离为多少时，绳子刚好通过他的头顶上方？ 【答案】（1）； （2）4米或2米． 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，抛物线的顶点，设，利用待定系数法求出解析式即可； （2）把代入二次函数解析式，解一元二次方程即可得到答案． 【小问1详解】 由题可知，抛物线的顶点， 设， 把代入得， 解得， ∴； ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 当时，， 解得，， 答：聪聪站在距离点O的水平距离为4米或2米时，绳子刚好通过他的头顶上方． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，还考查了解一元二次方程，用待定系数法求出二次函数的解析式是解题的关键． 22. 已知二次函数． （1）用列表描点法，在如图所示的坐标系中画出这个二次函数的图象； x … 0 1 2 3 … y … … （2）根据图象写出当为正数时的取值范围为_________； （3）当时，的取值范围为_________． 【答案】（1） 解：∵， 列表如下： x … 0 1 2 3 … y … 0 3 4 3 0 … 画出函数图象，如图： （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出表格中的函数值，利用描点法画出函数图象即可； （2）结合图象，找到时，的取值范围即可； （3）图象法，确定函数的最大值和最小值即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由图象可知：当为正数时，； 故答案为：； 【小问3详解】 由图象，可知：当时，函数值先增大后减小，抛物线关于直线对称， ∴和时的函数值相同，为最小值，， 当时，有最大值为：， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．正确画出二次函数的图象，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位的正方形，建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为． （1）试作出以为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形； （2）以原点为对称中点，画出关于原点对称的，并写出点、、的坐标． 【答案】（1） 解：如图，即为所求； （2） 如图，即为所求， 、、． 【解析】 【分析】本题考查了旋转作图，中心对称，解题的关键是数形结合． （1）根据题意所述的旋转三要素，依此找到各点旋转后的对应点，顺次连接可得出；（2）根据中心对称点平分对应点连线，可找到各点的对应点，顺次连接可得，结合直角坐标系可得出点、、的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图，在中，点E在边上，，将线段绕A点旋转到的位置，使得，连接，与交于点G． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴． ∵将线段绕A点旋转到的位置， ∴． 在与中， ， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）利用等边对等角，结合三角形的内角和定理求出的度数，进而得到的度数，利用全等三角形的对应角相等，得到的度数，利用三角形的外角的性质求出的度数即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角，三角形的内角和定理以及三角形的外角，熟练掌握相关知识点，证明三角形全等，是解题的关键． 25. 疫情期间，小颖在家制作一种工艺品，并通过网络进行线上销售．经过一段时间后发现：当售价是40元/件时，每天可售出该工艺品60件，且每件的售价每降低1元，就会多售出3件．若每件工艺品需要19元成本，设该工艺品的售价为x元/件（）． （1）请用含x的代数式填空： ①销售每件工艺品的利润为________元； ②每天能售出该工艺品的件数为________． （2）为了支持抗疫行动，小颖决定每销售一件该工艺品便通过网络平台自动向医疗基金会捐款1元，若每天销售该工艺品的纯利润为900元，求该工艺品的售价． 【答案】（1）①；② （2）30元/件 【解析】 【分析】（1）①根据利润等于售价减成本价，即可含x的代数式表示出销售每件工艺品的利润； ②根据每天售出该工艺品的件数降低的价格，即可用含x的代数式表示出每天能售出该工艺品的件数； （2）根据总利润等于销售每件工艺品的利润乘以日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合条件的值即可得出结论． 【小问1详解】 解：①销售每件工艺品的利润为元； 故答案为： ②每天能售出该工艺品的件数为件； 故答案为： 【小问2详解】 解：根据题意得： ， 整理得：， 解得：， ∵， ∴不符合题意，舍去， 答：该工艺品的售价为30元/件． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出各量；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 26. 某商场新进一批商品，每个成本价25元，销售一段时间后发现销售量（个）与销售单价（元/个）之间呈一次函数关系，如表： （元/个） 30 50 （个） 190 150 （1）求与之间的函数关系式； （2）若该商品的销售单价在45元~80元之间浮动，销售单价定为多少元时，销售利润最大？此时销售量为多少？ 【答案】（1） （2）销售单价定为75元时，销售利润最大，此时销售量为100个 【解析】 【分析】本题考查的是求一次函数的解析式，二次函数的应用，根据题意列出一次函数以及二次函数关系式是解答此题的关键． （1）利用待定系数法求解析式．设，把点分别代入可求得日销售量y与销售单价x之间的关系式； （2）设每天的利润为W，把每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式化为二次函数顶点式的形式，由此关系式即可得出结论． 【小问1详解】 解：设函数关系式为，由题意得， ， 解得：． ∴与之间的函数关系式为． 【小问2详解】 设该商品的利润为W， ∴ ∵， ∴当时，销售利润最大，此时的销售量为：（个）． 27. 如图，二次函数的图象经过坐标原点，与轴交于点． （1）求此二次函数的表达式及顶点的坐标； （2）在抛物线上存在一点，使，请求出点的坐标． 【答案】（1）， （2）的坐标为或 【解析】 【分析】（1）由于二次函数经过原点和A点，将两点坐标代入求解即可； （2）设点的坐标为，由，求得n的值，再将n的值代入解析式求解m，得出P点坐标． 【小问1详解】 二次函数的图象经过点，点， ∴ 解得， ∴二次函数的表达式为. ， ∴顶点的坐标为. 【小问2详解】 设点的坐标为. 点，点，， ， 解得或（不符合题意，舍去）， ， 解得，， 点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法以及利用点的坐标求三角形的面积，同时注意数形结合思想的灵活运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $