专题07 机械振动模型 讲义 -2025-2026学年高二上学期物理同步模型分析（人教版选择性必修第一册）

专题07 机械振动模型 【模型1　弹簧振子模型】 【模型剖析】 1. 弹簧振子：我们把小球和弹簧组成的系统称为弹簧振子，有时也简称为振子。弹簧振子是一种理想模型 2. 平衡位置：振子原来静止时的位置。位于平衡位置时，小球所受合力为0。经过平衡位置时，小球速度最快。 【注意】：弹簧振子的平衡位置不一定在弹簧的原长位置，比如弹簧振子竖直放置的时候，用手把钢球向上托起一段距离，然后释放，钢球便上下振动，其振动的平衡位置不在弹簧的原长位置，而是在弹力与重力的合力为零的位置。 弹簧振子运动情景分析： 一、运动学规律（位移、速度、加速度的周期性） 简谐运动的位移随时间呈正弦 / 余弦规律变化，由此可推导出速度和加速度的表达式，体现周期性和对称性。 位移方程： 设t=0时振子在正向最大位移处x=A，A为振幅），则位移随时间的变化为： 其中为角频率（固有频率，与振幅无关），周期，频率。 速度与加速度方程： 对位移求导得速度： 对速度求导得加速度： 二、能量特征（机械能守恒） 无阻尼时，振子的动能与弹簧的弹性势能相互转化，总机械能守恒，且仅与振幅和劲度系数有关。 能量表达式： 动能： 弹性势能： 总机械能：，。 三、场景：竖直弹簧振子（振子在竖直方向振动） 平衡位置调整：振子受重力mg和弹力kx，平衡时弹力等于重力，为弹簧伸长量）。 回复力分析：以平衡位置为原点，设振子偏离平衡位置的位移为x（向下为正），则合力，仍满足F=-Kx，为简谐运动。 周期与频率：与水平弹簧振子相同，与重力无关（重力仅改变平衡位置，不影响振动周期）。 【题目示例】 如图所示，在光滑的水平面上放置两个质量均为m的物块A和B，在物块B上拴接一劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧处于原长，初始时刻物块B静止，物块A以初速度向B运动，物块A接触并压缩弹簧，当A、B共速瞬间，B恰好与固定挡板N发生碰撞，并瞬间被挡板N锁定，在相互作用过程中，弹簧始终处于弹性限度内。求： (1)A、B的共同速度； (2)在整个过程中弹簧的最大弹性势能； (3)若弹簧振子的振动周期为，弹簧弹性势能与弹簧形变量x的关系为，求物块A从反弹到刚要离开弹簧的过程中平均速度的大小。 【推理过程】 【详解】（1）对A、B的系统，根据动量守恒定律 解得A、B的共同速度 方向水平向右。 （2）根据能量守恒可得：从开始至A、B共速的过程中 B被锁定后至A停止运动 弹簧的最大弹性势能 联立解得弹簧的最大弹性势能为 （3）设A从反弹到刚要离开弹簧的过程，发生位移为，所用时间为，由 得位移 A反弹过程做简谐运动，周期 运动时间 平均速度 解得 【模型2　单摆模型】 【模型剖析】 1. 单摆周期： （1）公式：T＝2π （2）理解：在振幅很小的条件下，单摆的振动周期跟振幅无关。 【注意】：单摆的振动周期跟球的质量无关，只与摆长L和当地的重力加速度g有关。 （3）对重力加速度的理解： ①摆球只受重力和细线拉力，且悬点静止或做匀速直线运动，g为当地重力加速度，在地球上不同位置g的取值不同，不同星球表面g值也不相同。 ②单摆处于超重或失重状态时等效重力加速度g0＝g±a.在近地轨道上运动的卫星加速度a＝g，为完全失重，等效重力加速度g0＝0。 2. 运动特点： （1）摆线以悬点为圆心做变速圆周运动，因此在运动过程中只要速度v≠0，半径方向都受向心力。 （2）摆线同时以平衡位置为中心做往复运动，因此在运动过程中只要不在平衡位置，轨迹的切线方向都受回复力。 3. 单摆的受力特征： （1）向心力：摆线的拉力和摆球重力沿摆线方向分力的合力充当向心力，。 (2)回复力：摆球重力沿与摆线垂直方向的分力，F＝mgsin θ＝－x＝－kx，负号表示回复力F与位移x的方向相反。(如图所示) （3）两个特殊位置： ①当摆球在最高点时，F向＝＝0，FT＝mgcos θ。 ②当摆球在最低点时，F向＝，F向最大，FT＝mg＋m。 补充：单摆的类型拓展 模型 图示(l、l1、l2为摆线长，r为摆球半径) 摆长 等效重力加速度g效 周期T 双线摆 不变，lsin α＋r 不变，g T＝2π 折线摆 碰到钉子后变小 不变，g T＝π＋π 圆弧摆 不变，R－r 不变，g T＝2π 斜面摆 不变，l＋r 不变，gsin α T＝2π 【题目示例】 如图甲所示，一根轻杆和一根轻质细线组成一个“杆线摆”，杆线摆可以绕着悬挂轴来回摆动，轻杆与悬挂轴垂直，摆线与轻杆的夹角。其摆球的运动轨迹被约束在一个倾斜的平面内，倾斜平面与水平面的夹角也为，该杆线摆做简谐运动的x-t图像如图乙所示，P是图像上对应。时刻的某点，，取重力加速度。则（　　） A．时刻摆球的速度方向沿图像上P点的切线 B．该杆线摆的细线长约为 C．该杆线摆做简谐运动的振幅是8cm D．摆球在10s内通过平衡位置5次 【推理过程】 【详解】A．简谐运动的图像不是摆球的运动轨迹，所以在时刻摆球的速度方向不沿图像上点的切线，应指向平衡位置，故A错误； B．由图像可知，周期 结合 解得细线长，故B正确； C．由图可知该杆线摆做简谐运动的振幅是4cm，故C错误； D．摆球在一个周期内通过平衡位置2次，10s内通过平衡位置10次，故D错误。 故选B。 1. 如图甲所示，斜面体固定在粗糙的水平地面上，斜面顶端与轻质弹簧相连，弹簧的另一端连接着小物块，小物块静止在光滑的斜面上。以小物块的平衡位置为坐标原点，取沿斜面向下为正方向，建立坐标轴，用x表示小物块相对于平衡位置的位移。从某时刻开始计时，小物块运动的x-t图像如图乙所示，已知斜面足够长，弹簧始终处于弹性限度内。下列说法正确的是（　　） A．t=0时，小物块位于最低点 B．t=0.5T时，小物块所受的回复力方向沿斜面向下 C．t=0.75T时，小物块的动量方向沿斜面向上 D．t=T时，弹簧一定处于压缩状态 【答案】C 【详解】A．t=0时，小物块的位移为负的最大值，根据题意可知，小物块位于最高点，故A错误； B．t=0.5T时，小物块的位移为正的最大值，回复力方向沿斜面向上，故B错误； C．t=0.75T时，小物块从最低点回到平衡位置，小物块的动量方向沿斜面向上，故C正确； D．t=T时，小物块位于最高点，弹簧可能处于伸长、原长或压缩状态，故D错误。 故选C。 2. 如题图甲所示，一辆汽车以恒定速率正在向右行驶，在其顶部用轻弹簧竖直悬挂一个小球。某时刻将小球相对车竖直向下拉动一段距离后释放，在重力和弹簧弹力的作用下，小球在竖直方向做简谐运动。以弹簧的伸长量 为纵坐标，小球的水平位移 为横坐标建立平面直角坐标系，弹簧伸长量 随水平位移 变化如题 乙所示。下列说法正确的是（　　） A．当 时，小球的速度方向斜向左上，大小逐渐变大 B．当 时，小球的速度方向竖直向上，大小逐渐变小 C．当 时，小球的加速度方向竖直向上，大小逐渐变大 D．当 时，小球的加速度方向竖直向下，大小逐渐变小 【答案】D 【详解】AB．当，小球靠近平衡位置，小球有竖直向上的速度且逐渐增大，故小球的合速度方向应该是斜向右上，合速度大小（为车速） 可知合速度大小逐渐增大，故AB错误； CD．当2m<x<3m时，小球在逐渐靠近平衡位置，加速度方向竖直向下，大小逐渐变小，故C错误，D正确。 故选D。 3. 如图甲所示，劲度系数为k的轻质弹簧下端悬挂一质量为m的小球（可视为质点，忽略空气阻力的影响），小球在竖直方向上做简谐运动，弹簧对小球的拉力F随时间变化的图像如图乙所示。已知弹簧弹性势能的表达式为，x为弹簧的形变量，重力加速度为g。下列说法正确的是（ 　　） A．在振动过程中，弹簧的弹性势能和小球的动能总和不变 B．小球的振幅为 C．用同一装置在月球上重复实验，弹簧振子的周期会发生变化 D．小球的最大加速度为 【答案】B 【详解】A．弹簧与小球组成的系统机械能守恒，故在振动过程中，弹簧的弹性势能和小球的动能、重力势能总和不变，故A错误； B．小球处于最高点时，弹簧的压缩量为， 小球处于最低点时，弹簧的伸长量为， 根据对称性可得 解得小球的振幅为，故B正确； C．弹簧振子的周期与重力加速度无关，故同一装置在月球上重复实验，弹簧振子的周期不会发生变化，故C错误； D．小球在简谐运动的最大位移处加速度最大，可知小球在最高点或最低点时加速度最大，则有 解得小球的最大加速度为，故D错误。 故选B。 4. 简谐运动是最简单、最基本的振动，弹簧振子是一种典型的简谐运动。如图甲所示是一个以O点为平衡位置的水平方向的弹簧振子，在M、N两点间做简谐运动，图乙为这个弹簧振子的振动图像。下列说法中正确的是（　　） A．弹簧振子受重力、支持力、弹簧的弹力、回复力 B．时，弹簧振子的位移为 C．从到的时间内，弹簧振子的动能持续地增加 D．在与两个时刻，弹簧振子的回复力不相同 【答案】D 【详解】A．回复力是指振动物体所受的总是指向平衡位置的合外力。回复力是效果力，受力分析时不考虑效果力，故A错误； B．弹簧振子在水平方向上做简谐运动，由图乙可得周期 位移x随时间t变化的关系为 当时，弹簧振子的位移为。故Ｂ错误； C．从到的时间内，弹簧振子远离平衡位置，速度减小，由可知动能减小，故C错误； D．在与两个时刻，位移大小相等，方向相反，所以回复力的大小相等，方向相反，即回复力不相同，故D正确。 故选D。 5. 如图所示，倾角为θ=30°、上表面光滑的斜劈始终静止于水平地面上，一轻弹簧下端与固定于斜劈底端的挡板相连，上端与小滑块相连。开始时，滑块处于静止状态，0时刻起给滑块一个平行于斜劈向上的瞬时冲量，使滑块沿斜劈方向做简谐运动。取小滑块的初始位置O为坐标原点，沿斜劈向上为正方向建立坐标系，t时刻滑块第一次到达斜面上的P点，5t时刻滑块第二次到达P点。已知OP间距为d，下列说法正确的是（　　） A．0时刻斜劈受到地面的摩擦力一定水平向右 B．滑块做简谐运动的周期可能为10t C．滑块做简谐运动的振幅一定为2d D．0~5t内滑块通过的路程可能为3d 【答案】D 【详解】A．时刻滑块的加速度为零，故斜劈不受到地面的摩擦力，故A错误； BCD．若位于正向最大位移处，则周期为，振幅为，内滑块通过的路程为；若位于平衡位置与正向最大位移之间，则有，解得，振幅为，内滑块通过的路程为，故BC错误，D正确。 故选D。 6. 如图甲所示，点为单摆的固定悬点，将力传感器接在摆球与点之间，可测出细线对摆球的拉力大小。现将摆球拉到点，由静止释放，摆球将在竖直面内的之间来回摆动，其中点为运动中的最低位置，图乙表示拉力大小随时间变化的曲线，图中为摆球从点开始运动的时刻，重力加速度取。下列说法正确的是（　　） A．单摆振动的周期为 B．单摆的摆长为 C．摆球的质量为 D．摆球运动过程中的最大速度为 【答案】D 【详解】A．由乙图可知，单摆每个周期经过两次最低点，即每个周期细线的拉力出现两次最大值，则单摆的周期为，故A错误； B．由单摆周期公式 代入数据解得摆长为，故B错误； CD．设摆球在A点时，摆线与竖直方向的夹角为，由图乙可知 在最低点时，由图乙结合牛顿第二定律可得 从最高点到最低点，由机械能守恒可得 联立解得，，故C错误，D正确。 故选D。 7. 如图所示，有两细线AC、BC长为65cm，下端C点系一质量为50g的实心小钢球，悬挂点A、B之间的距离为50cm，MC为竖直直线。以下说法正确的是（　　） A．若小钢球静止，细线AC所受的拉力为N B．若将小钢球沿纸面拉离平衡位置后由静止释放，小球将做简谐振动 C．若在地球上实验，小钢球被垂直纸面向外拉离2cm后由静止释放，其周期约为2s D．若在月球上实验，小钢球被垂直纸面向外拉离3cm后由静止释放，其周期约为1.2πs 【答案】D 【详解】A．设细线AC与竖直线MC的夹角为，根据几何关系有 小钢球静止时，由平衡条件可得 所以细线AC所受的拉力为，故A错误； B．若小钢球沿纸面向右拉离平衡位置，小球由静止释放后向左运动经过平衡位置时，绳BC绷紧时会有机械能损耗，向左拉离同理，所以小球不能做简谐振动，故B错误； C．若在地球上实验，向纸外拉离2cm，根据几何关系可得双线摆的摆长为60cm。因为单摆做简谐振动的条件为摆角小于，由于 所以小球可以做简谐振动，其周期为，故C错误； D．若在月球上实验，拉离3cm，也是做简谐振动，其周期为，故D正确。 故选D。 8. 如图所示，某同学利用双线摆和光电计数器测量当地的重力加速度。已知每根悬线长为d，两悬点间相距s，金属小球半径为r，AB为光电计数器。现将小球垂直于纸面向外拉动，使悬线偏离竖直方向一个较小的角度并由静止释放，同时，启动光电计数器，当小球第一次经过图中虚线（光束）位置O时，由A射向B的光束被挡住，计数器计数一次，显示为“1”，同时计时器开始计时。然后每当小球经过点O时，计数器都计数一次。当计数器上显示的计数次数刚好为n时，所用的时间为t，则下列说法正确的是（　　） A．双线摆的摆角越小，则周期越小 B．双线摆的振动周期 C．双线摆的等效摆长 D．静止释放瞬间，小球的回复力为零 【答案】B 【详解】A．双线摆可等效为单摆，在摆角较小时，根据周期公式有 可知周期与摆角大小无关，故A错误； B．当计数器显示计数次数为时，小球经过平衡位置次，则有 解得单摆的周期，故B正确； C．双线摆的等效摆长为，故C错误； D．由静止释放瞬间，小球偏离平衡位置，即小球相对于平衡位置的位移不等于0，则回复力不为零，故D错误。 故选B。 9. 如图所示，有人设想在地球上挖一条光滑直通道，通道中心与地心的距离为，从A点静止释放一个质量为的物体，通过推理后发现物体的运动可视为简谐运动（弹簧振子做简谐运动的周期）。已知质量分布均匀的空腔对空腔内的物体的万有引力为零，设物体所处位置到通道中心的距离为，地球半径为且质量分布均匀，重力加速度为，忽略地球自转。则物体从A点运动到点的时间和物体通过通道中心的速率分别为（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】AB．如图所示 设半径为的球体质量为 因为质量分布均匀的空腔对空腔内的物体的万有引力为零，所以质量为的物体在距离地心处受到的万有引力大小 故万有引力在通道方向的分力大小为（令为平衡位置） 该力与成正比，故物体做简谐运动，令 当时有 根据万有引力与重力的关系有 联立上式 则物体从A点运动到点的时间为，故A正确，B错误； CD．作图像，如图所示 从A点到点，万有引力对物体做的功为 从A点到点，根据动能定理有 解得物体通过通道中心的速度大小，故C正确，D错误。 故选AC。 10. 如图所示，轻质弹簧一端固定，另一端与物块A连接在一起，处于压缩状态。A由静止释放后沿斜面向上运动到最大位移时，立即将物块B轻放在A右侧。A、B由静止开始一起沿斜面向下运动，下滑过程中A、B始终不分离，当A回到初始位置时速度为零。A、B与斜面间的动摩擦因数相同，弹簧未超过弹性限度，则（　　） A．当上滑到最大位移的一半时，A的加速度方向沿斜面向下 B．A上滑时、弹簧的弹力方向发生变化 C．下滑时，B对A的压力一直增大 D．整个过程中A、B克服摩擦力所做的总功等于B的重力势能减小量 【答案】CD 【详解】A．设斜面倾角为θ，动摩擦因数为μ，A上滑过程，沿斜面方向受到重力分力、滑动摩擦力和弹簧弹力作用，A上滑过程可看成做简谐运动，根据对称性可知，当上滑到最大位移的一半时，A处于简谐运动的平衡位置，此时A的加速度为0，故A错误； B．A、B由静止开始一起沿斜面向下运动，在最高点时，以B为对象，由于A对B的弹力沿斜面向上，则B向下的加速度满足 以A、B为整体，由于 可知此时弹簧对A弹力方向沿斜面向上；则物块A上滑时，弹簧对A的弹力方向一直沿斜面向上，故B错误； C．设A对B弹力大小为FAB，弹簧弹力大小为F，对整体根据牛顿第二定律可得 对B根据牛顿第二定律可得 联立可得 A、B一起下滑时，由于弹簧弹力大小F一直增大，所以FAB一直增大，则B对A的压力一直增大，故C正确； D．整个过程中，弹簧弹力做功为零，物块A的重力做功为零，系统动能变化也为零，根据功能关系可知，整个过程中A、B克服摩擦力所做的总功等于B的重力势能减小量，故D正确。 故选CD。 11. 摆球质量为m的单摆做简谐运动，其动能Ek随时间t的变化关系如图所示，则该单摆（　　） A．摆长为 B．摆球从最高点到最低点的过程中，重力的冲量大小为2mgt0 C．摆球从最高点到最低点的过程中，回复力做的功为E0 D．单摆的周期为4t0 【答案】CD 【详解】AD．单摆做简谐运动，动能变化的周期是单摆周期的一半。由图可知，动能变化周期为，则单摆周期T为，根据 解得摆长，故A错误，D正确； B．摆球从最高点到最低点的过程中，重力的冲量大小为，故B错误； C．回复力是重力沿圆弧切线方向的分力，在摆球从最高点到最低点的过程中，回复力做功等于动能的变化量，即，故C正确。 故选CD。 三、解答题 12. 如图所示，物块静止在足够长的固定光滑斜面上，斜面的倾角为30°。a紧靠在垂直于斜面的挡板上，与之间用平行于斜面的轻弹簧连接，与紧挨但不粘连。现迅速取走，此后在运动过程中，对挡板压力的最小值恰好为零。已知、的质量均为，弹簧劲度系数为，重力加速度为。求∶ (1)对挡板压力为零时，的加速度大小； (2)c的质量； (3)b运动过程中的最大速度。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设物块对挡板压力为零时弹簧弹力大小为，对物块由受力平衡得 对物块，由牛顿第二定律得 联立解得 （2）取走物块后，物块始终没有脱离挡板，因此物块做简谐运动，由（1）知物块做简谐运动的最大加速度为，物块运动的最低点与取走前物块所处的位置相同，物块运动到最低点时，由牛顿第二定律得 取走前，对物块和由受力平衡得 联立解得 （3）当物块的加速度为零时，物块的速度最大，物块运动到最高点时，由牛顿第二定律得 物块的加速度为零时，由牛顿第二定律得 可得，说明物块在最高点和加速度为零的位置时，弹簧的弹性势能相等，则物块从最高点运动到加速度为零的位置的过程中，由能量守恒定律得 解得 13. 图1是用力传感器对单摆做小角度摆动过程进行测量的装置图，图2是与力传感器连接的计算机所显示的图像，其中F的最大值。已知小球质量，小球的直径，取重力加速度，，不计细线质量及空气阻力。求： (1)细线的长度 (2)F的最小值的大小 【答案】(1) (2) 【详解】（1）单摆周期公式为 其中为摆长为细线长度加小球半径。由图像可知，相邻最大力的时间间隔为，即周期 代入公式得 计算得 小球半径 故细线长度 （2）在最低点，拉力与重力的合力提供向心力 整理得 在最高点，速度为0，拉力 由机械能守恒，最低点动能等于最高点重力势能增量 整理得 联立得 化简得 代入 得 代入数据得 14. 摆，是物理学中重要的模型之一。如图1所示，一根不可伸长的轻软细绳的上端固定在天花板上的O点，下端系一个摆球（可看作质点）。将其拉至A点后静止释放，摆球将在竖直面内的A、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低点。忽略空气阻力。 (1)图2所示为绳中拉力F随时间t变化的图线，求： a.摆的振动周期T。 b.摆的最大摆角θm。 (2)摆角θ很小时，摆球的运动可看作简谐运动。（提示：弧度制下，当θ很小时，有） a.请证明当摆角θ很小时，摆球的运动为简谐运动。 b.某同学发现他家中摆长为0.993m的单摆在小角度摆动时，周期为2s。他又查阅资料发现，早期的国际计量单位都是基于实物或物质的特性来定义的，称为实物基准，例如质量是以一块1kg的铂铱合金圆柱体为实物基准。于是他想到可以利用上述摆长为0.993m的单摆建立“1s”的实物基准。请判断该同学的想法是否合理，并说明理由。 (3)一种检测微小振动的装置原理如图3所示：用三根长为L的轻杆做成桁架，其中顶点A和B分别接在竖直和水平墙面上，杆AB与竖直方向的夹角为α，再在另一顶点处固定一质量为m的摆球P，摆球P连同杆AP和BP可以绕转轴AB无摩擦摆动。求摆球P做小角度振动时的固有周期T。 【答案】(1)a．2.16s，b．60° (2)a．见解析，b．见解析 (3) 【详解】（1）由对称性可知，小球在A、C两点拉力大小相等，但一个周期是A到C再回到A，故周期 摆球在A点时有 在B点时有 从A点到B点由动能定理可得 联立得 （2）a．摆球运动到某一位置P时摆线与竖直方向的夹角为，摆球重力沿圆弧切线方向的分力为 假设P点距离最低点的位移大小为x，当很小时，有 又因为当很小时，力F的方向与位移方向相反，所以 所以当摆角θ很小时，摆球的运动为简谐运动。 b．不合理，①单摆周期公式为但不同地区的纬度、海拔高度不同，g值不同；②单摆是一个理想化的模型，现实中不存在。 （3）摆球P做小角度振动时，实际是围绕AB的中点做简谐振动，其等效摆长为 等效重力为 等效重力加速度 故固有周期 15. 如图，半径为R光滑且绝缘的圆弧面上有一个质量为m小球（半径很小可忽略），把它从最低点移开一小段距离，距最低点的高度为h（h远小于R）。放手后，小球以最低点为平衡位置左右摆动，重力加速度为g，求 (1)小球从释放到最低点的时间t； (2)若在最低点有一质量为2m的物体，小球与其发生正碰后并迅速粘在一起，求碰后的共同速度。 (3)若使小球带正电，并加上竖直向下的匀强电场，分析小球运动的周期如何变化。 【答案】(1) (2) (3)变小 【详解】（1）小球做类单摆简谐运动，则周期为 则小球从释放到最低点的时间 （2）小球从释放到最低点的过程，根据动能定理 解得，小球运动到最低点的速度大小为 小球与物体碰撞过程，根据动量守恒 解得，碰后的共同速度大小为 （3）若使小球带正电，并加上竖直向下的匀强电场，将叠加场等效为等效重力场，则等效重力加速度大于原重力加速度，根据可知，小球的运动周期将减小。 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 机械振动模型 【模型1　弹簧振子模型】 【模型剖析】 1. 弹簧振子：我们把小球和弹簧组成的系统称为弹簧振子，有时也简称为振子。弹簧振子是一种理想模型 2. 平衡位置：振子原来静止时的位置。位于平衡位置时，小球所受合力为0。经过平衡位置时，小球速度最快。 【注意】：弹簧振子的平衡位置不一定在弹簧的原长位置，比如弹簧振子竖直放置的时候，用手把钢球向上托起一段距离，然后释放，钢球便上下振动，其振动的平衡位置不在弹簧的原长位置，而是在弹力与重力的合力为零的位置。 弹簧振子运动情景分析： 一、运动学规律（位移、速度、加速度的周期性） 简谐运动的位移随时间呈正弦 / 余弦规律变化，由此可推导出速度和加速度的表达式，体现周期性和对称性。 位移方程： 设t=0时振子在正向最大位移处x=A，A为振幅），则位移随时间的变化为： 其中为角频率（固有频率，与振幅无关），周期，频率。 速度与加速度方程： 对位移求导得速度： 对速度求导得加速度： 二、能量特征（机械能守恒） 无阻尼时，振子的动能与弹簧的弹性势能相互转化，总机械能守恒，且仅与振幅和劲度系数有关。 能量表达式： 动能： 弹性势能： 总机械能：，。 三、场景：竖直弹簧振子（振子在竖直方向振动） 平衡位置调整：振子受重力mg和弹力kx，平衡时弹力等于重力，为弹簧伸长量）。 回复力分析：以平衡位置为原点，设振子偏离平衡位置的位移为x（向下为正），则合力，仍满足F=-Kx，为简谐运动。 周期与频率：与水平弹簧振子相同，与重力无关（重力仅改变平衡位置，不影响振动周期）。 【题目示例】 如图所示，在光滑的水平面上放置两个质量均为m的物块A和B，在物块B上拴接一劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧处于原长，初始时刻物块B静止，物块A以初速度向B运动，物块A接触并压缩弹簧，当A、B共速瞬间，B恰好与固定挡板N发生碰撞，并瞬间被挡板N锁定，在相互作用过程中，弹簧始终处于弹性限度内。求： (1)A、B的共同速度； (2)在整个过程中弹簧的最大弹性势能； (3)若弹簧振子的振动周期为，弹簧弹性势能与弹簧形变量x的关系为，求物块A从反弹到刚要离开弹簧的过程中平均速度的大小。 【推理过程】 【详解】（1）对A、B的系统，根据动量守恒定律 解得A、B的共同速度 方向水平向右。 （2）根据能量守恒可得：从开始至A、B共速的过程中 B被锁定后至A停止运动 弹簧的最大弹性势能 联立解得弹簧的最大弹性势能为 （3）设A从反弹到刚要离开弹簧的过程，发生位移为，所用时间为，由 得位移 A反弹过程做简谐运动，周期 运动时间 平均速度 解得 【模型2　单摆模型】 【模型剖析】 1. 单摆周期： （1）公式：T＝2π （2）理解：在振幅很小的条件下，单摆的振动周期跟振幅无关。 【注意】：单摆的振动周期跟球的质量无关，只与摆长L和当地的重力加速度g有关。 （3）对重力加速度的理解： ①摆球只受重力和细线拉力，且悬点静止或做匀速直线运动，g为当地重力加速度，在地球上不同位置g的取值不同，不同星球表面g值也不相同。 ②单摆处于超重或失重状态时等效重力加速度g0＝g±a.在近地轨道上运动的卫星加速度a＝g，为完全失重，等效重力加速度g0＝0。 2. 运动特点： （1）摆线以悬点为圆心做变速圆周运动，因此在运动过程中只要速度v≠0，半径方向都受向心力。 （2）摆线同时以平衡位置为中心做往复运动，因此在运动过程中只要不在平衡位置，轨迹的切线方向都受回复力。 3. 单摆的受力特征： （1）向心力：摆线的拉力和摆球重力沿摆线方向分力的合力充当向心力，。 (2)回复力：摆球重力沿与摆线垂直方向的分力，F＝mgsin θ＝－x＝－kx，负号表示回复力F与位移x的方向相反。(如图所示) （3）两个特殊位置： ①当摆球在最高点时，F向＝＝0，FT＝mgcos θ。 ②当摆球在最低点时，F向＝，F向最大，FT＝mg＋m。 补充：单摆的类型拓展 模型 图示(l、l1、l2为摆线长，r为摆球半径) 摆长 等效重力加速度g效 周期T 双线摆 不变，lsin α＋r 不变，g T＝2π 折线摆 碰到钉子后变小 不变，g T＝π＋π 圆弧摆 不变，R－r 不变，g T＝2π 斜面摆 不变，l＋r 不变，gsin α T＝2π 【题目示例】 如图甲所示，一根轻杆和一根轻质细线组成一个“杆线摆”，杆线摆可以绕着悬挂轴来回摆动，轻杆与悬挂轴垂直，摆线与轻杆的夹角。其摆球的运动轨迹被约束在一个倾斜的平面内，倾斜平面与水平面的夹角也为，该杆线摆做简谐运动的x-t图像如图乙所示，P是图像上对应。时刻的某点，，取重力加速度。则（　　） A．时刻摆球的速度方向沿图像上P点的切线 B．该杆线摆的细线长约为 C．该杆线摆做简谐运动的振幅是8cm D．摆球在10s内通过平衡位置5次 【推理过程】 【详解】A．简谐运动的图像不是摆球的运动轨迹，所以在时刻摆球的速度方向不沿图像上点的切线，应指向平衡位置，故A错误； B．由图像可知，周期 结合 解得细线长，故B正确； C．由图可知该杆线摆做简谐运动的振幅是4cm，故C错误； D．摆球在一个周期内通过平衡位置2次，10s内通过平衡位置10次，故D错误。 故选B。 1. 如图甲所示，斜面体固定在粗糙的水平地面上，斜面顶端与轻质弹簧相连，弹簧的另一端连接着小物块，小物块静止在光滑的斜面上。以小物块的平衡位置为坐标原点，取沿斜面向下为正方向，建立坐标轴，用x表示小物块相对于平衡位置的位移。从某时刻开始计时，小物块运动的x-t图像如图乙所示，已知斜面足够长，弹簧始终处于弹性限度内。下列说法正确的是（　　） A．t=0时，小物块位于最低点 B．t=0.5T时，小物块所受的回复力方向沿斜面向下 C．t=0.75T时，小物块的动量方向沿斜面向上 D．t=T时，弹簧一定处于压缩状态 2. 如题图甲所示，一辆汽车以恒定速率正在向右行驶，在其顶部用轻弹簧竖直悬挂一个小球。某时刻将小球相对车竖直向下拉动一段距离后释放，在重力和弹簧弹力的作用下，小球在竖直方向做简谐运动。以弹簧的伸长量 为纵坐标，小球的水平位移 为横坐标建立平面直角坐标系，弹簧伸长量 随水平位移 变化如题 乙所示。下列说法正确的是（　　） A．当 时，小球的速度方向斜向左上，大小逐渐变大 B．当 时，小球的速度方向竖直向上，大小逐渐变小 C．当 时，小球的加速度方向竖直向上，大小逐渐变大 D．当 时，小球的加速度方向竖直向下，大小逐渐变小 3. 如图甲所示，劲度系数为k的轻质弹簧下端悬挂一质量为m的小球（可视为质点，忽略空气阻力的影响），小球在竖直方向上做简谐运动，弹簧对小球的拉力F随时间变化的图像如图乙所示。已知弹簧弹性势能的表达式为，x为弹簧的形变量，重力加速度为g。下列说法正确的是（ 　　） A．在振动过程中，弹簧的弹性势能和小球的动能总和不变 B．小球的振幅为 C．用同一装置在月球上重复实验，弹簧振子的周期会发生变化 D．小球的最大加速度为 4. 简谐运动是最简单、最基本的振动，弹簧振子是一种典型的简谐运动。如图甲所示是一个以O点为平衡位置的水平方向的弹簧振子，在M、N两点间做简谐运动，图乙为这个弹簧振子的振动图像。下列说法中正确的是（　　） A．弹簧振子受重力、支持力、弹簧的弹力、回复力 B．时，弹簧振子的位移为 C．从到的时间内，弹簧振子的动能持续地增加 D．在与两个时刻，弹簧振子的回复力不相同 5. 如图所示，倾角为θ=30°、上表面光滑的斜劈始终静止于水平地面上，一轻弹簧下端与固定于斜劈底端的挡板相连，上端与小滑块相连。开始时，滑块处于静止状态，0时刻起给滑块一个平行于斜劈向上的瞬时冲量，使滑块沿斜劈方向做简谐运动。取小滑块的初始位置O为坐标原点，沿斜劈向上为正方向建立坐标系，t时刻滑块第一次到达斜面上的P点，5t时刻滑块第二次到达P点。已知OP间距为d，下列说法正确的是（　　） A．0时刻斜劈受到地面的摩擦力一定水平向右 B．滑块做简谐运动的周期可能为10t C．滑块做简谐运动的振幅一定为2d D．0~5t内滑块通过的路程可能为3d 6. 如图甲所示，点为单摆的固定悬点，将力传感器接在摆球与点之间，可测出细线对摆球的拉力大小。现将摆球拉到点，由静止释放，摆球将在竖直面内的之间来回摆动，其中点为运动中的最低位置，图乙表示拉力大小随时间变化的曲线，图中为摆球从点开始运动的时刻，重力加速度取。下列说法正确的是（　　） A．单摆振动的周期为 B．单摆的摆长为 C．摆球的质量为 D．摆球运动过程中的最大速度为 7. 如图所示，有两细线AC、BC长为65cm，下端C点系一质量为50g的实心小钢球，悬挂点A、B之间的距离为50cm，MC为竖直直线。以下说法正确的是（　　） A．若小钢球静止，细线AC所受的拉力为N B．若将小钢球沿纸面拉离平衡位置后由静止释放，小球将做简谐振动 C．若在地球上实验，小钢球被垂直纸面向外拉离2cm后由静止释放，其周期约为2s D．若在月球上实验，小钢球被垂直纸面向外拉离3cm后由静止释放，其周期约为1.2πs 8. 如图所示，某同学利用双线摆和光电计数器测量当地的重力加速度。已知每根悬线长为d，两悬点间相距s，金属小球半径为r，AB为光电计数器。现将小球垂直于纸面向外拉动，使悬线偏离竖直方向一个较小的角度并由静止释放，同时，启动光电计数器，当小球第一次经过图中虚线（光束）位置O时，由A射向B的光束被挡住，计数器计数一次，显示为“1”，同时计时器开始计时。然后每当小球经过点O时，计数器都计数一次。当计数器上显示的计数次数刚好为n时，所用的时间为t，则下列说法正确的是（　　） A．双线摆的摆角越小，则周期越小 B．双线摆的振动周期 C．双线摆的等效摆长 D．静止释放瞬间，小球的回复力为零 9. 如图所示，有人设想在地球上挖一条光滑直通道，通道中心与地心的距离为，从A点静止释放一个质量为的物体，通过推理后发现物体的运动可视为简谐运动（弹簧振子做简谐运动的周期）。已知质量分布均匀的空腔对空腔内的物体的万有引力为零，设物体所处位置到通道中心的距离为，地球半径为且质量分布均匀，重力加速度为，忽略地球自转。则物体从A点运动到点的时间和物体通过通道中心的速率分别为（　　） A． B． C． D． 10. 如图所示，轻质弹簧一端固定，另一端与物块A连接在一起，处于压缩状态。A由静止释放后沿斜面向上运动到最大位移时，立即将物块B轻放在A右侧。A、B由静止开始一起沿斜面向下运动，下滑过程中A、B始终不分离，当A回到初始位置时速度为零。A、B与斜面间的动摩擦因数相同，弹簧未超过弹性限度，则（　　） A．当上滑到最大位移的一半时，A的加速度方向沿斜面向下 B．A上滑时、弹簧的弹力方向发生变化 C．下滑时，B对A的压力一直增大 D．整个过程中A、B克服摩擦力所做的总功等于B的重力势能减小量 11. 摆球质量为m的单摆做简谐运动，其动能Ek随时间t的变化关系如图所示，则该单摆（　　） A．摆长为 B．摆球从最高点到最低点的过程中，重力的冲量大小为2mgt0 C．摆球从最高点到最低点的过程中，回复力做的功为E0 D．单摆的周期为4t0 三、解答题 12. 如图所示，物块静止在足够长的固定光滑斜面上，斜面的倾角为30°。a紧靠在垂直于斜面的挡板上，与之间用平行于斜面的轻弹簧连接，与紧挨但不粘连。现迅速取走，此后在运动过程中，对挡板压力的最小值恰好为零。已知、的质量均为，弹簧劲度系数为，重力加速度为。求∶ (1)对挡板压力为零时，的加速度大小； (2)c的质量； (3)b运动过程中的最大速度。 13. 图1是用力传感器对单摆做小角度摆动过程进行测量的装置图，图2是与力传感器连接的计算机所显示的图像，其中F的最大值。已知小球质量，小球的直径，取重力加速度，，不计细线质量及空气阻力。求： (1)细线的长度 (2)F的最小值的大小 14. 摆，是物理学中重要的模型之一。如图1所示，一根不可伸长的轻软细绳的上端固定在天花板上的O点，下端系一个摆球（可看作质点）。将其拉至A点后静止释放，摆球将在竖直面内的A、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低点。忽略空气阻力。 (1)图2所示为绳中拉力F随时间t变化的图线，求： a.摆的振动周期T。 b.摆的最大摆角θm。 (2)摆角θ很小时，摆球的运动可看作简谐运动。（提示：弧度制下，当θ很小时，有） a.请证明当摆角θ很小时，摆球的运动为简谐运动。 b.某同学发现他家中摆长为0.993m的单摆在小角度摆动时，周期为2s。他又查阅资料发现，早期的国际计量单位都是基于实物或物质的特性来定义的，称为实物基准，例如质量是以一块1kg的铂铱合金圆柱体为实物基准。于是他想到可以利用上述摆长为0.993m的单摆建立“1s”的实物基准。请判断该同学的想法是否合理，并说明理由。 (3)一种检测微小振动的装置原理如图3所示：用三根长为L的轻杆做成桁架，其中顶点A和B分别接在竖直和水平墙面上，杆AB与竖直方向的夹角为α，再在另一顶点处固定一质量为m的摆球P，摆球P连同杆AP和BP可以绕转轴AB无摩擦摆动。求摆球P做小角度振动时的固有周期T。 15. 如图，半径为R光滑且绝缘的圆弧面上有一个质量为m小球（半径很小可忽略），把它从最低点移开一小段距离，距最低点的高度为h（h远小于R）。放手后，小球以最低点为平衡位置左右摆动，重力加速度为g，求 (1)小球从释放到最低点的时间t； (2)若在最低点有一质量为2m的物体，小球与其发生正碰后并迅速粘在一起，求碰后的共同速度。 (3)若使小球带正电，并加上竖直向下的匀强电场，分析小球运动的周期如何变化。 学科网（北京）股份有限公司 $