相似三角形的基本模型——手拉手模型讲义2023-2024学年人教版数学 九年级下册专题

专题：相似三角形的基本模型 ——“手拉手”模型 【观测维度及对应观测点】 通过设计激活学生思维的有效问题，驱动学生思维深度参与 【课堂观测指标】 1.任务驱动 （1）提问的对象、次数、类型、结构、认知难度、候答时间怎么样？是否有效？ （2）教师的理答方式和内容如何？有哪些辅助方式？是否有效？ （3）有哪些话题？话题与学习目标的关系如何？ 2.深度思考 （1）学习目标是否关注高级认知技能（解释/解决/迁移/综合/评价）？ （2）教学是否由问题驱动？问题链与学生认知水平、知识结构的关系如何？ （3）怎样指导学生开展独立思考？怎样对待或处理学生思考中的错误？ （4）课堂中学生思考的人数、时间、水平怎样？课堂气氛怎样？ 【学科】 数学 陈琳琳 【课题选择】 相似三角形的基本模型——“手拉手”摸型 【课型】 专题课 【教学背景】 专题研究是指围绕知识的重点、难点设计的，利用具有紧密相关的知识或方法形成某些专题研究，或者是针对 学生的知识盲点、疑点、易错点整合的，能够在短时间内解决的问题集，或者围绕重点内容、关键能力适度进行的知识拓展、解题方法研究的数学活动。通过专题的研究和教学，希望能够帮助学生加深对所学知识的理解，强化前后知识的联系，形成清晰的数学知识网络，同时获得系统的数学研究方法，提高自身的数学素养，促进学生的深度学习。故专题性解题教学应凸显“专”和“思”：专题教学之“专”，在于典型例题，教学主线的精准定位；解题教学之“思”，着眼于思考联想，感悟内化的厚积薄发。“专”“思”兼顾，相得益彰。 本堂课的教学内容核心是“为什么想到寻找手拉手相似模型？”“怎样分离出基本模型框架？”“分离出模型框架可以解决哪些问题？”“通过这些内容教学应该达到什么目标？”“如何在解题教学中提升学生的思维能力？”，带着这些问题和思考，进行教学设计 【学习目标】 1.掌握相似三角形的基本模型——“手拉手”型 2.能从复杂的图形中分离出基本图形框架 3.通过观察、比较、分析、讨论、归纳，让学生逐步体会转化和归纳的数学思想，提高能力 【教学设计】 1.问题引导，感悟寻找手拉手相似的模型的重要性 如果将一个三角形固定某一顶点放大或缩小并旋转（这个顶点不变），我们称这样的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形 如图，若，.Com] （1）证明△ABD∽△ACE.[ （2）EC和BD所形成的较小角为多少度? EC和BD存在什么样的数量关系？ 2.类比迁移，探索手拉手相似模型的特征 问题1：图中△ABC和△ADE两个三角形具有什么关系？（相似） 问题2：两个三角形在位置上具有什么公共特征？（公共顶点A） 问题3：可以将其中一个三角形看作绕公共顶点在如何变化？（旋转） 问题4：旋转后又出现了哪两个相似三角形？（△ABD和△ACE） 问题5：证明这两个三角形相似的核心判定方法是什么？（两边对应成比例且夹角相等） 问题6：手拉手相似模型具有哪些特征？（两个相似三角形；具有公共顶点的等角；公共顶点相邻两边与对应边所形成的三角形相似.） 问题7：拉手线BD和CE形成的夹角与原相似三角形具有公共顶点的角存在什么样的数量关系？（相等） 追问：怎么得到的呢？（“8”字导角） 结论：两个相似三角形，有具有公共顶点的等角，公共顶点相邻两边与对应边所形成的三角形相似. 第三边形成的夹角与原相似三角形具有公共顶点的角相等. 3.发散联想，探索特殊三角形手拉手相似模型的特征 3.1手拉手相似模型（等腰直角三角形） 如图所示，△BDE和△ABC都是等腰直角三角形，CE的延长线与AD相交于点P. （1）若AD=2，求CE的长. （2）AD与CE形成的较小角为多少度？ 问题1：△BDE和△ABC是什么关系？（相似） 问题2：△BDE和△ABC的公共顶点是？（点B） 问题3：将△BDE绕点B旋转，连接拉手线AD，CE，得到哪两个三角形相似？（△ABD和△CBE） 问题4：得到相似的判定方法是什么？请你具体说说证明过程. 问题5：△ABD和△CBE的相似比是多少？（） 问题6：AD与CE的夹角为多少度？（45°） 追问：你可以具体说一说怎么得到的呢？ 结论：△ABD∽△CBE，且相似比为，AD与CE的夹角为． 3.2手拉手相似三角形（直角三角形） 如图所示，Rt△AOB∽Rt△COD. （1）AC和BD存在什么样的位置关系？并证明. （2）与存在什么样的数量关系？如何证明？ 问题1：图中拉手线是两条线段？（AC和BD） 问题2：手拉手相似是哪两个三角形？（△AOC和△BOD） 问题3：拉手线AC和BD存在什么样的位置关系？ （AC⊥BD） 问题4：猜想与存在什么样的数量关系？ 追问：如何证明？ 结论：△AOC∽△BOD，， 且． 4，回顾反思，提升感悟认知 例1.如图，在△ABC 与△ADE 中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，连接 BD、CE，若 AC：BC＝3： 4，则 BD：CE 为（ ） A．5：3 B．4：3 C．：2 D．2： 例2.在△ ABC 中，AB＝AC，∠ BAC＝α，点P是△ ABC 外一点，连接BP，将线段BP绕点 P 逆时针旋转α得到线段PD，连接BD，CD，AP． 观察猜想： （1）如图 1，当 α＝60°时， 的值为 ，直线CD与AP所成的较小角的度数为 °； 类比探究： （2）如图 2，当 α＝90°时，求出的值及直线 CD 与 AP 所成的较小角的度数； 拓展应用： （3）如图 3，当 α＝90°时，点 E，F 分别为 AB，AC的中点，点P在线段FE的延长线上点 A，D，P 三点在一条直线上，BD 交 PF 于点 G，CD交AB 于点 H. 若 CD＝，求BD的长． 【教学思考】 1.专题性解题教学应以方法的掌握为教学主线 专题性解题教学以一些典型例题、习题为载体让学生学会解决某一特定的数学问题，从而学会思考，学会学习。教学设计的关键在于确定教学主线，然后选择合适的习题让学生经历方法获得的过程，积累解决问题的经验. 2.典型例题的选取是解题教学取得实效的关键 在解题教学中，我们经常会碰到这样的现象：教师将自身获得的解题经验告知学生，然后选取大量的习题反复练习记结论，甚至形成条件反射，导致学生养成“记结论、用结论”的习惯，阻碍了思维能力的发展。在本节课教学中，一般地，典型例题要承载方法价值，真正起着范例的作用. 3.让学生学会思考与规范表达是解题教学的核心 数学解题教学的核心任务是培养学生的思维能力，让学生通过解题学会思考，形成良好的思维习惯和解决问题的态度，并最终形成核心素养。在本节课教学中，老师设问有意在每一个问题之后都加了一句“你是怎样想的？”让学生在思考后能表达他们解决问题的思路和想法。这些想法或许也是其他学生经历的，这些经验能够互相迁移，形成思考方法. 4.适时感悟和反思是内化解题思想方法的重要渠道 学生理解问题的最好状态是悟道，而悟道的过程是“润物细无声”式的思考。学生通过思考，才能促进数学思维的发展和数学素养的提升。本节课通过教师的有效提问，师生之间的相互补充，助力学生的数学思考，帮助学生会感悟。当然，感悟与反思不仅需要课堂上留给学生思考的时间，更需要学生课后的思考空间. 学科网（北京）股份有限公司 $$