专题01 圆中的重要模型之圆中的翻折模型（几何模型讲义）数学华东师大版九年级下册

专题01.圆中的重要模型之圆中的翻折模型 圆中的翻折模型是将一个圆形的纸片沿着一条直线翻折，使得纸片的边缘与直线重合，从而形成新的圆形或圆环。翻折前后，对应边相等，对应角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分。这种模型可以用于创建各种不同的图形和图案，是一种非常有趣的几何模型。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 4 模型1.圆中的翻折模型（弧翻折必出等腰） 4 19 阿拉伯学者系统证明圆弧翻折后，‌折痕必垂直平分对应弦‌（即垂径定理），确立了“翻折→对称→垂直关系”的逻辑链。‌中国宋代数学学者基于弦长与圆心角关系，明确“等弧翻折得等弦”的性质，强化对称构图思想。法国数学家布里昂雄发现翻折的‌对偶性质‌：圆内折痕两侧的弧、角、弦存在对称等价关系，奠定现代模型核心原理。近代形成 ‌“弧翻折必出等腰”的定性定理‌：圆内以弦为对称轴翻折圆弧，所得两弦相等（即生成等腰三角形），成为模型的核心判定条件。 圆中的翻折模型作为几何学中处理圆内对称问题的核心工具，其历史演进脉络融合了东西方数学思想。 （2025·江苏无锡·一模）如图，为的直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接，点与圆心不重合，，则的度数为（    ） A． B． C． D． （24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知是的直径，点C为圆上一点．将沿弦翻折，交于D，把沿直径翻折，交于点E，作，若点E恰好是翻折后的的中点，则的值为 ． 模型1）条件：如图，以圆O的一条弦BC为对称轴将弧BC折叠后与弦AB交于点D，结论：CD=CA 1）证明：如图，设折叠后的所在的圆心是G，连接AC，CD. 由题意得（折叠）：，即：，∴∠CAB=∠DCB+∠CBD， ∵∠CDA=∠DCB+∠CBD，∴∠CAB=∠CDA，∴CD=CA。 模型2）条件：特别地，弧BC折叠后过圆心，结论：CD=CA，∠CAB=60° 2）证明：如图，连接AC，CD，CO；由1）中证明知：CO=CA， ∵OA=OC，∴CO=CA=OA，∴△OAC为等边三角形，∴∠CAB=60°。 1、翻折变换的性质：翻折前后，对应边相等，对应角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分； 2、圆的性质：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧、弦相等；同弧或等弧所对的圆周角相等； 3、等圆相交：如图，圆O和圆G为两个相等的圆，圆O和圆G相交，相交形成的弦为AB，则弦AB为整个图形的对称轴，圆心O和圆心G关于AB对称，弧ACB和弧ADB为等弧，且关于AB对称； 4、弧翻折（即等圆相交）：如图，以弦BC为对称轴，将弧BC翻折后交弦AB于点D，那么弧CDB所在的圆圆G与圆O是相等的圆，且两个圆关于BC对称，故圆心O、G也关于BC对称。 模型1.圆中的翻折模型（弧翻折必出等腰） 例1（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在半圆O中，直径，将半圆O沿弦BC所在的直线折叠，若恰好过圆心O，则的长是 ． 例2（2024九年级上·重庆专题练习）如图，将沿弦翻折过圆心，交弦于点，，则长为 ． 例3（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点（不与重合），连结．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 例4（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，在中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点D，连接．如果，，则的长为 ． 例5（2024·江苏徐州·一模）如图，是的直径，点在圆上．将沿翻折与交于点．若的度数为，则 （弧长）． 例6（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图， 是的内接三角形， 沿折叠， 恰好经过中点 ， 连接，若， ， 则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 例7（2025·吉林·一模）【驱动背景】在中，将劣弧沿弦所在的直线折叠，使得弧恰好过圆心O，圆心O关于直线的对称点为． 【前情感知】（1）如图1，连接，，的度数为 ； 【问题探究】（2）如图2，若点D是优弧上的任意一点，连接交折叠后的弧于点C，连接，． ①的度数为 ；猜想与的数量关系 ； ②如图3，若弧（翻折后）不经过圆心O．与的数量关系是否仍然成立？请说明你的理由． 【拓展生长】（3）如图4，若为直径，将第一次折叠后的弧（弧部分）沿向下翻折交弦于点E，连接．若，，请直接写出线段的长． 例8（24-25九年级上·湖北·阶段练习）有一张半径为2的圆形纸片． (1)如图（1），先将纸片沿直径左右翻折，再上下翻折，刚好完全重合，然后平铺展开，则的大小是______；在上任取一点C（异于A，B），则的大小是______；(2)如图（2），将纸片沿一条弦翻折，使其劣弧恰好经过圆心O，作出直径，则图中阴影部分的面积是______； (3)如图（3），是的直径，将劣弧沿弦翻折，交于点D，再将劣弧沿直径翻折，交于点E，若点E恰好是翻折后的劣弧的中点，求图中阴影部分的面积． 1．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，点C是半圆上一点，是直径且，将弧沿翻折交于点D，再将弧沿翻折交于点E，若E是弧的中点，则阴影部分面积为（   ） A．2 B． C． D． 2．（2025·福建龙岩·统考模拟预测）如图，、为的两条弦，，，将折叠后刚好过弦的中点D，则的半径为（    ）          A． B． C．5 D． 3．（24-25九年级上·江苏·期中）如图1，已知分别是圆形纸片的直径、弦，以弦为折线将弓形纸片折叠至如图2所示的弓形纸片的位置，与直径交于点D，若，则（） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连结．若点与圆心不重合，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，是一条弦，将劣弧沿弦翻折，连结并延长交翻折后的弧于点，连结，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，为的直径，将沿翻折，翻折后的弧交于D．若，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．8 D．10 7．（2024·浙江台州·三模）如图，是的直径，是弦，把沿着弦翻折交于点D，再把沿着翻折交于点．当是的中点时，的值是（    ）． A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，将弧沿弦翻折过圆心点，交弦于，，，则的长为（    ） A． B． C． D．3 9．（24-25·浙江金华·九年级校联考阶段练习）如图，是的内接三角形，将劣弧沿折叠后刚好经过弦的中点D．若，，则的半径长为（　　） A． B． C． D． 10．（24-25·福建福州·九年级校考阶段练习）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将沿BC翻折交AB于点D，再将沿AB翻折交BC于点E．若，则∠BCD的度数是（    ） A．22.5° B．30° C．45° D．60° 11．（24-25·湖北武汉·九年级校考阶段练习）若直角三角形中两直角边之比是，则称直角三角形为完美三角形．如图，C是上半圆上一点，将沿着BC折叠，与直径AB交于圆心O右侧一点D，若是完美三角形，则为（    ） A． B． C． D． 12．（2023·北京·统考二模）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，将弧AC沿直线AC翻折，若翻折后的图形恰好经过点O，则∠CAB＝ °． 13．（24-25·广西·九年级专题练习）如图，是的直径，是的弦，，垂足为，，，点为圆上一点，，将沿弦翻折，交于点，图中阴影部分的面积 ． 14．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）在中， 为直径， 点为圆上一点， 将劣弧沿弦翻折交于点，连接．(1)如图1， 若点与圆心重合，， 求的半径 (2)如图2， 若点与圆心不重合， ， 请求出的度数． (3)如图2， 如果， 那么的长为____________．（直接写出答案） 15．（24-25九年级下·上海宝山·期中）已知是半圆O的直径，C是半圆O上不与A、B重合的点，将弧沿直线翻折，翻折所得的弧交直径于点D，E是点D关于直线的对称点． (1)如图，点D恰好落在点O处．①用尺规作图在图中作出点E（保留作图痕迹），连接、、，求证：四边形是菱形；②连接，与、分别交于点F、G，求的值； (2)如果，求折痕的长． 16．（24-25·浙江金华·九年级校考期中）在中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点D，连接．(1)如图1，若点D与圆心O重合，，求的半径r；(2)如图2，若点D与圆心O不重合，，请求出的度数．(3)如图2，如果，，求的长． 17．（2025·江西萍乡·校考模拟预测）如图（1）是的直径，且，点是半圆的中点，点是上一动点，将沿直线折叠交于点，连接，． (1)求证：；(2)当点与点重合时，如图（2），求的长． 18．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，为⊙O的直径，且，与为圆内的一组平行弦，弦交于点H．点A在上，点B在上，． (1)求证：．(2)求证：．(3)在⊙O中，沿弦所在的直线作劣弧的轴对称图形，使其交直径于点G．若，求的长．    1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01.圆中的重要模型之圆中的翻折模型 圆中的翻折模型是将一个圆形的纸片沿着一条直线翻折，使得纸片的边缘与直线重合，从而形成新的圆形或圆环。翻折前后，对应边相等，对应角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分。这种模型可以用于创建各种不同的图形和图案，是一种非常有趣的几何模型。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 4 模型1.圆中的翻折模型（弧翻折必出等腰） 4 19 阿拉伯学者系统证明圆弧翻折后，‌折痕必垂直平分对应弦‌（即垂径定理），确立了“翻折→对称→垂直关系”的逻辑链。‌中国宋代数学学者基于弦长与圆心角关系，明确“等弧翻折得等弦”的性质，强化对称构图思想。法国数学家布里昂雄发现翻折的‌对偶性质‌：圆内折痕两侧的弧、角、弦存在对称等价关系，奠定现代模型核心原理。近代形成 ‌“弧翻折必出等腰”的定性定理‌：圆内以弦为对称轴翻折圆弧，所得两弦相等（即生成等腰三角形），成为模型的核心判定条件。 圆中的翻折模型作为几何学中处理圆内对称问题的核心工具，其历史演进脉络融合了东西方数学思想。 （2025·江苏无锡·一模）如图，为的直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接，点与圆心不重合，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接，∵是直径，∴， ∵，∴， 根据翻折可得，，，∴， ∴．故选：C． （24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知是的直径，点C为圆上一点．将沿弦翻折，交于D，把沿直径翻折，交于点E，作，若点E恰好是翻折后的的中点，则的值为 ． 【答案】/ 【详解】解：∵、、所在的圆是等圆，、、所对的圆周角都是，∴， ∵点E恰好是翻折后的的中点，∴，∴， 又∵，∴，∴， 如图所示，连接，在上截取，连接，∴， ∵的度数为，∴∴， ∵，∴都是等腰直角三角形，∴， 设，则，∴， ∴，故答案为：． 模型1）条件：如图，以圆O的一条弦BC为对称轴将弧BC折叠后与弦AB交于点D，结论：CD=CA 1）证明：如图，设折叠后的所在的圆心是G，连接AC，CD. 由题意得（折叠）：，即：，∴∠CAB=∠DCB+∠CBD， ∵∠CDA=∠DCB+∠CBD，∴∠CAB=∠CDA，∴CD=CA。 模型2）条件：特别地，弧BC折叠后过圆心，结论：CD=CA，∠CAB=60° 2）证明：如图，连接AC，CD，CO；由1）中证明知：CO=CA， ∵OA=OC，∴CO=CA=OA，∴△OAC为等边三角形，∴∠CAB=60°。 1、翻折变换的性质：翻折前后，对应边相等，对应角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分； 2、圆的性质：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧、弦相等；同弧或等弧所对的圆周角相等； 3、等圆相交：如图，圆O和圆G为两个相等的圆，圆O和圆G相交，相交形成的弦为AB，则弦AB为整个图形的对称轴，圆心O和圆心G关于AB对称，弧ACB和弧ADB为等弧，且关于AB对称； 4、弧翻折（即等圆相交）：如图，以弦BC为对称轴，将弧BC翻折后交弦AB于点D，那么弧CDB所在的圆圆G与圆O是相等的圆，且两个圆关于BC对称，故圆心O、G也关于BC对称。 模型1.圆中的翻折模型（弧翻折必出等腰） 例1（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在半圆O中，直径，将半圆O沿弦BC所在的直线折叠，若恰好过圆心O，则的长是 ． 【答案】 【详解】解：过点O作，如图所示，    ∵将半圆O沿弦所在的直线折叠，若恰好过圆心O，∴，∴， 在中，由勾股定理得，， ∵，经过圆心，∴，故答案为：． 例2（2024九年级上·重庆专题练习）如图，将沿弦翻折过圆心，交弦于点，，则长为 ． 【答案】 【详解】解：如下图，过点作于点，过点作于点，连接， ∵，∴，∴， ∴，∴为等边三角形， ∵，∴，∴． 例3（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点（不与重合），连结．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】是直径，，． 根据翻折的性质，弧所对的圆周角为，弧所对的圆周角为， ，，故选B． 例4（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，在中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点D，连接．如果，，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过作于，连接、，设折叠前后点D的对应点为， 由折叠的性质可得，∵，∴，     ∵，∴，∴，∴， ∵，且为直径，∴，∴，∴，∴， ∵，∴，故答案为：． 例5（2024·江苏徐州·一模）如图，是的直径，点在圆上．将沿翻折与交于点．若的度数为，则 （弧长）． 【答案】 【详解】解：如图，作D关于的对称点E，连接， 则，∵ 的度数为，∴，∴， ∴，∴， ∴的长度为，∴ 的长度为．故答案为：． 例6（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图， 是的内接三角形， 沿折叠， 恰好经过中点 ， 连接，若， ， 则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图所示，连接，过点作垂足为，过点作，垂足为，则四边形是矩形，∵是的中点，∴，故A正确， ∵∴，故B正确，∴， ∵∴又∵，∴是等腰直角三角形， ∴，∴矩形是正方形，∴， 又∵，∴∴∴ ∴是等腰直角三角形，∴，故C正确∴，故D不正确故选：D． 例7（2025·吉林·一模）【驱动背景】在中，将劣弧沿弦所在的直线折叠，使得弧恰好过圆心O，圆心O关于直线的对称点为． 【前情感知】（1）如图1，连接，，的度数为 ； 【问题探究】（2）如图2，若点D是优弧上的任意一点，连接交折叠后的弧于点C，连接，． ①的度数为 ；猜想与的数量关系 ； ②如图3，若弧（翻折后）不经过圆心O．与的数量关系是否仍然成立？请说明你的理由． 【拓展生长】（3）如图4，若为直径，将第一次折叠后的弧（弧部分）沿向下翻折交弦于点E，连接．若，，请直接写出线段的长． 【答案】（1）；（2）①；； ②成立；理由见解析；（3） 【详解】解：（1）如图，连接，交于点N，则则， ∴，故答案为：； （2）①如图2，，设翻折前点C对应的点为T，连接、， ∵折叠，∴，∵， 即， ∵四边形是的内接四边形，∴，∴， 即；故答案为：，； ②成立，理由如下：设折叠前点C的对应点为点，连接，．由折叠可知，， ∵四边形是的圆内接四边形，，∴， ∵，∴，∴； （3）补出第一次折叠后上面的弧所在圆，补出第二次折叠后从A到E到C的N所在圆， 由题意得：上述两个圆和圆O是等圆，圆O的之间， 故设圆直径均为10，半径均为5，过B作于H， 由（2）知，∴，∴，， 则，，则，， ∵，∴， ∴，即，∴， 则（负值已舍去），∴，则（负值已舍去）， 作圆的直径，则，在圆中，，则， ∵，则，则． 例8（24-25九年级上·湖北·阶段练习）有一张半径为2的圆形纸片． (1)如图（1），先将纸片沿直径左右翻折，再上下翻折，刚好完全重合，然后平铺展开，则的大小是______；在上任取一点C（异于A，B），则的大小是______；(2)如图（2），将纸片沿一条弦翻折，使其劣弧恰好经过圆心O，作出直径，则图中阴影部分的面积是______； (3)如图（3），是的直径，将劣弧沿弦翻折，交于点D，再将劣弧沿直径翻折，交于点E，若点E恰好是翻折后的劣弧的中点，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)；或；(2)；(3)． 【详解】（1）解：根据折叠了2次，则， 如图（1）所示，当点C在优弧上时，， 当点C在上时，，故答案为：；或．       （2）解：如图（2）所示，作交于点E，交于点D，连接，，， 由折叠可知，，， ，，， ，和是等边三角形，， ∴弓形的面积等于弓形的面积，∴扇形的面积等于扇形的面积， ∴阴影部分的面积即为的面积；，则，， ，∴阴影部分面积，故答案为：； （3）解：如图（3），连接，过点C作于H，   ， ，，， ∵E是的中点，，，， 设，则，， 是直径，，，，， ，，，则是等腰直角三角形， ，，， ， ，∴弓形，的面积相等， ∴阴影部分面积为． 1．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，点C是半圆上一点，是直径且，将弧沿翻折交于点D，再将弧沿翻折交于点E，若E是弧的中点，则阴影部分面积为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，连接，，，过点作于，过点作于． ，，， ∴弓形的面积弓形的面积，∴阴影部分面积四边形的面积 ，，是的中点，， ，而，，设，则， ，是直径，，， ，，∴，， ∵，∴∴， 而，，∴， ∴，设，而，∴， ∵，∴，∴， ∴，，解得：（舍负）， ∵四边形的面积，∴阴影部分面积 故选：A． 2．（2025·福建龙岩·统考模拟预测）如图，、为的两条弦，，，将折叠后刚好过弦的中点D，则的半径为（    ）          A． B． C．5 D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接，作于，连接、、、，          ，，，， 在中，，，， 过点O作于F，∵点D是中点，∴， ∴，∴四边形是矩形，∴，， 又∵，，且， ∴，∴，解得：， ∴，∴，故选：B． 3．（24-25九年级上·江苏·期中）如图1，已知分别是圆形纸片的直径、弦，以弦为折线将弓形纸片折叠至如图2所示的弓形纸片的位置，与直径交于点D，若，则（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵是圆的直径，∴的度数， ∵的度数，∴的度数， ∵的度数的度数，∴的度数的度数的度数．故选：B． 4．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连结．若点与圆心不重合，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接， 是直径，，，， 根据翻折的性质，所对的圆周角为，所对的圆周角为，， 又 ，，．故选：C． 5．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，是一条弦，将劣弧沿弦翻折，连结并延长交翻折后的弧于点，连结，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】延长交于点D，过点B作于点H，连结， 和是圆周角所对的弧，，， 是直径，，， ，， ，，， ，．故选：C． 6．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，为的直径，将沿翻折，翻折后的弧交于D．若，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．8 D．10 【答案】C 【详解】解：连接AC，DC，过点C作CE⊥AB与E，点D关于BC的对称点D′，连接CD′，BD′ 设AC=x，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∵，∴， ∴，即，解得，， ∴，∴，∴AE=， ∵BC为折痕，点D与点D′对称，∴∠ABC=∠D′BC，，∴，∴AC=CD， ∵CE⊥AD，∴AE=DE=2，AD=4，∴弓形AC=弓形DC，∴S阴影=S△ACD=．故选：C． 7．（2024·浙江台州·三模）如图，是的直径，是弦，把沿着弦翻折交于点D，再把沿着翻折交于点．当是的中点时，的值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如下图，连接，过点作于点， 设，∵是的中点，∴，∴，∴， ∵在同圆或等圆中，所对的弧有，，， ∴，∴，∴，∴， ∵是的直径，∴，∴，解得， ∴，设，∵，， ∴，∴， ∴，∴， ∴在中，．故选：A． 8．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，将弧沿弦翻折过圆心点，交弦于，，，则的长为（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【详解】过点作于，过点作于，连接、、、， ，，，， ，，为等边三角形， ，，，， 故选：B． 9．（24-25·浙江金华·九年级校联考阶段练习）如图，是的内接三角形，将劣弧沿折叠后刚好经过弦的中点D．若，，则的半径长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，设折叠后的所在的圆心是，连接，， ∴，连接，，同理，，∴． ∵和是等圆，∴．设的半径是r，过点O作于点G． ∵，，∴，， ∴，∴．过点A作于点M， ∵，设，则． ∵D是的中点，∴，∴． ∵，，∴．在中，， ∴，解得，∴，． 在中，．∵，∴．故选：D． 10．（24-25·福建福州·九年级校考阶段练习）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将沿BC翻折交AB于点D，再将沿AB翻折交BC于点E．若，则∠BCD的度数是（    ） A．22.5° B．30° C．45° D．60° 【答案】C 【详解】解：如图，连接，，，设， ，，， ，，， ， ∵是直径，，， ，，，故选：C． 11．（24-25·湖北武汉·九年级校考阶段练习）若直角三角形中两直角边之比是，则称直角三角形为完美三角形．如图，C是上半圆上一点，将沿着BC折叠，与直径AB交于圆心O右侧一点D，若是完美三角形，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，作交于，连接， ∵弧是由部分沿折叠得到的，且，∴， 又∵，∴，∵是完美三角形， ∴，， 设，则，∴，∴， ∴，∴，故选：． 12．（2023·北京·统考二模）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，将弧AC沿直线AC翻折，若翻折后的图形恰好经过点O，则∠CAB＝ °． 【答案】30 【详解】解：作OE⊥AC交⊙O于F，交AC于E， 由折叠的性质可知，EF＝OEOF， ∵OA=OF，∴OEOA，在Rt△AOE中，OEOA，∴∠CAB＝30°，故答案为：30． 13．（24-25·广西·九年级专题练习）如图，是的直径，是的弦，，垂足为，，，点为圆上一点，，将沿弦翻折，交于点，图中阴影部分的面积 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接，将阴影部分沿翻折，点的对应点为，过点作于点， 为的直径，，，， ∵，，垂足为，设的半径为，则， ∴，解得：或（舍去）， ，即的半径是，连接，则，， 过点作于点，∴， ∴，即， 即图中阴影部分的面积是：．故答案为：． 14．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）在中， 为直径， 点为圆上一点， 将劣弧沿弦翻折交于点，连接．(1)如图1， 若点与圆心重合，， 求的半径 (2)如图2， 若点与圆心不重合， ， 请求出的度数． (3)如图2， 如果， 那么的长为____________．（直接写出答案） 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：如图1，过点O作于E，则， ∵翻折后点D与圆心O重合，∴，在中，，即，解得； （2）如图2，连接BC，∵AB是直径，∴， ∵，∴， 根据翻折的性质，所对的圆周角为，所对的圆周角为， ∴，∴，∴； （3）如图3，过C作于G，连接OC、BC， ∵，，∴，⊙O的半径为，由（2）知：， ∵，∴，∴，∴， ∴，， 中，， 中，，则AC的长为．故答案为：． 15．（24-25九年级下·上海宝山·期中）已知是半圆O的直径，C是半圆O上不与A、B重合的点，将弧沿直线翻折，翻折所得的弧交直径于点D，E是点D关于直线的对称点． (1)如图，点D恰好落在点O处．①用尺规作图在图中作出点E（保留作图痕迹），连接、、，求证：四边形是菱形；②连接，与、分别交于点F、G，求的值； (2)如果，求折痕的长． 【答案】(1)①作图见解析，证明见解析；②(2)或 【详解】（1）解：①如图，证明：∵E是D关于直线的对称点，∴，， ∵点D恰好落在点O处，∴，∴，∴四边形是菱形； ②如图，∵四边形是菱形，∴，∴， ∴，同理，，∴，， ∴，∴，∴； （2）解：①当D在O的右侧时，作D关于的对称点，连接，，过O作于G，过C作于H， ∵E是D关于直线的对称点，∴，，∴，即， ∵，∴，∴，∴，∴， 又，，∴，∴， ∵，，∴，∵，∴，∴， ∴，，∴，∴； ②当D在O的左侧时，作D关于的对称点，连接，，过O作于G，过C作于H，同理可求，，， ∴，∴，综上，折痕长为或． 16．（24-25·浙江金华·九年级校考期中）在中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点D，连接．(1)如图1，若点D与圆心O重合，，求的半径r；(2)如图2，若点D与圆心O不重合，，请求出的度数．(3)如图2，如果，，求的长． 【答案】(1)1(2)(3) 【详解】（1）设点D关于弦的对称点为F，连接，交于点E，则， 因为，所以，设，则， 根据勾股定理，得，解得，故圆的半径r为1． （2）设点D关于弦的对称点为F，连接，， 根据题意，得，，所以，所以； 因为为直径，所以，所以． （3）如图，连接，，过点C作于点G，根据（2）得到，所以， 因为，，所以，， 所以，所以，， 所以，， 所以． 17．（2025·江西萍乡·校考模拟预测）如图（1）是的直径，且，点是半圆的中点，点是上一动点，将沿直线折叠交于点，连接，． (1)求证：；(2)当点与点重合时，如图（2），求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：如图，作点关于的对称点，连接，，，，由折叠的性质可知，， 又∵，， ∴，∴，∴． （2）解：由（1）知，又∵，∴是等边三角形， ∴，∴所对圆心角为，∴的长为． 18．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，为⊙O的直径，且，与为圆内的一组平行弦，弦交于点H．点A在上，点B在上，． (1)求证：．(2)求证：．(3)在⊙O中，沿弦所在的直线作劣弧的轴对称图形，使其交直径于点G．若，求的长．    【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）和是所对的圆周角，， ，∴，∴，∴． （2）连接，交于点，       与为一组平行弦，即：，，，， ，， ，，是的垂直平分线，． （3）连接、，过点作，垂足为，设点的对称点，连接、， ，，∴，，，是等腰三角形， ，，，， 为直径，，， ，，，， 在中，，，，， 在中，，， 故答案为：． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $