专题01 相似三角形重要模型之（双）A字型与（双）8字型（几何模型讲义）数学人教版九年级下册

扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01.相似三角形重要模型之（双)A字型与（双)8字型 相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广，分析图形间的关系离不开数量的计算 。相似和勾股是产生等式的主要依据（其他依据还有面积法，三角函数等），因此要掌握相似三角形的基本 图形，体会其各种演变和联系。相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题 的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。本专题重点讲解相似三角形的（双）A字模型和（双）8CX) 字模型. 目录导航 例题讲模型 …1 模型来源 1 真题现模型… …2 提炼模型… .3 模型拓展… 5 摸型运用… 6 模型1.“A”字模型 …6 模型2.“X”字模型(“8”字模型) 9 模型3.“AX”字模型（“A8”字模型) 14 习题练模型 17 例题讲模型 模型来源 “(双)A字型”与“（双）8字型”作为相似三角形的重要模型，并没有明确的起源时间或历史背景。这些 模型是数学教育者和研究者为了解决特定几何问题而创造的，主要用于帮助学生理解和应用相似三角形的 性质和判定方法。这些模型在数学教育中被广泛使用，特别是在中学几何教学中，帮助学生在解决复杂几 何问题时提供直观的思路和工具。 1129 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 真题现模型 (2025山东东营中考真题)如图，在△ABC中，AB=6,CA=4,点D为AC中点，点E在AB上，当 AE为 时，△ABC与以点A、D、E为顶点的三角形相似， B 【答案】3或4 【详解】解：当E=4时，：∠A=∠A,△AEDABC,:AB=4B:AD-6X2=3, AD AC AC 4 当4D=4B时，：∠A=∠A,a4 DEABC,AB=1C,D_4×2-4, AE AC AB 63 综上，AE=3或，故答案为：3或 3 3… (2O23·安徽中考真题)如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，EF⊥AB于点F,连接DE并延长， 交边BC于点M,交边AB的延长线于点G.若AF=2,FB=1,则MG=() G A.2W5 B.3V5 c.√5+1 D.10 2 【答案】B 【详解】解：：四边形ABCD是正方形，AF=2,FB=1, AD=BC=AB=AF+FG=2+1=3,AD∥CB,AD⊥AB,CB⊥AB, FEF⊥AB,AD∥EF∥BC: DE AF EMF -=2,△ADE∽△CME, :4D-DE-2.CM-3AD.MB-3-CM- 3 CM EM :BC∥AD,·△GMBGDA,BG_MB=2-1BG=AB=3, AG DA 3 2 在Rt△BGM中，MG=VMB2+BG2 +32=3 ,故选：B 2/29 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 提炼棋型 “A”字模型：（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或 夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似。 ①“A”字模型 ②反“A”字模型 ③同向双“A”字模型 ④内接矩形模型 D 图1 图2 图3 图4 ①A”字模型条件：如图I,DEBC;结论：△ADE~△ABC÷ADAB=AEAC=DEBC。 证明：DEBC,.∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACB,.△ADE△ABC,ADAB=AEAC=DEBC。 ②反“A”字模型条件：如图2，∠AED=∠B;结论：△ADE~△ACB=ADAC=AEAB=DEBC。 证明：∠AED=∠B,:.∠A=∠A,（公共角)△ADE-△ACB,.ADAC=AEAB=DEBC。 ③同向双“A”字模型条件：如图3，EFBC; 结论：△AEF-△ABC,△AEG-△ABD,△4GF-△4DC台EGC_FG=AG BD CD AD 证明：EF列BC,.∠AEF=∠ABC,∠AFE=∠ACB,.△AEF△ABC, 同理可证：△AEG~△ABD,△AGF~△ADC,:ADAB=AEAC=DEBC。 ④内接矩形模型条件：如图4，△ABC的内接矩形DEFG的边EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边上， 且AM LBC;结论：△ADG∽△ABC,△ADN∽△ABM,△AGN∽△ACM=DG-AN-AN BC AB AM 证明：DEFG是矩形.DG引EF,.∠ADG=∠ABC,∠AGD=∠ACB,△ADG△ABC, 同理可证：△ADN∽△ABM,△AGN∽△ACM,:DG=AN-AW。 BC AB AM “X”字模型(“8”字模型)：图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成 比例就可以判定这两个三角形相似。 ①“8”字模型 ②反“8”字模型 ③平行双“8”字模型 ④斜双“8”字模型 3129 扇学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 产 图1 图2 图3 图4 ①“8”字模型 条件：如图1，ABCD;结论：△AOB-△COD-ABCD=OAOC=OBOD。 证明：ABCD,.∠A=∠C,∠B=∠D,△AOB-△COD,.ABCD=OAOC=OBOD。 ②反“8”字模型 条件：如图2，∠A=∠D;结论：△AOB~△DOC-ABCD=OAOD=OBOC。 证明：∠A=∠D,.∠AOB=∠DOC,(对顶角).△AOB-△DOC,:ABCD=OAOD=OBOC。 ③平行双“8”字模型 条件：如图3，AB‖CD;结论：AE=BE-AB DF CF CD 证明：AB‖lCD,∠A=∠D,∠AEO=∠DFO,:△AEO~△DFO, 同理可证：△BEO-△CFO,△ABO-△DCO,:AE-BE-=AB DF CF CD ④斜双“8”字模型 条件：如图4，∠1=∠2；结论：△AOD-△BOC,△AOB-△DOC台∠3=∠4。 证明：∠1=∠2，∠AOD=∠BOC(对顶角)，.△AOD-△BOC,.AO:BO=DO:CO,即AO:DO=BO:CO; :∠AOB=∠DOC(对顶角)，.△AOB-△DOC,.∠3=∠4。 模型拓展 “AX”字模型(“A8”字模型) ①一“A”+“8”模型 ②两“A”+“8”模型（反向双“A”字模型) ③四“A”+“8”模型 4/29 扇学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 ①一“A”+“8”模型 条件：如图1，DEBC: 结论：△ADE-△ABC,△DEF-△CBF,台AD=AE_DE=DF-FE AB AC BC FC BF 证明：DE‖BC,.∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACB,∴△ADE~△ABC,∴.ADAB=AEAC=DEBC。 :DEBC,·∠FDE=∠FCB,∠DEF=∠CBF,:△DEF△CBF,:DE_DF=FE BC FC BF AD AE_DE DF FE AB AC BC FC BF ②两“A”+“8”模型条件：如图2，DEJLAFBC; 结论：△DAF-△DBC,△CAF△CED,台1=⊥+1 AF BC DE 证明：AFBC,:∠DAF=∠B,∠DFA=∠DCB,:△DAF-△DBC,DE-=AE DC BC :DEAF,∠CAF=∠E,∠CFA=∠CDE,△CAF△CED,:CF=AE CD DE 两式相加得到：DF+CE=45+5,即1=5+45，故上=1+1 DCDC BC DE BC DE AF BC DE ③四A+“8”模型3条作：如图3，DEIIGFIBC;结论：AF-AG,1+1=1=1=2 BC DE AF AG GF 证明：同②中的证法，易证：1+1=1,11.1 BC DE AF BC DE AG 11 即AF=AG,故1+1=1=2。 BC DE-GF-GF 2 模型运用 A字型和8X)字型的应用难点在于过分割点（将线段分割的点）作平行线构造模型，有的是直接作平行 线，有的是间接作平行线（倍长中线就可以理解为一种间接作平行线），这一点在模考中无论小题还是大题 都是屡见不鲜的。 5/29 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 模型1.“A”字模型 例I(2024陕西西安.一模)如图，在△ABC中，BE平分∠ABC,交AC于点E,作ED∥AB,交BC于点 D,若BD=6,AB=10,则DC的长为() B 4. 24 5 B.9 c D.8 【答案】B 【详解】解：：BE平分∠ABC,LABE=LCBE, ED∥AB,.∠DEB=∠ABE,∠CBE=∠DEB,DE=BD=6,BC=BD+CD=6+CD, :ED∥AB,.LCED=∠A,∠CDE=∠CBA △CDE∽aCBA,CD:CB=DE:AB,即CD:(6+CD)=6:I0,CD=9,故选：B 例2(2023山东枣庄.中考真题)如图，在ABC中，LABC=90°，∠C=30°，以点A为圆心，以AB的长 为半径作弧交AC于点D,连接BD,再分别以点B,D为圆心，大于、BD的长为半径作弧，两弧交于点P, 作射线AP交BC于点E,连接DE,则下列结论中不正确的是() A.BE=DE B.AE=CE C.CE=2BE D. SAEDC SAABC 3 【答案】D 【详解】解：由题意得：AB=AD,AP为∠BAC的平分线， :∠ABC=90°，LC=30°，LBAC=60°，△ABD为等边三角形， AP为BD的垂直平分线，·BE=DE,故A的结论正确； :△ABD为等边三角形，∠ABD=60°，LADB=60°，.∠DBE=30°， 6/29 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :BE=DE,∠EDB=∠EBD=30°，∠ADE=LADB+∠EDB=90°，DE⊥AC. :∠ABC=90°，∠C=30°，：AC=2AB,:AB=AD,.AD=CD, .DE垂直平分线段AC,:AE=CE,故B的结论正确： RtaCDE中，∠C=30°，CE=2DE,:BE=DE,.CE=2BE,故C的结论正确. :∠EDC=LABC=90°，∠C=∠C,CDECBA, AD AB, 1 DE DE =tan DAE三am30°，久一SC=(83故D的结论错疾故选：D AB AD 例3(24-25九年级上河南期末)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB=6,正方形DEFG的四个 顶点在△ABC的边上，连接AG,AF分别交DE于M,N两点.则MN的长为 D E M G 【答案】125/25 49 49 【详解】解：：在△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB=6, .AB=3,BC=VAB2+AC2=3√5，：四边形DEFG是正方形， DE=DG=GF,DE∥GF,∠EDG=∠DGF=90°，：△ADEn△ABC, 、AD AB5 DE BC 5 设AD=aa>0),则DG=GF=DE=V5a,:AE=√DE2-AD2=2a,BD=AB-AD=3-a, ∠BAC=90°，∠EDG=90°，∠ADE+∠AED=90°=∠ADE+LGDB,∠AED=∠GDB, ∠AED=∠GDB 在△AED和△GDB中， ∠DAE=∠BGD=900'&AED∽aGDB, AEDE,即于 6 DG BD 5a 3-a AB 3 7 DE∥GF,△ADMABG,4M-D-2, DE GF,AMNAGF,MN=M MN 2 GF4G即657解得Mw12V5 ,故答案为： 12W5 49 49 例4(2024湖南永州模拟预测)如图：Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1,AC=2,把边长分别为X1,x2, 7129 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,x,的n个正方形依次放在△ABC中；第一个正方形CM,BN的顶点分别放在Rt△ABC的各边上；第二 个正方形M,M,BN2的顶点分别放在RteAPM,的各边上，其他正方形依次放入，则第2024个正方形的边长 X2024为 B X3 M 2024 【答案】 2 /22024 3 32024 【详解】解：：四边形CM,PN是正方形， .PN /CM,CN=PN=CM=PM,:BN P BCA,BN BC-CN -,即-CCcy-子M4=4c-CM,-号 24 BC AC 1 同理可证PN,P∽PM1A,PN2=PM1-MN2 PNBN,即3 2一MN,M,MN,合同理可求得MN,7 8 PM AM 2 4 3 3 2024 :可以推出第n个正方形的边长为 2 第2024个正方形的边长x224为 2 故答案为： 2 2024 例了(2024山西太原模拟预测)如图，在ABCD中，AB=6,AD=10,LBAC=90°，BE:CE=2:1.过 点B作AE的垂线，交AE于点G,交AD于点F,则AG= D E 【答案】18E/8厉 73 73 【详解】解：过E作平行于AB的直线交于AC于点H,如下图： 8/29 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D ∠ACB=∠HCE,∠BAC=∠EHC,·ABC HCE,:CH=CE_HE CA CB AB :AB=6,AD=10,∠BAC=90°，BE:CE=2:1, 告--54c=ac-as=8,4m-85e8=2. 3 3 3 4B-AC-Ix ×6×8=24， 3 :8E,0E=21Sa9-子x24-16,号GME=16, 8G=32 =32× 396√292 ，:AG=VAB2-8G=18N ,故答案为： 18V73 AE √292292 73 73 模型2.“X”字模型（“8”字模型) 例门(2024吉林.中考真题)如图，正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E是OA的中点，点F C的值为一 EF 是0D上一点.连接EF.若LFE0=45°，则 B 【答案1 【详解】解：：正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∠OAD=45°，AD=BC, 点E是01的点，8行∠P50=45,E即9D,A0EF△04D. 需器即能案： 例2(2025山东临沂.一模)如图，己知在菱形ABCD中，E,F分别是菱形ABCD的边BC,CD的中点，连 结AE,BF,AE与BF交于点G,△BEG的面积为1，则菱形ABCD的面积为 9/29 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】20 【详解】解：如图，延长BF交AD延长线于点M,:点F是边CD的中点，：DF=CF, --M B E 四边形ABCD是菱形，.AD∥BC,∠FBC=∠M,∠C=∠FDM, 「∠M=∠FBC 在ADMF和CBF中， ∠FDM=∠C,:△DMF≌aCBF(AAS),DM=BC=AD, DF=CF AD‖BC,:BEG∽MAG,又：点E是BC中点， BE:AM =GE:AG=1:4,SCD=4SES.0GE S.mE =EG:AE=1:5, :△BEG的面积为1，：△ABE的面积为5，：菱形ABCD的面积为20，故答案为：20. 例3.(24-25重庆九年级期中)如图，AD与BC交于点O,EF过点O,交AB与点E,交CD与点F,BO =1,CO=3,A0=,D0=号.(1)求证：∠A=∠D.(2)若AE=BE,求证：CF=DF. A E B D 【答案】(1)见解析；(2)见解析： 【解析】证明：D“B0=1,C0=3,40=D0-号2=8 :∠AOB=∠COD,.△OAB∽△ODC,.∠A=∠D, 2)∠A=∠D,MB/CD,“祭=器·8器=器，器=8器4E=BE,CF=D 例4(24-25九年级上·安徽蚌埠.期中)阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重 心.(1)特例感知：如图（一），已知边长为3的等边△ABC的重心为点O,求△OBC与△ABC的面积： 10/29 专题01. 相似三角形重要模型之（双）A字型与（双）8字型 相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广，分析图形间的关系离不开数量的计算。相似和勾股是产生等式的主要依据（其他依据还有面积法，三角函数等），因此要掌握相似三角形的基本图形，体会其各种演变和联系。相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。本专题重点讲解相似三角形的（双）A字模型和（双）8（X）字模型． 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 5 模型运用 6 模型1.“A”字模型 6 模型2.“X”字模型（“8”字模型） 9 模型3.“AX”字模型（“A8”字模型） 14 17 “(双)A字型”与“(双)8字型”作为相似三角形的重要模型，并没有明确的起源时间或历史背景。这些模型是数学教育者和研究者为了解决特定几何问题而创造的，主要用于帮助学生理解和应用相似三角形的性质和判定方法。这些模型在数学教育中被广泛使用，特别是在中学几何教学中，帮助学生在解决复杂几何问题时提供直观的思路和工具。 （2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，点D为中点，点E在上，当为 时，与以点A、D、E为顶点的三角形相似． （2023·安徽·中考真题）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（   ）    A． B． C． D． “A”字模型：（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似。 ①“A”字模型 ②反“A”字模型 ③同向双“A”字模型 ④内接矩形模型 图1　 　图2 　 　 图3 图4 ①“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ②反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝。 证明:∵∠AED＝∠B，∴∠A=∠A，（公共角） ∴△ADE∽△ACB，∴＝＝。 ③同向双“A”字模型 条件：如图3，EF∥BC； 结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔。 证明:∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴△AEF∽△ABC， 同理可证：△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴＝＝。 ④内接矩形模型 条件：如图4，△ABC的内接矩形DEFG的边EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边上，且AM⊥BC；结论：△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM⇔。 证明:∵DEFG是矩形 ∴DG∥EF，∴∠ADG=∠ABC，∠AGD=∠ACB，∴△ADG∽△ABC， 同理可证：△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，∴。 “X”字模型（“8”字模型）：图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。 ①“8”字模型 ②反“8”字模型 ③平行双“8”字模型 ④斜双“8”字模型 图1 图2 图3 图4 ①“8”字模型 条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔＝＝。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴△AOB∽△COD，∴＝＝。 ②反“8”字模型 条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝。 证明:∵∠A＝∠D，∴∠AOB=∠DOC，（对顶角） ∴△AOB∽△DOC，∴＝＝。 ③平行双“8”字模型 条件：如图3，AB∥CD；结论：。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠D，∠AEO=∠DFO，∴△AEO∽△DFO， 同理可证：△BEO∽△CFO，△ABO∽△DCO，∴。 ④斜双“8”字模型 条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC⇔∠3＝∠4。 证明:∵∠1＝∠2，∠AOD=∠BOC（对顶角）， ∴△AOD∽△BOC，∴AO:BO=DO:CO，即AO:DO=BO:CO； ∵∠AOB=∠DOC（对顶角），∴△AOB∽△DOC，∴∠3＝∠4。 “AX”字模型（“A8”字模型） ①一“A”+“8”模型 ②两“A”+“8”模型（反向双“A”字模型） ③四“A”+“8”模型 图1 图2 图3 ①一“A”+“8”模型 条件：如图1，DE∥BC； 结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF，⇔。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ∵DE∥BC，∴∠FDE=∠FCB，∠DEF=∠CBF，∴△DEF∽△CBF，∴。 ∴。 ②两“A”+“8”模型 条件：如图2，DE∥AF∥BC； 结论：△DAF∽△DBC，△CAF∽△CED，⇔。 证明:∵AF∥BC，∴∠DAF=∠B，∠DFA=∠DCB，∴△DAF∽△DBC，∴。 ∵DE∥AF，∴∠CAF=∠E，∠CFA=∠CDE，∴△CAF∽△CED，∴。 两式相加得到：，即，故。 ③四“A”+“8”模型3 条件：如图3，DE∥GF∥BC；结论：AF=AG，。 证明:同②中的证法，易证：，， ∴，即AF=AG，故。 A字型和8（X）字型的应用难点在于过分割点（将线段分割的点）作平行线构造模型，有的是直接作平行线，有的是间接作平行线（倍长中线就可以理解为一种间接作平行线），这一点在模考中无论小题还是大题都是屡见不鲜的。 模型1.“A”字模型 例1（2024·陕西西安·一模）如图，在中，平分，交于点，作，交于点，若，，则的长为（     ） A． B．9 C． D．8 例2（2023·山东枣庄·中考真题）如图，在中，，以点A为圆心，以的长为半径作弧交于点D，连接，再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点E，连接，则下列结论中不正确的是（　　）    A． B． C． D． 例3（24-25九年级上·河南·期末）如图，在中，，，正方形的四个顶点在的边上，连接，分别交于M，N两点．则的长为    例4（2024·湖南永州·模拟预测）如图：中，，，，把边长分别为，，，…的n个正方形依次放在中；第一个正方形的顶点分别放在的各边上；第二个正方形的顶点分别放在的各边上，其他正方形依次放入，则第2024个正方形的边长为 ． 例5（2024·山西太原·模拟预测）如图，在中，，，，．过点B作的垂线，交于点G，交于点F，则 ． 模型2.“X”字模型（“8”字模型） 例1（2024·吉林·中考真题）如图，正方形的对角线相交于点O，点E是的中点，点F是上一点．连接．若，则的值为 ． 例2（2025·山东临沂·一模）如图，已知在菱形中，E，F分别是菱形的边的中点，连结与交于点G，的面积为1，则菱形的面积为 ． 例3.（24-25重庆九年级期中）如图，AD与BC交于点O，EF过点O，交AB与点E，交CD与点F，BO＝1，CO＝3，AO，DO．（1）求证：∠A＝∠D．（2）若AE＝BE，求证：CF＝DF． 例4（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．(1)特例感知：如图一，已知边长为3的等边的重心为点O，求与的面积； (2)性质探究：如图二，已知的重心为点O，请判断、是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值；如果不是，请说明理由； (3)性质应用：如图三，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，连接BE交对角线AC于点M． 若正方形ABCD的边长为4，求EM的长度；若，求正方形ABCD的面积    模型3.“AX”字模型（“A8”字模型） 例1（24-25九年级下·河南洛阳·期中）如图，在中，点是的中点，交对角线于点，交于点，若，则的长是（    ） A．4 B．3 C．2.5 D．2 例2（24-25八年级下·上海普陀·期末）已知：如图，，与交于点，，，那么 ．    例3（2024·湖北·模拟预测）（1）【问题背景】如图1，，与相交于点E，点F在上．求证：； 小雅同学的想法是将结论转化为来证明，请你按照小雅的思路完成原题的证明过程． （2）【类比探究】如图2，，，，与相交于点G，点H在上，．求证：． （3）【拓展运用】如图3，在四边形中，，连接，交于点M，过点M作，交于点E，交于点F，连接交于点N，过点N作，交于点G，交于点H，若，，直接写出的长．    例4（2024·浙江·九年级期中）如图，中，中线，交于点，交于点．（1）求的值．（2）如果，，请找出与相似的三角形，并挑出一个进行证明． 1．（24-25九年级上·湖南·阶段练习）已知如图，，若，则的值为(   )    A．1 B． C．2 D． 2．（2023·浙江嘉兴·中考真题）如图，点是的重心，点是边的中点，交于点，交于点，若四边形的面积为6，则的面积为（　　）    A．12 B．14 C．18 D．24 3．（24-25九年级上·山西运城·期中）如图，直线，直线，分别交直线，于点，，，，直线，交于点．若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·陕西·中考真题）如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为（   ）    A． B．7 C． D．8 5．（2025·河南鹤壁·模拟预测）如图所示，在菱形中，E为边中点，连接，交于点P，过点P作，交于点F．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·浙江绍兴·二模）如图，在平行四边形中，的顶点，分别在边、上，满足，，，，在上一取点，满足，则（   ） A．1 B． C． D．2 7．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，等腰直角三角形的直角顶点B在矩形的边上，连接交于点G．若，，G为的中点，则的长为（   ） A． B． C．3 D． 8．（2024·河北·中考真题）如图，的面积为，为边上的中线，点，，，是线段的五等分点，点，，是线段的四等分点，点是线段的中点． （1）的面积为 ；（2）的面积为 ． 9．（2025·山西晋城·三模）如图，在中，，，平分，连接，满足，若，则的长为 ． 10．（2023·湖北十堰·中考真题）如图，在菱形中，点E，F，G，H分别是，，，上的点，且，若菱形的面积等于24，，则 ．    11．（24-25安徽九年级期中）如图，在中，、分别是边上的高，求证：． 12.（24-25安徽·九年级期末）如图，在三角形中，点D、E分别在边、上，，，，．(1)求证：；(2)若的平分线交于点F，交于点G，求．    13．（24-25山东 中考模拟预测）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O． （1）如图①，若四边形ABCD为矩形，过点O作OE⊥BC，求证：OE＝CD． （2）如图②，若AB∥CD，过点O作EF∥AB分别交BC、AD于点E、F．求证：＝2． （3）如图③，若OC平分∠AOB，D、E分别为OA、OB上的点，DE交OC于点M，作MN∥OB交OA于一点N，若OD＝8，OE＝6，直接写出线段MN长度． 14．（24-25江西上饶·九年级校联考期末）完成下列各题． (1)课本中有一道练习题：如图1，一块材料的形状是锐角三角形（），边，高．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，则这个正方形零件的边长是 mm． 拓展应用：(2)若原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形两条边，如图2所示，求此时EF的长．    15．（2024·宁夏银川·二模）综合与实践 莹莹复习教材时，提前准备了一个等腰三角形纸片，如图，，．为了找到重心，以便像教材上那样稳稳用笔尖顶起，她先把点B与点C重叠对折，得折痕，展开后，她把点B与点A重叠对折，得折痕，再展开后连接，交折痕于点O，则点O就是的重心． 教材重现： 如图，用铅笔可以支起一张均匀的三角形卡片．你知道怎样确定这个点的位置吗？ 在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线（median）如图，是的边上的中线． (1)初步观察：连接，则与的数量关系是：________；(2)初步探究：请帮助莹莹求出的面积； (3)猜想验证：莹莹通过测量惊奇地发现，．她的发现正确吗？请说明理由． 16．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）【问题思考】如图1，中，，，，E是上一点，，，垂足为D，求的长； 【类比探究】如图2，中，，，点D．E分别在线段、上，，．求的长； 【拓展应用】如图3，是型如块三角形实地，其中点D、E分别在边、上，其中A、D之间是一池塘，测得，，．，．求A、D之间的距离． 17．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图1，在矩形中，点为边上不与端点重合的一动点，点是对角线上一点，连接，交于点，且． 【模型建立】（1）求证：； 【模型应用】（2）若，，，求的长； 【模型迁移】（3）如图2，若矩形是正方形，，求的值． 18．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，M，N分别为边，上的点，． (1)求证：；(2)如图（2），已知，延长到，使，延长交于点．①若设，探究m，n之间的等量关系；②连接，若平分，直接写出的值． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $