专题01 线段双中点模型 【初中模型小典】2025年 数学中考复习小专题

专题01 线段双中点模型（解析版） 一、基础知识回顾 1）线段中点的概念：把一条线段分成两条相等的线段的点叫线段中点。 2）线段中点的性质：线段的中点平分这条线段。 已知点C是线段AB的中点，则AC=BC= AB (单中点模型) 二、线段双中点模型的概述：两线段在同一直线上且有一个共同的端点，求中点距离。 模型一：两线段无公共部分（ 作和） 已知点B是线段AC上任意一点，点M、N分别为线段AB、BC的中点，则MN=AC 证明：∵点M、N为线段AB、BC的中点 ∴MBAB，BNBC 则MN=MB+BN=AB+BC= 文字语言结论：两中点的距离=被平分的两条线段和的一半 模型二：两线段有公共部分（ 作差） 1）已知点B在线段AC的延长线上，点M、N分别为线段AB、BC的中点，则MN=AC 证明：∵点M、N为线段AB、BC的中点 ∴MBAB，BNBC 则MN=MB-NB=AB-BC= 2）已知点B在线段CA的延长线上，点M、N分别为线段AB、BC的中点，则MN=AC 证明：∵点M、N为线段AB、BC的中点 ∴MBAB，BNBC 则MN=NB-MB=BC-AB= 文字语言结论：两中点的距离=被平分的两条线段差的一半 速记口诀： 一半一半得一半 学习建议：记得自己推导一遍哦！ 【训练与提升】 一．选择题（共5小题） 1．如图，已知线段AB＝20cm，C为直线AB上一点，且AC＝4cm，M，N分别是AC、BC的中点，则MN等于（　　）cm． A．13 B．12 C．10或8 D．10 【分析】根据AC＝AB﹣BC求得BC，然后由M，N分别是AC、BC的中点知，MCAC，CNBC；所以MN（AC+BC）． 【解答】解：∵AB＝20cm，且AC＝4cm， ∴BC＝AB﹣AC， ∴BC＝16； 又∵M，N分别是AC、BC的中点， ∴MCAC，CNBC， ∴MN（AC+BC）， ∴MN（16+4）＝10． 故选：D． 【点评】本题考查了两点间的距离．解答此题时，充分利用了两点间的中点的定义． 2．如图所示，P是线段EF上的一点，若EF＝10cm，PF＝2.5cm，则下列结论中不正确的是（　　） A．EF＝4PF B．EP＝3PF C．EF＝3EP D．EPEF 【分析】先求出线段长度再正确判断即可． 【解答】解：由EF＝10cm，PF＝2.5cm，得EP＝7.5cm； A中EF＝4PF，正确；B中EP＝3PF，正确；C中EFEP，不正确；D中EPEF，正确； 故选：C． 【点评】本题主要考查线段长度的倍数关系，关键是正确计算并判断． 3．如图所示，G是线段AC的中点，点B在线段AC上，且M是线段AB的中点，N是线段BC的中点，那么下列等式成立的是（　　） A．MN＝GC B．MG（AG﹣GB） C．GN（GC+GB） D．MN（AC+GB） 【分析】根据G是线段AC的中点，M是线段AB的中点，N是线段BC的中点，运用线段的和差关系进行判断即可． 【解答】解：∵G是线段AC的中点， ∴GCAC， ∵M是线段AB的中点，N是线段BC的中点， ∴MBAB，NBBC， ∴MN＝MB+NB（AB+BC）AC， ∴MN＝GC，故A正确； ∵M是线段AB的中点， ∴当点B在点G的左侧时，MG＞MBAB（AG﹣GB），故B错误； ∵N是线段BC的中点， ∴当点B在点G的左侧时，GN＜BNBC（GC+GB），故C错误； ∵M是线段AB的中点，N是线段BC的中点， ∴MBAB，NBBC， ∴MN＝MB+NB（AB+BC）AC（AC+GB），故D错误； 故选：A． 【点评】本题主要考查了两点间的距离以及中点定义的运用，解决问题的关键是灵活运用线段的和差关系进行判断．解题时注意：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离． 4．如图，点C、D分别是线段AB上两点（CD＞AC，CD＞BD），用圆规在线段CD上截取CE＝AC，DF＝BD，若点E与点F恰好重合，AB＝8，则CD＝（　　） A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 【分析】由作图可得点C和点D分别是AE、BF的中点，再根据线段中点的定义可得答案． 【解答】解：∵CE＝AC，DF＝BD，若点E与点F恰好重合， ∴点C和点D分别是AE、BF的中点， ∴CEAE，DFBF， ∴CD＝CE+DFAEBFAB＝4． 故选：A． 【点评】本题考查两点间的距离，熟练掌握线段中点的定义是解题关键． 5．点C是线段AB上任意一点，点M、N分别是AC、BC的中点，下列说法正确的是（　　） A．AM＝CN B．当点C为AB的中点时，AN＝2MC C．如果MC＝CN，那么AB＝4AM D．如果BC＝2AC，那么AMAB 【分析】根据线段的中点性质可推出AM＝CMAC，CN＝BNBC，当MC＝CN时，AM＝MC＝CN＝BN，即可推出AB＝4AM． 【解答】解：A：∵M、N分别是AC、BC的中点， ∴AM＝CMAC，CN＝BNBC， ∵C为AB上任意一点， ∴AC不一定等于BC， ∴AM不一定等于CN， ∴A错误， B：当C为AB中点时，AC＝BC， ∴AM＝CM＝CN＝BN， ∴AN＝AM+MC+CN＝3MC， ∴B错误， C：∵MC＝CN， ∴AM＝MC＝CN＝BN， ∴AB＝4AM， ∴C正确， D：∵BC＝2AC， ∴ACAB， ∴AMACAB， ∴D错误， 故选：C． 【点评】本题考查了线段的中点性质，解题的关键是能正确表示线段的和差倍分． 二．填空题（共5小题） 6．已知A、B、C三点在同一条直线上，M、N分别为AB、BC的中点，且AB＝30，BC＝10，则MN的长是 　 　 ． 【分析】此题首先要考虑A、B、C三点在直线上的不同位置：点C在线段AB上或点C在线段AB的延长线上．再根据线段中点的概念进行计算． 【解答】解：∵M，N分别为AB，BC的中点， ∴BMAB＝15，BNBC＝5， 如图，点C在线段AB上时， MN＝BM﹣BN＝15﹣5＝10， 如图，点C在线段AB的延长线上时， MN＝BM+BN＝15+5＝20； 故答案为：10或20． 【点评】此题考查了两点间的距离，正确考虑三点在直线上的不同位置，掌握线段的中点概念是解题的关键． 7．如图，点C是线段AB上的点，点M、N分别是AC、BC的中点，若AC＝6cm，MN＝5cm，则线段MB＝　 　 cm． 【分析】由点M是线段AC的中点，可计算出MC的长度，则可得CN的长度，由N分别是BC的中点，可得出BC的长度，则可计算MB的长度，即可得出答案． 【解答】解∵M是AC的中点， ∴MCACcm＝3cm， 又∵MN＝5cm， ∴CN＝MN﹣MC＝5cm﹣3cm＝2cm， ∵N分别是BC的中点， ∴BC＝2BN＝2×2＝4， ∴MB＝MC+BC＝3cm+4cm＝7cm． 故答案为：7． 【点评】本题主要考查了两点之间的距离，熟练掌握两点之间距离计算的方法进行计算是解决本题的关键． 8．如图，点C，D在线段AB上，P，Q分别是AD，BC的中点，若AB＝11，CQ＝2，DQ＝1，则PC＝　 　 ． 【分析】先根据线段中点的性质和已知条件，先求出BQ，BD，AD，从而求出PD，最后根据PC＝PD﹣CQ﹣DQ求出答案即可． 【解答】解：∵点Q是BC的中点，CQ＝2， ∴BQ＝CQ＝2， ∵DQ＝1， ∴BD＝BQ﹣DQ＝2﹣1＝1， ∵AB＝11， ∴AD＝AB﹣BD＝11﹣1＝10， ∵点P是AD中点， ∴， ∴PC＝PD﹣CQ﹣DQ＝5﹣2﹣1＝2， 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了两点间的距离，解题关键是正确识别图形，理解线段与线段之间的和差倍分关系． 9．如图，点C是线段AB上的一点，M、N分别是AC、BC的中点，且MN＝7cm，则线段AB＝　 　 cm． 【分析】根据题目中的数据和图形可以求得AB与MN的关系，从而可以求得AB的长． 【解答】解：∵点C是线段AB上的一点，M、N分别是AC、BC的中点， ∴AC＝2MC，BC＝2CN， ∵MN＝MC+NC，MN＝7cm， ∴AB＝2MN＝14cm， 故答案为：14． 【点评】本题考查两点间的距离，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 10．如图：线段AD＝8cm，线段AC＝BD＝6cm，E、F分别是线段AB、CD的中点，EF的长是　 ． 【分析】根据题意、结合图形分别求出AB、CD的长，根据线段中点的性质求出EA、DF，计算即可． 【解答】解：∵AD＝8cm，AC＝BD＝6cm， ∴AB＝CD＝2cm， ∵E、F分别是线段AB、CD的中点， ∴EAAB＝1cm，DFCD＝1cm， EF＝AD﹣AE﹣DF＝6cm． 故答案为：6cm． 【点评】本题考查的是两点间的距离的计算，掌握线段中点的概念和性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键． 三．解答题（共5小题） 11．如图，点C是线段AB上一点，点M、N、P分别是线段AC，BC，AB的中点． （1）若AB＝10cm，则MN＝　 　 cm；若MN＝6cm，则AB＝　 　 cm． （2）若AC＝5，CP＝2，求线段PN的长． 【分析】（1）利用线段中点的性质得到MC，CN的长度，则MN＝MC+CN，反过来同样的思路可得AB的长； （2）由已知条件可以求得AP＝AC+CP＝7，因为P是AB的中点，所以AB＝2AP＝14，BC＝AB﹣AC＝9，根据N为BC的中点，可求得CN，所以PN＝CN﹣CP． 【解答】解：（1）∵M、N分别是AC、BC的中点， ∴MCAC，CNBC， MN＝MC+CN（AC+BC）AB10＝5cm； 若MN＝6cm， ∴MN＝MC+CN（AC+BC）AB＝6cm， ∴AB＝12cm； 故答案为：5，12； （2）∵AC＝5，CP＝2， ∴AP＝AC+CP＝7， ∵P是线段AB的中点， ∴AB＝2AP＝14， ∴CB＝AB﹣AC＝9， ∵N是线段CB的中点，CNCB＝4.5， ∴PN＝CN﹣CP＝4.5﹣2＝2.5． 【点评】本题主要考查两点间的距离，正确理解线段中点的定义是解题的关键． 12．如图，点B，D都在线段AC上，AB＝12，点D是线段AB的中点，BD＝3BC，点C是线段BE的中点，求线段AE的长． 解：∵　 　 ，AB＝12 ∴BD＝　 12＝6 ∵ ∴BC＝　 6＝2 又∵　 　 ∴BE＝　 ＝2×2＝4 ∴AE＝ ＝12+4＝16 【分析】由线段中点定义，表示出AB，BE长，即可求AE长． 【解答】解：∵点D是线段AB的中点，AB＝12， ∴BDAB12＝6， ∵BD＝3BC， ∴BCBD6＝2， ∵点C是线段BE的中点， ∴BE＝2BC＝2×2＝4， ∴AE＝AB+BE＝12+4＝1 6． 故答案为：点D是线段AB的中点，AB，BD＝3BC，，点C是线段BE的中点，2BC，AB+BE． 【点评】本题考查线段中点定义，关键是应用线段中点定义表示出有关的线段． 13．如图，已知点C为AB上一点，AC＝15cm，CBAC，若D、E分别为AC、AB的中点，求DE的长． 【分析】根据条件可求出AB与CD的长度，利用中点的性质即可求出AE与AD的长度，从而可求出答案． 【解答】解：∵AC＝15 cm，CBAC． ∴CB＝10 cm，AB＝15+10＝25 cm． 又∵E是AB的中点，D是AC的中点． ∴AEAB＝12.5 cm． ADAC＝7.5 cm ∴DE＝AE﹣AD＝12.5﹣7.5＝5 cm 【点评】本题考查两点间的距离，解题的关键是熟练运用线段之间的熟练关系，本题属于基础题型． 14．已知点A、B、C在同一条直线上，点M、N分别是AC、BC的中点，且AC＝a，BC＝b． （1）如图①，若点C在线段AB上，a＝4，b＝6，求线段MN的长； （2）若点C为线段AB上任一点，其它条件不变，请直接写出你的猜想结果，MN的长度为 　（a+b）　 （用含有a，b的代数式表示），不必说明理由； （3）若点C在线段AB的延长线上，其它条件不变，请在图②中画出图形，试猜想MN的长度为 　（a﹣b）　 （用含有a，b的代数式表示，a＞b），并说明理由． 【分析】（1）根据线段中点的定义得出CM和CN的长，再根据MN＝CM+CN可得MN的长； （2）根据线段中点的定义得出CM和CN的长，再根据MN＝CM+CN可得MN的长； （3）根据线段中点的定义得出CM和CN的长，再根据MN＝CM﹣CN可得MN的长． 【解答】解：（1）∵点M、N分别是AC、BC的中点， ∴，， ∴MN＝CM+CN＝2+3＝5； （2）猜想：MN（a+b）， 理由如下：∵点M、N分别是AC、BC的中点， ∴CMAC，CNBC， ∴MN＝CM+CNACBC（a+b）． 故答案为：（a+b）； （3）猜想：，理由如下： 如图， ∵点M、N分别是AC、BC的中点， ∴，， ∴． 故答案为：（a﹣b）． 【点评】本题考查两点间的距离，熟练掌握线段中点的定义和线段的和差是解题关键． 15．（1）已知：如图1，点C在线段AB上，线段AC＝15，BC＝5，点M、N分别是AC、BC的中点，求MN的长度； （2）已知：如图2，点C在线段AB上，AC+CB＝a，点M、N分别是AC、BC的中点，求MN的长度； （3）已知：如图3，点C在直线AB上，线段AC＝15，BC＝5，点M、N分别是AC、BC的中点，求MN的长度． 【分析】（1）根据线段中点的定义可得MC＝7.5，NC＝2.5，进而可得MN的长； （2）根据线段中点的定义可得MC和NC，进而可得MN的长； （3）当点C在AB的延长线上时，根据线段中点的定义可得MC＝7.5，NC＝2.5，进而可得MN的长．当点C在线段AB上时，同法可得． 【解答】解：（1）∵点M、N分别是AC、BC的中点， ∴MCAC7.5，NCBC2.5， ∴MN＝MC+NC＝7.5+2.5＝10； （2）∵点M、N分别是AC、BC的中点， ∴MCAC，NCBC， ∴MN＝MC+NCACCB（AC+CB）a； （3）如图3，当点C在AB的延长线上时， ∵点M、N分别是AC、BC的中点， ∴MCAC＝7.5，NCBC＝2.5， ∴MN＝MC﹣NCACCB＝7.5﹣2.5＝5． 当点C在线段AB上时，同法可得MN＝10， 综上所述，MN的长为5或10． 【点评】本题考查了线段的中点，求两点之间的距离的应用，主要考查学生的计算能力，解此题的关键是分别求出MC、NC的长度． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 线段双中点模型（原卷版） 一、基础知识回顾 1）线段中点的概念：把一条线段分成两条相等的线段的点叫线段中点。 2）线段中点的性质：线段的中点平分这条线段。 已知点C是线段AB的中点，则AC=BC= AB (单中点模型) 二、线段双中点模型的概述：两线段在同一直线上且有一个共同的端点，求中点距离。 模型一：两线段无公共部分（ 作和） 已知点B是线段AC上任意一点，点M、N分别为线段AB、BC的中点，则MN=AC 证明：∵点M、N为线段AB、BC的中点 ∴MBAB，BNBC 则MN=MB+BN=AB+BC= 文字语言结论：两中点的距离=被平分的两条线段和的一半 模型二：两线段有公共部分（ 作差） 1）已知点B在线段AC的延长线上，点M、N分别为线段AB、BC的中点，则MN=AC 证明：∵点M、N为线段AB、BC的中点 ∴MBAB，BNBC 则MN=MB-NB=AB-BC= 2）已知点B在线段CA的延长线上，点M、N分别为线段AB、BC的中点，则MN=AC 证明：∵点M、N为线段AB、BC的中点 ∴MBAB，BNBC 则MN=NB-MB=BC-AB= 文字语言结论：两中点的距离=被平分的两条线段差的一半 速记口诀： 一半一半得一半 学习建议：记得自己推导一遍哦！ 【训练与提升】 一．选择题（共5小题） 1．如图，已知线段AB＝20cm，C为直线AB上一点，且AC＝4cm，M，N分别是AC、BC的中点，则MN等于（　　）cm． A．13 B．12 C．10或8 D．10 2．如图所示，P是线段EF上的一点，若EF＝10cm，PF＝2.5cm，则下列结论中不正确的是（　　） A．EF＝4PF B．EP＝3PF C．EF＝3EP D．EPEF 3．如图所示，G是线段AC的中点，点B在线段AC上，且M是线段AB的中点，N是线段BC的中点，那么下列等式成立的是（　　） A．MN＝GC B．MG（AG﹣GB） C．GN（GC+GB） D．MN（AC+GB） 4．如图，点C、D分别是线段AB上两点（CD＞AC，CD＞BD），用圆规在线段CD上截取CE＝AC，DF＝BD，若点E与点F恰好重合，AB＝8，则CD＝（　　） A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 5．点C是线段AB上任意一点，点M、N分别是AC、BC的中点，下列说法正确的是（　　） A．AM＝CN B．当点C为AB的中点时，AN＝2MC C．如果MC＝CN，那么AB＝4AM D．如果BC＝2AC，那么AMAB 二．填空题（共5小题） 6．已知A、B、C三点在同一条直线上，M、N分别为AB、BC的中点，且AB＝30，BC＝10，则MN的长是 　 　 ． 7．如图，点C是线段AB上的点，点M、N分别是AC、BC的中点，若AC＝6cm，MN＝5cm，则线段MB＝　 　 cm． 8．如图，点C，D在线段AB上，P，Q分别是AD，BC的中点，若AB＝11，CQ＝2，DQ＝1，则PC＝　 　 ． 9．如图，点C是线段AB上的一点，M、N分别是AC、BC的中点，且MN＝7cm，则线段AB＝　 　 cm． 10．如图：线段AD＝8cm，线段AC＝BD＝6cm，E、F分别是线段AB、CD的中点，EF的长是　 ． 三．解答题（共5小题） 11．如图，点C是线段AB上一点，点M、N、P分别是线段AC，BC，AB的中点． （1）若AB＝10cm，则MN＝　 　 cm；若MN＝6cm，则AB＝　 　 cm． （2）若AC＝5，CP＝2，求线段PN的长． 12．如图，点B，D都在线段AC上，AB＝12，点D是线段AB的中点，BD＝3BC，点C是线段BE的中点，求线段AE的长． 解：∵　 　 ，AB＝12 ∴BD＝　 12＝6 ∵ ∴BC＝　 6＝2 又∵　 　 ∴BE＝　 ＝2×2＝4 ∴AE＝ ＝12+4＝16 13．如图，已知点C为AB上一点，AC＝15cm，CBAC，若D、E分别为AC、AB的中点，求DE的长． 14．已知点A、B、C在同一条直线上，点M、N分别是AC、BC的中点，且AC＝a，BC＝b． （1）如图①，若点C在线段AB上，a＝4，b＝6，求线段MN的长； （2）若点C为线段AB上任一点，其它条件不变，请直接写出你的猜想结果，MN的长度为 　（a+b）　 （用含有a，b的代数式表示），不必说明理由； （3）若点C在线段AB的延长线上，其它条件不变，请在图②中画出图形，试猜想MN的长度为 　（a﹣b）　 （用含有a，b的代数式表示，a＞b），并说明理由． 15．（1）已知：如图1，点C在线段AB上，线段AC＝15，BC＝5，点M、N分别是AC、BC的中点，求MN的长度； （2）已知：如图2，点C在线段AB上，AC+CB＝a，点M、N分别是AC、BC的中点，求MN的长度； （3）已知：如图3，点C在直线AB上，线段AC＝15，BC＝5，点M、N分别是AC、BC的中点，求MN的长度． 学科网（北京）股份有限公司 $$