专题01 相似三角形重要模型之（双）A字型与（双）8字型（几何模型讲义）数学苏科版九年级下册

专题01. 相似三角形重要模型之（双）A字型与（双）8字型 相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广，分析图形间的关系离不开数量的计算。相似和勾股是产生等式的主要依据（其他依据还有面积法，三角函数等），因此要掌握相似三角形的基本图形，体会其各种演变和联系。相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。本专题重点讲解相似三角形的（双）A字模型和（双）8（X）字模型． 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 5 模型运用 6 模型1.“A”字模型 6 模型2.“X”字模型（“8”字模型） 9 模型3.“AX”字模型（“A8”字模型） 14 17 “(双)A字型”与“(双)8字型”作为相似三角形的重要模型，并没有明确的起源时间或历史背景。这些模型是数学教育者和研究者为了解决特定几何问题而创造的，主要用于帮助学生理解和应用相似三角形的性质和判定方法。这些模型在数学教育中被广泛使用，特别是在中学几何教学中，帮助学生在解决复杂几何问题时提供直观的思路和工具。 （2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，点D为中点，点E在上，当为 时，与以点A、D、E为顶点的三角形相似． （2023·安徽·中考真题）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（   ）    A． B． C． D． “A”字模型：（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似。 ①“A”字模型 ②反“A”字模型 ③同向双“A”字模型 ④内接矩形模型 图1　 　图2 　 　 图3 图4 ①“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ②反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝。 证明:∵∠AED＝∠B，∴∠A=∠A，（公共角） ∴△ADE∽△ACB，∴＝＝。 ③同向双“A”字模型 条件：如图3，EF∥BC； 结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔。 证明:∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴△AEF∽△ABC， 同理可证：△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴＝＝。 ④内接矩形模型 条件：如图4，△ABC的内接矩形DEFG的边EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边上，且AM⊥BC；结论：△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM⇔。 证明:∵DEFG是矩形 ∴DG∥EF，∴∠ADG=∠ABC，∠AGD=∠ACB，∴△ADG∽△ABC， 同理可证：△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，∴。 “X”字模型（“8”字模型）：图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。 ①“8”字模型 ②反“8”字模型 ③平行双“8”字模型 ④斜双“8”字模型 图1 图2 图3 图4 ①“8”字模型 条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔＝＝。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴△AOB∽△COD，∴＝＝。 ②反“8”字模型 条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝。 证明:∵∠A＝∠D，∴∠AOB=∠DOC，（对顶角） ∴△AOB∽△DOC，∴＝＝。 ③平行双“8”字模型 条件：如图3，AB∥CD；结论：。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠D，∠AEO=∠DFO，∴△AEO∽△DFO， 同理可证：△BEO∽△CFO，△ABO∽△DCO，∴。 ④斜双“8”字模型 条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC⇔∠3＝∠4。 证明:∵∠1＝∠2，∠AOD=∠BOC（对顶角）， ∴△AOD∽△BOC，∴AO:BO=DO:CO，即AO:DO=BO:CO； ∵∠AOB=∠DOC（对顶角），∴△AOB∽△DOC，∴∠3＝∠4。 “AX”字模型（“A8”字模型） ①一“A”+“8”模型 ②两“A”+“8”模型（反向双“A”字模型） ③四“A”+“8”模型 图1 图2 图3 ①一“A”+“8”模型 条件：如图1，DE∥BC； 结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF，⇔。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ∵DE∥BC，∴∠FDE=∠FCB，∠DEF=∠CBF，∴△DEF∽△CBF，∴。 ∴。 ②两“A”+“8”模型 条件：如图2，DE∥AF∥BC； 结论：△DAF∽△DBC，△CAF∽△CED，⇔。 证明:∵AF∥BC，∴∠DAF=∠B，∠DFA=∠DCB，∴△DAF∽△DBC，∴。 ∵DE∥AF，∴∠CAF=∠E，∠CFA=∠CDE，∴△CAF∽△CED，∴。 两式相加得到：，即，故。 ③四“A”+“8”模型3 条件：如图3，DE∥GF∥BC；结论：AF=AG，。 证明:同②中的证法，易证：，， ∴，即AF=AG，故。 A字型和8（X）字型的应用难点在于过分割点（将线段分割的点）作平行线构造模型，有的是直接作平行线，有的是间接作平行线（倍长中线就可以理解为一种间接作平行线），这一点在模考中无论小题还是大题都是屡见不鲜的。 模型1.“A”字模型 例1（2025·青海·中考真题）如图，在中，，且，，则的值是 ． 例2（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在中，，于点，，，，则线段的长为 ． 例3（24-25九年级上·福建莆田·开学考试）如图，在中，点、在上，点、在、上，四边形是矩形，，是的高，，，那么的长为 ．    例4（2024·湖南永州·模拟预测）如图：中，，，，把边长分别为，，，…的n个正方形依次放在中；第一个正方形的顶点分别放在的各边上；第二个正方形的顶点分别放在的各边上，其他正方形依次放入，则第2024个正方形的边长为 ． 例5（24-25九年级下·安徽黄山·阶段练习）如图，菱形的对角线与相交于点，，点在上，且，与相交于点，下列结论不正确的是（   ）． A． B． C． D． 模型2.“X”字模型（“8”字模型） 例1（2025·陕西商洛·三模）如图，在边长为5的正方形中，点在边上，，交于点，则的长为（    ）    A．2 B．3 C． D． 例2（2025·安徽·模拟预测）如图，在中，，平分交于点，是上靠近点的三等分点，连接，交于点，若，，则的长为（   ） A． B． C． D．3 例3（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，与交于点O，过点O，交于点E，交于点，．（1）求证：．（2）若，求． 例4（2024·江苏镇江·中考真题）主题学习：仅用一把无刻度的直尺作图 【阅读理解】任务：如图1，点D、E分别在的边、上，，仅用一把无刻度的直尺作、的中点．      操作：如图2，连接、交于点P，连接交于点M，延长交于点N，则M、N分别为、的中点． 理由：由可得及，所以，．所以，．同理，由及，可得，．所以．所以，则，，即M、N分别为、的中点． 【实践操作】请仅用一把无刻度的直尺完成下列作图，要求：不写作法，保留作图痕迹． （1）如图3，，点E、F在直线上． ①作线段的中点；②在①中作图的基础上，在直线上位于点Ｆ的右侧作一点P，使得； （2）小明发现，如果重复上面的过程，就可以作出长度是已知线段长度的3倍、4倍、…k倍（k为正整数）的线段．如图4，，已知点、在上，他利用上述方法作出了．点E、F在直线上，请在图4中作出线段的三等分点； 【探索发现】请仅用一把无刻度的直尺完成作图，要求：不写作法，保留作图痕迹． （3）如图5，是的中位线．请在线段上作出一点Q，使得（要求用两种方法）． 模型3.“AX”字模型（“A8”字模型） 例1（2025·陕西榆林·三模）如图，在中，点在边上，连接，交对角线于点，过点作，交于点．若，则的长为（　　） A． B．2 C．4 D．5 例2（2024·安徽·三模）如图，已知、，与相交于点，作于点，点是的中点，于点，交于点，若，，则值为（    ）    A． B． C． D． 例3（2024·湖北·模拟预测）（1）【问题背景】如图1，，与相交于点E，点F在上．求证：；    小雅同学的想法是将结论转化为来证明，请你按照小雅的思路完成原题的证明过程． （2）【类比探究】如图2，，，，与相交于点G，点H在上，．求证：． （3）【拓展运用】如图3，在四边形中，，连接，交于点M，过点M作，交于点E，交于点F，连接交于点N，过点N作，交于点G，交于点H，若，，直接写出的长． 例4（2024·浙江·九年级期中）如图，中，中线，交于点，交于点．（1）求的值．（2）如果，，请找出与相似的三角形，并挑出一个进行证明． 1．（2025·山东威海·中考真题）如图，的中线交于点F，连接．下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·云南昆明·三模）如图，E是平行四边形边BC的延长线上一点，若，，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．9 3．（24-25九年级下·江西九江·期中）如图，在正方形中，对角线长为，点E是边的中点，连接，与对角线交于点F，则的面积为（   ） A．9 B．12 C．15 D．18 4．（2025·安徽亳州·三模）如图，中，E为对角线上一点，过点E的直线分别交边，于点F，G，交射线，于点M，N．若，，则的值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．15 5．（2024·江苏无锡·模拟预测）如图，和都是等边三角形，点在的延长线上．，若，，则的长为（    ） A．4 B． C． D．2 6．（2024·吉林长春·三模）如图，在中，点、为边的三等分点，点、在边上，，交于点．若，则的长为 ． 7．（2023·山东临沂·中考真题）如图，三角形纸片中，，分别沿与平行的方向，从靠近A的AB边的三等分点剪去两个角，得到的平行四边形纸片的周长是 ．    8．（2025·福建三明·三模）如图，在中，为边的中点，连接，交对角线于点，已知，则的值为 9．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，菱形的边长为5，对角线、相交于点O，E为边的中点，连接交于点F．若，则的长为 ． 10．（24-25八年级下·上海·期末）如图，点、分别是梯形的腰、的中点，连接、，交于点，如果，，则与的面积比为 ． 11．（2021·山东菏泽·中考真题）如图，在中，，垂足为，，，四边形和四边形均为正方形，且点、、、、、都在的边上，那么与四边形的面积比为______． 12．（2024·河南安阳·模拟预测）阅读材料： 定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半． 已知：如图1，在中…… 求证…… 证明：延长到点F，使，连接…… 甲、乙两人后续证明的部分思路如下： 甲：如图2，先证明，再推理得出四边形是平行四边形． 乙：如图3，连接，先后证明四边形，分别为平行四边形． (1)请补充已知、求证： 已知：________________，求证：________________． (2)你认为证明思路正确的是_______． A．甲正确    B．乙正确        C．甲、乙均正确    D．甲、乙均不正确 (3)请你用一种不同于甲、乙的思路就图1写出该定理的证明过程． 13．（2023·湖南郴州·统考中考真题）已知是等边三角形，点是射线上的一个动点，延长至点，使，连接交射线于点．    (1)如图1，当点在线段上时，猜测线段与的数量关系并说明理由； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，①线段与的数量关系是否仍然成立？请说明理由； ②如图3，连接．设，若，求四边形的面积． 14．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图1，在矩形中，点为边上不与端点重合的一动点，点是对角线上一点，连接，交于点，且． 【模型建立】（1）求证：；【模型应用】（2）若，，，求的长； 【模型迁移】（3）如图2，若矩形是正方形，，求的值． 15．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，，垂足为，，垂足为，与相交于点，(1)判断与是相似三角形吗？请说明理由；(2)连接，求证：； (3)若，，，求的长． 16.（2022·浙江宁波·中考真题）(1)如图1，在中，D，E，F分别为上的点，交于点G，求证：． (2)如图2，在（1）的条件下，连接．若，求的值． (3)如图3，在中，与交于点O，E为上一点，交于点G，交于点F．若平分，求的长． 17．（2025·山西晋城·三模）综合与探究 问题情境：如图，在中，，分别为和的中点，延长至点，使，连接，在线段上取点和，使得，动点分别从点同时出发，以相同的速度向终点运动，并且同时到达终点，连接，设，，且与满足． 猜想证明：（1）判断四边形的形状，并说明理由． 问题拓展：（2）①的长为_____；②如图2，当时，求． 深入探究：（3）在运动的过程中，将绕点顺时针旋转得到线段，当点落在平行四边形的边上时，请直接写出的值． 18．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，M，N分别为边，上的点，． (1)求证：；(2)如图（2），已知，延长到，使，延长交于点．①若设，探究m，n之间的等量关系；②连接，若平分，直接写出的值． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01. 相似三角形重要模型之（双）A字型与（双）8字型 相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广，分析图形间的关系离不开数量的计算。相似和勾股是产生等式的主要依据（其他依据还有面积法，三角函数等），因此要掌握相似三角形的基本图形，体会其各种演变和联系。相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。本专题重点讲解相似三角形的（双）A字模型和（双）8（X）字模型． 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 5 模型运用 6 模型1.“A”字模型 6 模型2.“X”字模型（“8”字模型） 9 模型3.“AX”字模型（“A8”字模型） 14 17 “(双)A字型”与“(双)8字型”作为相似三角形的重要模型，并没有明确的起源时间或历史背景。这些模型是数学教育者和研究者为了解决特定几何问题而创造的，主要用于帮助学生理解和应用相似三角形的性质和判定方法。这些模型在数学教育中被广泛使用，特别是在中学几何教学中，帮助学生在解决复杂几何问题时提供直观的思路和工具。 （2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，点D为中点，点E在上，当为 时，与以点A、D、E为顶点的三角形相似． 【答案】3或 【详解】解：当时，∵，∴，∴， 当时，∵，∴，∴， 综上，或，故答案为：3或． （2023·安徽·中考真题）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵四边形是正方形，，， ∴，，， ∵，∴∴，， ∴，则，∴， ∵，∴，∴∴， 在中，，故选：B． “A”字模型：（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似。 ①“A”字模型 ②反“A”字模型 ③同向双“A”字模型 ④内接矩形模型 图1　 　图2 　 　 图3 图4 ①“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ②反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝。 证明:∵∠AED＝∠B，∴∠A=∠A，（公共角） ∴△ADE∽△ACB，∴＝＝。 ③同向双“A”字模型 条件：如图3，EF∥BC； 结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔。 证明:∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴△AEF∽△ABC， 同理可证：△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴＝＝。 ④内接矩形模型 条件：如图4，△ABC的内接矩形DEFG的边EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边上，且AM⊥BC；结论：△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM⇔。 证明:∵DEFG是矩形 ∴DG∥EF，∴∠ADG=∠ABC，∠AGD=∠ACB，∴△ADG∽△ABC， 同理可证：△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，∴。 “X”字模型（“8”字模型）：图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。 ①“8”字模型 ②反“8”字模型 ③平行双“8”字模型 ④斜双“8”字模型 图1 图2 图3 图4 ①“8”字模型 条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔＝＝。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴△AOB∽△COD，∴＝＝。 ②反“8”字模型 条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝。 证明:∵∠A＝∠D，∴∠AOB=∠DOC，（对顶角） ∴△AOB∽△DOC，∴＝＝。 ③平行双“8”字模型 条件：如图3，AB∥CD；结论：。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠D，∠AEO=∠DFO，∴△AEO∽△DFO， 同理可证：△BEO∽△CFO，△ABO∽△DCO，∴。 ④斜双“8”字模型 条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC⇔∠3＝∠4。 证明:∵∠1＝∠2，∠AOD=∠BOC（对顶角）， ∴△AOD∽△BOC，∴AO:BO=DO:CO，即AO:DO=BO:CO； ∵∠AOB=∠DOC（对顶角），∴△AOB∽△DOC，∴∠3＝∠4。 “AX”字模型（“A8”字模型） ①一“A”+“8”模型 ②两“A”+“8”模型（反向双“A”字模型） ③四“A”+“8”模型 图1 图2 图3 ①一“A”+“8”模型 条件：如图1，DE∥BC； 结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF，⇔。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ∵DE∥BC，∴∠FDE=∠FCB，∠DEF=∠CBF，∴△DEF∽△CBF，∴。 ∴。 ②两“A”+“8”模型 条件：如图2，DE∥AF∥BC； 结论：△DAF∽△DBC，△CAF∽△CED，⇔。 证明:∵AF∥BC，∴∠DAF=∠B，∠DFA=∠DCB，∴△DAF∽△DBC，∴。 ∵DE∥AF，∴∠CAF=∠E，∠CFA=∠CDE，∴△CAF∽△CED，∴。 两式相加得到：，即，故。 ③四“A”+“8”模型3 条件：如图3，DE∥GF∥BC；结论：AF=AG，。 证明:同②中的证法，易证：，， ∴，即AF=AG，故。 A字型和8（X）字型的应用难点在于过分割点（将线段分割的点）作平行线构造模型，有的是直接作平行线，有的是间接作平行线（倍长中线就可以理解为一种间接作平行线），这一点在模考中无论小题还是大题都是屡见不鲜的。 模型1.“A”字模型 例1（2025·青海·中考真题）如图，在中，，且，，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴，∴， ∵，，，∴，故答案为：． 例2（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在中，，于点，，，，则线段的长为 ． 【答案】/ 【详解】解：，． ，．，．． ．，故答案为：． 例3（24-25九年级上·福建莆田·开学考试）如图，在中，点、在上，点、在、上，四边形是矩形，，是的高，，，那么的长为 ．    【答案】 【详解】解：设交于点，    ∵矩形的边在上，∴，， ∴，，， ∴，∴，∵于点，∴，∴， ∵，，，，∴四边形是矩形,∴， ∵，，∴，∴ 解得，∴的长为，故答案为∶． 例4（2024·湖南永州·模拟预测）如图：中，，，，把边长分别为，，，…的n个正方形依次放在中；第一个正方形的顶点分别放在的各边上；第二个正方形的顶点分别放在的各边上，其他正方形依次放入，则第2024个正方形的边长为 ． 【答案】/ 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，∴， ∴，即，∴，∴， 同理可证， ∴，即，∴，同理可求得， ∴可以推出第n个正方形的边长为，∴第2024个正方形的边长为，故答案为：． 例5（24-25九年级下·安徽黄山·阶段练习）如图，菱形的对角线与相交于点，，点在上，且，与相交于点，下列结论不正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：在菱形中，， ，和都是等边三角形， ，， （公共边），， ，，A正确； ，，， ，， ，，B正确； 如图，过点作，交于点，则， ，，，， ，，，，，C正确； 假设正确，则，，， ，， 与相矛盾，假设不成立，错误，D不正确．故选：D． 模型2.“X”字模型（“8”字模型） 例1（2025·陕西商洛·三模）如图，在边长为5的正方形中，点在边上，，交于点，则的长为（    ）    A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形是边长为5的正方形，∴ ， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴．故选：D． 例2（2025·安徽·模拟预测）如图，在中，，平分交于点，是上靠近点的三等分点，连接，交于点，若，，则的长为（   ） A． B． C． D．3 【答案】B 【详解】解：如图，过点作∥交于点， ，平分，，是的中点， ∵∥，∴,是的中点，是的中位线， ，是上靠近点的三等分点，，，， ∵∥，，，，．故选：B． 例3（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，与交于点O，过点O，交于点E，交于点，．（1）求证：．（2）若，求． 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】证明：（1）．， ． （2） 例4（2024·江苏镇江·中考真题）主题学习：仅用一把无刻度的直尺作图 【阅读理解】任务：如图1，点D、E分别在的边、上，，仅用一把无刻度的直尺作、的中点．      操作：如图2，连接、交于点P，连接交于点M，延长交于点N，则M、N分别为、的中点． 理由：由可得及，所以，．所以，．同理，由及，可得，．所以．所以，则，，即M、N分别为、的中点． 【实践操作】请仅用一把无刻度的直尺完成下列作图，要求：不写作法，保留作图痕迹． （1）如图3，，点E、F在直线上． ①作线段的中点；②在①中作图的基础上，在直线上位于点Ｆ的右侧作一点P，使得； （2）小明发现，如果重复上面的过程，就可以作出长度是已知线段长度的3倍、4倍、…k倍（k为正整数）的线段．如图4，，已知点、在上，他利用上述方法作出了．点E、F在直线上，请在图4中作出线段的三等分点； 【探索发现】请仅用一把无刻度的直尺完成作图，要求：不写作法，保留作图痕迹． （3）如图5，是的中位线．请在线段上作出一点Q，使得（要求用两种方法）． 【答案】（1）①见解析，②见解析；（2）见解析；（3）见解析 【详解】解：[实践操作]（1）①如图1，点即为所求作的点； 图1 图2 ②如图2，点即为所求作的点； （2）如图，作法一、如图3 图3 图4 作法二、如图4 点，即为所求作的点； [探索发现]（3）如图，作法一、如图5 图5 图6 作法二、如图6 作法三、如图7 作法四、如图8 作法五、如图9 图7 图8 图9 点即为所求的点． 模型3.“AX”字模型（“A8”字模型） 例1（2025·陕西榆林·三模）如图，在中，点在边上，连接，交对角线于点，过点作，交于点．若，则的长为（　　） A． B．2 C．4 D．5 【答案】A 【详解】解：∵，∴，∴， ∵，，∴，∴，解得， ∵，∴，，∴， ∴，∴，∴，∴．故选：A． 例2（2024·安徽·三模）如图，已知、，与相交于点，作于点，点是的中点，于点，交于点，若，，则值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：、，，∴，，， ∴，，∴，，∴， ，∴，点是的中点，，，， ∴，，∴，∴，故选：． 例3（2024·湖北·模拟预测）（1）【问题背景】如图1，，与相交于点E，点F在上．求证：；    小雅同学的想法是将结论转化为来证明，请你按照小雅的思路完成原题的证明过程． （2）【类比探究】如图2，，，，与相交于点G，点H在上，．求证：． （3）【拓展运用】如图3，在四边形中，，连接，交于点M，过点M作，交于点E，交于点F，连接交于点N，过点N作，交于点G，交于点H，若，，直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【详解】（1）证明：∵，∴，∴．同理可得：， ∴，两边同时除以，得． （2）证明：∵，，，，∴，， ∵，∴，∴，同理，， ∴，∴， 两边同时除以得，，∴； （3）解：由（1）可知，，， ∴，解得，，∴，解得，，∴． 例4（2024·浙江·九年级期中）如图，中，中线，交于点，交于点．（1）求的值．（2）如果，，请找出与相似的三角形，并挑出一个进行证明． 【答案】（1）3；（2），证明见解析 【详解】解：（1）是的中点，是的中点，，， ，，，，， ，，，，，． （2）当，时，由（1）可得，，，，，，， 又，，，，， ，，． 1．（2025·山东威海·中考真题）如图，的中线交于点F，连接．下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵的中线交于点F， ∴， ∴，，故D选项结论正确； ∴，， ∴，，，故A、C选项结论正确，B选项结论错误； 故选：B. 2．（2025·云南昆明·三模）如图，E是平行四边形边BC的延长线上一点，若，，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【详解】解：∵平行四边形，∴，∴， ∴，∴，∴．故选B． 3．（24-25九年级下·江西九江·期中）如图，在正方形中，对角线长为，点E是边的中点，连接，与对角线交于点F，则的面积为（   ） A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】B 【详解】解：如图所示，过点作于点，的延长线交于点， 四边形是正方形，对角线长为， ，，， 在中，，， 点E是边的中点，，，， 四边形是矩形，，，， ，，， ，，，故选：B． 4．（2025·安徽亳州·三模）如图，中，E为对角线上一点，过点E的直线分别交边，于点F，G，交射线，于点M，N．若，，则的值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．15 【答案】C 【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴， ∴，，∴， ∵，，∴，∴．故选：C 5．（2024·江苏无锡·模拟预测）如图，和都是等边三角形，点在的延长线上．，若，，则的长为（    ） A．4 B． C． D．2 【答案】B 【详解】解：过点作，垂足为点， 设，，，， ，和都是等边三角形， ，，， ，，，， ，，，，，， ，，，， ，∴，， ，即，．故选：B． 6．（2024·吉林长春·三模）如图，在中，点、为边的三等分点，点、在边上，，交于点．若，则的长为 ． 【答案】 【详解】点，为边的三等分点，， ，，，， 点，为边的三等分点，，点，为边的三等分点，， ，，，．故答案为： 7．（2023·山东临沂·中考真题）如图，三角形纸片中，，分别沿与平行的方向，从靠近A的AB边的三等分点剪去两个角，得到的平行四边形纸片的周长是 ．    【答案】14 【详解】解：如图，由题意得，四边形是平行四边形，    ∴，，∴，，∴，， ∵，∴，，∵四边形平行四边形， ∴平行四边形纸片的周长是， 故答案为：14． 8．（2025·福建三明·三模）如图，在中，为边的中点，连接，交对角线于点，已知，则的值为 【答案】2 【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴， ∴，，∴，则 ∵为边的中点，∴，∴，则，故答案为：2． 9．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，菱形的边长为5，对角线、相交于点O，E为边的中点，连接交于点F．若，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：∵菱形的边长为，， ∴，，，∴， ∵为边的中点，∴，∵，∴ ∴∴，则， 在中，，∴故答案为：． 10．（24-25八年级下·上海·期末）如图，点、分别是梯形的腰、的中点，连接、，交于点，如果，，则与的面积比为 ． 【答案】 【详解】解：在梯形中，，点、分别是、的中点，，， ，，，设和的高为，， ，，，， ，，故答案为：． 11．（2021·山东菏泽·中考真题）如图，在中，，垂足为，，，四边形和四边形均为正方形，且点、、、、、都在的边上，那么与四边形的面积比为______． 【答案】1∶3 【详解】解：∵四边形和四边形均为正方形， ∴设四边形和四边形的边长为x， 则EM＝2x，EF＝x，EF⊥BC，EM∥BC，∵AD⊥BC，∴PD＝EF＝x， ∵AD＝5，∴AP＝AD－PD＝5－x， ∵EMBC，∴AEM∽ABC，∴，∴，解得：x＝2.5， ∴AP＝2.5，EM＝5，∴S△AEM＝＝， 又∵S△ABC＝＝25， ∴S四边形BCME＝S△ABC－S△AEM＝25－＝， ∴S△AEM∶S四边形BCME＝∶＝1∶3，故答案为：1∶3． 12．（2024·河南安阳·模拟预测）阅读材料： 定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半． 已知：如图1，在中…… 求证…… 证明：延长到点F，使，连接…… 甲、乙两人后续证明的部分思路如下： 甲：如图2，先证明，再推理得出四边形是平行四边形． 乙：如图3，连接，先后证明四边形，分别为平行四边形． (1)请补充已知、求证： 已知：________________，求证：________________． (2)你认为证明思路正确的是_______． A．甲正确    B．乙正确        C．甲、乙均正确    D．甲、乙均不正确 (3)请你用一种不同于甲、乙的思路就图1写出该定理的证明过程． 【答案】(1)已知：点D，E分别是，的中点； 求证：，(2)C(3)详见解析 【详解】（1）解：已知：点D，E分别是，的中点；求证：，． （2）解：甲: ∵ 是的中点,∴, ∵,∴,∴,∴, ∵是的中点,∴,∴, ∴四边形是平行四边形，∴, ,，故甲的思路正确； 乙: ∵是的中点,∴, ∵,∴四边形是平行四边形，∴, ∵是的中点,∴,∴,∴四边形是平行四边形，∴, ，，故乙的思路正确；故选: C. （3）证明：∵D，E分别是，的中点， ∴，，∴，又∵，∴， ∴，，∴，． 13．（2023·湖南郴州·统考中考真题）已知是等边三角形，点是射线上的一个动点，延长至点，使，连接交射线于点．    (1)如图1，当点在线段上时，猜测线段与的数量关系并说明理由； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，①线段与的数量关系是否仍然成立？请说明理由； ②如图3，连接．设，若，求四边形的面积． 【答案】(1)，理由见解析(2)①成立，理由见解析② 【详解】（1）解：，理由如下： ∵是等边三角形，∴， 过点作，交于点，    ∴，， ∴为等边三角形，∴， ∵，，∴，， 又，∴，∴，∴； （2）①成立，理由如下：∵是等边三角形，∴， 过点作，交的延长线于点，       ∴，， ∴为等边三角形，∴， ∵，，∴，， 又，∴，∴，∴； ②过点作，交的延长线于点，过点作，交于点，交于点，则：，由①知：为等边三角形，，， ∵为等边三角形，∴，∴， ∵，∴， ∴，∴，∵， ∴，，∴，∴， ∴，设，则：，，∴， ∵，∴，∴，即：②， 联立①②可得：（负值已舍去），经检验是原方程的根， ∴，，，∴， ∴， ∵，∴， ∴四边形的面积为 ． 14．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图1，在矩形中，点为边上不与端点重合的一动点，点是对角线上一点，连接，交于点，且． 【模型建立】（1）求证：；【模型应用】（2）若，，，求的长； 【模型迁移】（3）如图2，若矩形是正方形，，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【详解】解：（1）∵矩形，∴，∴， ∵，∴，∴，∴； （2）延长交于点，∵矩形，∴， ∴，∴，∴， ∵，，∴， ∴，∴，∴； （3）设正方形的边长为，则：，延长交于点， ∵正方形，∴，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴． 15．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，，垂足为，，垂足为，与相交于点，(1)判断与是相似三角形吗？请说明理由；(2)连接，求证：； (3)若，，，求的长． 【答案】(1)，理由见解析；(2)证明见解析；(3)． 【详解】（1），理由如下， ∵ ，，∴ ， ∵ ，，∴ ； （2）由（）得，∴，∴， ∵，∴，∴，∴； （3）∵，，∴，∴，∴，由（）得， ∵，∴，∵，∴，∴． 16.（2022·浙江宁波·中考真题）(1)如图1，在中，D，E，F分别为上的点，交于点G，求证：． (2)如图2，在（1）的条件下，连接．若，求的值． (3)如图3，在中，与交于点O，E为上一点，交于点G，交于点F．若平分，求的长． 【答案】(1)证明见详解(2)(3) 【解析】(1)解：∵，∴， ∴，∴．∵，∴． (2)解：由（1）得，∵，∴． ∵，∴．∵，∴．∴． (3)解：如图，延长交于点M，连接，作，垂足为N． 在中，．∵，∴由（1）得， ∵，∴，∴．∵，∴，∴． ∵平分，∴，∴． ∴．在中，． ∵，∴，∴． 17．（2025·山西晋城·三模）综合与探究 问题情境：如图，在中，，分别为和的中点，延长至点，使，连接，在线段上取点和，使得，动点分别从点同时出发，以相同的速度向终点运动，并且同时到达终点，连接，设，，且与满足． 猜想证明：（1）判断四边形的形状，并说明理由． 问题拓展：（2）①的长为_____；②如图2，当时，求． 深入探究：（3）在运动的过程中，将绕点顺时针旋转得到线段，当点落在平行四边形的边上时，请直接写出的值． 【答案】（1）四边形为平行四边形，理由见解析；（2）①，②；（3）或 【详解】解：（1）四边形为平行四边形， 理由如下：，分别为和的中点，，， ，，，四边形为平行四边形； （2）①由动点分别从点同时出发，以相同的速度向终点运动，并且同时到达终点，可得，，，， ，，，故答案为：； ②，，，，， ，，， ，，，即，解得，， ，； （3）当点落在上时，过点作，交于点，交于点，如图所示： 四边形为平行四边形，，，， 由（2）知，，，，，， ，，，， ，，， ，，， ，即，，，解得； 当点落在上时，过点作于点，如图所示： ，， ，， ，，， ，，解得；综上所述，的值为或． 18．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，M，N分别为边，上的点，． (1)求证：；(2)如图（2），已知，延长到，使，延长交于点．①若设，探究m，n之间的等量关系；②连接，若平分，直接写出的值． 【答案】(1)见解析，(2)①；② 【详解】（1）证明：∵，， ∴，∴，∴． （2）解：①过点C作交于Q，如图， ∵，，∴是等边三角形，∴，， ∵，∴，，∴是等边三角形， ∴，∴，设，∵，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴，即，∴，由（1）知：， ∴，∴，∴，∴， ∵，∴． ②作交延长线于F，于E，交于H，如图， ∵平分，，，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴， 在与中，，∴， ∴，同理可证明是等边三角形， ∴，，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∵，， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，∴． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $