专题02 相似三角形重要模型之母子型（共边共角模型）（几何模型讲义）数学苏科版九年级下册

专题02. 相似三角形重要模型之母子型（共边共角模型） 相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。在相似三角形中存在众多的相似模型，其中“母子型”相似模型应用较为广泛，深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“母子”模型。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 4 模型1.“母子型”模型（共边共角模型） 4 13 相似三角形的比例性质源于欧几里得《几何原本》，但未明确形成“母子模型”的命名。其核心原理（如共角共边的三角形相似性）已蕴含其中。后来在直角三角形中，斜边上的高将原三角形分割为两个小直角三角形，三者互为相似形，由此衍生出‌射影定理‌，构成母子模型的数学内核。此时尚未出现“母子”的拟人化命名。 直到20世纪80年代现代教学归纳出‌形象化命名“母子模型”。‌后来该模型被纳入初中数学教材，作为相似三角形证明的核心模型之一。其核心价值在于简化比例证明，例如通过母子关系直接推导线段比例式。 （2024·四川广元·中考真题）数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决．在中，点为边上一点，连接． (1)初步探究：如图2，若，求证：； (2)尝试应用：如图3，在（1）的条件下，若点为中点，，求的长； (3)创新提升：如图4，点为中点，连接，若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【详解】（1）证明：∵，，∴，∴，∴； （2）解：∵点为中点，∴设，由（1）知， ∴，∴， ∴与的相似比为，∴，∵∴； （3）解：过点作的平行线交的延长线于点，过作，如图1所示： ∵点为中点，∴设， ∵，∴，， 在中，，则由勾股定理可得，过点作于点，如图2所示： ∴，∴，∴，∴，，∴，∴， ∵，点为中点，∴，，， 又∵，∴，， ∴，又∵，∴，， ∴，即，∴，∴． “母子型”模型（共边共角模型）：（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。 图1 图2 图3 图4 1）“母子”模型（斜射影模型） 条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC. 证明：∵∠C=∠ABD，∠DAB=∠BAC，∴△ADB∽△BAC，∴，∴AB2＝AD·AC. 2）双垂直模型（射影模型） 条件：如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB； 结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 证明：∵∠ACB=90o，CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，∴∠B=∠ACD， ∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，∴AC2＝AD·AB. 同理可证：BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 3）“母子”模型（变形） 条件：如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA； 证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠DBA=∠ACE，∵∠D=∠CAE，∴△ABD∽△ECA 4）共边模型 条件：如图1，在四边形中，对角线平分，，结论：； 证明：∵对角线平分，∴∠ABD=∠CBC， ∵，∴△ADB∽△DCB，∴，∴ 母子型相似证明题一般思路方法: ①由线段乘积相等转化成线段比例式相等； ②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形； ③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等； ④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。 模型1.“母子型”模型（共边共角模型） 例1（2025·江苏泰州·二模）如图，在四边形中，，点E为对角线上一点．连接，若，，，，则 ． 【答案】 【详解】解：∵，，∴，∴， ∵，，∴，∵∴ ∵∴即∵，∴故答案为： 例2（2025·山东济南·二模）如图，在中，，分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点、，作直线分别交、于点、，以为圆心，长为半径作弧，交于点，连结，．下面结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由作图可知是的垂直平分线，点是的中点， 以为圆心，长为半径作弧，交于点，连结，， ，点是的中点，是的中位线，，故A选项正确； 由作图可知是的垂直平分线，，， 是的中位线，，， ，， 在中，，，， ，故B选项正确；是的垂直平分线，， ，，，，，， ，，，， ，，，故C选项正确； ，设，，则，， 整理得：，或(不符合题意，舍去)， ，故D选项错误．故选：D． 例3（24-25九年级下·江苏宿迁·期中）如图，在中，，，垂足为D． (1)求证：．(2)若，，求的值． 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）证明：∵，∴， ∵，∴，，∴，∴； （2）解：∵，∴，∵，，∴，解得． 例4（2024·江苏徐州·中考真题）在中，点在边上，若，则称点是点的“关联点”．(1)如图（1），在中，若，于点．试说明：点是点的“关联点”． (2)如图（2），已知点在线段上，用无刻度的直尺和圆规作一个，使其同时满足下列条件：①点为点的“关联点”；②是钝角（保留作图痕迹，不写作法）．(3)若为锐角三角形，且点为点的“关联点”．设，，用含、的代数式表示的取值范围（直接写出结果）． 【答案】(1)证明见解析(2)图见解析(3)或 【详解】（1）证明：∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴点D是点C的“关联点”． （2）解：如图，①作线段的垂直平分线，交于点； ②以为圆心，为半径作圆；③过作交于点； ④以为圆心，为半径画圆，则点在上且在直线右侧．连接、，即为所求， 证明：∵在以为直径的圆上运动，∴，由（1）可知：， ∵，∴． （3）①当时，如图所示，结合第（2）问，我们发现当点C在直线左侧、A的右侧时，是锐角三角形，此时， ∵，且，， 在中，， 在中，，； ②当时，同理可得：； 综上所述，或． 例5（24-25九年级上·广东·期末）如图，在中，，平分交边于点D，延长至点E，连结，使．(1)求证：；(2)若，，则的长为 ． 【答案】(1)详见解析(2) 【详解】（1）证明：∵平分，，∴， ∵，∴，∵，， ∴，又∵，∴； （2）解：设，则，， ∵，∴，∴，∴（负值舍去），∴，故答案为： 例6（24-25九年级下·安徽宣城·校考期中）如图，在中，，是高，平分，分别与相交于点。(1)求证：；(2)求证：； (3)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）证明：，， 为边上的高，，，， 是的平分线，， （2）证明：，，， ，，，，， （3）解：如图，作于，， ，， ， ，，，， ，，， 得，∴，∴， 由（2）知，即，又∵， ∴，∴（负值舍去），，∵平分，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴，∴，∴， ∴，∴，∵，∴， ∵，∴，∴，∵，，∴ ∴，∴． 例7（24-25九年级上·广东·校考期末）三角形的布洛卡点（）是法国数学家和数学教育家克洛尔（1780﹣1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（1845﹣1922）重新发现，并用他的名字命名，如图1，若内一点满足，则点是的布洛卡点，是布洛卡角． (1)如图2，点为等边三角形的布洛卡点，则布洛卡角的度数是 　；、、的数量关系是 　　； (2)如图3，点为等腰直角三角形（其中的布洛卡点，且． ①请找出图中的一对相似三角形，并给出证明； ②将绕点逆时针旋转，得到四边形，若的面积为，求四边形的面积． 【答案】(1)，(2)①结论：．证明见解析部分；② 【详解】（1）解：如图所示： 是等边三角形，，， ，， ，，同法可证，， ，故答案为：，； （2）解：①结论：．理由如下：如图所示： 是等腰直角三角形，，，， ，，即，，； ②过作交的延长线于，如图所示：设． ，而， 是等腰直角三角形，，由①知：， ，即，， ，，，， ，， ， 的面积为，，解得或（舍去）， ，∴四边形的面积为1.5． 例8（2025·辽宁沈阳·二模）【问题初探】 （1）如图1，点D是 的边上一点，且．求证：； （2）如图2，在中，，E是边的中点，D是边下方的一个动点，满足，连接，求线段的最大值； 【拓展应用】（3）如图3，在正方形中，，E是射线上的一个动点，点F在线段上，且满足，求的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）的最小值为 【详解】解：（1）证明：∵，∴， ∴，∴； （2）延长至点F，使得，连接，如图所示：则垂直平分，∴， ∵，∴， ∵E是边的中点，，∴为的中位线，∴， ∵，∴，∴线段的最大值为； （3）∵，，∴，∴， ∵正方形中，，∴，∴， 连接，如图所示：∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵E是射线上的一个动点，点F在线段上，∴点F的运动轨迹为以为直径的圆上， ∴，连接，∴，∴的最小值为， ∴的最小值为． 1．（2025·云南西双版纳·二模）如图，在中，点在边上，连接，若，，的周长为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，，∴，∴， ∵，，的周长为，∴，解得：，故选：A． 2．（2025·安徽阜阳·模拟预测）如图，中，作交边于点D，使，若，，则的长为（　　） A． B．5 C． D．6 【答案】C 【详解】解：∵ ，，∴， ∵，，∴， ∴，∴，∴，故选：C 3．（2025·四川成都·中考真题）如图，在中，，点D在边上，，，，则的值为 ；点E在的延长线上，连接，若，则的长为 ． 【答案】 4 / 【详解】解：作，垂足分别为，则四边形为矩形， ∴，，∵，∴为等腰直角三角形，∴， ∵，∴，，∵，∴， ∴，∴设，，则：，， ∴，∴， ∴在中，，由勾股定理，得：， ∴（负值舍去），∴，， ∵，，，∴， 又∵，∴，∴， ∴，，∴， 解得：（舍去）或；故答案为：4，． 4．（2025·四川凉山·模拟预测）如图，已知是黄金三角形（顶角为的等腰三角形），，为上一点，将沿折叠，使得点落在延长线上的点处，若，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：设，∵，，∴， 由折叠的性质知，∴，，， ∴，∴，则， ∵，，∴， ∴，即，整理得， 解得，∴，故答案为：． 5．（2025·河南平顶山·模拟预测）如图，在中，，点是线段的黄金分割点（），若，则的长为 （结果保留根号）． 【答案】 【详解】解：如图所示，作的角平分线交于D， ∵，，∴， ∴，∴，，∴ 又∵，∴，∴，即， ∴点是线段的黄金分割点，∴，故答案为：． 6．（2024·北京·模拟预测）如图，是等腰直角三角形，，，是的中点，连接，过作于点，与交于点．    (1)求的值；(2)是线段上一点，且，过点作的垂线交于点，请在图中补全图形，用等式表示和的数量关系，并证明． 【答案】(1)；(2)．见解析 【详解】（1）解：，，， 又，，，即， 点为的中点，，，，， 设，，在中，，， 由勾股定理得：，， 在中，，，由勾股定理得：，； （2）解：补全图形如下图所示，，证明如下：   ，，为等腰直角三角形，，， ，，， 设，由（1）可知：，，， ，， 在中，，，则， 由勾股定理得：，在中，， 由勾股定理得：，，， ，，， 又，，， 即，， ，，． 7．（24-25九年级下·上海·假期作业）如图，在中，，，是内一点，且．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：，，．即． ，．． ，． 8．（2025·浙江杭州·一模）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，与边交于点E，F，，连接，，．(1)判断的形状，并说明理由．(2)求证：．(3)若，，求线段的长． 答案】(1)为等边三角形，见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）解：为等边三角形，理由如下：由作法得， ，为等边三角形； （2）证明：为等边三角形，，， ，， ，，而，； （3）解：为等边三角形，， ，，即，解得． 9．（2025·上海·模拟预测）如图，中，，点D、E分别是边上一点，联结． 若，当且时，求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：过点A作于F，∵，∴， ∵，∴，，设，∴， ∵，∴，∵，∴，∴ ∵，∴，∴，∴， ∵，∴， ∴，∴，即，∴是的平分线， ∵，，∴，∴． 10．（2025·广东深圳·三模）实践探究． 【定义】在中，是边上一点，若，则称点是边关于边的“白银点”． 【概念理解】（1）如图（a），请你利用尺规作图在中作出边关于边的“白银点”．（不要求写作法，保留作图痕迹） 【性质应用】（2）如图（b），在中，若，，，点是边关于边的“白银点”，请你求出的值． 【拓展提升】（3）①如图（c），在中，若，，，请你求出的值． ②如图（d），在中，若，，，请你求出的值． 【答案】（1）见解析；（2）3；（3）①5；② 【详解】解：（1）如图，点即为所作； （2）∵点是边关于边的“白银点”，∴，即 又，∴，∴， 又，，∴，∴； （3）①如图，作的角平分线交于点D，∴， 又∵，∴，∴，∵，∴， 又∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ②过点作于点，如图，∴， ∵，∴，∴； 作的平分线交于点，∴，∴， 又，∴∴， 又，，∴，，；∴； 又,，∴， ∴，∴，解得：． 11．（2025九年级上·上海·专题练习）如图，是一个边长为2的等边三角形，、都在直线上，并且．(1)设，，求与之间的函数关系式；(2)在上题中一共有几对相似三角形，分别指出来（不必证明）(3)改变原题的条件为，，，、之间要满足什么样的关系，能使（1）中与的关系式仍然成立？说明理由． 【答案】(1)；(2)3对；，，；(3)成立，见解析． 【详解】（1）是等边三角形，， ，，， 又，，，，，； （2）3对；，， 是等边三角形，，， 由外角性质得：， ， ，，； （3）当时，与的关系式仍然成立． ，，，， ，，， ，，同理：，， ，，． 12．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）问题背景：在数学课堂上小组讨论过程中，探究小组发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知是的角平分线，可证．探究小组的证明思路是：如图2，过点C作，交的延长线于点E，通过构造相似三角形来证明． 【问题初探】（1）①如图2，请直接写出和的数量关系：________； ②请参照探究小组提供的思路，利用图2证明：． 【结论运用】（2）如图3，在中，，，．求的长度． 【拓展提升】（3）如图4，在平行四边形中，E、F分别是、上的点，、的交点为P，若平分，求证：． 【答案】（1）①；②见解析；（2）5；（3）见解析 【详解】（1）①解：∵，∴， ∵是的平分线，∴，∴，∴，故答案为：； ②证明：∵，∴，∴，由①知，，∴； （2）解：如图1，作平分，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴，∴，∴， 由②知，，∴，∴； （3）证明：如图2，延长，交的延长线于点G， ∵平分，∴，∵四边形是平行四边形， ∴，，∴，， ∴，，∴，∴． 13．（24-25广东九年级课时练习）如图，点C、D在线段AB上，且△PCD是等边三角形．∠APB＝120°． （1）求证：△ACP∽△PDB；（2）当AC＝4，BD＝9时，试求CD的值． 【答案】（1）详见解析；（2）6． 【详解】（1）证明：∵△PCD为等边三角形， ∴∠PCD＝∠PDC＝60°．∴∠ACP＝∠PDB＝120°．∵∠APB＝120°，∴∠A+∠B＝60°． ∵∠PDB＝120°，∴∠DPB+∠B＝60°．∴∠A＝∠DPB．∴△ACP∽△PDB． （2）解：由（1）得△ACP∽△PDB，∴， ∵△PCD是等边三角形，∴PC＝PD＝CD，∴，∴CD2＝AC•BD． ∵AC＝4，BD＝9，∴CD＝6． 14．（24-25浙江绍兴·九年级期末）如果两个相似三角形的对应边存在2倍关系，则称这两个相似三角形互为母子三角形． （1）如果与互为母子三角形，则的值可能为（    ） A．2     B．     C．2或 （2）已知：如图1，中，是的角平分线，． 求证：与互为母子三角形． （3）如图2，中，是中线，过射线上点作，交射线于点，连结，射线与射线交于点，若与互为母子三角形．求的值． 【答案】（1）C；（2）见解析；（3）或3． 【详解】（1）∵与互为母子三角形，∴或2故选：C （2）是的角平分线，，，． 又，与互为母子三角形．        （3）如图，当分别在线段上时， 与互为母子三角形，，， 是中线，，又，． ，，． 如图，当分别在射线上时， 与互为母子三角形，，， 是中线，，又，． ，，．综上所述，或3 15．（2024·山东济南·中考真题）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究． （一）拓展探究:如图1，在中，，垂足为． （1）兴趣小组的同学得出．理由如下： ①______ ②______ 请完成填空：①______；②______； （2）如图2，为线段上一点，连接并延长至点，连接，当时，请判断的形状，并说明理由． （二）学以致用（3）如图3，是直角三角形，，平面内一点，满足，连接并延长至点，且，当线段的长度取得最小值时，求线段的长． 【答案】（1）①；②；（2）是直角三角形，证明见解析；（3） 【详解】解：（1），， ，，，， ，，，； （2）是直角三角形；理由如下：，， ，由（1）得，，， ，，，是直角三角形． （3），，，， 如图，以点为圆心，2为半径作，则都在上，延长到，使，交于，连接，则， ∵为的直径，∴，，∴， ，，， 点在过点且与垂直的直线上运动，过点作，垂足为，连接， ∵垂线段最短，∴当点E在点处时，最小，即的最小值为的长， ∵，∴四边形是矩形，∴， 在中根据勾股定理得：， 即当线段的长度取得最小值时，线段的长为． 16．（2025·山东临沂·二模）（1）【问题背景】如图， 是的角平分线，求证：．社团成员进行了探索研究，小明和小红提出两种不同的证明思路： 小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，过点B作，交的延长线于点D，利用“三角形相似”． 小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，过点C分别作于点D，作于点E，利用“等面积法”． 【问题解决】请根据小明或小红的思路，将两人的证明补充完整．（任选一种即可） （2）【深度思考】如图2，在中，，，为的平分线，的垂直平分线交的延长线于点F，连接．当时，的长为________． 【答案】（1）见解析；（2）6 【详解】（1）证明：小明的思路：如图，过点B作交的延长线于点D． ，．又，，，　 是的角平分线，，，，．　 小红的思路：如图，过点C分别作于点D，作于点E，过点P作于点F． 是的角平分线，． ，，，， ①，②， 得， ，则，．　 （2）解： 为的平分线，．， ，，，，， 的垂直平分线交的延长线于点F，，． ，，． ，，，，． 17．（24-25八年级下·上海青浦·期末）如图，在四边形中，，点在边上，连接、，满足，且．(1)求证：四边形是等腰梯形；(2)当时，求证；． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）证明：∵，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴四边形是等腰梯形； （2）证明：∵，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，，∴， ∴，∴，∴． 18．（2024·上海·中考真题）如图所示，在矩形中，为边上一点，且． (1)求证：；(2)为线段延长线上一点，且满足，求证：． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【详解】（1）证明：在矩形中，，，，， ，， ， ，，，即， ，； （2）证明：连接交于点，如图所示： 在矩形中，，则， ，，， ，，在矩形中，， ，，，， ，， 在和中，，． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02. 相似三角形重要模型之母子型（共边共角模型） 相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。在相似三角形中存在众多的相似模型，其中“母子型”相似模型应用较为广泛，深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“母子”模型。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 4 模型1.“母子型”模型（共边共角模型） 4 13 相似三角形的比例性质源于欧几里得《几何原本》，但未明确形成“母子模型”的命名。其核心原理（如共角共边的三角形相似性）已蕴含其中。后来在直角三角形中，斜边上的高将原三角形分割为两个小直角三角形，三者互为相似形，由此衍生出‌射影定理‌，构成母子模型的数学内核。此时尚未出现“母子”的拟人化命名。 直到20世纪80年代现代教学归纳出‌形象化命名“母子模型”。‌后来该模型被纳入初中数学教材，作为相似三角形证明的核心模型之一。其核心价值在于简化比例证明，例如通过母子关系直接推导线段比例式。 （2024·四川广元·中考真题）数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决．在中，点为边上一点，连接． (1)初步探究：如图2，若，求证：； (2)尝试应用：如图3，在（1）的条件下，若点为中点，，求的长； (3)创新提升：如图4，点为中点，连接，若，，，求的长． “母子型”模型（共边共角模型）：（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。 图1 图2 图3 图4 1）“母子”模型（斜射影模型） 条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC. 证明：∵∠C=∠ABD，∠DAB=∠BAC，∴△ADB∽△BAC，∴，∴AB2＝AD·AC. 2）双垂直模型（射影模型） 条件：如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB； 结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 证明：∵∠ACB=90o，CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，∴∠B=∠ACD， ∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，∴AC2＝AD·AB. 同理可证：BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 3）“母子”模型（变形） 条件：如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA； 证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠DBA=∠ACE，∵∠D=∠CAE，∴△ABD∽△ECA 4）共边模型 条件：如图1，在四边形中，对角线平分，，结论：； 证明：∵对角线平分，∴∠ABD=∠CBC， ∵，∴△ADB∽△DCB，∴，∴ 母子型相似证明题一般思路方法: ①由线段乘积相等转化成线段比例式相等； ②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形； ③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等； ④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。 模型1.“母子型”模型（共边共角模型） 例1（2025·江苏泰州·二模）如图，在四边形中，，点E为对角线上一点．连接，若，，，，则 ． 例2（2025·山东济南·二模）如图，在中，，分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点、，作直线分别交、于点、，以为圆心，长为半径作弧，交于点，连结，．下面结论错误的是（   ） A． B． C． D． 例3（24-25九年级下·江苏宿迁·期中）如图，在中，，，垂足为D． (1)求证：．(2)若，，求的值． 例4（2024·江苏徐州·中考真题）在中，点在边上，若，则称点是点的“关联点”．(1)如图（1），在中，若，于点．试说明：点是点的“关联点”． (2)如图（2），已知点在线段上，用无刻度的直尺和圆规作一个，使其同时满足下列条件：①点为点的“关联点”；②是钝角（保留作图痕迹，不写作法）．(3)若为锐角三角形，且点为点的“关联点”．设，，用含、的代数式表示的取值范围（直接写出结果）． 例5（24-25九年级上·广东·期末）如图，在中，，平分交边于点D，延长至点E，连结，使．(1)求证：；(2)若，，则的长为 ． 例6（24-25九年级下·安徽宣城·校考期中）如图，在中，，是高，平分，分别与相交于点。(1)求证：；(2)求证：； (3)若，，，求的长． 例7（24-25九年级上·广东·校考期末）三角形的布洛卡点（）是法国数学家和数学教育家克洛尔（1780﹣1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（1845﹣1922）重新发现，并用他的名字命名，如图1，若内一点满足，则点是的布洛卡点，是布洛卡角． (1)如图2，点为等边三角形的布洛卡点，则布洛卡角的度数是 　；、、的数量关系是 　　； (2)如图3，点为等腰直角三角形（其中的布洛卡点，且． ①请找出图中的一对相似三角形，并给出证明； ②将绕点逆时针旋转，得到四边形，若的面积为，求四边形的面积． 例8（2025·辽宁沈阳·二模）【问题初探】 （1）如图1，点D是 的边上一点，且．求证：； （2）如图2，在中，，E是边的中点，D是边下方的一个动点，满足，连接，求线段的最大值； 【拓展应用】（3）如图3，在正方形中，，E是射线上的一个动点，点F在线段上，且满足，求的最小值． 1．（2025·云南西双版纳·二模）如图，在中，点在边上，连接，若，，的周长为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽阜阳·模拟预测）如图，中，作交边于点D，使，若，，则的长为（　　） A． B．5 C． D．6 3．（2025·四川成都·中考真题）如图，在中，，点D在边上，，，，则的值为 ；点E在的延长线上，连接，若，则的长为 ． 4．（2025·四川凉山·模拟预测）如图，已知是黄金三角形（顶角为的等腰三角形），，为上一点，将沿折叠，使得点落在延长线上的点处，若，则的长为 ． 5．（2025·河南平顶山·模拟预测）如图，在中，，点是线段的黄金分割点（），若，则的长为 （结果保留根号）． 6．（2024·北京·模拟预测）如图，是等腰直角三角形，，，是的中点，连接，过作于点，与交于点．(1)求的值；(2)是线段上一点，且，过点作的垂线交于点，请在图中补全图形，用等式表示和的数量关系，并证明．    7．（24-25九年级下·上海·假期作业）如图，在中，，，是内一点，且．求证：． 8．（2025·浙江杭州·一模）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，与边交于点E，F，，连接，，．(1)判断的形状，并说明理由．(2)求证：．(3)若，，求线段的长． 9．（2025·上海·模拟预测）如图，中，，点D、E分别是边上一点，联结． 若，当且时，求证：． 10．（2025·广东深圳·三模）实践探究． 【定义】在中，是边上一点，若，则称点是边关于边的“白银点”． 【概念理解】（1）如图（a），请你利用尺规作图在中作出边关于边的“白银点”．（不要求写作法，保留作图痕迹） 【性质应用】（2）如图（b），在中，若，，，点是边关于边的“白银点”，请你求出的值． 【拓展提升】（3）①如图（c），在中，若，，，请你求出的值． ②如图（d），在中，若，，，请你求出的值． 11．（2025九年级上·上海·专题练习）如图，是一个边长为2的等边三角形，、都在直线上，并且．(1)设，，求与之间的函数关系式；(2)在上题中一共有几对相似三角形，分别指出来（不必证明）(3)改变原题的条件为，，，、之间要满足什么样的关系，能使（1）中与的关系式仍然成立？说明理由． 12．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）问题背景：在数学课堂上小组讨论过程中，探究小组发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知是的角平分线，可证．探究小组的证明思路是：如图2，过点C作，交的延长线于点E，通过构造相似三角形来证明． 【问题初探】（1）①如图2，请直接写出和的数量关系：________； ②请参照探究小组提供的思路，利用图2证明：． 【结论运用】（2）如图3，在中，，，．求的长度． 【拓展提升】（3）如图4，在平行四边形中，E、F分别是、上的点，、的交点为P，若平分，求证：． 13．（24-25广东九年级课时练习）如图，点C、D在线段AB上，且△PCD是等边三角形．∠APB＝120°． （1）求证：△ACP∽△PDB；（2）当AC＝4，BD＝9时，试求CD的值． 14．（24-25浙江绍兴·九年级期末）如果两个相似三角形的对应边存在2倍关系，则称这两个相似三角形互为母子三角形． （1）如果与互为母子三角形，则的值可能为（    ） A．2     B．     C．2或 （2）已知：如图1，中，是的角平分线，． 求证：与互为母子三角形． （3）如图2，中，是中线，过射线上点作，交射线于点，连结，射线与射线交于点，若与互为母子三角形．求的值． 15．（2024·山东济南·中考真题）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究． （一）拓展探究:如图1，在中，，垂足为． （1）兴趣小组的同学得出．理由如下： ①______ ②______ 请完成填空：①______；②______； （2）如图2，为线段上一点，连接并延长至点，连接，当时，请判断的形状，并说明理由． （二）学以致用（3）如图3，是直角三角形，，平面内一点，满足，连接并延长至点，且，当线段的长度取得最小值时，求线段的长． 16．（2025·山东临沂·二模）（1）【问题背景】如图， 是的角平分线，求证：．社团成员进行了探索研究，小明和小红提出两种不同的证明思路： 小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，过点B作，交的延长线于点D，利用“三角形相似”． 小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，过点C分别作于点D，作于点E，利用“等面积法”． 【问题解决】请根据小明或小红的思路，将两人的证明补充完整．（任选一种即可） （2）【深度思考】如图2，在中，，，为的平分线，的垂直平分线交的延长线于点F，连接．当时，的长为________． 17．（24-25八年级下·上海青浦·期末）如图，在四边形中，，点在边上，连接、，满足，且．(1)求证：四边形是等腰梯形；(2)当时，求证；． 18．（2024·上海·中考真题）如图所示，在矩形中，为边上一点，且． (1)求证：；(2)为线段延长线上一点，且满足，求证：． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $