专题05 线段与角的等量代换模型与计数模型（几何模型讲义）数学人教版2024七年级上册

专题05 线段与角的等量代换模型与计数模型 等量代换是数学变形的最常见方式之一,它以处理问题步骤简捷、巧妙灵活,给人留下深刻的印象。运用它来解决中学代数和几何的有关问题（本专题主要涉及线段与角度的代换）,还可以避免繁杂运算,具有计算量小的独特优点,因此有着广泛的应用。线段的条数、角的个数、直线的交点数、对角线条数等计数规律，可以自己推导后进行记忆，主要培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法，及构建数学模型解决实际问题等。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型拓展 6 模型运用 7 模型1.线段与角度的等量代换模型 7 模型2.线段与角度的计数模型 9 模型3.直线交点计数模型与平面分割的计数模型 12 模型4.多边形的对角线条数计数模型和三角形个数的计数模型 15 17 线段与角度的等量代换模型源于等式的基本性质，最终拓展到线段和角度的代换，其核心思想是通过长度或角度的相等关系进行转换，简化复杂几何问题的求解过程，线段与角度的等量代换模型是初中几何中的基本内容。线段与角度的计数模型源于计数原理中的组合学，该规律与“握手问题”“碰面问题”等实际场景完全一致，为复杂图形中的线段统计提供了一种简便的方法。‌‌ （2025·河北唐山·模拟预测）如图，则与的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 （24-25湖南长沙·七年级统考期末）已知且，则，依据是（    ） A．等角的补角相等 B．同角的补角相等 C．等量代换 D．补角的定义 （24-25七年级上·重庆·期末）一条直线上若有4个点，则它有____________条线段；若有5个点，则它有____________条线段；若有个点，则它有____________条线段． （1）拓展一：乘火车从杭州站到上海站共有8个站（包括杭州站和上海站）．如果要你设计这条线路的单向单程车票，你准备设计多少种？ （2）拓展二：如图①，工作流水线上放置着5个机器人，还放置着1只工具箱，5个机器人取工具的次数相同．如果，将工具箱放在何处，才能使机器人取工具所花时间最少？若有个机器人，则工具箱应放在何处？ （3）拓展三：图②中共有多少个比平角小的角？（4）拓展四：图③中共有多少个长方形（包括正方形）？ （2024·湖北孝感·一模）小明学习相交直线时发现：3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，（1）5条直线两两相交最多有 个交点； （2）n条直线两两相交最多有 个交点．（用含有字母n的式子表示，） （2025·湖北武汉·模拟预测）我们知道，同一个平面内，1条直线将平面分成部分，2条直线将平面最多分成部分，3条直线将平面最多分成部分，4条直线将平面形多分成部分……，n条直线将平面最多分成部分，则（    ） A． B． C． D． 1）线段的等量代换 图1 图2 条件：如图，已知：EG=HF； 结论：EH=GF. 证明:如图1，∵EG=HF，∴EG-HG=HF-HG，∴EH=GF. 如图2，∵EG=HF，∴EG+HG=HF+HG，∴EH=GF. 2）角度的等量代换 （图中：∠AOD=∠1，∠BOC=∠2，∠BOD=∠3，∠AOC=∠4） 条件1：已知∠AOB=∠DOC=90°；结论：∠1=∠2，∠3+∠4=180°. 条件2：已知∠AOB=∠DOC=90°；结论：∠1=∠2，∠3+∠4=180°. 证明：如图1，∵∠AOB=∠DOC，∴∠AOB-∠BOD=∠DOC-∠BOD，∴∠AOD=∠BOC，即：∠1=∠2. ∵∠AOB=∠DOC=90°，∴∠AOB+∠DOC=180°， ∴∠BOD+∠AOD+∠DOC=180°，∴∠BOD+∠AOC=180°，即：∠3+∠4=180°. 如图2，∵∠AOB=∠DOC，∴∠AOB+∠BOD=∠DOC+∠BOD，∴∠AOD=∠BOC，即：∠1=∠2. ∵∠AOB=∠DOC=90°，∴∠AOB+∠DOC=180°， ∵∠BOD+∠AOC+∠AOB+∠DOC=360°，∴∠BOD+∠AOC=180°，即：∠3+∠4=180°. 利用等量代换我们还可以推导三个重要的性质： ①同角（等角）的余角相等；②同角（等角）的补角相等；③对顶角相等。 3）线段的计数模型 如果线段上有n个点（包括线段的两个端点），那么该线段上共有多少条线段？ 我们先取n=5进行研究，如下图： 结论：线段数量：4+3+2+1=10（条）（注意：按一个方向数，不回头）； 证明：①以A为端点的线段有：AB、AC、AD、AE，有4条； ②以B为端点的线段有：BC、BD、BE，有3条；③以C为端点的线段有：CD、CE，有2条； ④以D为端点的线段有：DE，有1条；故图中线段总数量：4+3+2+1=10（条） 注意：线段的定义为两点间的一段直线，因此“直线+两个端点”是其核心要素； 结论拓展：若有n个点，则线段数量为：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（条） 4）角度的计数模型 若过点O作了有n条射线，那么该图形中共有多少个角？ 我们先取n=5进行研究，如下图： 结论：角的数量：4+3+2+1=10（个）（注意：按一个方向数，不回头）； 证明：①以OA为角的一边有：∠AOB、∠AOC、∠AOD、∠AOE，有4个； ②以OB为角的一边有：∠BOC、∠BOD、∠BOE，有3个； ③以OC为角的一边有：∠COD、∠COE，有2个； ④以OD为角的一边有：∠DOE，有1个；故图中角总数量：4+3+2+1=10（个） 注意：线段的定义为两点间的一段直线，因此“直线+两个端点”是其核心要素； 结论拓展：若有n条射线，则角度数量为：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（个）。 1）直线交点计数模型与平面分割的计数模型 n条直线，最多有多少个交点呢？最多能将平面分成多少部分呢？ 直线的条数 最多交点个数 平面最多分成部分数 1 0 1+1=2 2 1 1+1+2=4 3 1+2=3 1+1+2+3=7 4 1+2+3=6 1+1+2+3+4=11 ... ... ... n 2）多边形的对角线条数计数模型和三角形个数的计数模型 从n边形一个顶点出发可引出对角线，这些对角线能把多边形分割成多少个三角形呢？n边形共有多少条对角线呢？ 结论：从n边形一个顶点出发可引出 （n-3） 条对角线；这些对角线把多边形分割成（n-2）个三角形； n边形共有对角线。 证明：由连接不相邻的两个顶点的线段叫多边形的对角线， 可知，从n边形的每个顶点出发有条对角线，这些对角线把多边形分割成（n-2）个三角形 ∵n边形有个顶点，∴共有n条对角线 又∵能形成对角线的两个点之间只算1条对角线（即上面的计算相当于每条对角线重wzZ复计算了一次）， ∴n边形有条对角线． 模型1.线段与角度的等量代换模型 例1（24-25七年级上·湖北荆州·期末）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，如果AB=CD，那么比较AC与BD的大小关系为（    ） A．AC>BD B．AC<BD C．AC=BD D．不能确定 例2（24-25七年级上·河南洛阳·期末）如图：A、M、N、B四点在同一直线上． (1)若．①比较线段的大小： （填“＞”、“=”或“＜”）； ②若且，则的长为 ；(2)若线段被点M、N分成了三部分，且的中点P和的中点Q之间的距离是，求的长． 例3（24-25广东七年级期中）已知：如图所示，则(　　) A． B． C． D．与的大小无法比较 例4（24-25天津南开·七年校考期中）如图所示，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 例5（24-25七年级上·山东·期中）直线、相交于点O，于点O，作射线，且在的内部，点E、F在直线的同侧． 求证：若平分，一定平分． 证明：平分，（             ）．（             ）． ，（             ）． （垂直定义） （             ）．即 （             ）． （对顶角相等） （等量代换） 平分（             ）． 请在括号内填写每一步的依据． 模型2.线段与角度的计数模型 例1（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）兰州市某公交线路上共设6个车站，则在这条线路上往返行车需要设计车票价有（    ） A．25种 B．15种 C．30种 D．21种 例2（24-25七年级上·四川绵阳·开学考试）一列车往返于成都和重庆之间，全程停靠7个站，共需要准备 种不同的车票． 例3（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）如图所示，在已知锐角内部，画1条射线，图中共有3个角；画2条射线，图中共有6个角；画3条射线，图中共有10个角；按此规律，画条射线，共有 个角． 例4（24-25七年级上·湖北孝感·期末）如图1，从点分别引两条射线，则得到一个角．（图中的角均指不大于平角的角） (1)探究：①如图2，从点分别引三条射线，则图中得到________个角； ②如图3，从点分别引四条射线，则图中得到________个角； ③依此类推，从点分别引条射线，则得到________个角（用含的式子表示）； (2)应用：利用③中发现的规律解决问题：某校七年级共有16个班进行足球比赛，准备进行单循环赛（即每两队之间赛一场），则全部赛完共需多少场比赛？ 例5（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）问题提出：某校要举办足球赛，若有5支球队进行单循环比赛（即全部比赛过程中任何一要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场），则该校一共要安排多少场比赛？ 构建模型：生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决题．为解决上述问题，我们构建如下数学模型：       图①             图② （1）如图①，我们可以在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上）其中每个点各代表一支足球队，两支球队之间比赛一场就用一条线段把它们接起来，由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都连成一条线段，这样一共连成条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有条线段，所以该校一共要安排10场比赛． （2）若学校有6支足球队进行单循环比赛，借助图②，我们可知该校一共要安排__________场比赛： （3）根据以上规律，若学校有n支足球队进行单循环比赛，则该校一共要安排__________场比赛． 实际应用：（4）9月1日开学时，老师为了让全班新同学互相认识，请班上52位新同学每两个人都相互握一次手，全班同学总共握手__________次． 拓展提高：（5）往返于广州南和珠海北的广珠轻轨列车，中途经南朗、中山、中山北、东升、小榄、容桂、顺德、北滘等8个车站（每种纸质车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备纸质的车票的种数为__________种． 模型3.直线交点计数模型与平面分割的计数模型 例1（24-25七年级上·河南洛阳·期末）我们知道，2条直线相交只有1个交点，3条直线两两相交最多能有3个交点，4条直线两两相交最多能有6个交点，5条直线两两相交最多能有10个交点，……10条直线两两相交最多能有（   ） A．28 B．36 C．45 D．55 例2（24-25·浙江·七年级专题练习）2条直线相交，有1个交点；3条直线相交，最多有3个交点；n条直线相交最多有多少个交点？（    ） A． B． C． D． 例3（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）【计数原理】平面上有8条直线，最多能把平面分成 个部分． 例4（24-25七年级上·湖南怀化·阶段练习）一条直线最多将平面分成2个部分，2条直线最多将平面分成4个部分，3条直线最多将平面分成7个部分，则4条直线最多将平面分成 个部分，n条直线将平面最多分成 个部分． 例5（24-25七年级下·河南南阳·开学考试）我们知道，两条直线相交，最多有个交点（如图①）；三条直线两两相交，最多有个交点（如图②）；四条直线两两相交，最多有个交点（如图③）；五条直线两两相交，最多有多少个交点（如图④）；六条直线两两相交，最多有多少个交点……条直线两两相交，最多有多少个交点呢（用含的代数式表示）： (1)完成下表 直线数 … 交点数 … (2)在实际生活中同样存在数学规律型问题，请你类比上述规律探究，计算：某校七年级举办篮球比赛，第一轮要求每两班之间比赛一场，若七年级共有个班，则这一轮共要进行多少场比赛？ 模型4.多边形的对角线条数计数模型和三角形个数的计数模型 例1（24-25七年级上·四川成都·期末）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形，则这个多边形一共有 条对角线． 例2（24-25七年级下·辽宁丹东·开学考试）若一个多边形从一个顶点出发可引出6条对角线，则这个多边形是（   ）边形 A．六角形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 例3（24-25·陕西咸阳·七年级统考期末）五边形的对角线一共有（    ） A．5条 B．6条 C．7条 D．8条 例4（24-25八年级下·山东潍坊·期末）某校数学兴趣小组为了研究多边形中从一个顶点可以作几条对角线，以及该多边形中对角线的总条数与边数的关系，他们决定从以下图形开始寻找规律． (1)请在图中画出从点出发的所有对角线；(2)根据探究，整理得到下面表格： 多边形的边数 4 5 6 7 8 …… n 从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 5 …… a 多边形对角线的总条数 2 5 9 14 20 …… b 表格中_____，_____；（用含的代数式表示） (3)拓展应用：若该校要举办足球比赛，总共有个班级参加比赛，规定每个班级都要和其他班级比赛一次．请问总共要比赛多少场？ 1．（24-25·河北石家庄·七年级校考期中）如图，AB＝CD，那么AC与BD的大小关系是（  ） A．AC＜BD B．AC＝BD C．AC＞BD D．不能确定 2．（24-25七年级上·山东临沂·期末）如图，由临沂始发终点至淄博的某一次高铁列车，运行途中停靠的车站依次是：临沂-曲阜-泰安-济南-淄博，那么要为这次列车制作的单程火车票（    ）种． A．4 B．6 C．10 D．12 3．（24-25七年级上河北唐山期末）如图，两个直角和有公共顶点，下列结论：①；②；③若平分，则平分；④的平分线与的平分线是同一条射线．其中结论不正确的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 4．（24-25七年级下·河南安阳·阶段练习）如图所示，两条直线相交所组成的角中，对顶角有2对，三条直线相交，交点最多时所组成的角中，对顶角有6对……那么条直线相交，交点最多时，所组成的角中对顶角有（　　）    A．对 B．2对 C．对 D．对 5．（24-25七年级上 吉林 专题练习）下列判断： ①因为，，所以； ②因为，，所以； ③因为，，，所以； ④因为，，，所以． 其中，正确的判断有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（24-25福建三明·七年级统考期末）如图，B、C是线段上两点，且，若，，那么大小为（    ） A．3 B．7 C．10 D．13 7．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）湖南湘江新区大王山欢乐云巴对外运营．一张云巴票就能领略沿途余个景点，感受大王山人文风情，如图，乘云巴从山塘站出发，沿途经过个车站方可到达观音港站，那么运营公司在山塘站，观音港站两站之间往返需要安排不同的车票 种． 山塘站 欢乐雪域站 欢乐城站 华谊电影小镇站 大王山站 桐溪公园站 植物公园站 学士站 观音港站 8．（24-25七年级上·四川绵阳·期末）平面上1个圆能把平面分成2个部分：平面上2个圆最多能把平面分成4个部分：平面上3个圆最多能把平面分成 个部分；依次类推，一般地，n个圆最多能把平面分成 个部分． 9．（24-25七年级·山东青岛·培优）1条直线将一个平面分为两部分，2条直线将一个平面最多分为四部分……那么10条直线最多可以将一个平面分为 部分，n条直线最多可以把一个平面分为 部分． 10．（2021·黑龙江大庆·中考真题）如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有 个交点 11．（24-25七年级上·广西南宁·期末）如图所示，1条直线将平面分成2个部分，2条直线最多可将平面分成4个部分，3条直线最多可将平面分成7个部分，4条直线最多可将平面分成11个部分，现有50条直线最多可将平面分成 个部分．    12．（24-25七年级上·江苏·期末）如图，利用工具测量角，有如下4个结论：①；②；③与互为余角；④与互为补角．上述结论中正确的是 （填序号）． 13．（24-25七年级上·江苏·课后作业）如图，在已知角内画射线，画1条射线，图中共有 个角；画2条射线，图中共有 个角；画 条射线，图中共有 个角；画条射线，图中共有 个角． 14．（24-25七年级上·江苏·期末）分别写出图中有多少个角？ (1)如图①，在的内部从点O引出两条射线，，数一数，图中共有多少个角？并写出来． (2)如图②，如果在的内部以点O为端点作n条射线，则图中一共有多少个角？ 15．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）如图，A、B、C、D四点在同一直线上，且． (1)比较线段的大小：______（填“＞”、“＝”或“＜”）： (2)若，且cm，求线段的长． 16.（24-25七年级上·河北石家庄·阶段练习）补充下面命题的说理过程，并在括号内填写依据． 如图，直线相交于点O，，垂足为O，平分． 对说明理由． 理由：因为直线相交于点O（已知），所以（                          ）． 因为平分（已知），所以（                          ）， 所以 （                          ）． 因为（                          ）， 所以（等量代换）． 因为（已知），所以 （                          ）． 因为（                          ）， 所以（                          ）． 17．（24-25七年级上·江苏·专题练习）阅读：在直线上有n个不同的点，则共有多少条线段？通过分析、画图得如下表格： 图形 直线上点的个数 共有线段的条数 两者关系 2 1 3 3 4 6 … … … … n 问题：(1)把表格补充完整；(2)根据上述得到的信息解决下列问题：①某学校七年级共有6个班进行辩论赛，规定进行单循环赛（每两班赛一场），那么该校七年级的辩论赛共要进行多少场？②乘火车从A站出发，沿途经过10个车站方可到达B站，那么在A，B两站之间需要安排多少种不同的车票？ 18．（24-25七年级上·山东济南·期末）有如下问题：“平面上，分别有2个点、3个点、4个点、5个点，……，n个点，其中任意3个点都不在一条直线上，经过每两点画一条直线，它们分别可以画多少条直线？”为了解决这一问题，小明设计了如图表进行探究： 点数 2 3 4 5 … n 示意图 … 直线 1 … 【发现规律】 （1）当点数为5时，过任意一点的直线有_____条，共有直线_____条； 【探索归纳】（2）当点数为时，过任意一点的直线有____条，共有直线____条；（用含的代数式表示） 【迁移运用】（3）请按照小明的探究思路，分析并解决下列问题： 某学校七年级共有6个班进行足球比赛．①若进行单循环比赛，每两个班都要赛一场，全部比完共进行了多少场比赛?②比赛结束后，每两个班级之间互送一份纪念品，共送出多少件纪念品？ 19．（24-25七年级下·浙江舟山·期末）【问题提出】欧洲杯正如火如荼进行中，本次比赛支参赛球队分成个小组，小组赛每小组支球队进行单循环比赛，（任何一队都要与其他各队比赛一场且只比赛一场，不同小组之间不进行小组赛），则本次欧洲杯总计有几场小组赛比赛？ 【构建模型】为解决上述问题，我们构建如下数学模型：如图①，我们可以在平面内画出个点（任意个点都不在同一条直线上），每个点与另外个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，实际只有条线段． （1）若某次比赛有支队伍进行单循环比赛，借助图②，我们可知一共要安排______场比赛； （2）根据以上规律，若有支足球队进行单循环比赛，则一共要安排______场比赛． 【实际应用】（3）年欧洲杯足球赛，总计需要安排______场小组赛． （4）甬舟铁路预计年通车，届时杭州到舟山的车程将缩短至一个半小时左右，从起点杭州站出发，途经绍兴、余姚、宁波、马岙，至终点白泉站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备车票的种数为______种． 20．（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）【找规律】阅读：平面内，由不在同一直线上的n条线段首尾顺次连接而成的图形叫作n边形．如：时叫作三角形，时叫作四边形，时叫作五边形……连接n边形中不相邻的两个顶点之间的线段叫作n边形的对角线．如图，线段，是四边形的对角线． (1)从五边形的一个顶点A出发，可以引 条对角线；从六边形的一个顶点可以引 条对角线；……从n边形的一个顶点可以引 条对角线；(2)五边形一共有 条对角线；(3)n边形一共有 条对角线． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 线段与角的等量代换模型与计数模型 等量代换是数学变形的最常见方式之一,它以处理问题步骤简捷、巧妙灵活,给人留下深刻的印象。运用它来解决中学代数和几何的有关问题（本专题主要涉及线段与角度的代换）,还可以避免繁杂运算,具有计算量小的独特优点,因此有着广泛的应用。线段的条数、角的个数、直线的交点数、对角线条数等计数规律，可以自己推导后进行记忆，主要培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法，及构建数学模型解决实际问题等。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型拓展 6 模型运用 7 模型1.线段与角度的等量代换模型 7 模型2.线段与角度的计数模型 9 模型3.直线交点计数模型与平面分割的计数模型 12 模型4.多边形的对角线条数计数模型和三角形个数的计数模型 15 17 线段与角度的等量代换模型源于等式的基本性质，最终拓展到线段和角度的代换，其核心思想是通过长度或角度的相等关系进行转换，简化复杂几何问题的求解过程，线段与角度的等量代换模型是初中几何中的基本内容。线段与角度的计数模型源于计数原理中的组合学，该规律与“握手问题”“碰面问题”等实际场景完全一致，为复杂图形中的线段统计提供了一种简便的方法。‌‌ （2025·河北唐山·模拟预测）如图，则与的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【详解】解：∵，，∴，即：；故选：C． （24-25湖南长沙·七年级统考期末）已知且，则，依据是（    ） A．等角的补角相等 B．同角的补角相等 C．等量代换 D．补角的定义 【答案】C 【详解】解：∵，∴（等量代换）故选C （24-25七年级上·重庆·期末）一条直线上若有4个点，则它有____________条线段；若有5个点，则它有____________条线段；若有个点，则它有____________条线段． （1）拓展一：乘火车从杭州站到上海站共有8个站（包括杭州站和上海站）．如果要你设计这条线路的单向单程车票，你准备设计多少种？ （2）拓展二：如图①，工作流水线上放置着5个机器人，还放置着1只工具箱，5个机器人取工具的次数相同．如果，将工具箱放在何处，才能使机器人取工具所花时间最少？若有个机器人，则工具箱应放在何处？ （3）拓展三：图②中共有多少个比平角小的角？（4）拓展四：图③中共有多少个长方形（包括正方形）？ 【答案】6；10；；（1）28种；（2）当工作流水线上有5个机器人时，工具箱应放在第3个机器人的位置上．若为偶数，工具箱放在第个与第个机器人之间的任何地方；若为奇数，工具箱放在第个机器人的位置上；（3）6个；（4）150个 【详解】解：直线上有4个点时，依次以每一个点为线段的一个端点，其余三个点为线段的另一个端点，则可得线段条数为（条）；直线上有5个点时，同理得线段条数为（条）；同理有个点时，得线段条数为条；故答案为：6；10；； （1）8个站看成直线上的8个点，线段的条数相当于单向单程车票种数，则单向单程车票种数为（条）； （2）工具箱放点C处时，每个机器人取一次工具所花的时间最短； 由，则机器人从一个位置到与其相邻位置的时间均为t， 当工具箱放在A或E处时，所花时间为； 当工具箱放在B或D处时，所花时间为； 当工具箱放在C处时，所花时间为； 即工具箱放点C处时，每个机器人取一次工具所花的时间最短； 若有个机器人，当n是偶数时，工具箱放在第个与第个机器人之间的任何地方； 当n是奇数时；工具箱放在第个机器人的位置上； （3）对比一条直线4个点的线段条数方法，可得小于平角的角的个数为（个）； （4）横向每行对比一条直线上6个点的线段条数方法，有（个）长方形，纵向列对比一条直线上5个点的线段条数，共有（个）长方形，则共有（个）长方形． （2024·湖北孝感·一模）小明学习相交直线时发现：3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，（1）5条直线两两相交最多有 个交点； （2）n条直线两两相交最多有 个交点．（用含有字母n的式子表示，） 【答案】 10 【详解】解：（1）∵两条直线最多有1个交点， ∴有n条直线，每一条直线与其他条直线都最多有1个交点，且两条直线的交点只算作一个， ∴有n条直线，两两相交最多有个交点， ∴5条直线两两相交最多有个交点，故答案为：10； （2）由（1）得n条直线两两相交最多有个交点，故答案为：． （2025·湖北武汉·模拟预测）我们知道，同一个平面内，1条直线将平面分成部分，2条直线将平面最多分成部分，3条直线将平面最多分成部分，4条直线将平面形多分成部分……，n条直线将平面最多分成部分，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵1条直线将平面分成部分， 2条直线将平面最多分成部分， 3条直线将平面最多分成部分， 4条直线将平面形多分成部分……， ∴n条直线将平面最多分成部分，∴， ∴．故选B． 1）线段的等量代换 图1 图2 条件：如图，已知：EG=HF； 结论：EH=GF. 证明:如图1，∵EG=HF，∴EG-HG=HF-HG，∴EH=GF. 如图2，∵EG=HF，∴EG+HG=HF+HG，∴EH=GF. 2）角度的等量代换 （图中：∠AOD=∠1，∠BOC=∠2，∠BOD=∠3，∠AOC=∠4） 条件1：已知∠AOB=∠DOC=90°；结论：∠1=∠2，∠3+∠4=180°. 条件2：已知∠AOB=∠DOC=90°；结论：∠1=∠2，∠3+∠4=180°. 证明：如图1，∵∠AOB=∠DOC，∴∠AOB-∠BOD=∠DOC-∠BOD，∴∠AOD=∠BOC，即：∠1=∠2. ∵∠AOB=∠DOC=90°，∴∠AOB+∠DOC=180°， ∴∠BOD+∠AOD+∠DOC=180°，∴∠BOD+∠AOC=180°，即：∠3+∠4=180°. 如图2，∵∠AOB=∠DOC，∴∠AOB+∠BOD=∠DOC+∠BOD，∴∠AOD=∠BOC，即：∠1=∠2. ∵∠AOB=∠DOC=90°，∴∠AOB+∠DOC=180°， ∵∠BOD+∠AOC+∠AOB+∠DOC=360°，∴∠BOD+∠AOC=180°，即：∠3+∠4=180°. 利用等量代换我们还可以推导三个重要的性质： ①同角（等角）的余角相等；②同角（等角）的补角相等；③对顶角相等。 3）线段的计数模型 如果线段上有n个点（包括线段的两个端点），那么该线段上共有多少条线段？ 我们先取n=5进行研究，如下图： 结论：线段数量：4+3+2+1=10（条）（注意：按一个方向数，不回头）； 证明：①以A为端点的线段有：AB、AC、AD、AE，有4条； ②以B为端点的线段有：BC、BD、BE，有3条；③以C为端点的线段有：CD、CE，有2条； ④以D为端点的线段有：DE，有1条；故图中线段总数量：4+3+2+1=10（条） 注意：线段的定义为两点间的一段直线，因此“直线+两个端点”是其核心要素； 结论拓展：若有n个点，则线段数量为：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（条） 4）角度的计数模型 若过点O作了有n条射线，那么该图形中共有多少个角？ 我们先取n=5进行研究，如下图： 结论：角的数量：4+3+2+1=10（个）（注意：按一个方向数，不回头）； 证明：①以OA为角的一边有：∠AOB、∠AOC、∠AOD、∠AOE，有4个； ②以OB为角的一边有：∠BOC、∠BOD、∠BOE，有3个； ③以OC为角的一边有：∠COD、∠COE，有2个； ④以OD为角的一边有：∠DOE，有1个；故图中角总数量：4+3+2+1=10（个） 注意：线段的定义为两点间的一段直线，因此“直线+两个端点”是其核心要素； 结论拓展：若有n条射线，则角度数量为：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（个）。 1）直线交点计数模型与平面分割的计数模型 n条直线，最多有多少个交点呢？最多能将平面分成多少部分呢？ 直线的条数 最多交点个数 平面最多分成部分数 1 0 1+1=2 2 1 1+1+2=4 3 1+2=3 1+1+2+3=7 4 1+2+3=6 1+1+2+3+4=11 ... ... ... n 2）多边形的对角线条数计数模型和三角形个数的计数模型 从n边形一个顶点出发可引出对角线，这些对角线能把多边形分割成多少个三角形呢？n边形共有多少条对角线呢？ 结论：从n边形一个顶点出发可引出 （n-3） 条对角线；这些对角线把多边形分割成（n-2）个三角形； n边形共有对角线。 证明：由连接不相邻的两个顶点的线段叫多边形的对角线， 可知，从n边形的每个顶点出发有条对角线，这些对角线把多边形分割成（n-2）个三角形 ∵n边形有个顶点，∴共有n条对角线 又∵能形成对角线的两个点之间只算1条对角线（即上面的计算相当于每条对角线重wzZ复计算了一次）， ∴n边形有条对角线． 模型1.线段与角度的等量代换模型 例1（24-25七年级上·湖北荆州·期末）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，如果AB=CD，那么比较AC与BD的大小关系为（    ） A．AC>BD B．AC<BD C．AC=BD D．不能确定 【答案】C 【详解】根据题意和图示可知AB=CD，而CB为AB和CD共有线段，故AC=BD．故选C． 例2（24-25七年级上·河南洛阳·期末）如图：A、M、N、B四点在同一直线上． (1)若．①比较线段的大小： （填“＞”、“=”或“＜”）； ②若且，则的长为 ；(2)若线段被点M、N分成了三部分，且的中点P和的中点Q之间的距离是，求的长． 【答案】(1)①=；②21(2) 【详解】（1）解：①∵，∴，即：，故答案为：=； ②∵，且，∴， ∴，∴，故答案为：21； （2）解：如图1所示， 设每份为x，则，，， ∵P是的中点，点Q是的中点，∴， 又∵，∴，解得，，∴． 例3（24-25广东七年级期中）已知：如图所示，则(　　) A． B． C． D．与的大小无法比较 【答案】C 【详解】解：∵，∴，即．故选：C． 例4（24-25天津南开·七年校考期中）如图所示，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，， ，故选：D． 例5（24-25七年级上·山东·期中）直线、相交于点O，于点O，作射线，且在的内部，点E、F在直线的同侧． 求证：若平分，一定平分． 证明：平分，（             ）．（             ）． ，（             ）． （垂直定义） （             ）．即 （             ）． （对顶角相等） （等量代换） 平分（             ）． 请在括号内填写每一步的依据． 【答案】已知；角平分线的定义；已知；90；等式的基本性质；；角的和差的定义；；；角平分线的定义 【详解】证明：平分（已知）． （角平分线的定义）． ，（已知）．（垂直定义）， （等式的基本性质）． 即（角的和差的定义 ）． （对顶角相等）， （等量代换）， 平分（角平分线的定义）． 模型2.线段与角度的计数模型 例1（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）兰州市某公交线路上共设6个车站，则在这条线路上往返行车需要设计车票价有（    ） A．25种 B．15种 C．30种 D．21种 【答案】C 【详解】解：如图所示，兰州市某公交线路上共设6个车站，可看作六个点， 则线段的总条数是，因为要有往返车票，即两点之间是两种车票， 所以应设计（种）．故选：C． 例2（24-25七年级上·四川绵阳·开学考试）一列车往返于成都和重庆之间，全程停靠7个站，共需要准备 种不同的车票． 【答案】42 【详解】解：（种）故答案为：42． 例3（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）如图所示，在已知锐角内部，画1条射线，图中共有3个角；画2条射线，图中共有6个角；画3条射线，图中共有10个角；按此规律，画条射线，共有 个角． 【答案】 【详解】解：在已知角内画射线，画1条射线，图中共有3个角； 画2条射线，图中共有6个角；画3条射线，图中共有10个角； 画条射线，图中共有个角，故答案为：． 例4（24-25七年级上·湖北孝感·期末）如图1，从点分别引两条射线，则得到一个角．（图中的角均指不大于平角的角） (1)探究：①如图2，从点分别引三条射线，则图中得到________个角； ②如图3，从点分别引四条射线，则图中得到________个角； ③依此类推，从点分别引条射线，则得到________个角（用含的式子表示）； (2)应用：利用③中发现的规律解决问题：某校七年级共有16个班进行足球比赛，准备进行单循环赛（即每两队之间赛一场），则全部赛完共需多少场比赛？ 【答案】(1)①3；②6；③(2) 【详解】（1）①由题意可得，从点分别引三条射线，图中的角有， ，∴图中得到3个角； ②由题意可得，从点分别引四条射线，图中的角有， ，∴图中得到6个角； ③由①②可得，当从点分别引条射线，，∴得到个角； （2）根据题意可得，当时，．∴全部赛完共需120场比赛． 例5（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）问题提出：某校要举办足球赛，若有5支球队进行单循环比赛（即全部比赛过程中任何一要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场），则该校一共要安排多少场比赛？ 构建模型：生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决题．为解决上述问题，我们构建如下数学模型：       图①             图② （1）如图①，我们可以在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上）其中每个点各代表一支足球队，两支球队之间比赛一场就用一条线段把它们接起来，由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都连成一条线段，这样一共连成条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有条线段，所以该校一共要安排10场比赛． （2）若学校有6支足球队进行单循环比赛，借助图②，我们可知该校一共要安排__________场比赛： （3）根据以上规律，若学校有n支足球队进行单循环比赛，则该校一共要安排__________场比赛． 实际应用：（4）9月1日开学时，老师为了让全班新同学互相认识，请班上52位新同学每两个人都相互握一次手，全班同学总共握手__________次． 拓展提高：（5）往返于广州南和珠海北的广珠轻轨列车，中途经南朗、中山、中山北、东升、小榄、容桂、顺德、北滘等8个车站（每种纸质车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备纸质的车票的种数为__________种． 【答案】（2）15（3）（4）1326（5）90 【详解】解：（2）由图②可知，我们可以在平面内画出6个点（任意3个点都不在同一条直线上）其中每个点各代表一支足球队，两支球队之间比赛一场就用一条线段把它们接起来，由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外5个点都连成一条线段，这样一共连成条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有条线段，所以该校一共要安排15场比赛；故答案为：15； （3）根据图①和图②可知，若学校有n支足球队进行单循环比赛，则每个点存在条与其他点的连线，而每两个点之间的线段都重复计算了一次 ∴若学校有n支足球队进行单循环比赛，则该校一共要安排场比赛；故答案为：； （4）将代入（3）中结果，∴全班同学总共握手1326次，故答案为：1326； （5）因为行车往返存在方向性，所以不需要除去每两个点之间的线段都重复计算了一次的情况 将代入 中解得∴要准备车票的种数为90种． 模型3.直线交点计数模型与平面分割的计数模型 例1（24-25七年级上·河南洛阳·期末）我们知道，2条直线相交只有1个交点，3条直线两两相交最多能有3个交点，4条直线两两相交最多能有6个交点，5条直线两两相交最多能有10个交点，……10条直线两两相交最多能有（   ） A．28 B．36 C．45 D．55 【答案】C 【详解】解：由题意可得：3条直线两两相交最多有3个交点，即， 4条直线两两相交最多有6个交点，即，5条直线两两相交最多有10个交点，即， 6条直线两两相交最多有15个交点，即，… ∴10条直线两两相交最多能有．故选：C． 例2（24-25·浙江·七年级专题练习）2条直线相交，有1个交点；3条直线相交，最多有3个交点；n条直线相交最多有多少个交点？（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵2条直线相交时，最多有1个交点；3条直线相交时，最多有1+2=3个交点； 4条直线相交时，最多有1+2+3=6个交点；…∴5条直线相交时，最多有1+2+3+4=10个交点； 6条直线相交时，最多有1+2+3+4+5=15个交点；7条直线相交时，最多有1+2+3+4+5+6=21个交点； n条直线相交，交点最多有．故选A． 例3（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）【计数原理】平面上有8条直线，最多能把平面分成 个部分． 【答案】 【详解】解：如图所示，1条直线最多将平面分成2个部分；而，    2条直线最多将平面分成4个部分；而， 3条直线最多将平面分成7个部分；而， 平面上有8条直线，最多能把平面分成；故答案为： 例4（24-25七年级上·湖南怀化·阶段练习）一条直线最多将平面分成2个部分，2条直线最多将平面分成4个部分，3条直线最多将平面分成7个部分，则4条直线最多将平面分成 个部分，n条直线将平面最多分成 个部分． 【答案】 11 【详解】解：1条直线将平面分为个部分， 2条直线最多可将平面分为个部分， 3条直线最多可将平面分为个部分， 4条直线最多可将平面分为个部分， 故条直线最多可将平面分为个部分，故答案为： ，． 例5（24-25七年级下·河南南阳·开学考试）我们知道，两条直线相交，最多有个交点（如图①）；三条直线两两相交，最多有个交点（如图②）；四条直线两两相交，最多有个交点（如图③）；五条直线两两相交，最多有多少个交点（如图④）；六条直线两两相交，最多有多少个交点……条直线两两相交，最多有多少个交点呢（用含的代数式表示）： (1)完成下表 直线数 … 交点数 … (2)在实际生活中同样存在数学规律型问题，请你类比上述规律探究，计算：某校七年级举办篮球比赛，第一轮要求每两班之间比赛一场，若七年级共有个班，则这一轮共要进行多少场比赛？ 【答案】(1)；； (2)这一轮要进行场比赛 【详解】（1）解：①两条直线相交最多有个交点：； ②三条直线相交最多有个交点：； ③四条直线相交最多有个交点：； ④五条直线相交最多有个交点：， ⑤六条直线相交最多有个交点：… 条直线相交最多有个交点；故答案为：；； （2）解：该类问题符合上述规律，所以可将代入， 即；故这一轮要进行场比赛 模型4.多边形的对角线条数计数模型和三角形个数的计数模型 例1（24-25七年级上·四川成都·期末）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形，则这个多边形一共有 条对角线． 【答案】14 【详解】解：设这个多边形的边数为，由题意得，解得， 所以对角线总数为：．故答案为：14． 例2（24-25七年级下·辽宁丹东·开学考试）若一个多边形从一个顶点出发可引出6条对角线，则这个多边形是（   ）边形 A．六角形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 【答案】D 【详解】解：从一个多边形的一个顶点出发可以引6条对角线，设多边形边数为n， ，解得．则这个多边形是九边形．故选：D． 例3（24-25·陕西咸阳·七年级统考期末）五边形的对角线一共有（    ） A．5条 B．6条 C．7条 D．8条 【答案】A 【详解】解：五边形的对角线共有5×(5−3)=5，故选A． 例4（24-25八年级下·山东潍坊·期末）某校数学兴趣小组为了研究多边形中从一个顶点可以作几条对角线，以及该多边形中对角线的总条数与边数的关系，他们决定从以下图形开始寻找规律． (1)请在图中画出从点出发的所有对角线；(2)根据探究，整理得到下面表格： 多边形的边数 4 5 6 7 8 …… n 从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 5 …… a 多边形对角线的总条数 2 5 9 14 20 …… b 表格中_____，_____；（用含的代数式表示） (3)拓展应用：若该校要举办足球比赛，总共有个班级参加比赛，规定每个班级都要和其他班级比赛一次．请问总共要比赛多少场？ 【答案】(1)见解析；(2)，(3)场 【详解】（1）解：如图， （2）解：∵多边形的边数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数； 多边形的边数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数； 多边形的边数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数； 多边形的边数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数； 多边形的边数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数； ……∴多边形的边数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数； 故答案为：，； （3）解：（场）∴总共要比赛场． 1．（24-25·河北石家庄·七年级校考期中）如图，AB＝CD，那么AC与BD的大小关系是（  ） A．AC＜BD B．AC＝BD C．AC＞BD D．不能确定 【答案】B 【详解】根据题意和图示可知AB=CD，而BC为AB和CD共有线段，故AC=BD，故选：B． 2．（24-25七年级上·山东临沂·期末）如图，由临沂始发终点至淄博的某一次高铁列车，运行途中停靠的车站依次是：临沂-曲阜-泰安-济南-淄博，那么要为这次列车制作的单程火车票（    ）种． A．4 B．6 C．10 D．12 【答案】C 【详解】解：高铁列车在运行途中，停靠的车站依次是临沂-曲阜-泰安-济南-淄博，要为这次列车制作的单程火车票的种类为（种），故选：C． 3．（24-25七年级上河北唐山期末）如图，两个直角和有公共顶点，下列结论：①；②；③若平分，则平分；④的平分线与的平分线是同一条射线．其中结论不正确的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【详解】解：，，， ，故①正确，不符合题意； 只有当、分别为和的平分线时，，故②错误，符合题意； ，平分，， ，平分，故③正确，不符合题意； ，， 的平分线与的平分线是同一条射线，故④正确，不符合题意．故选：B． 4．（24-25七年级下·河南安阳·阶段练习）如图所示，两条直线相交所组成的角中，对顶角有2对，三条直线相交，交点最多时所组成的角中，对顶角有6对……那么条直线相交，交点最多时，所组成的角中对顶角有（　　）    A．对 B．2对 C．对 D．对 【答案】C 【详解】解：两条直线相交只有1个交点，对顶角有对， 三条直线相交有3个交点，对顶角有对，四条直线相交有6个交点，对顶角有对， 则n条直线相交，交点最多时，所组成的角中，对顶角有对，故选：C． 5．（24-25七年级上 吉林 专题练习）下列判断： ①因为，，所以； ②因为，，所以； ③因为，，，所以； ④因为，，，所以． 其中，正确的判断有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：根据“同角的余角相等”， 因为，，所以正确，故①正确； 因为，，所以错误，故②错误； 根据“等角的补角相等”，因为，，，所以正确，故③正确； 因为，，，所以错误，故④错误； 综上所述，正确的有①③，故选：B． 6．（24-25福建三明·七年级统考期末）如图，B、C是线段上两点，且，若，，那么大小为（    ） A．3 B．7 C．10 D．13 【答案】B 【详解】解：∵，∴AB+BC＝CD+BC，∴AC＝BD ∵，，∴BD＝7，∴AC＝7，故选：B． 7．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）湖南湘江新区大王山欢乐云巴对外运营．一张云巴票就能领略沿途余个景点，感受大王山人文风情，如图，乘云巴从山塘站出发，沿途经过个车站方可到达观音港站，那么运营公司在山塘站，观音港站两站之间往返需要安排不同的车票 种． 山塘站 欢乐雪域站 欢乐城站 华谊电影小镇站 大王山站 桐溪公园站 植物公园站 学士站 观音港站 【答案】 【详解】解：设首尾两站为点，点是线段上的七个点， 则图中共有线段条， ∵到与到车票不同，∴从到的车票共有种，故答案为：． 8．（24-25七年级上·四川绵阳·期末）平面上1个圆能把平面分成2个部分：平面上2个圆最多能把平面分成4个部分：平面上3个圆最多能把平面分成 个部分；依次类推，一般地，n个圆最多能把平面分成 个部分． 【答案】 8 【详解】如图所示，3个圆最多能把平面分成8个部分； ∵新增的一个圆与个圆的每一个有2个交点∴共有个交点 ∵新增区域和交点的个数相同∴新增的圆分成部分 ∴n个圆最多分平面为： ．故答案为：8，． 9．（24-25七年级·山东青岛·培优）1条直线将一个平面分为两部分，2条直线将一个平面最多分为四部分……那么10条直线最多可以将一个平面分为 部分，n条直线最多可以把一个平面分为 部分． 【答案】 56 【详解】解：1条直线将一个平面分为两部分，即：； 2条直线将一个平面最多分为四部分，即：； 3条直线将一个平面最多分为7部分，即：； 依次类推，10条直线最多可以将一个平面分为：部分； n条直线最多可以把一个平面分为部分；故答案为：56，． 10．（2021·黑龙江大庆·中考真题）如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有 个交点 【答案】190 【详解】解：2条直线相交有1个交点；3条直线相交最多有个交点； 4条直线相交最多有个交点；5条直线相交最多有个交点； 20条直线相交最多有．故答案为：190． 11．（24-25七年级上·广西南宁·期末）如图所示，1条直线将平面分成2个部分，2条直线最多可将平面分成4个部分，3条直线最多可将平面分成7个部分，4条直线最多可将平面分成11个部分，现有50条直线最多可将平面分成 个部分．    【答案】1276 【详解】解：1条直线将平面分为个部分， 2条直线最多可将平面分为个部分， 3条直线最多可将平面分为个部分， 4条直线最多可将平面分为个部分， 故条直线最多可将平面分为个部分， ∴当时，，故答案为：1276. 12．（24-25七年级上·江苏·期末）如图，利用工具测量角，有如下4个结论：①；②；③与互为余角；④与互为补角．上述结论中正确的是 （填序号）． 【答案】①③④ 【详解】解：由图知，故①正确， ，，故②错误， ，与互为余角，故③正确； ，， 与互为补角．故④正确；故答案为：①③④． 13．（24-25七年级上·江苏·课后作业）如图，在已知角内画射线，画1条射线，图中共有 个角；画2条射线，图中共有 个角；画 条射线，图中共有 个角；画条射线，图中共有 个角． 【答案】 3 6 3 10 【详解】解：由图可知，画1条射线，图中共有3个角； 画2条射线，图中共有6个角；画3条射线，图中共有10个角； 画条射线，图中共有 个角． 故答案为：3；6；3；10；. 14．（24-25七年级上·江苏·期末）分别写出图中有多少个角？ (1)如图①，在的内部从点O引出两条射线，，数一数，图中共有多少个角？并写出来． (2)如图②，如果在的内部以点O为端点作n条射线，则图中一共有多少个角？ 【答案】(1)共有6个角，它们分别是，，，，， (2)个角 【详解】（1）共有6个角，它们分别是，，，，，； （2）如果在的内部作1条射线，这样一共有（个）角； 如果在的内部作2条射线，一共有（个）角； 如果在的内部作3条射线，一共有（个）角；……以此类推； 如果在的内部以点O为端点作n条射线，一共有个角． 15．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）如图，A、B、C、D四点在同一直线上，且． (1)比较线段的大小：______（填“＞”、“＝”或“＜”）： (2)若，且cm，求线段的长． 【答案】(1)＝(2)20 【详解】（1）解：由题意得∵，∴，∴；故答案为：＝； （2）解：∵，且，∴， ∴，∴； 16.（24-25七年级上·河北石家庄·阶段练习）补充下面命题的说理过程，并在括号内填写依据． 如图，直线相交于点O，，垂足为O，平分． 对说明理由． 理由：因为直线相交于点O（已知），所以（                          ）． 因为平分（已知），所以（                          ）， 所以 （                          ）． 因为（                          ）， 所以（等量代换）． 因为（已知），所以 （                          ）． 因为（                          ）， 所以（                          ）． 【答案】见解析 【详解】解：因为直线相交于点O（已知）， 所以（对顶角相等）． 因为平分（已知）， 所以（角平分线的定义）， 所以（等量代换）． 因为（平角的定义）， 所以（等量代换）． 因为（已知）， 所以（垂直的定义）． 因为（两角差的定义）， 所以（等量代换）． 17．（24-25七年级上·江苏·专题练习）阅读：在直线上有n个不同的点，则共有多少条线段？通过分析、画图得如下表格： 图形 直线上点的个数 共有线段的条数 两者关系 2 1 3 3 4 6 … … … …    n 问题：(1)把表格补充完整；(2)根据上述得到的信息解决下列问题：①某学校七年级共有6个班进行辩论赛，规定进行单循环赛（每两班赛一场），那么该校七年级的辩论赛共要进行多少场？②乘火车从A站出发，沿途经过10个车站方可到达B站，那么在A，B两站之间需要安排多少种不同的车票？ 【答案】(1)；(2)①15场；②132元 【详解】（1）解：从左到右依次为；． 故答案为：，； （2）①把每一个班级看作一个点，则该校七年级的辩论赛共要进行（场）． ②由题意可得一共有12个车站，将其看作12个点，则线段的条数为． 因为有起点站和终点站之分，所以需要安排种车票． 18．（24-25七年级上·山东济南·期末）有如下问题：“平面上，分别有2个点、3个点、4个点、5个点，……，n个点，其中任意3个点都不在一条直线上，经过每两点画一条直线，它们分别可以画多少条直线？”为了解决这一问题，小明设计了如图表进行探究： 点数 2 3 4 5 … n 示意图 … 直线 1 … 【发现规律】 （1）当点数为5时，过任意一点的直线有_____条，共有直线_____条； 【探索归纳】（2）当点数为时，过任意一点的直线有____条，共有直线____条；（用含的代数式表示） 【迁移运用】（3）请按照小明的探究思路，分析并解决下列问题： 某学校七年级共有6个班进行足球比赛．①若进行单循环比赛，每两个班都要赛一场，全部比完共进行了多少场比赛?②比赛结束后，每两个班级之间互送一份纪念品，共送出多少件纪念品？ 【答案】（1）4；10；（2）；；（3）①15；②30 【详解】解：（1）当点数为5时，过任意一点的直线有4条，共有直线（条）； 故答案这：4；10； （2）当点数为时，过任意一点的直线有条，共有直线（条）； 故答案为：；； （3）①进行单循环比赛，每两个班都要赛一场，全部比完共进行的比赛场数为： （场）； ②比赛结束后，每两个班级之间互送一份纪念品，共送出的纪念品件数为： （件）． 19．（24-25七年级下·浙江舟山·期末）【问题提出】欧洲杯正如火如荼进行中，本次比赛支参赛球队分成个小组，小组赛每小组支球队进行单循环比赛，（任何一队都要与其他各队比赛一场且只比赛一场，不同小组之间不进行小组赛），则本次欧洲杯总计有几场小组赛比赛？ 【构建模型】为解决上述问题，我们构建如下数学模型：如图①，我们可以在平面内画出个点（任意个点都不在同一条直线上），每个点与另外个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，实际只有条线段． （1）若某次比赛有支队伍进行单循环比赛，借助图②，我们可知一共要安排______场比赛； （2）根据以上规律，若有支足球队进行单循环比赛，则一共要安排______场比赛． 【实际应用】（3）年欧洲杯足球赛，总计需要安排______场小组赛． （4）甬舟铁路预计年通车，届时杭州到舟山的车程将缩短至一个半小时左右，从起点杭州站出发，途经绍兴、余姚、宁波、马岙，至终点白泉站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备车票的种数为______种． 【答案】（1）．（2）（3）（4）30 【详解】（1）由图②可知，图中实际共有条线段， ∴根据题意，可得支队伍进行单循环比赛一共要安排场比赛．故答案为：． （2）当有支足球队进行单循环比赛时，即在平面内画出个点（任意个点都不在同一条直线上），每个点与另外个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，实际只有条线段， 即根据以上规律，若有支足球队进行单循环比赛，则一共要安排场比赛，故答案为：． （3）根据题意可得，欧洲杯支参赛球队分成个小组， 由上可得一个小组会有场比赛，故六个小组则共有有场比赛， 即本次欧洲杯总计有几场小组赛比赛，故答案为． （4）由题意可得一共有六个车站，因为行车往返存在上车与下车，所以不需要除去每两个点之间的线段都重复计算了一次的情况，即每两个车站就会有两种车票， ∴一个车站与另外个车站都可各形成一张车票，即张车票， ∴这样六个车站一共形成了种车票．故答案为． 20．（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）【找规律】阅读：平面内，由不在同一直线上的n条线段首尾顺次连接而成的图形叫作n边形．如：时叫作三角形，时叫作四边形，时叫作五边形……连接n边形中不相邻的两个顶点之间的线段叫作n边形的对角线．如图，线段，是四边形的对角线． (1)从五边形的一个顶点A出发，可以引 条对角线；从六边形的一个顶点可以引 条对角线；……从n边形的一个顶点可以引 条对角线；(2)五边形一共有 条对角线；(3)n边形一共有 条对角线． 【答案】(1)2，3，(2)5(3) 【详解】（1）解：根据定义，得从五边形的一个顶点A出发，可以引条对角线；从六边形的一个顶点可以引条对角线；……从n边形的一个顶点可以引条对角线， 故答案为：2，3，． （2）解：根据一个条，五边形有5个顶点，共有条，根据相同端点的线段是同一条相等，得五边形一共有条对角线，故答案为：5． （3）解：根据题意，从从n边形的一个顶点可以引条对角线，n边形有n个顶点，共有条，根据相同端点的线段是同一条相等，得n边形一共有条对角线，故答案为：． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 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