专题16 三角形中的九类倒角模型（几何模型讲义）数学人教版2024八年级上册

专题16.三角形中的九类倒角模型 本专题包含三角形中的八类倒角模型，主要有：高分线模型、双垂直模型、射影模型、双角平分线（双内、双外、内外）模型、A字型、8字型、燕尾（飞镖）型、风筝模型、平分平行（射影）构等腰等模型等。通过这些综合训练希望能让大家弄清楚这些模型的适用条件，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 1.（24-25七年级下·广东深圳·期中）有一张直角三角形纸片，记作，其中，按如图方式剪去它的一个角（虚线部分），在剩下的四边形中，则、满足的等量关系为（ ） A． B． C． D． 2.（24-25重庆八年级期中）如图，，的角平分线交于点，若，，则的度数（    ） A． B． C． D． 3.（24-25八年级上·北京昌平·期末）如图，把沿折叠后，点的对应点为，且点落在四边形内部，则，，之间满足的数量关系是（    ） A． B． C． D． 4.（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，在中，，将沿直线l翻折，点B落在点的位置，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25·广东深圳·七年级校考期末）如图，直线，直线分别与相交于点A，B．小宇用尺规作图法按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧交于点C，交于点D；②分别以C，D为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点E；③作射线交于点F．若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 6．（24-25·黑龙江齐齐哈尔·八年级校联考期中）如图，的三边、、的长分别为、、，其三条角平分线将分成三个三角形，则（    ）    A． B． C． D． 7．（24-25·四川达州·八年级校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F，则下列结论成立的是（　　）    A．EC＝EF B．FE＝FC C．CE＝CF D．CE＝CF＝EF 8.（2025·陕西·统考一模）如图，在中，分别是边上的高，并且交于点P，若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 9.（24-25八年级上·山东菏泽·期中）中，，高和高所在直线交于O，则的大小为（    ） A．或 B．或 C． D． 10.（24-25七年级下·安徽安庆·期末）如图，在直角三角形中，，为所在直线上一动点，连接，则线段的最小值是（    ） A．5 B．4.8 C．4.5 D．4 11.（24-25七年级下·吉林·校考期中）如图，线段和相交于点O，，，则的度数是 度． 12.（24-25八年级·山东·培优）如图，已知，则 ． 13.（24-25八年级上·湖北·专题练习）如图， 度． 14.（24-25八年级上·江西宜春·阶段练习）如图，四边形中，，若沿图中虚线剪去，则 ° 15.（24-25.成都市青羊区八年级期中）如图，在中，，于点D，的平分线BE交AD于F，交AC于E，若，，则_____________． 16．（24-25·陕西咸阳·八年级校考阶段练习）如图，在中，，点为的边上一点，点分别在边上，连接，若，则的度数为 ．    17．（24-25·安徽滁州·八年级统考期末）中，D是边上的点（不与点B，C重合），连接．    （1）如图1，当平分时，若，，则 ；（2）如图2，平分，延长到E，使得，连接，如果，，，则 . 18．（24-25七年级下·山东青岛·阶段练习）如图，在中，、的平分线相交于点I，若，则 度． 19．（24-25·吉林长春·七年级校考期末）如图，△ABC中，∠C=50°，AD是∠CAB的平分线，BD是△ABC的外角平分线，AD与BD交于点D，那么∠D= °． 20.（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）如图，分别是△ABC的角平分线和高线，且，则 ． 21.（24-25八年级上·内蒙古·阶段练习）如图，在中，，，、边上的高、交于点H，则与的比值是 22.（24-25七年级下·长春·期末）如图，在中，是斜边上的高，． （1）求的度数；（2）求的度数． 对于上述问题，在以下答题过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 解：（1）（已知）， ___________． （                                ）， （已知）， ______________________（等量代换）． （2）， ___________（等式的性质）． （已知）， ______________________（等量代换）． 23.（24-25七年级下·四川眉山·期末）【问题背景】（1）小明在学习多边形时，把如图1的图形看成“8”字形，并得出如下结论：，请你说明理由； 【尝试应用】（2）如图2，、分别平分、，若，，求的度数； 【拓展延伸】（3）如图3，已知，，，，其中，且为整数，请利用上述结论或方法直接写出的度数．（用含n，，的代数式表示） 24.（24-25八年级下·贵州铜仁·期中）（1）如图1，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则 ____； （2）如图2，已知中，，剪去后成四边形，则____； （3）如图3，当时，将折成如图3形状，试求的度数（用含α的式子表示）． 25.（24-25·七年级下·四川·期末）一副三角板按图1所示方式摆放，其中，，.固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角 (1)如图2，当时，的度数为__________；(2)当的一边与平行时，求的度数； (3)如图3，连结，当时，试判断的大小是否改变?并说明理由 26.（24-25·山东·八年级校考阶段练习）请阅读下列材料，并完成相应的任务：有趣的“飞镖图”． 如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹四边形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢?下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是一个角“凹”逃去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和． （即如图1，∠ADB=∠A+∠B+∠C）理由如下： 方法一：如图2，连结AB，则在△ABC中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°， 又：在△ABD中，∠1+∠2+∠ADB=180°， ∴∠ADB=∠3+∠4+∠C，即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C． 方法二：如图3，连结CD并延长至F， ∵∠1和∠3分别是△ACD和△BCD的一个外角，．．．．．．．．．． 大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论． 任务：(1)填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是_________； (2)探索及应用：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分． 27.（24-25江苏·七年级专题练习）探究与发现： 如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题： (1)观察“规形图”，试探究与、、之间的关系，并说明理由； (2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点B、C，若，则_____°；②如图3，平分，平分，若，，则______°；③如图4，，的10等分线相交于点，，…，，若，，求的度数． 28.（24-25七年级下·江苏常州·期末）画，在的两边上分别取点、，是平面内一点（点不在直线、、上），连接、．分别记、、为、、（本题中涉及的所有角均不超过）(1)若点在图1所示位置，则______（用含、、的代数式表示）； (2)若点在图2所示位置，则与、、之间有怎样的数量关系？请证明你的结论； 29.（24-25浙江·七年级校联考期末）如图①，、是四边形的两个不相邻的外角．      (1)猜想并说明与、的数量关系；(2)如图②，在四边形中，与的平分线交于点．若，，求的度数；(3)如图③，、分别是四边形外角、的角平分线．请直接写出、与的数量关系 ． 30.（24-25七年级下·吉林长春·期中）在中，，点分别是边，上的点，点是平面内的一个动点，连结，，设，，． (1)如图①，若点在边上，则，和之间的数量关系为 ． (2)如图②，若点在线段的延长线上时，求，和之间的数量关系． (3)如图③，若点在的内部，且在直线上方时，直接写出，和之间的数量关系． (4)若点在的外部，且始终在右侧，借助图④，直接写出，和之间的数量关系． 31．（24-25·江苏·八年级专题练习）如图，在中，，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N．若，． (1)求的度数；(2)求的周长．    32．（24-25广东江门八年级月考）（1）如图1，已知，在中，，平分，平分，过点作，分别交、于、两点，则图中共有________个等腰三角形：与、之间的数量关系是________，的周长是________． （2）如图2，若将（1）中“中，”改为“若为不等边三角形，，”其余条件不变，则图中共有________个等腰三角形；与、之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出的周长． （3）已知：如图3，在外，，且平分，平分的外角，过点作，分别交、于、两点，则与、之间又有何数量关系呢？写出结论并证明． 33．（24-25·福建厦门·八年级校考期中）如图，为的角平分线． （1）如图1，若于点，交于点，，．则________； （2）如图2，若，，的面积是10，求的面积； （3）如图3，若，，，请直接写出的长（用含，的式子表示） 34．（24-25·山西太原·八年级校考期末）已知：如图，是内一点，连接，． (1)猜想：与、、存在怎样的等量关系？证明你的猜想．(2)若，、分别是、的三等分线，直接利用（1）中结论，可得的度数为 　　． 35．（24-25·辽宁鞍山·八年级统考期中）（1）已知：如图（1），在中，、分别平分和，直接写出与的数量关系；（2）已知：如图（2），在四边形中，、分别平分和，试探究与、之间的数量关系． 36．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）某同学在学习过程中，对教材的一个习题做如下探究： 【习题回顾】已知：如图1，在中，角平分线、交于点O．求的度数． （1）若，请直接写出______； 【变式思考】（2）若，请猜想与的关系，并说明理由； 【拓展延伸】（3）已知：如图2，在中，角平分线、交于点O，点F在的延长线上，作的平分线交的延长线于点G．若，猜想与的关系，并说明理由． 37．（2023春·四川成都·七年级校考期中）中，．现进行第一次操作：如图1作射线，使得，作射线，使得．再进行第二次操作：如图2作射线，使得，作射线，使得．再进行第三次操作：如图3作射线使得，作射线，使得．则 ． 38．（24-25七年级下·甘肃天水·期末）（1）如图①，是的外角，平分，平分，且、交于点．如果，，求的度数； （2）如图②，点是两外角平分线、的交点，探索与之间的数量关系，并说明理由． 39．（24-25·湖南长沙·七年级校考期末）（1）如图，在中，、的平分线，相交于点，，，求的度数； （2）如图，的外角的平分线与内角平分线交于点，若， ①求的度数；②求的度数． 40．（24-25·重庆·七年级专题练习）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题. 探究1：如图1，在△ABC 中，O 是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，分析发现，理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC、∠ACB 的角平分线 ∴， ∴ ∴ （1）探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A 有怎样的关系？请说明理由． （2）探究3： 如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则与有怎样的关系？（直接写出结论） （3）拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系？（直接写出结论） （4）运用：如图5，五边形ABCDE中，∠BCD、∠EDC的外角分别是∠FCD、∠GDC，CP、DP分别平分∠FCD和∠GDC且相交于点P，若∠A=140°，∠B=120°，∠E=90°，则∠CPD=_____度． 41.（24-25八年级上·湖北孝感·阶段练习）已知，如图，在中，，分别是的高和角平分线，(1)若，，求的度数． (2)若，，试求的度数（用和表示），并说明理由． 42.（24-25八年级上·广东·校考期中）已知：在中，，平分交于点． (1)如图①，于点，若，求的度数； (2)如图①，于点，若，求的度数（用含的式子表示）； (3)如图②，在中，于点，是上的任意一点（不与点，重合），过点作于点，且，请你运用（2）中的结论求出的度数； (4)在（3）的条件下，若点在的延长线上（如图③），其他条件不变，则的度数会发生改变吗？说明理由．    1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16.三角形中的九类倒角模型 本专题包含三角形中的八类倒角模型，主要有：高分线模型、双垂直模型、射影模型、双角平分线（双内、双外、内外）模型、A字型、8字型、燕尾（飞镖）型、风筝模型、平分平行（射影）构等腰等模型等。通过这些综合训练希望能让大家弄清楚这些模型的适用条件，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 1.（24-25七年级下·广东深圳·期中）有一张直角三角形纸片，记作，其中，按如图方式剪去它的一个角（虚线部分），在剩下的四边形中，则、满足的等量关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，得, ∵，∴，∴，故选B． 2.（24-25重庆八年级期中）如图，，的角平分线交于点，若，，则的度数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：法一：延长PC交BD于E，设AC、PB交于F， ∵∠A＋∠ABF＋∠AFB＝∠P＋∠PCF＋∠PFC＝180°，∵∠AFB＝∠PFC，∴∠P＋∠PCF＝∠A＋∠ABF， ∵∠P＋∠PBE＝∠PED，∠PED＝∠PCD−∠D，∴∠P＋∠PBE＝∠PCD−∠D， ∴2∠P＋∠PCF＋∠PBE＝∠A−∠D＋∠ABF＋∠PCD， ∵PB、PC是角平分线∴∠PCF＝∠PCD，∠ABF＝∠PBE，∴2∠P＝∠A−∠D ∵∠A＝48°，∠D＝10°，∴∠P＝19°． 法二：延长DC，与AB交于点E．∵∠ACD是△ACE的外角，∠A＝48°， ∴∠ACD＝∠A＋∠AEC＝48°＋∠AEC．∵∠AEC是△BDE的外角，∴∠AEC＝∠ABD＋∠D＝∠ABD＋10°， ∴∠ACD＝48°＋∠AEC＝48°＋∠ABD＋10°，整理得∠ACD−∠ABD＝58°． 设AC与BP相交于O，则∠AOB＝∠POC， ∴∠P＋∠ACD＝∠A＋∠ABD，即∠P＝48°−（∠ACD−∠ABD）＝19°．故选A. 3.（24-25八年级上·北京昌平·期末）如图，把沿折叠后，点的对应点为，且点落在四边形内部，则，，之间满足的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接，如图所示： ∵沿折叠后，点的对应点为，∴，，， 在中，，在中，， ∴，即，故选：B． 4.（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，在中，，将沿直线l翻折，点B落在点的位置，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，设与交于点，    由折叠的性质可得：，由三角形外角的性质可得： ，，故选：B． 5．（24-25·广东深圳·七年级校考期末）如图，直线，直线分别与相交于点A，B．小宇用尺规作图法按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧交于点C，交于点D；②分别以C，D为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点E；③作射线交于点F．若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，∴， 由题意得：平分，∴，故选：B． 6．（24-25·黑龙江齐齐哈尔·八年级校联考期中）如图，的三边、、的长分别为、、，其三条角平分线将分成三个三角形，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，过点分别作，，的垂线，垂足分别为点，，，    由角平分线的性质定理得：，的三边，，长分别是，，， ∴．故选：C． 7．（24-25·四川达州·八年级校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F，则下列结论成立的是（　　）    A．EC＝EF B．FE＝FC C．CE＝CF D．CE＝CF＝EF 【答案】C 【详解】∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠CDB＝∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠BCD+∠B＝90°，∴∠ACD＝∠B， ∵AF平分∠CAB，∴∠CAE＝∠BAF，∴∠ACD+∠CAE＝∠B+∠BAF， ∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF．故选C． 8.（2025·陕西·统考一模）如图，在中，分别是边上的高，并且交于点P，若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵是边上的高，∴，∵，∴， ∵是边上的高，∴，∴，故选：A． 9.（24-25八年级上·山东菏泽·期中）中，，高和高所在直线交于O，则的大小为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【详解】解：分两种情况：是锐角三角形时，如图：和是高，， ． ；是钝角三角形时，如图： 在和中，，，．故选A． 10.（24-25七年级下·安徽安庆·期末）如图，在直角三角形中，，为所在直线上一动点，连接，则线段的最小值是（    ） A．5 B．4.8 C．4.5 D．4 【答案】B 【详解】解：∵为所在直线上一动点，∴当时，线段的值最小， ∵，，∴当时，， 即：，∴，即：线段的最小值是4.8；故选B． 11.（24-25七年级下·吉林·校考期中）如图，线段和相交于点O，，，则的度数是 度． 【答案】35 【详解】解：∴，而，∴， ∵，∴．故答案为：35． 12.（24-25八年级·山东·培优）如图，已知，则 ． 【答案】 【详解】解：如图，在图中标记，由图可知，，， ∵，∴在中，，∴， 在中，，∴， ∴，故答案为：． 13.（24-25八年级上·湖北·专题练习）如图， 度． 【答案】 【详解】解：如图，连接，记、的交点为， ，，， ，， ，故答案为：． 14.（24-25八年级上·江西宜春·阶段练习）如图，四边形中，，若沿图中虚线剪去，则 ° 【答案】250 【详解】解：∵，，，， ，，， ．故答案为：250． 15.（24-25.成都市青羊区八年级期中）如图，在中，，于点D，的平分线BE交AD于F，交AC于E，若，，则_____________． 【答案】5 【详解】由角度分析易知，即， ∵ ∴ ∵ ∴ 16．（24-25·陕西咸阳·八年级校考阶段练习）如图，在中，，点为的边上一点，点分别在边上，连接，若，则的度数为 ．    【答案】 【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∵，，∴， ∵，∴，∴是的角平分线，∴， ∵，，∴， ∴，∴，故答案为．    17．（24-25·安徽滁州·八年级统考期末）中，D是边上的点（不与点B，C重合），连接．    （1）如图1，当平分时，若，，则 ；（2）如图2，平分，延长到E，使得，连接，如果，，，则 . 【答案】 / 9 【详解】解：（1）如图1，过D作于E，于F，    是的角平分线，， ，，，故答案为：； （2），∴，，，平分， 由（1）可知：，， ，故答案为：9． 18．（24-25七年级下·山东青岛·阶段练习）如图，在中，、的平分线相交于点I，若，则 度． 【答案】100 【详解】解：连接并延长交于P， 平分，，平分，，， ，， ，，故答案为：100． 19．（24-25·吉林长春·七年级校考期末）如图，△ABC中，∠C=50°，AD是∠CAB的平分线，BD是△ABC的外角平分线，AD与BD交于点D，那么∠D= °． 【答案】25° 【详解】解：∵AD是∠CAB的平分线，BD是△ABC的外角平分线，∴∠DBE=∠CBE，∠DAE=∠CAE， ∴∠D=∠DBE-∠DAE=（∠CBE-∠CAE）=∠C=25°，故答案为：25°． 20.（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）如图，分别是△ABC的角平分线和高线，且，则 ． 【答案】/度 【详解】解：∵，∴， ∵是的角平分线，∴， ∵是的高线，∴， ∴．故答案为：． 21.（24-25八年级上·内蒙古·阶段练习）如图，在中，，，、边上的高、交于点H，则与的比值是 【答案】 【详解】由题意得： ，解得．故答案为：． 22.（24-25七年级下·长春·期末）如图，在中，是斜边上的高，． （1）求的度数；（2）求的度数． 对于上述问题，在以下答题过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 解：（1）（已知）， ___________． （                                ）， （已知）， ______________________（等量代换）． （2）， ___________（等式的性质）． （已知）， ______________________（等量代换）． 【答案】（1）；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；；；（2）；； 【详解】解：（1）（已知），． （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， （已知），（等量代换）． 故答案为：；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；；； （2），（等式的性质）． （已知），（等量代换）． 故答案为：；； 23.（24-25七年级下·四川眉山·期末）【问题背景】（1）小明在学习多边形时，把如图1的图形看成“8”字形，并得出如下结论：，请你说明理由； 【尝试应用】（2）如图2，、分别平分、，若，，求的度数； 【拓展延伸】（3）如图3，已知，，，，其中，且为整数，请利用上述结论或方法直接写出的度数．（用含n，，的代数式表示） 【答案】（1）见解析  （2）30°   （3） 【详解】解：（1）和，，． ， （2）分别平分，， 由（1）可知：由①+②可得， ，即，，，． （3）直接写出结论：． 由（1）可知：，， ，，，， ①， ②， 由①②得：，． 24.（24-25八年级下·贵州铜仁·期中）（1）如图1，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则 ____； （2）如图2，已知中，，剪去后成四边形，则____； （3）如图3，当时，将折成如图3形状，试求的度数（用含α的式子表示）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】解：（1）如图，为直角三角形，，∴， ∵，，∴，∴； （2）如图，∵，∴， ∵，，∴，∴； （3）如图，，理由见下：由题意得，， ∴，，∴，， ∴，∵， ∴，∴， ∴，∴，即． 25.（24-25·七年级下·四川·期末）一副三角板按图1所示方式摆放，其中，，.固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角 (1)如图2，当时，的度数为__________；(2)当的一边与平行时，求的度数； (3)如图3，连结，当时，试判断的大小是否改变?并说明理由 【答案】(1)(2)或或(3) 【详解】（1）解：∵，∴，∴； （2）①当时, 如图所示, ，，即 ， ②当时， 如图所示，过点作，∴， ∴， ∴，， ∴；∴； 当时， 如图所示，如图，则； 综上所述，的度数为或或； （3）当,, 保持不变，理由如下： 如图, 设分别交、于点,在中,, ∵,∴， ∵,∴. 26.（24-25·山东·八年级校考阶段练习）请阅读下列材料，并完成相应的任务：有趣的“飞镖图”． 如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹四边形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢?下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是一个角“凹”逃去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和． （即如图1，∠ADB=∠A+∠B+∠C）理由如下： 方法一：如图2，连结AB，则在△ABC中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°， 又：在△ABD中，∠1+∠2+∠ADB=180°， ∴∠ADB=∠3+∠4+∠C，即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C． 方法二：如图3，连结CD并延长至F， ∵∠1和∠3分别是△ACD和△BCD的一个外角，．．．．．．．．．． 大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论． 任务：(1)填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是_________； (2)探索及应用：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分． 【答案】(1)三角形的内角和定理 (2)见解析 【详解】（1）由解题过程可得，“方法一”主要依据的一个数学定理是三角形的内角和定理， 故答案为：三角形的内角和定理； （2）连结CD并延长至F，∵∠1和∠3分别是△ACD和△BCD的一个外角， ， ，即． 27.（24-25江苏·七年级专题练习）探究与发现： 如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题： (1)观察“规形图”，试探究与、、之间的关系，并说明理由； (2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点B、C，若，则_____°；②如图3，平分，平分，若，，则______°；③如图4，，的10等分线相交于点，，…，，若，，求的度数． 【答案】(1)(2)①40，②90，③70° 【详解】（1），理由如下：连接并延长至点F， 由外角定理可得，， ∵，∴， ∵，∴； （2）①由（1）的结论易得：， ∵，，∴，故答案是：40； ②由（1）的结论易得，， ∵，，∴； ∵平分，平分，∴，， ∴； ③由②知，，∵，∴设为， ∵，∴，∴，∴为70°．故答案是：70°． 28.（24-25七年级下·江苏常州·期末）画，在的两边上分别取点、，是平面内一点（点不在直线、、上），连接、．分别记、、为、、（本题中涉及的所有角均不超过）(1)若点在图1所示位置，则______（用含、、的代数式表示）； (2)若点在图2所示位置，则与、、之间有怎样的数量关系？请证明你的结论； 【答案】(1) (2)，见解析 【详解】（1）解∶连接，则，， ∴， ∴，即， ∴，故答案为：； （2）解：连接，则，， ∴， ∴，即， ∴∴； 29.（24-25浙江·七年级校联考期末）如图①，、是四边形的两个不相邻的外角．      (1)猜想并说明与、的数量关系；(2)如图②，在四边形中，与的平分线交于点．若，，求的度数；(3)如图③，、分别是四边形外角、的角平分线．请直接写出、与的数量关系 ． 【答案】(1)；(2)；(3)． 【详解】（1）猜想：，理由如下： ∵，，∴， （2）∵，，， ∴， ∵、分别平分与，∴，， ∴， ∴， （3）、与的数量关系为：，理由如下： ∵、分别是四边形外角、的角平分线， ∴，， 由(1)可知:，， ∴，∴，故答案为：． 30.（24-25七年级下·吉林长春·期中）在中，，点分别是边，上的点，点是平面内的一个动点，连结，，设，，． (1)如图①，若点在边上，则，和之间的数量关系为 ． (2)如图②，若点在线段的延长线上时，求，和之间的数量关系． (3)如图③，若点在的内部，且在直线上方时，直接写出，和之间的数量关系． (4)若点在的外部，且始终在右侧，借助图④，直接写出，和之间的数量关系． 【答案】(1)(2)；(3)；(4)． 【详解】（1）解：如图，连接，∵，， ∴，故答案为：； （2）解：设与交于F，∵，， ∴，∴； （3）解：，理由如下：如图所示，连接， ∵，， ∴， ∴； （4）解：．如图， ∵，，，∴． 31．（24-25·江苏·八年级专题练习）如图，在中，，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N．若，．    (1)求的度数；(2)求的周长． 【答案】(1)(2)12 【详解】（1）解：，， 平分，平分， ， ； （2）解：平分，， ， ，，，同理可得， ， ，，，的周长． 32．（24-25广东江门八年级月考）（1）如图1，已知，在中，，平分，平分，过点作，分别交、于、两点，则图中共有________个等腰三角形：与、之间的数量关系是________，的周长是________． （2）如图2，若将（1）中“中，”改为“若为不等边三角形，，”其余条件不变，则图中共有________个等腰三角形；与、之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出的周长． （3）已知：如图3，在外，，且平分，平分的外角，过点作，分别交、于、两点，则与、之间又有何数量关系呢？写出结论并证明． 【答案】（1）5，，20（2）2，，证明见详解，18 （3），证明见详解 【详解】解：（1）∵，∴， ∵平分，平分，∴，∴，∴， ∵，∴，， ∴，，∴， ∴等腰三角形有，共计5个，∴，即， ∴的周长， 故答案为：5，，20； （2）若为不等边三角形， ∵平分，平分，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴等腰三角形有，共计2个，故答案为：2； ∵，∴，即； ∴的周长； （3）与、之间的数量关系为：， 证明：∵平分，平分，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，即与、之间的数量关系为． 33．（24-25·福建厦门·八年级校考期中）如图，为的角平分线． （1）如图1，若于点，交于点，，．则________； （2）如图2，若，，的面积是10，求的面积； （3）如图3，若，，，请直接写出的长（用含，的式子表示） 【答案】（1）2；（2）24；（3） 【详解】解：（1）∵AD是△ABC的平分线，∴∠BAD＝∠CAD， ∵CE⊥AD，∴∠CFA＝∠EFA， 在△AEF和△ACF中，∴△AEF≌△ACF（ASA）， ∴AE＝AC＝5，∴BE＝AB﹣AC＝7﹣5＝2，故答案为：2； （2）如图，作DE⊥AB交于点E，DF⊥AC交于点F ∵的面积是10，AC=5，∴DF=2×10÷5=4，∵为的角平分线，∴DE=DF=4， ∴=,∴．     （3）如图，在AB上取AN＝AC，∵AD是△ABC的平分线，∴∠NAD＝CAD， 在△ADN与△ADC中， ∴△ADN≌△ADC（SAS），∴∠AND＝∠C，DN＝CD， ∵∠C＝2∠B，∴∠AND＝2∠B，∴∠B＝∠BDN， ∴BN＝DN＝AB﹣AC＝m﹣n，∴CD＝DN＝m﹣n， 根据△ABD和△ACD的高相等，面积比等于底之比可得： ，∴，∴BD＝，故答案为：． 34．（24-25·山西太原·八年级校考期末）已知：如图，是内一点，连接，． (1)猜想：与、、存在怎样的等量关系？证明你的猜想．(2)若，、分别是、的三等分线，直接利用（1）中结论，可得的度数为 　　． 【答案】(1)，证明见解析(2) 【详解】（1）解：猜想：， 证明：由题意得：，， ∵，， ∴，∴， ∴，∴； （2）解：∵，、分别是、的三等分线， ∴，，， ∴．故答案为：． 35．（24-25·辽宁鞍山·八年级统考期中）（1）已知：如图（1），在中，、分别平分和，直接写出与的数量关系；（2）已知：如图（2），在四边形中，、分别平分和，试探究与、之间的数量关系． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）∵平分 ，∴． 同理，． ∴ ； （2）∵平分 ，∴． 同理，． ∴ ． 36．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）某同学在学习过程中，对教材的一个习题做如下探究： 【习题回顾】已知：如图1，在中，角平分线、交于点O．求的度数． （1）若，请直接写出______； 【变式思考】（2）若，请猜想与的关系，并说明理由； 【拓展延伸】（3）已知：如图2，在中，角平分线、交于点O，点F在的延长线上，作的平分线交的延长线于点G．若，猜想与的关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】解：（1）∵，   ∴， ∵角平分线、分别平分、，∴，， ∴， 在中，．故答案为：， （2）∵，∴， ∵角平分线、分别平分、，∴，， ∴， ∴． （3） ∵平分，平分，∴，， ∵，∴， ∵ ，∴， ∵，∴． 37．（2023春·四川成都·七年级校考期中）中，．现进行第一次操作：如图1作射线，使得，作射线，使得．再进行第二次操作：如图2作射线，使得，作射线，使得．再进行第三次操作：如图3作射线使得，作射线，使得．则 ． 【答案】/20度 【详解】解：第一次操作：，， ，， ，， 第二次操作：，， ，， 第三次操作：，， ，， ；故答案为：． 38．（24-25七年级下·甘肃天水·期末）（1）如图①，是的外角，平分，平分，且、交于点．如果，，求的度数； （2）如图②，点是两外角平分线、的交点，探索与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），见解析； 【详解】如图所示： 解：（1）根据外角的性质得， 平分，平分，，， ，； （2）、是两外角的平分线，，， 而，，，， ，， 即， ，． 39．（24-25·湖南长沙·七年级校考期末）（1）如图，在中，、的平分线，相交于点，，，求的度数； （2）如图，的外角的平分线与内角平分线交于点，若， ①求的度数；②求的度数． 【答案】（1）120°；（2）①84°；②48° 【详解】解：，，， 、的平分线相交于点，，， ； 在中，，在中，， 、分别是和的平分线，，， ，， ，，即． 作于，于，于， ，，，平分，． 40．（24-25·重庆·七年级专题练习）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题. 探究1：如图1，在△ABC 中，O 是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，分析发现，理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC、∠ACB 的角平分线 ∴， ∴ ∴ （1）探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A 有怎样的关系？请说明理由． （2）探究3： 如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则与有怎样的关系？（直接写出结论） （3）拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系？（直接写出结论） （4）运用：如图5，五边形ABCDE中，∠BCD、∠EDC的外角分别是∠FCD、∠GDC，CP、DP分别平分∠FCD和∠GDC且相交于点P，若∠A=140°，∠B=120°，∠E=90°，则∠CPD=_____度． 【答案】（1）∠BOC=；（2）∠BOC=90°－；（3）；（4）95 【详解】（1）探究2结论：∠BOC= 理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线 ∵∠ACD是△ABC的一个外角 ∵∠2是△BOC的一个外角 （2）探究3结论：∠BOC=90°－ ∵BO和CO分别是∠DBC和∠ECB的角平分线 ∴ ∵∠DBC=2∠OBC=∠ABC+∠A，∠ECB=2∠OCB=∠ACB+∠A 两式相加得：2∠OBC+2∠OCB=∠ABC+∠ACB+2∠A 即∴整理得：∠BOC=90°－ （3）拓展结论： ∵BO和CO分别是∠ABC和∠BCD的角平分线∴ ∴∠OBC+∠OCB 在△BOC中， ∴∴ （4）运用：∵CP和DP分别是∠DCF和∠GDC的角平分线∴ ∴∴ ∵∴ 在△CPD中，故答案为：95 41.（24-25八年级上·湖北孝感·阶段练习）已知，如图，在中，，分别是的高和角平分线，(1)若，，求的度数． (2)若，，试求的度数（用和表示），并说明理由． 【答案】(1)(2)，理由见解析 【详解】（1）解：∵在中，，，∴， ∵，分别是的高和角平分线， ∴，， ∴； （2）解：，理由如下：∵，分别是的高和角平分线， ∴，， ∴ ，∴． 42.（24-25八年级上·广东·校考期中）已知：在中，，平分交于点． (1)如图①，于点，若，求的度数； (2)如图①，于点，若，求的度数（用含的式子表示）； (3)如图②，在中，于点，是上的任意一点（不与点，重合），过点作于点，且，请你运用（2）中的结论求出的度数； (4)在（3）的条件下，若点在的延长线上（如图③），其他条件不变，则的度数会发生改变吗？说明理由．    【答案】(1)(2)(3)(4)的度数不会发生改变，理由见解析 【详解】（1）解：∵在中，，∴， ∵平分，∴， ∵，∴，∴， ∴， 当时，； （2）由（1）可知，，∴当时，∴； （3）∵，而，∴， ∵，，∴，∴； （4）的度数大小不发生改变．理由如下： ∵，，∴，∴． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $