专题01 三角形中的倒角模型之双角平分线模型（几何模型讲义）数学人教版2024八年级上册

专题01 三角形中的倒角模型之双角平分线模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就三类双角平分线模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型趣事 1 真题现模型 1 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 5 模型1双角平分线模型（双内角） 5 模型2.双角平分线模型（一内角一外角） 9 模型3.双角平分线模型（双外角） 12 17 古希腊数学家毕达哥拉斯提出角平分线基本概念，欧几里得《几何原本》完善了单角平分线定理（平分角且对边成比例），但未涉及双角组合模型；直到20-21世纪双角平分线按位置关系提炼为三类标准模型。三类模型均通过角平分线性质将复杂角度关系转化为∠A的线性函数，体现“集中条件”的核心思想。该模型本质是角平分线研究的现代结晶，通过教育实践完成从理论到工具的转化。 口诀化总结：“内内90°加一半，外外90°减一半，内外直接取一半”。 （2025·陕西榆林·模拟预测）（1）问题解决：如图，中，、分别是和的平分线，为、交点，若，求的度数；（写出求解过程） （2）拓展与探究：①如图1，中，、分别是和的平分线，为、交点，则与的关系是______；（请直接写出你的结论） ②如图2，、分别是和的两个外角和的平分线，为、交点，则与的关系是______；（请直接写出你的结论） ③如图3，、分别是的一个内角和一个外角的平分线，为、交点，则与的关系是______．（请直接写出你的结论） 1）两内角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P；结论：。 证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A。 图1 图2 图3 2）一个内角一个外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P； 结论：． 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P=∠PCD-∠PBC=（∠ACD-∠ABC）=∠A。 3）两外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线；结论：． 证明：∵BO、CO平分∠CBE、∠BCF，∴，。 ∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠EBC+∠BCF）=180°-（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A） =180°-（180°+∠A）=90°+∠A。 4）凸多边形双内角平分线的夹角模型1 条件：如图1，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P；结论：2∠P=∠A+∠D。 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠DCB，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠DCB）=180°-（360°-∠A-∠D）=（∠A+∠D）。即：2∠P=∠A+∠D。 图1 图2 图3 图4 5）凸多边形双内角平分线的夹角模型2 条件：如图2，CP、DP平分∠BCD、∠CDE，两条角平分线相交于点P；结论：。 证明：∵CP、DP平分∠BCD、∠CDE，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PCD+∠PDC）=180°-（∠BCD+∠CDE）=180°-（540°-∠A-∠D-∠E）=∠A+∠D+∠E-90°。即：2∠P=∠A+∠D+∠E-180°。 6）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线） 条件：如图3，，∠ABC、∠ACD的平分线相交于点，的平分线相交于点，，的平分线相交于点……以此类推；结论：的度数是． 证明：∵BP1、CP1平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P1=∠P1CD-∠P1BC=（∠ACD-∠ABC）=∠A=。同理：∠P2=∠P1=，∠Pn= 7）旁心模型 旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 条件：如图4，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点D；结论：AD平分∠CAD。 证明：如图4，过点D作DM⊥BA、DN⊥AC、DH⊥BC，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角， ∴DH=DM，DH=DN，∴DM=DN，∴AD平分∠CAD。, 模型1双角平分线模型（双内角） 例1（24-25七年级下·成都·随堂练习）如图，在中，，的平分线相交于点I．若，，则的度数是 ． 例2（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，中，分别平分， 并相交于点 O，， 则 例3（24-25八年级上·广东韶关·期中）小亮学习了“多边形及其内角和”后，对几何学习产生了浓厚的兴趣，三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系． 【探究发现】(1)如图①，在中，、分别平分和，试探究与的数量关系．并说明理由． 【拓展延伸】(2)如图②，在四边形中，分别平分和，请你探究与之间的数量关系，并说明理由． 【类比迁移】(3)若将（2）中的四边形改为六边形，如图③，请你探究与之间的数量关系，并说明理由． 例4（23-24七年级下·山东青岛·期末）【基础探究1】（1）如图1，中，平分，平分，探求与之间的数量关系； 【基础探究2】（2）如图2，中，、是的三等分线，、是的三等分线，则与之间的数量关系是______； 【基础探究3】（3）如图3，中，、、是的四等分线，、、是的四等分线，则与之间的数量关系是______； 【拓展与探究】（4）如图4，中，、、……、、是的等分线，、、……、、是的等分线，请用一个等式表示、、三者之间的数量关系是______； 【探究与应用】（5）中，、、……、是的2024等分线，、、……、是的2024等分线，若与的和是的7倍，则______． 模型2.双角平分线模型（一内角一外角） 例1（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如图，是一个缺角的三角板模型，现要知道的大小.数学活动课上，小李没有采用先直接量得和的度数，再求得的度数，而是分别画出的角平分线与的外角平分线相交于点，测得，请告知 °. 例2（24-25八年级上·山东德州·期中）如图．在中，，分别平分，，且交于点，为外角的平分线，的延长线交于点，则以下结论：①；②；③点在的角平分线上；④；⑤若点到的距离是2，的周长是12，则的面积是24．一定成立的是 ． 例3（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）如图，已知，是的外角，的平分线与的平分线相交于点，得；若的平分线与的平分线相交于点，得；…的平分线与的平分线相交于点，得．则 ．(用含α的式子表示) 例4（24-25·河北·八年级专题练习）问题情境：如图1，点D是△ABC外的一点，点E在BC边的延长线上，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE．试探究∠D与∠A的数量关系． (1)特例探究：如图2，若△ABC是等边三角形，其余条件不变，则∠D＝ ； 如图3，若△ABC是等腰三角形，顶角∠A＝100°，其余条件不变，则∠D＝ ；这两个图中，与∠A度数的比是   ；(2)猜想证明：如图1，△ABC为一般三角形，在（1）中获得的∠D与∠A的关系是否还成立？若成立，利用图1证明你的结论；若不成立，说明理由． 模型3.双角平分线模型（双外角） 例1（23-24七年级下·江苏淮安·期末）如图，的两个外角的平分线交于点P．若，则 ． 例2（23-24七年级下·江苏苏州·期中）如图，，分别平分的内角、外角、外角．以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有 ．（填序号） 例3（24-25八年级上·重庆江北·开学考试）如图，在中，，，的平分线与的外角平分线交于点D，连接，则的度数为 ． 例4（23-24七年级下·福建泉州·期末）小明完成了下面的探究过程，请你也探究一下，看看你的结论是否跟他一样． (1)探究1：如图1，是的内角与的平分线和的交点，若，则____________度：(2)探究2：如图2，是的外角与外角的平分线和的交点，求与的数量关系？并说明理由． (3)拓展：如图3，是四边形的外角与的平分线和的交点，设． ①直接写出与的数量关系；②根据的值的情况，判断的形状（按角分类）． 例5（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）他阅读下面的材料，并解决问题 (1)在中，，图1，是两内角平分线的夹角：图2，是内角和外角角平分线的夹角；图3，是两外角平分线的夹角，请直接写出的度数． 如图1， 如图2， ； 如图3， ；如图4，和的三等分线相交于点，则 ． (2)如图5所示，在中，的三等分线、和的平分线相交于点和点，，度，求的度数． 1．（24-25八年级上·江苏·假期作业）如图，在中，，的角平分线和的外角平分线交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25·云南大理·八年级校考期中）如图，在中，平分，平分，连接，若，则的度数是（    ）． A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·山东·阶段练习）如图，在中，，分别平分，，且交于点，为外角的平分线，的延长线交于点，则以下结论：①；②；③；④点在的角平分线上；⑤一定成立的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．多于3 4．（23-24八年级上·安徽安庆·期中）如图，在中，已知，，，分别平分的外角、内角、外角，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）如图，在中，的角平分线和的外角平分线交于点P；若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 6．（2024·安徽阜阳·八年级统考期中）如图，在中，点是内一点，且点到三边的距离相等，若，则 ． 7．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）如图，已知，是的外角，的平分线与的平分线相交于点，得；若的平分线与的平分线相交于点，得；…的平分线与的平分线相交于点，得．则 ．（用含的式子表示） 8．（24-25·成都市·八年级专题练习）如图，在中，，三角形两外角的角平分线交于点E，则 ． 9．（23-24八年级上·绵阳·课后作业）如图，是中的平分线，是的外角的平分线，若，．求的度数．    10．（24-25七年级下·广东·课后作业）如图，两个外角的平分线交于点P． (1)若，求的度数；(2)若，求的度数． 11．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，为角平分线，与交于点F，为外角的平分线，与相交于点E．(1)若，求的度数；(2)若，，求的度数． 12．（23-24八年级上·广东肇庆·期中）如图，的外角的平分线与的外角的平分线相交于点.(1)若，求的度数；(2)求证：点到三边，，所在直线的距离相等. 13．（24-25八年级上·湖北黄石·期中）图形从特殊到一般 探究一：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系． 如图1，在中，分别平分和，试探究与的数量关系，并说明理由； 探究二：若将改为任意四边形呢？ 如图2，在四边形中，分别平分和，请你利用上述结论探究与的数量关系，并说明理由． 14．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图，在中，点是与平分线的交点，点是与平分线的交点，点E是与平分线的交点． (1)若，则_______，_______． (2)猜想与的数量关系，并说明理由． (3)若，则当等于_______度（用含的代数式表示）时，，说明理由． (4)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，则_______．（直接写出答案） 15．（24-25八年级上·四川广元·期中）【探究】如图①，在中，的平分线与的平分线相交于点．（1）若，，则_____度，_____度； （2）与的数量关系为_____，并说明理由． 【应用】如图②，在中，的平分线与的平分线相交于点，的外角平分线与的外角平分线相交于点，写出与的数量关系，并说明理由． 16．（24-25八年级上·河南许昌·期中）探究与发现： （1）如图（1），在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD． ①若，则　 　．②若，用含有α的式子表示为　 　． （2）如图（2），在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试探究∠P与∠A+∠B的数量关系，并说明理由．（3）如图（3），在六边形ABCDEF中，DP、CP分别平分∠EDC和∠BCD，请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系：　 　． 17．（24-25八年级上·重庆璧山·阶段练习）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题． (1)探究1：如图1，在中，O是与的平分线和的交点，，求的度数（用含α的式子表示）．(2)探究2：如图2中，O是与外角的平分线和的交点，试分析与有怎样的关系？请说明理由．(3)探究3：如图3中，O是外角与外角的平分线和的交点，则与又有怎样的关系？（只写结论，不需证明） 18．（24-25八年级上·吉林长春·开学考试）【结论发现】小明在完成教材第43页第21题后发现：三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半． 【结论应用】（1）如图1，在中，，点E是的内角平分线与外角平分线的交点，则的度数为 °；（2）如图2，在中，，延长至点E，延长至点D，已知、的角平分线与的角平分线及其反向延长线交于P、F，求的度数； 【拓展延伸】（3）如图3，四边形的内角与外角的平分线形成如图所示形状．已知，，则的度数为______． 19．（23-24八年级上·福建莆田·期中）阅读下面的材料，并解决问题．    (1)已知在中，，图的的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接求出下列角度的度数．如图1， ；如图2， ；如图3， ； 如图4，，的三等分线交于点，，连接，则 ． (2)如图5，中，的三等分线分别与的平分线交于点，，若，，求的度数． 20．（23-24八年级上·四川自贡·阶段练习）在中，，E是两条内角平分线的交点，F是两条外角平分线的交点，是内角外角的平分线的交点．    (1)求和的度数；（直接写出结果）(2)探索与之间的数量关系，并说明理由； (3)若，在（2）的情况下，作与的平分线交于点，以此类推，与的平分线交于点，求的度数．（直接写出结果） 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 三角形中的倒角模型之双角平分线模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就三类双角平分线模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型趣事 1 真题现模型 1 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 5 模型1双角平分线模型（双内角） 5 模型2.双角平分线模型（一内角一外角） 9 模型3.双角平分线模型（双外角） 12 17 古希腊数学家毕达哥拉斯提出角平分线基本概念，欧几里得《几何原本》完善了单角平分线定理（平分角且对边成比例），但未涉及双角组合模型；直到20-21世纪双角平分线按位置关系提炼为三类标准模型。三类模型均通过角平分线性质将复杂角度关系转化为∠A的线性函数，体现“集中条件”的核心思想。该模型本质是角平分线研究的现代结晶，通过教育实践完成从理论到工具的转化。 口诀化总结：“内内90°加一半，外外90°减一半，内外直接取一半”。 （2025·陕西榆林·模拟预测）（1）问题解决：如图，中，、分别是和的平分线，为、交点，若，求的度数；（写出求解过程） （2）拓展与探究：①如图1，中，、分别是和的平分线，为、交点，则与的关系是______；（请直接写出你的结论） ②如图2，、分别是和的两个外角和的平分线，为、交点，则与的关系是______；（请直接写出你的结论） ③如图3，、分别是的一个内角和一个外角的平分线，为、交点，则与的关系是______．（请直接写出你的结论） 【答案】（1）；（2）①，理由见解析；②理由见解析；③，理由见解析 【详解】解（1）∵，∴， ∵、分别是和的平分线，∴， ∴，∴； （2）①，理由如下： ∵，∴， ∵、分别是和的平分线，∴， ∴， ∴，故答案为：； ②，理由如下： ∵，∴， ∵分别是两个外角和的平分线， ∴，∴， ∴，故答案为：； ③，理由如下：∵、分别是的一个内角和一个外角的平分线，， ∴， 又∵是的一外角，∴，∴， ∵是的一外角，∴， 故答案为：． 1）两内角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P；结论：。 证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A。 图1 图2 图3 2）一个内角一个外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P； 结论：． 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P=∠PCD-∠PBC=（∠ACD-∠ABC）=∠A。 3）两外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线；结论：． 证明：∵BO、CO平分∠CBE、∠BCF，∴，。 ∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠EBC+∠BCF）=180°-（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A） =180°-（180°+∠A）=90°+∠A。 4）凸多边形双内角平分线的夹角模型1 条件：如图1，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P；结论：2∠P=∠A+∠D。 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠DCB，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠DCB）=180°-（360°-∠A-∠D）=（∠A+∠D）。即：2∠P=∠A+∠D。 图1 图2 图3 图4 5）凸多边形双内角平分线的夹角模型2 条件：如图2，CP、DP平分∠BCD、∠CDE，两条角平分线相交于点P；结论：。 证明：∵CP、DP平分∠BCD、∠CDE，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PCD+∠PDC）=180°-（∠BCD+∠CDE）=180°-（540°-∠A-∠D-∠E）=∠A+∠D+∠E-90°。即：2∠P=∠A+∠D+∠E-180°。 6）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线） 条件：如图3，，∠ABC、∠ACD的平分线相交于点，的平分线相交于点，，的平分线相交于点……以此类推；结论：的度数是． 证明：∵BP1、CP1平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P1=∠P1CD-∠P1BC=（∠ACD-∠ABC）=∠A=。同理：∠P2=∠P1=，∠Pn= 7）旁心模型 旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 条件：如图4，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点D；结论：AD平分∠CAD。 证明：如图4，过点D作DM⊥BA、DN⊥AC、DH⊥BC，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角， ∴DH=DM，DH=DN，∴DM=DN，∴AD平分∠CAD。, 模型1双角平分线模型（双内角） 例1（24-25七年级下·成都·随堂练习）如图，在中，，的平分线相交于点I．若，，则的度数是 ． 【答案】 【详解】解：∵，的平分线相交于点I，，， ∴，， ∴．故答案为： 例2（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，中，分别平分， 并相交于点 O，， 则 【答案】/90度 【详解】解：∵，∴， ∵分别平分，∴， ∴， ∴．故答案为：. 例3（24-25八年级上·广东韶关·期中）小亮学习了“多边形及其内角和”后，对几何学习产生了浓厚的兴趣，三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系． 【探究发现】(1)如图①，在中，、分别平分和，试探究与的数量关系．并说明理由． 【拓展延伸】(2)如图②，在四边形中，分别平分和，请你探究与之间的数量关系，并说明理由． 【类比迁移】(3)若将（2）中的四边形改为六边形，如图③，请你探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)．理由见解析 (2)．理由见解析 (3)．理由见解析 【详解】（1）解：．理由如下： 、分别平分和，， ，，，， 即； （2）解：．理由如下： 、分别平分和， ，，， ，，即； （3）解：．理由如下：六边形的内角和为：， 、分别平分和，， ，，， ， 即． 例4（23-24七年级下·山东青岛·期末）【基础探究1】（1）如图1，中，平分，平分，探求与之间的数量关系； 【基础探究2】（2）如图2，中，、是的三等分线，、是的三等分线，则与之间的数量关系是______； 【基础探究3】（3）如图3，中，、、是的四等分线，、、是的四等分线，则与之间的数量关系是______； 【拓展与探究】（4）如图4，中，、、……、、是的等分线，、、……、、是的等分线，请用一个等式表示、、三者之间的数量关系是______； 【探究与应用】（5）中，、、……、是的2024等分线，、、……、是的2024等分线，若与的和是的7倍，则______． 【答案】（1）（2）（3）（4）（5）105 【分析】本题考查三角形的内角和定理，n等分线的定义． （1）由三角形的内角和定理可得，由角平分线得到，，从而； （2）由三等分线可得，，从而； （3）同（2）思路即可求解； （4）同（2）（3）思路即可，，两式相加即可解答； （5）同（4）思路可得，又，即可求得，同理有，即可解答． 【详解】解：（1）∵，∴， ∵平分，平分，∴，， ∴ ． （2）∵、是的三等分线，、是的三等分线， ∴，， ∴ ．故答案为： （3）∵、、是的四等分线，、、是的四等分线， ∴，， ∴ ．故答案为： （4）∵、、……、、是的等分线，、、……、、是的等分线，∴，，，， ∴ ， ， ∴． 故答案为： （5）∵、、……、是的2024等分线，、、……、是的2024等分线， ∴，，，， ∴ ， ， ∴， ∵∴，∴， 同理可得．故答案为：105 模型2.双角平分线模型（一内角一外角） 例1（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如图，是一个缺角的三角板模型，现要知道的大小.数学活动课上，小李没有采用先直接量得和的度数，再求得的度数，而是分别画出的角平分线与的外角平分线相交于点，测得，请告知 °. 【答案】 【详解】解：∵的角平分线与的外角平分线相交于点， ∴，， ∴， ∵，∴， ∴，∴，故答案为：； 例2（24-25八年级上·山东德州·期中）如图．在中，，分别平分，，且交于点，为外角的平分线，的延长线交于点，则以下结论：①；②；③点在的角平分线上；④；⑤若点到的距离是2，的周长是12，则的面积是24．一定成立的是 ． 【答案】①②③ 【详解】解：为外角的角平分线，平分，，， 又是的外角，，故①正确； ，分别平分，，∴， 则，∴，故②是正确的． 连接，如图所示： ，分别平分，，且三角形的三条角平分线会交于一点， ∴点在的角平分线上，故③是正确的． ∵，平分， ∴ 平分， ∴∴故④是错误的， ∵，分别平分，，∴点到的距离点到的距离点到的距离， ∴， 故⑤是错误的，故答案为：①②③． 例3（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）如图，已知，是的外角，的平分线与的平分线相交于点，得；若的平分线与的平分线相交于点，得；…的平分线与的平分线相交于点，得．则 ．(用含α的式子表示) 【答案】 【详解】解：∵平分，平分，∴，， ∵，∴， ∴，同理可得，，… ∴，故答案为：． 例4（24-25·河北·八年级专题练习）问题情境：如图1，点D是△ABC外的一点，点E在BC边的延长线上，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE．试探究∠D与∠A的数量关系． (1)特例探究：如图2，若△ABC是等边三角形，其余条件不变，则∠D＝ ； 如图3，若△ABC是等腰三角形，顶角∠A＝100°，其余条件不变，则∠D＝ ；这两个图中，与∠A度数的比是   ；(2)猜想证明：如图1，△ABC为一般三角形，在（1）中获得的∠D与∠A的关系是否还成立？若成立，利用图1证明你的结论；若不成立，说明理由． 【答案】(1)30°；50°；1:2(2)成立，见解析 【详解】（1）解：如图2，是等边三角形，，， 平分，平分．，，，； 如图3，是等腰三角形，，，， 平分，平分．，， ，；故答案为，，； （2）解：成立，如图1，在中，，在中，，（1） 平分，平分，，， 又，，（2） 由（1）（2），，． 模型3.双角平分线模型（双外角） 例1（23-24七年级下·江苏淮安·期末）如图，的两个外角的平分线交于点P．若，则 ． 【答案】/52度 【详解】解：根据题意得：， ，， ，即， ,故答案为：． 例2（23-24七年级下·江苏苏州·期中）如图，，分别平分的内角、外角、外角．以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有 ．（填序号） 【答案】①②③④ 【详解】解：①平分，，，， ，，，故①正确， ②，，平分，， ，故②正确； ③，，， ，，， ，，，故③正确； ④平分，，，，， 平分，，，， ，， ，，故④正确； ⑤由④得，，，， ，故⑤不正确．故答案为：①②③④． 例3（24-25八年级上·重庆江北·开学考试）如图，在中，，，的平分线与的外角平分线交于点D，连接，则的度数为 ． 【答案】/52度 【详解】解：作，垂足分别为点， 平分，，， 平分，，，，平分， ，，，， ，， ，故答案为： 例4（23-24七年级下·福建泉州·期末）小明完成了下面的探究过程，请你也探究一下，看看你的结论是否跟他一样． (1)探究1：如图1，是的内角与的平分线和的交点，若，则____________度： (2)探究2：如图2，是的外角与外角的平分线和的交点，求与的数量关系？并说明理由． (3)拓展：如图3，是四边形的外角与的平分线和的交点，设． ①直接写出与的数量关系； ②根据的值的情况，判断的形状（按角分类）． 【答案】(1)(2)，理由见解析(3)①；②当时，则是钝角三角形；当时，则是直角三角形；当时，则是锐角三角形. 【详解】（1）∵，∴. ∵是的内角与的平分线和的交点， ∴，∴ ∵，∴.故答案为： （2）.理由：∵是的外角与外角的平分线和的交点， ∴在中，. （3）如图，①，延长交于点Q， 由（2）可知，，∴， ∴.∴. ②当时，则，则是钝角三角形; 当时，则，则是直角三角形; 当时，则， ∵是四边形的外角与的平分线和的交点， ∴∴是锐角三角形. 例5（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）他阅读下面的材料，并解决问题 (1)在中，，图1，是两内角平分线的夹角：图2，是内角和外角角平分线的夹角；图3，是两外角平分线的夹角，请直接写出的度数． 如图1， 如图2， ； 如图3， ；如图4，和的三等分线相交于点，则 ． (2)如图5所示，在中，的三等分线、和的平分线相交于点和点，，度，求的度数． 【答案】(1)；；；或(2) 【详解】（1）解：如图1：∵平分，平分，∴，， ∴ ； 如图2：∵平分，平分，∴，， ∵，∴； 如图3，∵平分，平分，∴，， ∵，， ∴， ∴，∴； ∵和的三等分线相交于点，∴当，时， ， ∴； 当，时， ， ∴；故和的三等分线相交于点，则或； （2）解：∵的三等分线、和的平分线相交于点和点， ∴，，，， ∵，，，∴， ∴，∴，∴， ∴，∴． 1．（24-25八年级上·江苏·假期作业）如图，在中，，的角平分线和的外角平分线交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，的角平分线和的外角平分线交于点， ，， ，，， 是的外角，，， 即，解得：．故选：． 2．（24-25·云南大理·八年级校考期中）如图，在中，平分，平分，连接，若，则的度数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，过P作， ∵平分，平分，∴，∴． ∵，，∴，，∴，． ∵，， ∴，∴，∴．故选A． 3．（24-25八年级上·山东·阶段练习）如图，在中，，分别平分，，且交于点，为外角的平分线，的延长线交于点，则以下结论：①；②；③；④点在的角平分线上；⑤一定成立的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．多于3 【答案】C 【详解】解：为外角的角平分线，平分，，， 又是的外角，，故①正确； ，分别平分，，∴， 则，∴，故②是正确的． 连接，如图所示： ，分别平分，，且三角形的三条角平分线会交于一点， ∴点在的角平分线上，故④是正确的． ∵题干提供的信息都是角的条件，且三点共线，无法通过等角对等角得出， 故③是错误的．∵， 平分， ∴ 平分， ∴∴故⑤是错误的．故选：C． 4．（23-24八年级上·安徽安庆·期中）如图，在中，已知，，，分别平分的外角、内角、外角，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：平分，， ，，，故A正确； ，，平分，， ，，故B不正确； 在中，，平分的外角，， ，，，， ，， ， ，故C正确；④平分，， ，，， ，，故D正确；故选：B． 5．（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）如图，在中，的角平分线和的外角平分线交于点P；若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的外角性质，角平分线的相关计算，由角平分线的定义得到，，结合题意可求得的度数，根据外角性质即可得到结果． 【详解】解：如图，的角平分线和的外角平分线交于点P， ，， ，，， 是的外角，，故选：A． 6．（2024·安徽阜阳·八年级统考期中）如图，在中，点是内一点，且点到三边的距离相等，若，则 ． 【答案】 【分析】由条件可知平分和，利用三角形内角和可求得． 【详解】解：∵点P到三边的距离相等， ∴平分，平分， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的性质与判定，掌握角平分线的交点到三角形三边的距离相等是解题的关键． 7．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）如图，已知，是的外角，的平分线与的平分线相交于点，得；若的平分线与的平分线相交于点，得；…的平分线与的平分线相交于点，得．则 ．（用含的式子表示） 【答案】/ 【详解】解：∵平分，平分，∴，， ∵，∴， ∴，同理可得，，… ∴，故答案为：． 8．（24-25·成都市·八年级专题练习）如图，在中，，三角形两外角的角平分线交于点E，则 ． 【答案】61° 【详解】解：∵∠B+∠BAC+∠BCA=180°，∠B=58°，∴∠BAC+∠BCA=180°﹣∠B=180°﹣58°=122°， ∵∠BAC+∠DAC=180°，∠BCA+∠ACF=180°， ∴∠DAC+∠ACF=360°﹣（∠BAC+∠BCA）=360°﹣122°=238°， ∵AE平分∠DAC，CE平分∠ACF，∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF， ∴∠EAC+∠ECA =（∠DAC+∠ACF）=119°，∵∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°， ∴∠AEC=180°﹣（∠EAC+∠ECA）=180°﹣119°=61°，故答案为：61°． 9．（23-24八年级上·绵阳·课后作业）如图，是中的平分线，是的外角的平分线，若，．求的度数．    【答案】 【详解】是中的平分线，是的外角的平分线，，， ，，，， ，， ． 10．（24-25七年级下·广东·课后作业）如图，两个外角的平分线交于点P． (1)若，求的度数；(2)若，求的度数． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵，∴， ∵两个外角的平分线交于点P， ∴，，， ∴，∴， ∴，∴当时，； （2）由（1）可知：， ∴当时，． 11．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，为角平分线，与交于点F，为外角的平分线，与相交于点E．(1)若，求的度数；(2)若，，求的度数． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵平分，平分，∴，， ∵，∴， 又∵，∴，∴； （2）解：由（1）可知． 12．（23-24八年级上·广东肇庆·期中）如图，的外角的平分线与的外角的平分线相交于点.(1)若，求的度数；(2)求证：点到三边，，所在直线的距离相等. 【答案】(1)(2)见解析 【详解】（1）解：∵，∴， ∵，，∴， ∵外角的平分线与的外角的平分线相交于点， ∴，∴ （2）证明：过点P作，，，如图， ∵外角的平分线与的外角的平分线相交于点， ∴，∴，∴点到三边，，所在直线的距离相等 13．（24-25八年级上·湖北黄石·期中）图形从特殊到一般 探究一：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系． 如图1，在中，分别平分和，试探究与的数量关系，并说明理由； 探究二：若将改为任意四边形呢？ 如图2，在四边形中，分别平分和，请你利用上述结论探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】探究一：，理由见解析；探究二：，理由见解析 【详解】解：，理由： ∵分别平分和，∴，， ∵，∴ ； 探究二：，理由： ∵分别平分和，∴，， ∵在四边形中，， ∴， 即． 14．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图，在中，点是与平分线的交点，点是与平分线的交点，点E是与平分线的交点． (1)若，则_______，_______． (2)猜想与的数量关系，并说明理由． (3)若，则当等于_______度（用含的代数式表示）时，，说明理由． (4)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，则_______．（直接写出答案） 【答案】(1)；(2)，理由见解析(3)(4)或或或 【详解】（1）解：∵，∴， ∵、为角平分线，∴， ∴，∴； ∵，∴， ∵为角平分线，∴，， ∴，∴，故答案为：；； （2）解：，理由如下： ∵分别为的角平分线，∴，， ∵，∴， ∵，∴； （3）解：当时，，∴， ∴，∴，故答案为：； （4）解：由题意得：，， ∴，∴，∴， 由（2）得，即， ①时，∴，∴，∴； ②时，∴，∴； ③时，∴，∴，∴； ④时，∴，∴，∴； 综上，或或或． 15．（24-25八年级上·四川广元·期中）【探究】如图①，在中，的平分线与的平分线相交于点．（1）若，，则_____度，_____度； （2）与的数量关系为_____，并说明理由． 【应用】如图②，在中，的平分线与的平分线相交于点，的外角平分线与的外角平分线相交于点，写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）50，115；（2），见解析；（3），见解析 【详解】（1） ∵的平分线与的平分线相交于点P， 故答案为：50，115 （2） 证明：∵分别平分， （3）理由：∵的外角平分线与的外角平分线相交于点Q， 中 又 16．（24-25八年级上·河南许昌·期中）探究与发现： （1）如图（1），在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD． ①若，则　 　．②若，用含有α的式子表示为　 　． （2）如图（2），在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试探究∠P与∠A+∠B的数量关系，并说明理由．（3）如图（3），在六边形ABCDEF中，DP、CP分别平分∠EDC和∠BCD，请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系：　 　． 【答案】（1）①125°②∠P＝90°＋α；（2）∠P＝（∠A＋∠B）（3）∠P＝（∠A＋∠B＋∠E＋∠F）−180° 【详解】解：（1）①∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，∴∠CDP＝∠ADC，∠DCP＝∠ACD ∵∠A＋∠ADC＋∠ACD＝180°∴∠ADC＋∠ACD＝180°−∠A ∵∠P＋∠PDC＋∠PCD＝180° ∴∠P＝180°−（∠PDC＋∠PCD）＝180°− （∠ADC＋∠ACD） ∴∠P＝180°−（180°−∠A）＝90°＋∠A=90°＋×70°=125° 故答案为：125°； ②∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，∴∠CDP＝∠ADC，∠DCP＝∠ACD ∵∠A＋∠ADC＋∠ACD＝180°∴∠ADC＋∠ACD＝180°−∠A ∵∠P＋∠PDC＋∠PCD＝180° ∴∠P＝180°−（∠PDC＋∠PCD）＝180°− （∠ADC＋∠ACD） ∴∠P＝180°−（180°−∠A）＝90°＋∠A=90°＋α故答案为：∠P＝90°＋α； （2）∠P＝（∠A＋∠B） 理由如下：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，∴∠CDP＝∠ADC，∠DCP＝∠BCD ∵∠A＋∠B＋∠BCD＋∠ADC＝360°∴∠BCD＋∠ADC＝360°−（∠A＋∠B） ∵∠P＋∠PDC＋∠PCD＝180°∴∠P＝180°−（∠PDC＋∠PCD）＝180°−（∠ADC＋∠BCD） ∴∠P＝180°−[360°−（∠A＋∠B）]＝（∠A＋∠B） （3）∵DP、CP分别平分∠EDC和∠BCD∴∠PDC＝∠EDC，∠PCD＝∠BCD ∵∠A＋∠B＋∠E＋∠F＋∠BCD＋∠EDC＝720°∴∠BCD＋∠EDC＝720°−（∠A＋∠B＋∠E＋∠F） ∵∠P＋∠PDC＋∠PCD＝180°∴∠P＝180°−（∠PDC＋∠PCD）＝180°−（∠EDC＋∠BCD） ∴∠P＝180°− [720°−（∠A＋∠B＋∠E＋∠F）]∴∠P＝（∠A＋∠B＋∠E＋∠F）−180° 故答案为：∠P＝（∠A＋∠B＋∠E＋∠F）−180°． 17．（24-25八年级上·重庆璧山·阶段练习）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题． (1)探究1：如图1，在中，O是与的平分线和的交点，，求的度数（用含α的式子表示）． (2)探究2：如图2中，O是与外角的平分线和的交点，试分析与有怎样的关系？请说明理由． (3)探究3：如图3中，O是外角与外角的平分线和的交点，则与又有怎样的关系？（只写结论，不需证明） 【答案】(1)(2)，理由见解析(3) 【详解】（1）解： O是与的平分线和的交点， ，， ，， ； （2）解：，理由如下： O是与外角的平分线和的交点，， 是的一外角，，， 是的一外角，； （3）解：，理由如下： O是外角与外角的平分线和的交点， ，， ，， ． 18．（24-25八年级上·吉林长春·开学考试）【结论发现】小明在完成教材第43页第21题后发现：三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半． 【结论应用】（1）如图1，在中，，点E是的内角平分线与外角平分线的交点，则的度数为 °；（2）如图2，在中，，延长至点E，延长至点D，已知、的角平分线与的角平分线及其反向延长线交于P、F，求的度数； 【拓展延伸】（3）如图3，四边形的内角与外角的平分线形成如图所示形状．已知，，则的度数为______． 【答案】（1）20；（2）；（3）200 【详解】解：（1）设，平分，平分， ，，， ，， 整理得：，当时，，故答案为：20； （2）和是邻补角，， 平分，平分，，， ，即， ，由（1）可知，； （3）①延长，交于，延长，交于，如下图所示： ，， 即， 同理：，，，， 由（1）可知：，；故答案为：200． 19．（23-24八年级上·福建莆田·期中）阅读下面的材料，并解决问题．    (1)已知在中，，图的的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接求出下列角度的度数．如图1， ；如图2， ；如图3， ； 如图4，，的三等分线交于点，，连接，则 ． (2)如图5，中，的三等分线分别与的平分线交于点，，若，，求的度数． 【答案】(1)，，，；(2) 【详解】（1）解：如图1，∵平分，平分∴， ∴∴；      如图2，∵平分，平分∴， ∵∴ ∵∴； 如图3，∵平分，平分∴， ∴ ∴； 如图4，∵，的三等分线交于点， ∴， ∵平分，平分，平分 ∴ ∴ ∴； （2）证明：如图5∵，，∴ ∵的三等分线分别与的平分线交于点，， ∴，，∴ ∴∴． 20．（23-24八年级上·四川自贡·阶段练习）在中，，E是两条内角平分线的交点，F是两条外角平分线的交点，是内角外角的平分线的交点．    (1)求和的度数；（直接写出结果）(2)探索与之间的数量关系，并说明理由； (3)若，在（2）的情况下，作与的平分线交于点，以此类推，与的平分线交于点，求的度数．（直接写出结果） 【答案】(1)，(2)，理由见详解(3) 【详解】（1）解：∵点E是两条内角平分线的交点，∴，， ∴ ∵，∴， ∵F是两条外角平分线的交点，∴，， ∴， ∴； ∵，∴， （2）解：，理由如下： ∵是内角外角的平分线的交点，∴，， ∵，，∴； （3）解：∵，， ∴ ∵，∴，作与的平分线交于点，如图：    ∵，，∴ ∵，∴，由此可知的度数为：． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$