专题03 三角形中的倒角模型之燕尾（飞镖）型、风筝模型、翻角模型（几何模型讲义）数学人教版2024八年级上册

专题03 三角形中的倒角模型之燕尾（飞镖）型、风筝模型、翻角模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就燕尾（飞镖）型、风筝（鹰爪）、翻角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型拓展 5 模型运用 6 模型1.飞镖（燕尾）模型 6 模型2.鹰爪（风筝）模型 10 模型3.翻角模型 14 16 ‌ 燕尾模型（飞镖模型）‌因凹四边形的外轮廓酷似燕尾分叉或飞镖外形，教育工作者将其形象化命名以辅助记忆‌。凹四边形中，从顶点延伸的两条边如同燕尾分叉，而整体轮廓又像投掷的飞镖，这种具象化命名帮助学生快速联想图形特征。部分资料戏称其为“回旋镖模型”，强调角度关系循环往复的特点。‌ ‌鹰爪（‌风筝）模型‌强调图形末端的尖锐角如同鹰爪抓握状，更侧重动态联想。 翻角模型是‌动态几何思想‌与‌静态角度守恒‌的结合，通过操作发现不变量的过程，深化了对三角形刚性结构的理解。‌‌‌ 普及高峰期（‌2023–2025 年），这些倒角模型被纳入多地初中数学复习专题，配套口诀（如“见飞镖，找四角”、“内翻腋下和等上下和，外翻腋下差等折角倍”‌‌）广泛传播，这些模型将严谨的几何法则融入生活化的想象与口诀，让数学推理像解谜游戏一样充满乐趣！ （24-25七年级下·吉林长春·期末）【问题呈现】如图①，四边形形似“飞镖”，我们形象地称它为“飞镖图”．它实际上是凹四边形，通过探究发现：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和，即． 【探究推理】方法一：如图②，连结． ∵在中，，∴． 又∵在中，，∴， ∴，∴．即． 方法二：如图③，连结并延长至F．∵与分别为和的外角，… （1）“方法一”主要依据的数学定理是 ；（2）根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出余下的推理过程． 【迁移应用】（3）如图④， ；（4）如图⑤是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且的大小保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应 （填“增加”或“减少”）的大小为 度． 【答案】（1）三角形的内角和等于 ；（2）推理过程见解析；（3）；（4）减少，10 【详解】解：（1）三角形的内角和等于 ，故答案为：三角形的内角和等于； （2）∵，∴， ∵，∴； （3）如图，延长交于点F，∵， ∴，故答案为：； （4）延长，交于点G，如图：∵，∴． ∵，∴． ∵，∴，∴． 而图中，∴应减少．故答案为：减少，10． （2024·贵州贵阳·二模）综合与实践 问题情境：在综合与实践课上，老师要求同学们以“折纸中的数学”为主题开展活动． 独立思考：（1）如图①，将三角形纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置，则与之间的数量关系为 　 ，请说明理由； 深入探究：（2）如图②，若点落在四边形的边下方时，试猜想此时与，之间的数量关系，并说明理由； 结论运用：（3）如图③，在四边形中，，，分别是，边上的一点，沿将四边形折叠，点的对应点恰好落在边上，且，．的度数为 　　； 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）； 【详解】解：（1），理由如下：连接，如图①， 将三角形纸片沿折叠，点落在四边形内点的位置，． ，，， 即；故答案为：； （2），理由如下：设与交于点，如图②， ，，，； （3）延长交的延长线于，由（2）中结论可知，如图③， ，．，．故答案为：； 1）飞镖模型：条件：如图1，凹四边形ABCD； 结论：①；②。 证明：连接AC并延长至点P；在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B；在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D； 又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。 延长BC交AD于点P；在△ABQ中，；在△CDQ中，。 即：，故。 图1 图2 图3 图4 图5 2）鹰爪模型：如图2，结论：∠A+∠O=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠CAO+∠COA； ∴∠1+∠2=∠BAO+∠BOA+∠CAO+∠COA=∠BAO+∠CAO+∠BOA+∠COA=∠BAC+∠BOC=∠A+∠O。 3）鹰爪模型（变形）：如图2，结论：∠A+∠O=∠2-∠1。 证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠DAO+∠DOA； ∴∠2-∠1=∠DAO+∠DOA-（∠BAO+∠BOA）=（∠DAO-∠BAO)+（∠DOA-∠BOA） =∠BAD+∠BOD=∠A+∠O。 条件：如图4，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE内部时，结论：2∠C=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠1+∠2=∠ECC’+∠EC’C+∠FCC’+∠FC’C=∠ECC’+∠FCC’+∠EC’C+∠FC’C=∠EC’F+∠FCE=2∠C。 条件：如图5，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时，结论：2∠C=∠2-∠1。 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠2-∠1=∠FCC’+∠FC’C-（∠ECC’+∠EC’C）=（FCC’-∠ECC’)+（∠FC’C--∠EC’C） =∠EC’F+∠FCE=2∠C。 图1 图2 飞镖模型拓展1：条件：如图1，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC； 结论：∠O=（∠A+∠C）。 证明：∵BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；∴∠ABO=∠ABC；∠ADO=∠ADC； 根据飞镖模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A=∠ABC+∠ADC+∠A；∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A； ∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O=（∠A+∠C）。 飞镖模型拓展2：条件：如图2，AO平分∠DAB，CO平分∠BCD； 结论：∠O=（∠D-∠B）。 证明：根据飞镖模型：=++，∴∠DCB-∠DAB=∠D+∠B， ∵AO平分∠DAB，CO平分∠BCD，∴∠DCO=∠DCB，∠DAO=∠DAB， ∴∠DCO-∠DAO=（∠DCB-∠DAB）=（∠D+∠B）， ∵∠DEA=∠OEC，∴∠D+∠DAO=∠O+∠DCO，∴∠D-∠O=∠DCO-∠DAO， ∴∠D-∠O=（∠D+∠B）,即∠O=（∠D-∠B） 模型1.飞镖（燕尾）模型 例1（24-25·湖北·七年级校考期中）阅读下列材料，并完成相应的任务：有趣的“飞镖图”．如图1的四边形，这种形似飞镖的四边形，我们形象地称它为“飞镖图”．它实际上就是凹四边形，同学们通过探究发现：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和，即如图1，．    “智慧小组”通过互学证明了这个结论： 方法一：如图2，连接，则在中，，即， 又：在中，，∴，即． “创新小组”想出了另外一种方法 方法二：如图3，连接并延长至F， ∵和分别是和的一个外角，………… 任务：(1)填空：“智慧小组”用的“方法一”主要依据的一个数学定理是______； (2)根据“创新小组”用的“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分． 【答案】(1)三角形的内角和定理（或三角形的内角和是180度） (2)见解析 【详解】（1）故答案为：三角形的内角和定理（或三角形的内角和是180度） （2）证明：如图3，连接并延长至F， ∵和分别是和的一个外角，∴，， ∴，即． 例2（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）【问题背景】研究了三角形内角和定理及其推论后，观察飞镖可以抽象成图①，我们把这个图形形象地称为“飞镖模型”，飞镖模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图1，探究、、、之间的数量关系，并证明： （2）请利用上述结论或解题方法，完成下面的问题： 【类比探究】①如图2，已知，求的度数； 【拓展延伸】②如图3，已知，求的度数． 【答案】（1），证明见解析；（2）①；②． 【详解】解：（1）． 证明：如图，连接，并延长至点， ∵，，∵ ∴∴； （2）①如图，连接，由（1）可知，， ∵，，∴， ∴，∴； ②如图，在直线上取一点，连接，由①可知， ∵∴∵∴∴∴． 例3（24-25七年级下·四川成都·期中）如图所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，①如图，请直接写出与、、之间的关系：                              ②如图，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点、，若，直接写出的结果； ③如图，平分，平分，若，，求的度数； 【答案】①；②；③． 【详解】解：①，理由如下： 过点、作射线， ，， ，即， 故答案为：； ②，由①知：， ，； ③，，， 平分，平分，，， ，． 例4（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）实验探究： （1）动手操作：①如图1，将一块直角三角板放置在直角三角板上，使三角板的两条直角边、分别经过点、，且，已知，则 ； ②如图2，若直角三角板不动，改变等腰直角三角板的位置，使三角板的两条直角边、仍然分别经过点、，已知，那么 ； （2）猜想证明：如图3，与、、之间存在着什么关系，并说明理由； （3）灵活应用：请你直接利用以上结论，解决以下列问题： ①如图4，平分，平分，若，，求的度数； ②如图5，，的10等分线相交于点、、…、，若，，则的度数为 . 【答案】（1）①；②；（2），理由见解析；（3）①；② 【详解】解：（1）①∵，∴， ∵，∴，∴，故答案为：； ②∵，∴， ∴，故答案为：； （2），理由如下：如图3，过点D作射线． 根据三角形外角的性质，可得，， 又∵，，∴； （3）①如图4，由（2）可得， ∵，，∴， ∵平分，平分，∴， ∴ ∵，∴； ③如图5，设，，则，， ∵，∴，，解得， ∴，即的度数为． 例5（24-25广东·八年级期中）如图，在三角形ABC中，，为三角形内任意一点，连结AP，并延长交BC于点D. 求证：（1）；（2）. 【详解】（1）∵，∴ ∵，∴，∴ ∵，∴ （2）过点作，交、于、，则， 由（1）知 ∵， ∴ 即（几何证明中后一问常常要用到前一问的结论） 模型2.‌鹰爪（‌风筝）模型 例1（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，在中，，点，分别是边，上的两个定点．若点在线段上运动，当时，则 ． 【答案】/125度 【详解】解：连接，∵是的一个外角，是的一个外角， ∴，∵， ∴， ∴．故答案为：． 例2（24-25山东青岛·八年级统考期末）三角形内角和定理告诉我们：三角形三个内角的和等于如何证明这个定理呢？我们知道，平角是，要证明这个定理就是把三角形的三个内角转移到一个平角中去，请根据如下条件，证明定理． （1）【定理证明】    已知：如图①，求证：． （2）【定理推论】如图②，在中，有，点D是延长线上一点，由平角的定义可得，所以_______，从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【初步运用】如图③，点D、E分别是的边延长线上一点． （3）若，，则_______．（4）若，则_______． 【拓展延伸】如图④，点D、E分别是四边形的边延长线上一点． （5）若，，则_________． （6）分别作和的平分线，如图⑤，若，则和的关系为__________． （7）分别作和的平分线，交于点O，如图⑥，求出，和的数量关系，说明理由．    【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7），理由见解析 【详解】（1）证明：如图，过点作，∵，，，          ，． （2），，．故答案为：． （3），，，；答案：； （4），，， ，， ．故答案为：． （5）如图，连接，，， ， ，， ．故答案为：． （6）如图，过点作，则， 由（1）知，，， ，，，， 、分别是和，， ，．故答案为：． （7），理由如下：由（1）知，，，、分别为和的角平分线， ，， ，， ，即． 例3（24-25七年级下·四川资阳·期末）在中，，D、E分别是边上的点，P是直线上的一个动点，连结．设． (1)如图1，若点P在线段上，且，求的度数； (2)如图2，若点P在线段延长线上，交于点F，试探究之间的关系，并说明理由； (3)如图3，若点P在线段延长线上，交于点F，试探究之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)(2)，见解析(3)，见解析 【详解】（1）连接，∴， ∵是的外角，∴，∵是的外角，∴， ∴，即， ∵，，∴； （2）∵，，∴， ∵，∴，即， （3）∵，∴，∵，∴， ∵，∴，∵，∴，即 模型3.翻角模型 例1（24-25八年级上·河南许昌·期中）如图，把纸片沿折叠，当点A落在四边形内部时，与之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据折叠可知， 即．∵， ∴，即，∴．故选：B． 例2（24-25八年级上·安徽淮北·期末）如图，在中，，将沿直线翻折，点落在点的位置，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图：由折叠的性质可知：， 根据外角的性质可知：，∴， ∴，故选：C． 例3（24-25七年级下·辽宁大连·阶段练习）【原题再现】课本有这样一道题：如图1，将纸片沿折叠，使点A落在四边形内点的位置．试探索与之间的数量关系，并说明理由． 小明提出一种正确的解题思路：连接，则、分别为、的外角，…… 请你按照小明的思路解决上述问题．        【变式探究】如图2，若将原题中“点A落在四边形内点的位置”变为“点A落在四边形外点的位置”，试猜想此时与、之间的数量关系，并说明理由． 【结论运用】将四边形纸片（，与不平行）沿折叠成图3的形状，若，，求的度数． 【答案】[原题再现] ，理由见解析；[变式探究] ，理由见解析；[结论运用] 【详解】解：[原题再现]图1中，结论：，理由是：连接．       沿折叠和重合，， ，， [变式探究]如图2，结论：． 理由：设交于．，， ，． [结论运用]如图3中，延长交的延长线于． 由上面结论可知：，，，，． 1．（24-25成都市·七年级专题练习）如图，平分，平分，与交于点，若，，则（    ） A．80° B．75° C．60° D．45° 【答案】C 【详解】解：连接 平分，平分， 故选： 2．（24-25四川绵阳·八年级校考阶段练习）如图，四边形ABCD中，、、分别为、、的外角判断下列大小关系何者正确？（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，连结BD，延长AD到E，，， ， 故选项A正确，符合题意；B不正确，不符合题意； 多边形的外角和是，∴∴ 故选项C不正确，不符合题意；选项D不正确，不符合题意．故选：A． 3．（24-25八年级上·海南儋州·开学考试）如图，为等腰直角三角形，，将按如图方式进行折叠，使点A与边上的点F重合，折痕分别与交于点D、点E．下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的结论序号为（ ） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．①③ 【答案】C 【详解】解：由折叠的性质，，，， ∵为等腰直角三角形，，∴，∴，故选项③正确； 设，， ∴，，∵， ∴，∴，∴，故选项②正确； ∵，∴与不一定相等，故选项①不一定正确； ∵点在边上，不固定，与不一定平行，故选项④不一定正确； 综上分析可知：正确的结论有②③．故选：C． 4．（24-25七年级下·河南周口·期末）如图，小军借助几何画板设计了“鱼形”图案，由四边形和组成．已知在中，，，，，则的度数是（　　） A．65° B．55° C．45° D．35° 【答案】B 【详解】解：延长交于点H，如图所示： ∵，，∴， ∵，，∴，，∴．故选：B． 5．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图，将纸片沿折叠，当点C落在四边形的外部时，此时测得，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，∴， 由折叠的性质可得， ∴，∴， ∴，故选：B． 6．（24-25七年级下·重庆北碚·期末）如图，在中，和的外角平分线相交于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，∴； ∵和的外角平分线相交于点，∴， ∴，∵， ∴，∴， ∴，故选：D． 7．（24-25七年级下·山东淄博·期中）如图是一个“燕尾形”，已知，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：延长交于点E，是的一个外角，， ，，是的一个外角，， ，，， ，解得：，故选：B． 8．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）已知在三角形纸片中，，将纸片的一角按照如图方式对折，使点C落在内，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图所示，∵，∴， 由折叠的性质可得， ∵，∴，由折叠的性质可得， ∴，故选：A． 9．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，已知线段、的垂直平分线交于点，连接、、、，若，，那么的度数是 ． 【答案】/42度 【详解】解：如图，连接， ∵线段、的垂直平分线交于点，∴，∴， ∴，∴，即， ∵，∴， ∵，，，∴，∴，故答案为：． 10．（24-25湖北鄂州·七年级统考期中）（1）如图1，三角形ABC中，试用平行线的知识证明∠A＋∠B＋∠C＝180°；（2）如图2，将线段BC折断成BDC的形状，证明∠D＝∠A＋∠B＋∠C ． 【注意哟：可以直接用（1）中的结论进行证明，也可以用平行线的性质证明】 【答案】（1）见解析（2）见解析 【详解】（1）延长BC适当长度到点M，过点C作CNAB，则∠1=∠A，∠2=∠B， ∵∠1+∠2+∠ACB=180°，∴∠A+∠B+∠ACB=180°，即∠A＋∠B＋∠C＝180°； （2）连接BC，∵∠D+∠DBC+∠DCB=180°，∠A+∠ABC+∠ACB=180°， ∴∠D+∠DBC+∠DCB=∠A+∠ABC+∠ACB，∵∠ABC=∠ABD+∠DBC，∠ACB=∠ACD+∠DCB， ∴∠D+∠DBC+∠DCB=∠A+∠ABD+∠DBC+∠ACD+∠DCB， ∴∠D=∠A+∠ABD+∠ACD，即∠D＝∠A＋∠B＋∠C ． 11．（24-25·江苏连云港·七年级校考阶段练习）【问题情境】 已知，在的两边上分别取点B、C，在的内部取一点O，连接、．设，，探索与、、之间的数量关系． 【初步感知】如图1，当点O在的边上时，，此时，则与、、之间的数量关系是． 【问题再探】（1）如图2，当点O在的内部时，请写出与、、之间的数量关系并说明理由；（2）如图3，当点O在的外部时，与、、之间的数量关系是________； 【拓展延伸】（1）如图4，、的外角平分线相交于点P． ①若，，则________°；②若且，则________°； ③直接写出与、之间的数量关系； （2）如图5，的平分线与的外角平分线相交于点Q，则________（用、表示）． 【答案】[问题再探]（1）结论：∠BOC=∠BAC+∠1+∠2．证明见解析；（2）∠BOC+∠BAC+∠1+∠2=360°；[拓展延伸]（1）①25；②20；③∠BOC=∠A+2∠P；（2） 【详解】解：[问题再探]（1）如图2中，结论：． 理由：连接，延长到． ，， ． （2）如图3中，结论：． 理由：连接．，， ，． [拓展延伸]①如图4中，，，， 、的外角平分线相交于点，， ，故答案为：25． ②，，，，故答案为：20． ③，． （2）如图5中，结论：．理由：设，． 则有．②①可得，， 即，故答案为：． 12.（24-25八年级上·山西晋中·期末）请阅读下列材料，并完成相应任务． 在数学探究课上，老师出了这样一个题：如图，锐角内部有一点，在其两边和上各取任意一点，，连接，，求证：． 小丽的证法 小红的证法 证明：如图，连接并延长至点，， （依据）， 又∵，， ∴． 证明： ∵，，，（量角器测量所得）， ∴，（计算所得）． ∴（等量代换）． 任务：(1)小丽证明过程中的“依据”是指数学定理：______； (2)下列说法正确的是______． A．小丽的证法用严谨的推理证明了本题结论 B．小丽的证法还需要改变的大小，再进行证明，本题的证明才完整 C．小红的证法用特殊到一般的方法证明了本题结论 D．小红的证法只要将点在的内部任意移动次，重新测量进行验证，就能证明本题结论 (3)如图，若点在锐角外部，与相交于点，其余条件不变，原题中结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请写出，，，之间的关系并证明． 【答案】(1)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；(2)；(3)． 【详解】（1）解：小丽证明过程中的“依据”是指数学定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，故答案为：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； （2）解：由题意，按照定理证明的一般步骤分析，正确；小丽是用的一般方法证明的，不需要再改变的大小再证，故错误； 小红使用的是实验的方法，不是从特殊到一般的证明方法，不管试验几次，证明方法都不严谨，故、错误；故选：； （3）解：不成立，理由：∵是的一个外角，∴， ∵是的一个外角，∴，∴． 14.（24-25七年级下·江苏常州·阶段练习）探究题 (1)若中，①如图1，若和的角平分线相交于点O，则 ． ②如图2， 若和的三等分线相交于点、，则 ． (2)若中，；①如图1，若和的角平分线相交于点O，则用x表示 度 ． ②如图2，若和的三等分线相交于点、，则用x表示 度． ③如图3，若和的n等分线相交于点、、……、，则用x表示 度．（结果不需化简）；(3)如图，四边形中，为四边形的的角平分线及外角的平分线所在的直线构成的锐角， ①如图4，若设，，则 ； ②如图5，若设，，请在图中画出，则 ； ③若设，，一定存在吗？如有，求出的值（用x、y表示），如不一定，指出x、y满足什么条件时，不存在，并说明理由． 【答案】(1)；(2) (3)；；当且仅当满足时不存在 【详解】（1）解：①∵和的角平分线相交于点O，∴，，， ∵，∴，∴， ∵，∵，∴； ②∵和的三等分线相交于点、，∴，， ∴，∵， ∴，∴， ∵，∵，． 故答案为：；； （2）①由（1）①得，∵，∴ ②由（1）②得，∵，∴ ③由①②可得，； ∴若和的n等分线相交于点、、……、，则用x表示 故答案为：，； （3）①∵，∴，∴，∴，∴． ∵，，∴故答案为：； ②如图，∵，∴， ∴，∴； ∵，，∴．故答案为：； ③当时，不存在， 如图，的角平分线及外角的平分线分别是和． ∵，∴，∴． ∵的角平分线及外角的平分线分别是和，∴， ∴的角平分线及外角的平分线平行，∴不存在，∴当时，不存在． 14.（24-25七年级下·吉林长春·期中）在四边形ABCD中，，点E、F分别是边AD，BC上的点，点P是一动点，令． 初探：(1)如图①，若点P在线段CD上，且，则________°； (2)如图②，若点P在线段CD上运动，试探究与之间的关系，并说明理由； 再探：(3)如图③，若点P在线段DC的延长线上运动，则之间的关系为________； (4)若点P运动到四边形ABCD的内部，直接写出此时之间的关系为_________． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解：，， 在多边形ABFPE中，， ∴， ∴，故； （2）由（1）得，∴； （3）在多边形ABFPE中，，，， ∴，∴，∴； （4）如下图所示，过点P作MN∥BC，交AB于点M，交DC于点N， 由（2）得． 15.（24-25七年级下·山东淄博·期中）中，，点D，E分别是边，上的点，点P是一动点．设，，． (1)若点P在线段上，如图（1）所示，且，则___________°； (2)若点P在线段上运动，如图（2）所示，则，，三者之间的关系为：___________． (3)若点P运动到边的延长线上，如图（3）所示，则，，三者之间有何关系？请写出你的猜想并说明理由；(4)若点P运动到外且在直线的上方、直线的左侧范围内运动时，请探究，，之间的关系（画图并直接写出结果）． 【答案】(1)；(2)，理由见解析； (3)，理由见解析；(4)或．，图见解析 ． 【详解】（1）解：∵，，∴， ∵，，∴． （2）结论：； 理由：∵，， ∴，∴． （3）结论：，理由：如图3中，设交于M． ∵，，∴ （4）情况1：如图（4），结论：， 理由：设交于M．∵，，∴ 情况2：，理由如下：如图（5），，，∴． 综上所述，或． 16．（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）如图（1）所示， 把沿折叠， (1)当点C落在四边形内部时，与、之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，请你写出规律并证明你的规律． (2)当点A落在四边形上方时，与、之间数量关系是 ． (3)当点A落在四边形下方时，与、之间数量关系是 ． 【答案】(1)，证明见解析(2)(3) 【详解】（1）解：，证明如下：由折叠的性质可得：，， ∴，，∵，∴， ∴，即； （2）解：由折叠的性质可得：，，∴，， ∵，∴， ∴，即 （3）解：由折叠的性质可得：，，∴，， ∵，∴， ∴，即． 17．（23-24八年级上·山东济宁·期中）（1）如图①，把纸片沿折叠，当点A落在四边形内部点的位置时，、、之间有怎样的数量关系？并说明理由． （2）如图②，把纸片沿折叠，当点A落在四边形外部点的位置时，、、之间有怎样的数量关系？并说明理由． （3）如图③，把四边形沿折叠，当点A、D分别落在四边形内部点、的位置时，请直接写出、、与之间的数量关系． 【答案】（1），证明见解析；（2），证明见解析；（3），证明见解析 【详解】（1）证明：如图，根据翻折的性质得：， ∵，∴，∴． （2） 证明：如图，根据翻折的性质得：， ∵，∴，∴． （3）理由如下：，， ∵，∴，∴． 18．（24-25七年级下·山东聊城·期末）如图，在中，，点、是边、上的点，点是平面内一动点．令，，． (1)若点在线段上，如图1所示，，求的值； (2)若点在边上运动，如图2所示，则、、之间的关系________； (3)若点运动到边的延长线上，如图3所示，则、、之间有何关系？猜想并说明理由； (4)若点运动到外，如图4所示，则请表示、、之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)(2)(3)猜想，理由见解析 (4)，理由见解析 【详解】（1）解：∵在四边形中，（四边形内角和可以看做连接对角线后两个三角形的内角和），，，∴ ∵，∴，∴； （2）解：∵在四边形中，（四边形内角和可以看做连接对角线后两个三角形的内角和），，∴ ∵，∴，∴； （3）解：猜想，理由如下：设交于M， 由三角形的外角的性质知：，， ，即； （4）解：，理由如下：设交于M， 由三角形的外角的性质知：，， ，，，即， 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 三角形中的倒角模型之燕尾（飞镖）型、风筝模型、翻角模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就燕尾（飞镖）型、风筝（鹰爪）、翻角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型拓展 5 模型运用 6 模型1.飞镖（燕尾）模型 6 模型2.鹰爪（风筝）模型 10 模型3.翻角模型 14 16 ‌ 燕尾模型（飞镖模型）‌因凹四边形的外轮廓酷似燕尾分叉或飞镖外形，教育工作者将其形象化命名以辅助记忆‌。凹四边形中，从顶点延伸的两条边如同燕尾分叉，而整体轮廓又像投掷的飞镖，这种具象化命名帮助学生快速联想图形特征。部分资料戏称其为“回旋镖模型”，强调角度关系循环往复的特点。‌ ‌鹰爪（‌风筝）模型‌强调图形末端的尖锐角如同鹰爪抓握状，更侧重动态联想。 翻角模型是‌动态几何思想‌与‌静态角度守恒‌的结合，通过操作发现不变量的过程，深化了对三角形刚性结构的理解。‌‌‌ 普及高峰期（‌2023–2025 年），这些倒角模型被纳入多地初中数学复习专题，配套口诀（如“见飞镖，找四角”、“内翻腋下和等上下和，外翻腋下差等折角倍”‌‌）广泛传播，这些模型将严谨的几何法则融入生活化的想象与口诀，让数学推理像解谜游戏一样充满乐趣！ （24-25七年级下·吉林长春·期末）【问题呈现】如图①，四边形形似“飞镖”，我们形象地称它为“飞镖图”．它实际上是凹四边形，通过探究发现：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和，即． 【探究推理】方法一：如图②，连结． ∵在中，，∴． 又∵在中，，∴， ∴，∴．即． 方法二：如图③，连结并延长至F．∵与分别为和的外角，… （1）“方法一”主要依据的数学定理是 ；（2）根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出余下的推理过程． 【迁移应用】（3）如图④， ；（4）如图⑤是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且的大小保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应 （填“增加”或“减少”）的大小为 度． （2024·贵州贵阳·二模）综合与实践 问题情境：在综合与实践课上，老师要求同学们以“折纸中的数学”为主题开展活动． 独立思考：（1）如图①，将三角形纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置，则与之间的数量关系为 　 ，请说明理由； 深入探究：（2）如图②，若点落在四边形的边下方时，试猜想此时与，之间的数量关系，并说明理由； 结论运用：（3）如图③，在四边形中，，，分别是，边上的一点，沿将四边形折叠，点的对应点恰好落在边上，且，．的度数为 　　； 1）飞镖模型：条件：如图1，凹四边形ABCD； 结论：①；②。 证明：连接AC并延长至点P；在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B；在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D； 又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。 延长BC交AD于点P；在△ABQ中，；在△CDQ中，。 即：，故。 图1 图2 图3 图4 图5 2）鹰爪模型：如图2，结论：∠A+∠O=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠CAO+∠COA； ∴∠1+∠2=∠BAO+∠BOA+∠CAO+∠COA=∠BAO+∠CAO+∠BOA+∠COA=∠BAC+∠BOC=∠A+∠O。 3）鹰爪模型（变形）：如图2，结论：∠A+∠O=∠2-∠1。 证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠DAO+∠DOA； ∴∠2-∠1=∠DAO+∠DOA-（∠BAO+∠BOA）=（∠DAO-∠BAO)+（∠DOA-∠BOA） =∠BAD+∠BOD=∠A+∠O。 条件：如图4，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE内部时，结论：2∠C=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠1+∠2=∠ECC’+∠EC’C+∠FCC’+∠FC’C=∠ECC’+∠FCC’+∠EC’C+∠FC’C=∠EC’F+∠FCE=2∠C。 条件：如图5，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时，结论：2∠C=∠2-∠1。 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠2-∠1=∠FCC’+∠FC’C-（∠ECC’+∠EC’C）=（FCC’-∠ECC’)+（∠FC’C--∠EC’C） =∠EC’F+∠FCE=2∠C。 图1 图2 飞镖模型拓展1：条件：如图1，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC； 结论：∠O=（∠A+∠C）。 证明：∵BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；∴∠ABO=∠ABC；∠ADO=∠ADC； 根据飞镖模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A=∠ABC+∠ADC+∠A；∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A； ∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O=（∠A+∠C）。 飞镖模型拓展2：条件：如图2，AO平分∠DAB，CO平分∠BCD； 结论：∠O=（∠D-∠B）。 证明：根据飞镖模型：=++，∴∠DCB-∠DAB=∠D+∠B， ∵AO平分∠DAB，CO平分∠BCD，∴∠DCO=∠DCB，∠DAO=∠DAB， ∴∠DCO-∠DAO=（∠DCB-∠DAB）=（∠D+∠B）， ∵∠DEA=∠OEC，∴∠D+∠DAO=∠O+∠DCO，∴∠D-∠O=∠DCO-∠DAO， ∴∠D-∠O=（∠D+∠B）,即∠O=（∠D-∠B） 模型1.飞镖（燕尾）模型 例1（24-25·湖北·七年级校考期中）阅读下列材料，并完成相应的任务：有趣的“飞镖图”．如图1的四边形，这种形似飞镖的四边形，我们形象地称它为“飞镖图”．它实际上就是凹四边形，同学们通过探究发现：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和，即如图1，． “智慧小组”通过互学证明了这个结论： 方法一：如图2，连接，则在中，，即， 又：在中，，∴，即． “创新小组”想出了另外一种方法 方法二：如图3，连接并延长至F， ∵和分别是和的一个外角，………… 任务：(1)填空：“智慧小组”用的“方法一”主要依据的一个数学定理是______； (2)根据“创新小组”用的“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分． 例2（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）【问题背景】研究了三角形内角和定理及其推论后，观察飞镖可以抽象成图①，我们把这个图形形象地称为“飞镖模型”，飞镖模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图1，探究、、、之间的数量关系，并证明： （2）请利用上述结论或解题方法，完成下面的问题： 【类比探究】①如图2，已知，求的度数； 【拓展延伸】②如图3，已知，求的度数． 例3（24-25七年级下·四川成都·期中）如图所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，①如图，请直接写出与、、之间的关系：                              ②如图，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点、，若，直接写出的结果； ③如图，平分，平分，若，，求的度数； 例4（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）实验探究： （1）动手操作：①如图1，将一块直角三角板放置在直角三角板上，使三角板的两条直角边、分别经过点、，且，已知，则 ； ②如图2，若直角三角板不动，改变等腰直角三角板的位置，使三角板的两条直角边、仍然分别经过点、，已知，那么 ； （2）猜想证明：如图3，与、、之间存在着什么关系，并说明理由； （3）灵活应用：请你直接利用以上结论，解决以下列问题： ①如图4，平分，平分，若，，求的度数； ②如图5，，的10等分线相交于点、、…、，若，，则的度数为 . 例5（24-25广东·八年级期中）如图，在三角形ABC中，，为三角形内任意一点，连结AP，并延长交BC于点D. 求证：（1）；（2）. 模型2.‌鹰爪（‌风筝）模型 例1（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，在中，，点，分别是边，上的两个定点．若点在线段上运动，当时，则 ． 例2（24-25山东青岛·八年级统考期末）三角形内角和定理告诉我们：三角形三个内角的和等于如何证明这个定理呢？我们知道，平角是，要证明这个定理就是把三角形的三个内角转移到一个平角中去，请根据如下条件，证明定理．（1）【定理证明】已知：如图①，求证：．    （2）【定理推论】如图②，在中，有，点D是延长线上一点，由平角的定义可得，所以_______，从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【初步运用】如图③，点D、E分别是的边延长线上一点． （3）若，，则_______．（4）若，则_______． 【拓展延伸】如图④，点D、E分别是四边形的边延长线上一点． （5）若，，则_________． （6）分别作和的平分线，如图⑤，若，则和的关系为__________． （7）分别作和的平分线，交于点O，如图⑥，求出，和的数量关系，说明理由．    例3（24-25七年级下·四川资阳·期末）在中，，D、E分别是边上的点，P是直线上的一个动点，连结．设． (1)如图1，若点P在线段上，且，求的度数； (2)如图2，若点P在线段延长线上，交于点F，试探究之间的关系，并说明理由； (3)如图3，若点P在线段延长线上，交于点F，试探究之间的关系，并说明理由． 模型3.翻角模型 例1（24-25八年级上·河南许昌·期中）如图，把纸片沿折叠，当点A落在四边形内部时，与之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（   ）． A． B． C． D． 例2（24-25八年级上·安徽淮北·期末）如图，在中，，将沿直线翻折，点落在点的位置，则的度数是（   ） A． B． C． D． 例3（24-25七年级下·辽宁大连·阶段练习）【原题再现】课本有这样一道题：如图1，将纸片沿折叠，使点A落在四边形内点的位置．试探索与之间的数量关系，并说明理由． 小明提出一种正确的解题思路：连接，则、分别为、的外角，…… 请你按照小明的思路解决上述问题．        【变式探究】如图2，若将原题中“点A落在四边形内点的位置”变为“点A落在四边形外点的位置”，试猜想此时与、之间的数量关系，并说明理由． 【结论运用】将四边形纸片（，与不平行）沿折叠成图3的形状，若，，求的度数． 1．（24-25成都市·七年级专题练习）如图，平分，平分，与交于点，若，，则（    ） A．80° B．75° C．60° D．45° 2．（24-25四川绵阳·八年级校考阶段练习）如图，四边形ABCD中，、、分别为、、的外角判断下列大小关系何者正确？（ ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·海南儋州·开学考试）如图，为等腰直角三角形，，将按如图方式进行折叠，使点A与边上的点F重合，折痕分别与交于点D、点E．下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的结论序号为（ ） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．①③ 4．（24-25七年级下·河南周口·期末）如图，小军借助几何画板设计了“鱼形”图案，由四边形和组成．已知在中，，，，，则的度数是（　　） A．65° B．55° C．45° D．35° 5．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图，将纸片沿折叠，当点C落在四边形的外部时，此时测得，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·重庆北碚·期末）如图，在中，和的外角平分线相交于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·山东淄博·期中）如图是一个“燕尾形”，已知，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）已知在三角形纸片中，，将纸片的一角按照如图方式对折，使点C落在内，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，已知线段、的垂直平分线交于点，连接、、、，若，，那么的度数是 ． 10．（24-25湖北鄂州·七年级统考期中）（1）如图1，三角形ABC中，试用平行线的知识证明∠A＋∠B＋∠C＝180°；（2）如图2，将线段BC折断成BDC的形状，证明∠D＝∠A＋∠B＋∠C ． 【注意哟：可以直接用（1）中的结论进行证明，也可以用平行线的性质证明】 11．（24-25·江苏连云港·七年级校考阶段练习）【问题情境】 已知，在的两边上分别取点B、C，在的内部取一点O，连接、．设，，探索与、、之间的数量关系． 【初步感知】如图1，当点O在的边上时，，此时，则与、、之间的数量关系是． 【问题再探】（1）如图2，当点O在的内部时，请写出与、、之间的数量关系并说明理由；（2）如图3，当点O在的外部时，与、、之间的数量关系是________； 【拓展延伸】（1）如图4，、的外角平分线相交于点P． ①若，，则________°；②若且，则________°； ③直接写出与、之间的数量关系； （2）如图5，的平分线与的外角平分线相交于点Q，则________（用、表示）． 12.（24-25八年级上·山西晋中·期末）请阅读下列材料，并完成相应任务． 在数学探究课上，老师出了这样一个题：如图，锐角内部有一点，在其两边和上各取任意一点，，连接，，求证：． 小丽的证法 小红的证法 证明：如图，连接并延长至点，， （依据）， 又∵，， ∴． 证明： ∵，，，（量角器测量所得）， ∴，（计算所得）． ∴（等量代换）． 任务：(1)小丽证明过程中的“依据”是指数学定理：______； (2)下列说法正确的是______． A．小丽的证法用严谨的推理证明了本题结论 B．小丽的证法还需要改变的大小，再进行证明，本题的证明才完整 C．小红的证法用特殊到一般的方法证明了本题结论 D．小红的证法只要将点在的内部任意移动次，重新测量进行验证，就能证明本题结论 (3)如图，若点在锐角外部，与相交于点，其余条件不变，原题中结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请写出，，，之间的关系并证明． 14.（24-25七年级下·江苏常州·阶段练习）探究题 (1)若中，①如图1，若和的角平分线相交于点O，则 ． ②如图2， 若和的三等分线相交于点、，则 ． (2)若中，；①如图1，若和的角平分线相交于点O，则用x表示 度 ． ②如图2，若和的三等分线相交于点、，则用x表示 度． ③如图3，若和的n等分线相交于点、、……、，则用x表示 度．（结果不需化简）；(3)如图，四边形中，为四边形的的角平分线及外角的平分线所在的直线构成的锐角， ①如图4，若设，，则 ； ②如图5，若设，，请在图中画出，则 ； ③若设，，一定存在吗？如有，求出的值（用x、y表示），如不一定，指出x、y满足什么条件时，不存在，并说明理由． 14.（24-25七年级下·吉林长春·期中）在四边形ABCD中，，点E、F分别是边AD，BC上的点，点P是一动点，令． 初探：(1)如图①，若点P在线段CD上，且，则________°； (2)如图②，若点P在线段CD上运动，试探究与之间的关系，并说明理由； 再探：(3)如图③，若点P在线段DC的延长线上运动，则之间的关系为________； (4)若点P运动到四边形ABCD的内部，直接写出此时之间的关系为_________． 15.（24-25七年级下·山东淄博·期中）中，，点D，E分别是边，上的点，点P是一动点．设，，． (1)若点P在线段上，如图（1）所示，且，则___________°； (2)若点P在线段上运动，如图（2）所示，则，，三者之间的关系为：___________． (3)若点P运动到边的延长线上，如图（3）所示，则，，三者之间有何关系？请写出你的猜想并说明理由；(4)若点P运动到外且在直线的上方、直线的左侧范围内运动时，请探究，，之间的关系（画图并直接写出结果）． 16．（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）如图（1）所示， 把沿折叠， (1)当点C落在四边形内部时，与、之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，请你写出规律并证明你的规律． (2)当点A落在四边形上方时，与、之间数量关系是 ． (3)当点A落在四边形下方时，与、之间数量关系是 ． 17．（23-24八年级上·山东济宁·期中）（1）如图①，把纸片沿折叠，当点A落在四边形内部点的位置时，、、之间有怎样的数量关系？并说明理由． （2）如图②，把纸片沿折叠，当点A落在四边形外部点的位置时，、、之间有怎样的数量关系？并说明理由． （3）如图③，把四边形沿折叠，当点A、D分别落在四边形内部点、的位置时，请直接写出、、与之间的数量关系． 18．（24-25七年级下·山东聊城·期末）如图，在中，，点、是边、上的点，点是平面内一动点．令，，． (1)若点在线段上，如图1所示，，求的值； (2)若点在边上运动，如图2所示，则、、之间的关系________； (3)若点运动到边的延长线上，如图3所示，则、、之间有何关系？猜想并说明理由； (4)若点运动到外，如图4所示，则请表示、、之间的关系，并说明理由． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$