专题16 全等三角形中的八类重要模型（几何模型讲义）数学华东师大版2024八年级上册

专题16.全等三角形中的八类重要模型 本专题包含全等三角形中的八大重要模型，主要有：倍长中线、截长补短、一线三等角（K字型）、手拉手模型、半角模型、对角互补模型、十字架模型、角平分线的全等模型等。通过这些综合训练希望能让大家弄清楚这些模型的适用条件，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 1．（24-25八年级上·河南信阳·阶段练习）已知：如图，在△与△中，°，，、、三点在同一直线上，连接、．以下四个结论：①，②，③，④△≌△，其中正确的个数（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【详解】解：∵，∴， 在和中，，∴，故结论④正确； ∴，，故结论①正确； ∵，，∴，故结论③正确； ∴，∴，故结论②正确； ∴正确的个数是．故选：A． 2．（24-25七年级下·山东泰安·期末）如图，点为线段上一动点（不与点、重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接、，以下结论：①；②为等边三角形；③；④平分；正确的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：∵和是正三角形，， 又 ∵，， 在和中， ，，，∴结论①正确； ，，又，， 在和中， ，， ，是等边三角形，故②正确； ，， 又，，， ，，结论③正确； 过点分别作于点、两点，如图2所示： ，， 在和中，，，， 又 ∵在的内部，∴点在的平分线上，∴结论④正确； 综合所述，共有 4个结论正确．故选：D． 3．（24-25·广东深圳·八年级校考期中）如图，点P为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点P旋转的过程中，其两边分别与相交于M、N两点，则以下结论：①恒成立；②的值不变；③四边形的面积不变；其中正确的个数为（　　）    A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【详解】解：如图，作于E，于F．    ∵，∴， ∵，∴，∴， ∵平分，于E，于F，∴． 在和中，∴，∴． 在和中， ∴，∴，故①正确． ∴定值，故③正确． ∴定值，故②正确．故选：A． 4.（24-25八年级上·山东·期末）如图，在等边中，在边上取两点、，使．若，，，则以、、为边长的三角形的形状为（　　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随的值而定 【答案】C 【详解】解：如图所示：将绕点顺时针旋转得到，连接， 由旋转性质可知，，，，， ∵是等边三角形，∴，∵，∴， ∴，∴， 在与中，，∴，∴， ∵，，∴， ∴以、、为边长的三角形的形状为钝角三角形,故选：C． 5．（24·25·重庆·八年级月考）如图，将一边长为12的正方形纸片的顶点A折叠至边上的点E，使，若折痕为，则的长为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】A 【详解】解：过点P作PM⊥BC于点M，由折叠得到PQ⊥AE，∴∠DAE+∠APQ=90°， 在正方形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，CD⊥BC， ∴∠DAE+∠AED=90°，∴∠AED=∠APQ，∴∠APQ=∠PQM，∴∠PQM=∠APQ=∠AED， ∵PM⊥BC，∴PM=AD，∵∠D=∠PMQ=90°，∴△PQM≌△ADE，∴PQ=AE， 在 中，，AD=12，由勾股定理得：， ∴PQ=13．故选：A． 6．（24-25八年级下·福建三明·期末）如图，点为的平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点旋转的过程中，其两条边分别与，相交于，两点．则以下结论： ①的值不变；②；③的长度不变； ④四边形的面积不变；其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【详解】解：作于，于，如图所示： ，， ，，， 平分，于，于，， 在和中，，∴，， 在和中，，，，， ，为定值，故①正确， ∵，设，则， ∴，∵，∴， ∴，故②正确；∵，， 定值，故④正确， 在旋转过程中，是顶角不变的等腰三角形， 的长度是变化的，的长度是变化的，故③错误； 则正确的有①②④．故答案为：①②④． 7．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在“问题解决策略：特殊化”课中，小茗同学拿了两块相同的含的三角尺，即等腰直角和等腰直角做了一个探究活动：将的直角顶点放在的斜边的中点处，设，此时重叠部分四边形的面积为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接， ∵和均是等腰直角三角形，∴，， ∵点M是斜边的中点，∴，， ∴，，，∴， 在和中，∵，， ∴，∴，∴重叠部分四边形的面积．故答案为： 8．（24-25·成都市·七年级期中）如图，在中，为边的中线，E为上一点，连接并延长交于点F，若，，，则的长为____________． 【答案】2.4 【详解】如解图，延长到点，使， ∵为边的中线，∴∵， ∴∴，，∵∴∴ ∵，∴∴．故答案为：2.4． 9．（2024·广东汕头·一模）如图，为了测盘凹档的宽度，把一块等腰直角三角板（，）放置在凹槽内，三个顶点A，B，C分别落在凹槽内壁上，若，测得，，则该凹槽的宽度的长为 ． 【答案】48 【详解】解：∵是等腰直角三角形， ∴，∴， ∵，∴，∴， 在和中，，∴， ∴，∴故答案为：48． 10．（2024·四川成都·一模）如图，在中，，点为上一点，过、两点分别作射线的垂线，垂足分别为点，点．若点为中点，，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：在中，，在中，， 在中，，∴，， 又∵，∴，∴， ∵点为中点，，∴， 在中，， 在中，．故答案为：． 11．（24-25八年级下·广东汕头·阶段练习）（1）如图1，在和中，，，，且点D在边上滑动（点D不与点B，C重合），连接．求证：； [拓展延伸] （2）如图2，在四边形中，．若，，求的长； 【答案】（1）见解析（2） 【详解】解：（1）∵， ∴，即， 在和中，，∴， ∴，∴，∴， 在中，，又，∴； （2）作，使，连接，，如图， ∵，即， 在与中， ，∴， ∴， ∵，∴，∴， ∵，∴． 12．（24-25七年级下·山东淄博·期末）如图在，中，，，，点C，D，E三点在同一条直线上，连接，求证：(1)；(2)试猜想，有何特殊的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析(2)，理由见解析 【详解】（1）证明：，，即， 在和中，，∴， （2）解：，理由如下：如图，设与于G， ∵，， ，，， 13．（24-25八年级下·广东河源·期末）问题情境：在学习《图形的平移和旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图（1），点D为等边的边上一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． 【猜想证明】（1）试猜想与的数量关系，并加以证明： 【探究应用】（2）如图（2），点D为等边内一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，若B、D、E三点共线，求证：平分； 【拓展提升】（3）如图（3），若是边长为2的等边三角形，点D是线段上的动点，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接．当点D运动到什么位置时，的周长最小，并求最小值． 【答案】（1）与，见解析；（2）见解析；（3）当点D在运动到的中点位置时，的周长最小，最小值为 【详解】（1）解：.理由是：由旋转的性质可得，，， 是等边三角形，，， ，即， ，； （2）证明：平分理由是：∵绕点A逆时针旋转得到， ，是等边三角形，， ．由（1）的证明可得，，， ，，即平分； （3）解：当点D在运动到的中点位置时，的周长最小 连接AE，由（1）的证明可得，，. 是等边三角形，，， ∴当最小时，的周长最小，此时， 是等边三角形，边长为2，， 的周长最小值为．即当点D在运动到BC的中点位置时，的周长最小，最小值为． 14．（24-25八年级上·黑龙江黑河·期末）已知点为平分线上一点，于，于，点，分别是射线，上的点，且． (1)如图①，当点在线段上，点在线段上时，易证得；（要证明） (2)如图②，当点在线段上，点在线段的延长线上时，（1）中结论是否还成立？如果成立，请你证明，如果不成立，请说明理由；(3)在（2）的条件下，直接写出线段，与之间的数量关系______；(4)如图③，当点在线段的延长线上，点在线段上时，若，且，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析(2)仍成立，见解析(3)(4)四边形的面积为32 【详解】（1）如图1：由为平分线上一点，于，于， ， 在中，，，； （2）仍成立点为平分线上一点， 又于，于，， 又 （3）；, 又 点为平分线上一点， 即AP平分， ，， ， （4）四边形的面积为32 点为平分线上一点， 又于，于， 又（已证） 又 ，且 15.（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）如图所示，，P是的中点，且平分，连接．(1)试说明平分；(2)线段与有怎样的位置关系?请说明理由． 【答案】(1)见解析(2)，理由见解析 【详解】（1）证明：过点作，垂足为E，如图所示： ∵平分，∴， ∵，，∴（角平分线上的点到角两边的距离相等）， 又∵是中点，∴，∴， ∵，，∴平分；（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）． （2）解：，理由如下：∵，∴，， ∴（垂直于同一条直线的两条直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵，（角平分线定义）， ∴，∴，∴，即． 16.（24-25八年级上·河南郑州·期末）【模型解读】“半角模型”是指在一个大角中包含着一个大小为其一半的角，通过边与角的特殊关系解决线段长度、角度的相关问题．在解决这类问题时，“截长补短”是一种常用的方法，将分散的线段或角集中在一起，构造全等三角形，从而利用全等三角形的性质来解决问题． 【初步思考】（）如图，在四边形中，，，分别是边上的点，且．求证：． 小文发现此题是证明线段的和（差）问题，联想到近期所学过的转化的问题解决策略，找到证明此类题型的常见方法，于是就有了如下的思考过程：请你在下面的框图中填空帮他补全证明思路． 第一步：延长至点，使，连接，易证， 得出① ，． 第二步：，，得出， 所以，即 ② ． 第三步：易证，得出 ③ ，因为④ ，所以． 【探究迁移】（）如图，由特殊到一般：把（）中变换为，其余条件不变，爱思考的小文发现仍然成立，请你类比上面“延长、证全等”的方法写出证明过程． 【拓展应用】（）如图，四边形是边长为的正方形，，则的周长为 ． 【答案】（），，，；（）仍然成立，理由见解析；（） 【详解】（）证明：如图，延长至点，使，连 接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴，∴，， ∴， ∵，∴， 在和中， ，∴， ∴， ∵，∴，故答案为：，，，； （）仍然成立，理由如下：如图，延长到点，使，连 接， ∵，， ∴， 在和中， ，∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 在和中，，∴， ∴， ∵，∴，∴（）中的结论仍然成立； （）如图，延长到点，使，连接， ∵四边形是边长为的正方形， ∴， ， ∴， 在和中， ，∴，∴，， ∵，∴，∴， 在和中， ，∴，∴， ∵， ∴， ∴，∴ 的周长为，故答案为：． 17.（24-25八年级上·黑龙江·期末）已知四边形中，，，，，，绕点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于点、. 当绕点旋转到时（如图1），易证：.（不必证明） (1)当绕点旋转到时，在图2种情况下，求证：. (2)当绕点旋转到时，在图3种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明. 【答案】(1)证明见解析；(2)不成立， 【详解】（1）证明：如图，延长到点，使，连接， ，， 在和中，，，， ，， ，即，， 在和中，，，， ，． （2）不成立， 证明如下：如图，在上截取，连接， ，， 在和中，，，， ，， ，， 在和中，，，， ，即． 18.（2024·四川绵阳·九年级校联考阶段练习）已知，，是过点的直线，过点作于点，连接． (1)问题发现：如图(1)，过点作，与交于点，、、之间的数量关系是什么？并给予证明．(2)拓展探究：当绕点旋转到如图(2)位置时，、、之间满足怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明． 【答案】(1)；证明见解析(2)；证明见解析 【详解】（1）解：如图1，过点作交于点， ，，， ，在四边形中，，， ，∴，，，，， ，是等腰直角三角形，， ，∴； （2）；理由：如图，过点作交于点， ，，， ，，， ，，，，，， ，是等腰直角三角形，，，∴； 19．（24-25七年级下·广东佛山·期末）综合与实践：和是两个全等的等腰直角三角形．，．当点落在中点上时，绕着点旋转，、分别与、分别交于点、，令． (1)如图1，若点落在边上，则四边形的面积为 ；(2)如图2，在旋转过程中，求四边形的面积；(3)在旋转过程中，当是等腰三角形时，求的值． 【答案】(1)(2)(3)或或 【详解】（1）解：连接，如图所示： 在等腰中，为的中点，即是斜边上的中线，则， 由等腰三角形三线合一性质可得平分， ∴， ∵，∴，∴， ∴，∴， ∴，故答案为：； （2）连接，如图所示： 在等腰中，为的中点，即是斜边上的中线，则， 由等腰三角形三线合一性质可得平分， ∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴； （3）解：当是等腰三角形时，分三种情况讨论： ①当时，∵，∴； ②当时，∴，∴； ③当时，； 综上所述，当是等腰三角形时，的值为或或． 20．（2023·安徽黄山·九年级期中）如图，在中，，，是边上一动点，于．（1）如图（1），若平分时，①求的度数； ②延长交的延长线于点，补全图形，探究与的数量关系，并证明你的结论； （2）如图（2），过点作于点，猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】（1）①，②BD=2EC，理由见详解；（2）BE=CE+2AF，理由见详解． 【详解】解：（1）∵，，∴∠ABC=∠ACB=45°， ∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD=22.5°， ①∵∠ABD+∠BDA=∠CDE+∠ECD=90°，∠CDE=∠BDA，∴∠ABD=∠ECD=22.5°； ②BD=2EC，理由如下：如图所示： ∵，∴∠CEB=∠FEB=90°，∵BE=BE，∴△CEB≌△FEB（ASA），∴CE=FE， ∵∠DBA+∠F=90°，∠FCA+∠F=90°，∴∠DBA=∠FCA， ∵∠BAD=∠CAF=90°，AB=AC，∴△ABD≌△ACF（ASA），∴BD=CF，∴BD=2CE； （2）BE=CE+2AF，理由如下：在BE上截取BH=CE，连接AH，如图，由（1）易得∠HBA=∠ECA， ∵AB=AC，∴△BHA≌△CEA（SAS），∴AH=AE，∠BAH=∠CAE， ∵∠BAH+∠HAC=90°，∴∠EAC+∠HAC=90°，即∠HAE=90°， ∵AF⊥BE，∴AF=HF=FE，∵BE=BH+HF+FE，∴BE=CE+2AF． 21．（24-25天津市九年级下月考）如图正方形，点、、分别在、、上，与相交于点．如图，当，求证：； 【答案】(1)见解析； 【详解】作平行四边形，则，，，如图， ∴，∴，∵，∴， 在和中，，∴≌，∴∴； 22.（24-25八年级上·广东·阶段练习）【问题背景】如图1，在四边形中，，，，E、F分别是上的点，且，试探究图1中线段之间的数量关系． (1)【初步探索】小亮同学认为：如图1，延长到点G，使，连接，先证明，再证明，则可得到之间的数量关系是 ． (2)【探索延伸】在四边形中如图2，，E、F分别是上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． (3)【结论运用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里/小时的速度前进小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角（）为，试求此时两舰艇之间的距离． 【答案】(1)(2)成立，理由见解析(3)海里 【详解】（1）如图1，延长到G，使，连接，    在和中，，∴，∴， ∵，，∴， ∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴；故答案为：； （2）仍成立，理由：如图2，延长到点G，使，连接，      ∵，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴． ∵，∴，∴． 在和中，，∴，∴， ∵，∴； （3）连接，延长交于点C，如图， ∵，∴， ∵， ∴四边形中，且， ∴四边形符合探索延伸中的条件，∴结论成立， 即（海里），答：此时两舰艇之间的距离是海里． 23．（24-25八年级上·福建泉州·开学考试）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1， 中，若 ，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使 ，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是 ． A．         B．            C．              D． （2）求得的取值范围是 ． A．   B．      C．     D． 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】（3）如图2，是 的中线，交于E，交于F，且 ，求证： ． 【答案】（1）B；（2）C；（3）见解析 【详解】（1）解：∵为边上的中线，∴， 在和中，，故选B； （2）解：由（1）知：，，， 在中，，由三角形三边关系定理得：，即，故选C； （3）证明：如图2，延长到，使，连接，是中线，， 在和中，，，， ，，，， ，∴．∴平分． 24．（2024·河北·中考模拟预测）倍长中线的思想在丁倍长某条线段（被延长的线段要满足两个条件：线段一个端点是图中一条线段的中点；线段与这条线段不共线)，然后进行连接，构造三角形全等，再进一步将某些线段进行等量代换，再证明全等或其他的结论，从而解决问题． 【应用举例】如图（1），已知：为的中线，求证：． 简证：如图（2），延长到，使得，连接，易证，得 ，在中， ，． 【问题解决】（1）如图（3），在中，是边上的中线，是上一点，且，延长交于，求证：．（2）如图（4），在中，是边的中点，分别在边上，，若，求的长．（3）如图（5），是的中线，，且，请直接写出与的数量关系_ 及位置关系_ ． 【答案】；（1）详见解析；（2）5；（3）， 【详解】【应用举例】【问题解决】如图延长到， 使得连接易证得， ． 如图，延长到，使得连接易证 得，垂直平分 即 在中，， ，理由如下： 如图3，延长AD到G，使AD=DG，延长DA交EF于P，连结BG，则不难得到△BGD≌△CAD， ∴BG=AC，∠GBD=∠ACD，∠DGB=∠DAC， 又AF=AC，∴BG=AF，∴∠ABG=∠ABD+∠GBD=∠ABD+∠ACD=180°-∠ BAC=∠EAF， ∴在△ABG和△EAF中，，∴△ABG≌△EAF， ∴EF=AG=2AD，∠EFA=∠DGB=∠DAC，∵∠DAC+∠PAF=180°-∠FAC=180°-90°=90°， ∴∠EFA+∠PAF=90°，∴∠APF=90°，∴EF⊥AD ． 25．（24-25·成都市·八年级课时练习）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图，延长AD到点E，使DE＝AD，连结BE．请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到的理由是（    ）． A．SSS    B．SAS    C．AAS    D．ASA (2)AD的取值范围是（    ）． A．    B．    C．    D． (3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【问题解决】如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF． 【答案】(1)B(2)C(3)见解析 【解析】（1）∵在△ADC和△EDB中，∴△ADC≌△EDB（SAS），故选B； （2）∵由（1）知：△ADC≌△EDB，∴BE=AC=6，AE=2AD， ∵在△ABE中，AB=8，由三角形三边关系定理得：8-6＜2AD＜8+6，∴1＜AD＜7，故选：C． （3）延长AD到点M，使AD＝DM，连接BM．∵AD是△ABC中线∴CD＝BD ∵在△ADC和△MDB中∴ ∴BM＝AC（全等三角形的对应边相等）；∠CAD＝∠M（全等三角形的对应角相等） ∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠AFE（等边对等角） ∵∠AFE＝∠BFD，∴∠BFD＝∠M，∴BF＝BM（等角对等边） 又∵BM＝AC，∴AC＝BF． 26．（2024·江苏徐州·模拟预测）（1）阅读理解： 如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围． 可以用如下方法：将绕着点逆时针旋转得到，在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是______； （2）问题解决：如图②，在中，是边上的中点，于点，交于点，交于点，连接，求证：； （3）问题拓展：如图③，在四边形中，，，，以为顶点作一个的角，角的两边分别交、于、两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）见详解；（3），理由见详解 【详解】解：（1）∵ ∴∴ 在中根据三角形三边关系可得出：，即 ∴故答案为：； （2）延长FD至M，使DF=DM，连接BM，EM， 同（1）可得出，∵∴ 在中，∴； （3），理由如下：延长AB至N，使BN=DF，连接CN， ∵∴ ∴∴ ∵∴ ∴（SAS）∴ ∴∴． 27．（24-25八年级上·山东济宁·期中）现阅读下面的材料，然后解答问题： 截长补短法，是初中数学几何题中一种常见辅助线的做法．在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．截长法：在较长的线段上截一条线段等于较短线段，而后再证明剩余的线段与另一段线段相等．补短法：就是延长较短线段与较长线段相等，而后证延长的部分等于另一条线段． 请用截长法解决问题（1）（1）已知：如图1等腰直角三角形中，，是角平分线，交边于点．求证：． 请用补短法解决问题（2）（2）如图2，已知，如图2，在中，，是的角平分线．求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【详解】（1）证明：如图1，在上截取，连接， ∵是角平分线，∴ 在和中∴∴， 又∵是等腰直角三角形，∴，∴是等腰直角三角形， ∴，∴． （2）如图2，延长到，使，连接， ∵是的角平分线，∴ 在和中∴，∴ ∵，，∴，∴，∴． 28．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，点在边上，点在边上，连接、，若，．(1)求证：；(2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析(2) 【详解】（1）证明：，， ，， ，，， 在与中，， ； （2）解：，，， ，． 29．（24-25·广东梅州·七年级校考阶段练习）如图（1）AB＝9cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝7cm，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由； （2）在（1）的前提条件下，判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，并证明；（3）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝50°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）△ACP与△BPQ全等，理由见解析；（2）PC⊥PQ，证明见解析；（3）存在，当t＝1s，x＝2cm/s或t＝s，x＝cm/s时，△ACP与△BPQ全等． 【详解】（1）△ACP与△BPQ全等， 理由如下：当t＝1时，AP＝BQ＝2，则BP＝9﹣2＝7，∴BP＝AC，又∵∠A＝∠B＝90°， 在△ACP和△BPQ中，，∴△ACP≌△BPQ（SAS）； （2）PC⊥PQ，证明：∵△ACP≌△BPQ，∴∠ACP＝∠BPQ， ∴∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°．∴∠CPQ＝90°，即线段PC与线段PQ垂直； （3）①若△ACP≌△BPQ，则AC＝BP，AP＝BQ， ∴9﹣2t＝7，解得，t＝1（s），则x＝2（cm/s）； ②若△ACP≌△BQP，则AC＝BQ，AP＝BP，则2t＝×9， 解得，t＝（s），则x＝7÷＝（cm/s）， 故当t＝1s，x＝2cm/s或t＝s，x＝cm/s时，△ACP与△BPQ全等． 30．（24-25·黑龙江·八年级期末）（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m， CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明∶DE=BD+CE． （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=，其中为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状． 【答案】（1）见解析（2）成立，证明见解析（3）△DEF为等边三角形，证明见解析 【详解】解：（1）证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA＝∠CEA=90°． ∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE=90°．∵∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD． 又AB=AC，∴△ADB≌△CEA（AAS）．∴AE=BD，AD=CE．∴DE=AE+AD=BD+CE； （2）成立．证明如下：∵∠BDA =∠BAC=， ∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=180°-．∴∠DBA=∠CAE． ∵∠BDA=∠AEC=，AB=AC，∴△ADB≌△CEA（AAS）． ∴AE=BD，AD=CE．∴DE=AE+AD=BD+CE； （3）△DEF为等边三角形．理由如下：由（2）知，△ADB≌△CEA，BD=AE，∠DBA =∠CAE， ∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=60°． ∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF．∴∠DBF=∠FAE． ∵BF=AF，∴△DBF≌△EAF（SAS）．∴DF=EF，∠BFD=∠AFE． ∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°．∴△DEF为等边三角形． 31.（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）（1）如图1，与中，，，B、C、E三点在同一直线上，，则___________． （2）如图2，在中，，过点C作，且，求的面积． （3）如图3，四边形中面积为14且的长为7，求的面积． 【答案】（1）5；（2）2；（3） 【详解】解：（1）∵，∴， 在和中，，∴， ∴，∴；故答案为：5； （2）过D作交延长线于E，如图2： ∵，∴，∴， 在和中，，∴， ∴，∴； （3）过A作于E，过B作交延长线于F，如图3： ∵面积为14且的长为7，∴，∴， ∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴， ∵，∴，∴， 在和中，，∴， ∴，∴． 32．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）在中，，，是经过点A的直线，于点D，于点E． (1)如图1，可得______（填“＞”或“＜”或“＝”）； (2)若将绕点A旋转，使与相交于点G，如图2，其他条件不变，探究与的大小关系； (3)在（2）的情况下，若的延长线过的中点F，如图3，连接，过点B作，交于点P．①求证：；②求证：． 【答案】(1)(2)(3)①见解析；②见解析 【详解】（1）证明：如图1， ∵于点D，于点E．∴， ∵，∴ 又∵，∴， 在和中∴∴； （2）解：∵，．∴， ∵，∴，∵，∴， 在和中∴∴； （3）证明：①∵，∴，由（2）得，∴ ∵，∴∴； ②∵，∴，∵F为的中点，∴，∴， ∵，，∴，∵，∴，∴， ∴，∴，∵，∴． 33．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期末）截长补短法在初中数学中有着重要的作用，它主要是用来证线段的和差问题．截长就是在较长的线段上截取一段等于要证的两段较短的线段中的一段．证剩下的那一段等于另外一段较短的线段．已知点O是线段垂直平分线l上的一个动点，以为边作等边，点C在直线的上方且在直线l的右侧，连接交直线l于点D，连接． (1)如图1，点O在线段上，请直接用等式表示线段，，之间的数量关系：______； (2)若点O在线段的上方，连接，且满足．如图2，当时，请探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)(2)，理由见解析 【详解】（1）∵点O是线段垂直平分线l上的一个动点，∴， ∵以为边作等边，∴，， ∴，∴， 当点O在上时，，∴， ∵，∴，∴，， ∴，∴垂直平分，∴，∴；故答案为： （2），理由如下：如图，在上截取，连接， ∵点O是线段垂直平分线l上的一个动点，∴，， 又∵，∴，∴， ∵是等边三角形，∴，，∴，∴， 又∵，∴，∴，， ∴，∴是等边三角形，∴， ∴． 34.（24-25湖北·八年级期末）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分， ．求证：． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由；（3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点D作，垂足为点E，请直接写出线段、、之间的数量关系． 【答案】（1）证明见解析；（2）；理由见解析；（3）． 【详解】解：（1）方法1：在上截，连接，如图． 平分，．在和中，， ，，． ，．．，． 方法2：延长到点，使得，连接，如图．平分，． 在和中，，．，． ，．，，． （2）、、之间的数量关系为：．（或者：，）． 延长到点，使，连接，如图2所示． 由（1）可知，．为等边三角形．，． ，．． ，为等边三角形．，． ，，即． 在和中，，．， ，． （3），，之间的数量关系为：． （或者：，） 解：连接，过点作于，如图3所示． ，．． 在和中，，，，． 在和中，，．， ，． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16.全等三角形中的八类重要模型 本专题包含全等三角形中的八大重要模型，主要有：倍长中线、截长补短、一线三等角（K字型）、手拉手模型、半角模型、对角互补模型、十字架模型、角平分线的全等模型等。通过这些综合训练希望能让大家弄清楚这些模型的适用条件，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 1．（24-25八年级上·河南信阳·阶段练习）已知：如图，在△与△中，°，，、、三点在同一直线上，连接、．以下四个结论：①，②，③，④△≌△，其中正确的个数（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（24-25七年级下·山东泰安·期末）如图，点为线段上一动点（不与点、重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接、，以下结论：①；②为等边三角形；③；④平分；正确的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25·广东深圳·八年级校考期中）如图，点P为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点P旋转的过程中，其两边分别与相交于M、N两点，则以下结论：①恒成立；②的值不变；③四边形的面积不变；其中正确的个数为（　　）    A．3 B．2 C．1 D．0 4.（24-25八年级上·山东·期末）如图，在等边中，在边上取两点、，使．若，，，则以、、为边长的三角形的形状为（　　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随的值而定 5．（24·25·重庆·八年级月考）如图，将一边长为12的正方形纸片的顶点A折叠至边上的点E，使，若折痕为，则的长为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 6．（24-25八年级下·福建三明·期末）如图，点为的平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点旋转的过程中，其两条边分别与，相交于，两点．则以下结论： ①的值不变；②；③的长度不变； ④四边形的面积不变；其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 7．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在“问题解决策略：特殊化”课中，小茗同学拿了两块相同的含的三角尺，即等腰直角和等腰直角做了一个探究活动：将的直角顶点放在的斜边的中点处，设，此时重叠部分四边形的面积为 ． 8．（24-25·成都市·七年级期中）如图，在中，为边的中线，E为上一点，连接并延长交于点F，若，，，则的长为____________． 9．（2024·广东汕头·一模）如图，为了测盘凹档的宽度，把一块等腰直角三角板（，）放置在凹槽内，三个顶点A，B，C分别落在凹槽内壁上，若，测得，，则该凹槽的宽度的长为 ． 10．（2024·四川成都·一模）如图，在中，，点为上一点，过、两点分别作射线的垂线，垂足分别为点，点．若点为中点，，则的长为 ． 11．（24-25八年级下·广东汕头·阶段练习）（1）如图1，在和中，，，，且点D在边上滑动（点D不与点B，C重合），连接．求证：； [拓展延伸] （2）如图2，在四边形中，．若，，求的长； 12．（24-25七年级下·山东淄博·期末）如图在，中，，，，点C，D，E三点在同一条直线上，连接，求证：(1)；(2)试猜想，有何特殊的位置关系，并说明理由． 13．（24-25八年级下·广东河源·期末）问题情境：在学习《图形的平移和旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图（1），点D为等边的边上一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． 【猜想证明】（1）试猜想与的数量关系，并加以证明： 【探究应用】（2）如图（2），点D为等边内一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，若B、D、E三点共线，求证：平分； 【拓展提升】（3）如图（3），若是边长为2的等边三角形，点D是线段上的动点，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接．当点D运动到什么位置时，的周长最小，并求最小值． 14．（24-25八年级上·黑龙江黑河·期末）已知点为平分线上一点，于，于，点，分别是射线，上的点，且． (1)如图①，当点在线段上，点在线段上时，易证得；（要证明） (2)如图②，当点在线段上，点在线段的延长线上时，（1）中结论是否还成立？如果成立，请你证明，如果不成立，请说明理由；(3)在（2）的条件下，直接写出线段，与之间的数量关系______；(4)如图③，当点在线段的延长线上，点在线段上时，若，且，求四边形的面积． 15.（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）如图所示，，P是的中点，且平分，连接．(1)试说明平分；(2)线段与有怎样的位置关系?请说明理由． 16.（24-25八年级上·河南郑州·期末）【模型解读】“半角模型”是指在一个大角中包含着一个大小为其一半的角，通过边与角的特殊关系解决线段长度、角度的相关问题．在解决这类问题时，“截长补短”是一种常用的方法，将分散的线段或角集中在一起，构造全等三角形，从而利用全等三角形的性质来解决问题． 【初步思考】（）如图，在四边形中，，，分别是边上的点，且．求证：． 小文发现此题是证明线段的和（差）问题，联想到近期所学过的转化的问题解决策略，找到证明此类题型的常见方法，于是就有了如下的思考过程：请你在下面的框图中填空帮他补全证明思路． 第一步：延长至点，使，连接，易证， 得出① ，． 第二步：，，得出， 所以，即 ② ． 第三步：易证，得出 ③ ，因为④ ，所以． 【探究迁移】（）如图，由特殊到一般：把（）中变换为，其余条件不变，爱思考的小文发现仍然成立，请你类比上面“延长、证全等”的方法写出证明过程． 【拓展应用】（）如图，四边形是边长为的正方形，，则的周长为 ． 17.（24-25八年级上·黑龙江·期末）已知四边形中，，，，，，绕点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于点、. 当绕点旋转到时（如图1），易证：.（不必证明） (1)当绕点旋转到时，在图2种情况下，求证：. (2)当绕点旋转到时，在图3种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明. 18.（2024·四川绵阳·九年级校联考阶段练习）已知，，是过点的直线，过点作于点，连接． (1)问题发现：如图(1)，过点作，与交于点，、、之间的数量关系是什么？并给予证明．(2)拓展探究：当绕点旋转到如图(2)位置时，、、之间满足怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明． 19．（24-25七年级下·广东佛山·期末）综合与实践：和是两个全等的等腰直角三角形．，．当点落在中点上时，绕着点旋转，、分别与、分别交于点、，令． (1)如图1，若点落在边上，则四边形的面积为 ；(2)如图2，在旋转过程中，求四边形的面积；(3)在旋转过程中，当是等腰三角形时，求的值． 20．（2023·安徽黄山·九年级期中）如图，在中，，，是边上一动点，于．（1）如图（1），若平分时，①求的度数； ②延长交的延长线于点，补全图形，探究与的数量关系，并证明你的结论； （2）如图（2），过点作于点，猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想． 21．（24-25天津市九年级下月考）如图正方形，点、、分别在、、上，与相交于点．如图，当，求证：； 22.（24-25八年级上·广东·阶段练习）【问题背景】如图1，在四边形中，，，，E、F分别是上的点，且，试探究图1中线段之间的数量关系． (1)【初步探索】小亮同学认为：如图1，延长到点G，使，连接，先证明，再证明，则可得到之间的数量关系是 ． (2)【探索延伸】在四边形中如图2，，E、F分别是上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． (3)【结论运用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里/小时的速度前进小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角（）为，试求此时两舰艇之间的距离． 23．（24-25八年级上·福建泉州·开学考试）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1， 中，若 ，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使 ，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是 ． A．         B．            C．              D． （2）求得的取值范围是 ． A．   B．      C．     D． 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】（3）如图2，是 的中线，交于E，交于F，且 ，求证： ． 24．（2024·河北·中考模拟预测）倍长中线的思想在丁倍长某条线段（被延长的线段要满足两个条件：线段一个端点是图中一条线段的中点；线段与这条线段不共线)，然后进行连接，构造三角形全等，再进一步将某些线段进行等量代换，再证明全等或其他的结论，从而解决问题． 【应用举例】如图（1），已知：为的中线，求证：． 简证：如图（2），延长到，使得，连接，易证，得 ，在中， ，． 【问题解决】（1）如图（3），在中，是边上的中线，是上一点，且，延长交于，求证：．（2）如图（4），在中，是边的中点，分别在边上，，若，求的长．（3）如图（5），是的中线，，且，请直接写出与的数量关系_ 及位置关系_ ． 25．（24-25·成都市·八年级课时练习）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图，延长AD到点E，使DE＝AD，连结BE．请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到的理由是（    ）． A．SSS    B．SAS    C．AAS    D．ASA (2)AD的取值范围是（    ）． A．    B．    C．    D． (3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【问题解决】如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF． 26．（2024·江苏徐州·模拟预测）（1）阅读理解： 如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围． 可以用如下方法：将绕着点逆时针旋转得到，在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是______； （2）问题解决：如图②，在中，是边上的中点，于点，交于点，交于点，连接，求证：； （3）问题拓展：如图③，在四边形中，，，，以为顶点作一个的角，角的两边分别交、于、两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并说明理由． 27．（24-25八年级上·山东济宁·期中）现阅读下面的材料，然后解答问题： 截长补短法，是初中数学几何题中一种常见辅助线的做法．在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．截长法：在较长的线段上截一条线段等于较短线段，而后再证明剩余的线段与另一段线段相等．补短法：就是延长较短线段与较长线段相等，而后证延长的部分等于另一条线段． 请用截长法解决问题（1）（1）已知：如图1等腰直角三角形中，，是角平分线，交边于点．求证：． 请用补短法解决问题（2）（2）如图2，已知，如图2，在中，，是的角平分线．求证：． 28．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，点在边上，点在边上，连接、，若，．(1)求证：；(2)若，，求的长． 29．（24-25·广东梅州·七年级校考阶段练习）如图（1）AB＝9cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝7cm，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由； （2）在（1）的前提条件下，判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，并证明；（3）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝50°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 30．（24-25·黑龙江·八年级期末）（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m， CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明∶DE=BD+CE． （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=，其中为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状． 31.（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）（1）如图1，与中，，，B、C、E三点在同一直线上，，则___________． （2）如图2，在中，，过点C作，且，求的面积． （3）如图3，四边形中面积为14且的长为7，求的面积． 32．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）在中，，，是经过点A的直线，于点D，于点E． (1)如图1，可得______（填“＞”或“＜”或“＝”）； (2)若将绕点A旋转，使与相交于点G，如图2，其他条件不变，探究与的大小关系； (3)在（2）的情况下，若的延长线过的中点F，如图3，连接，过点B作，交于点P．①求证：；②求证：． 33．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期末）截长补短法在初中数学中有着重要的作用，它主要是用来证线段的和差问题．截长就是在较长的线段上截取一段等于要证的两段较短的线段中的一段．证剩下的那一段等于另外一段较短的线段．已知点O是线段垂直平分线l上的一个动点，以为边作等边，点C在直线的上方且在直线l的右侧，连接交直线l于点D，连接． (1)如图1，点O在线段上，请直接用等式表示线段，，之间的数量关系：______； (2)若点O在线段的上方，连接，且满足．如图2，当时，请探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 34.（24-25湖北·八年级期末）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分， ．求证：． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由；（3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点D作，垂足为点E，请直接写出线段、、之间的数量关系． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $