专题17 特殊三角形及勾股定理中的十二类模型（几何模型讲义）数学华东师大版2024八年级上册

专题17.特殊三角形及勾股定理中的十二类模型 本专题包含特殊三角形及勾股定理中的十二类重要模型，主要有：维维尼亚模型、帽子模型（长短手模型）、等边截等长模型（定角模型）、角平分线第二定理模型、等直内接等直模型、等直+高分模型、奔驰模型、中点模型、翻折模型、赵爽弦图模型、勾股树模型、空间最短路径模型、将军饮马模型等模型等。通过这些综合训练希望能让大家弄清楚这些模型的适用条件，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 1.（2024·福建厦门·二模）出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．主要内容为“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”．如图，在等腰中，，，点为边上一动点，过作，，则根据出入相补原理，我们可发现，一定为定值，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接，过作于， 等腰，，，， ，； ，，，，故选：C． 2.（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在边长为10的等边中，点M在边的延长线上，点N在边上，且，若，则的长为（   ）     A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】过M点作于D点，则， ∵是等边三角形，，，， ，，中，，， ，．故选：B 3．（24-25八年级上·河南安阳·期中）如图，在中，，平分，于点E，于点D，且与交于点H，于点F，且与交于点G．则下面的结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号有（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】B 【详解】解：①∵，∴， ∵，∴，∴，∵，∴，∴①正确； ②∵，，∴， ∴，∴，∴②正确； ③过H作于I，∵平分，，∴， ∵，∴，∴③不正确； ④如图，连接，∵，平分，∴， ∵垂直平分，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴∴④正确． ∴正确的有：①②④．故选：B． 4.（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形与一个小正方形无缝隙地铺成一个大正方形，已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，用，表示直角三角形的两直角边，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题和勾股定理知，，，故A项错误，不符合题意； ，，解得，故B项正确，符合题意； 有，故C项错误，不符合题意； ，，表示直角三角形的两直角边， ，，故D项错误，不符合题意；故选：B． 5.（24-25八年级上·福建三明·期中）如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，.若，则的值是（    ） A．20 B．24 C．30 D．36 【答案】A 【详解】解：设，，，由题意，可知：． 由图可知：，，． 因为，所以， 即，则，所以．故选：A． 6.（24-25·八年级上·山东枣庄·期中）有一个边长为1的正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上长出两个小正方形，其中，三个正方形的三条边围成的三角形是直角三角形，再经过1次这样的“生长”后，变成了如图1所示的图形．如果照此规律继续“生长”下去，它将变成如图2所示的“枝繁叶茂的勾股树”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有正方形的面积和是（   ）． A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】C 【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1，    ∵三个正方形的三条边围成的三角形是直角三角形， ∴由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和等于第1次“生长”出的两个正方形面积， ∴2次后形成的图形中所有的正方形的面积和， ∴ “生长”了n次后形成的图形中所有的正方形的面积和为， ∴“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2026，故选：C． 7.（24-25八年级下·湖北十堰·期末）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则该蚂蚁要吃到饭粒需爬行的最短路径长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图：将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离， ∵高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒， 此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点A处， ∴，，，∴． 故选：C． 8.（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，点是等边三角形内一点，，，是由绕点逆时针旋转得到的，则的度数是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：连接，如图： ∵是等边三角形，∴，， ∴， 由旋转的性质可得， ∴，即，∴是等边三角形，∴，， ∵，∴ ∴， ∴是等腰直角三角形，∴，∴， ∵，∴，∴，故选：A. 9.（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图，在正方形外取一点E，连接，，，过点作的垂线交于点P，若，则下列结论：①；②；③点C到直线的距离为；④其中结论正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：四边形为正方形，，， ，，， ，，故①正确； ，，， ， ，，故②正确； 过点作的延长线于点，如图所示， ，，， ，，， ，， ，，，故③错误； ，，，， ，故④正确；综上所述，正确的有个，故选：C． 10．（24-25七年级下·江西景德镇·期末）如图，过内一点P作三边垂线，垂足分别为D，E，F，已知，，，．则 ． 【答案】9 【详解】解：如图，连接，，， 设．，．则，，． 在和中，， 即①，同理可得②，③， ①②③，得：，， ，，故答案为：9． 11.（24-25八年级上·浙江·专题练习）如图，已知，为的中点，若，，则 ． 【答案】 【详解】解：，，， 为的中点，， 在和中，，， ，，故答案为：． 12.（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当取最小值时，若，则此时的长为 ．    【答案】 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，，，    当，，三点共线，且时，此时的值最小，即的值最小， 是等边三角形，，，，， ，，，，， 解得：，，故答案为：． 13.（24-25八年级上·广东佛山·期末）如图，在中，，，，是是的平分线，是线段上一点，是线段上一点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，作关于的对称点，∴， ∵是是的平分线，∴在上，，∴， 当时，取得最小值，过点作于点，则的长，即为的最小值， ∵在中，，，，∴， ∵，∴，故答案为：． 14.（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，，的周长为18．若点在直线上，连接、，则 ，的最大值为 ． 【答案】 8 8 【详解】解：∵的垂直平分线交于点F，交于点E，∴， ∵的周长是18，，∴的周长， 点P在直线上，如图，连接，    ∵点P在的垂直平分线上，∴，∴， 故的最大值为8，此时点P是直线与直线的交点．故答案为：8，8． 15.（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，中，分别是边上的动点，则的和的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：如图，作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，． ，，，，， ，，，，、、共线， ，， 当、、、共线时，且时，的值最小，最小值为， ，，， 的最小值为．故答案为：． 16．（24-25·和平区·八年级期末）如图，，点M，N分别是边，上的定点，点P，Q分别是边，上的动点，记，，当的值最小时，的大小=___（度）． 【答案】50 【详解】作M关于OB的对称点，N关于OA的对称点，连接，交OB于点P，交OA于点Q，连接MP，QN，如图所示．根据两点之间，线段最短，可知此时最小，即， ∴， ∵，∴， ∵，，∴ ， ∴ ．故答案为：50． 17.（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，在等腰直角三角形中，，，点D是的中点，E，F分别在边与边上运动，且满足，；当点E运动到与点C的距离为1时，则的面积为 ．    【答案】 【详解】∵，，点D是的中点，，， ∴，，，，，    ∴，过点D作于点G，作于点H， ∴， ∴．故答案为：． 18.（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如图，矩形中，，点E是边上一点，连接，把沿折叠，使点B落在点处．当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】3或6 【详解】解：当为直角三角形时，由两种情况：情况一：当 时，图形如下， ∵是折叠得到，∴，∵，∴点三点共线， ∵，∴，∴ ， 设，则，在中有， 即，解得：，∴； 情况二：当 时，图形如下，此时 为正方形，∴ ； 综上所述， 的长为3或6；故答案为：3或6． 19.（25-26九年级上·河北石家庄·开学考试）如图，在矩形纸片中，，将矩形纸片折叠，使点与点重合，点折叠至点处，则的面积为 ． 【答案】 【详解】解：∵在矩形纸片中，，，设，则， 将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A折叠至点E处， ∴，，， 在中，即解得． ∴的面积为：故答案为． 20.（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，在中，，，，为边上一点，将沿翻折，点的对应点恰好落在边上，则的长度是 ． 【答案】 【详解】解：由折叠性质可知，，，， ∵，，∴，， ∴，，∴垂直平分，，∴， 在中，由勾股定理得，，∴， ∴，∴，故答案为：． 21.(24-25八年级上·山东青岛·开学考试）如图，有一个长方体的长15，宽为20，高为25，如果一只蚂蚁要沿长方体的表面从A点爬到B点，设爬行的最短路程的长是x，则是 ． 【答案】 【详解】解：设定字母如图所示： ①如图，展开后连接，则就是在表面上从A到B的最短距离， 在中，由勾股定理得：； ②如图2，展开后连接，则就是在表面上从A到B的最短距离， 在中，由勾股定理得：； ③如图，展开后连接，则就是在表面上A到B的最短距离， 在中，由勾股定理得：． ∵，爬行的最短路程的长的平方为．故答案为：． 22.（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在四边形中，是对角线，是等边三角形．，，则的长为 ． 【答案】3.2 【详解】解：是等边三角形 如图，将绕点顺时针旋转，点为点的对应点，连接 点为点旋转后的对应点；由旋转的性质得：， 是等边三角形 则在中故答案为：3.2 23.（2025八年级上·山东·专题练习）如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成长方体去掉一个“半圆柱”，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘，点E在上，．一名滑板爱好者从点A滑到点E，求他滑行的最短距离（边缘部分的厚度忽略不计） 【答案】 【详解】解：如图所示的是滑行部分的平面展开图． 由题意，得，所以． 在中，，所以．故他滑行的最短距离为． 24．（24-25七年级下·上海·期中）已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边的AB、AC、BC的距离分别是h1，h2，h3，△ABC的高为h，请你探索以下问题： （1）若点P在一边BC上（图（1）），此时h3=0，问h1、h2与h之间有怎样的数量关系?请说明理由； （2）若当点P在△ABC内（图（2）），此时h1、h2、h3与h之间有怎样的数量关系?请说明理由； （3）若点P在△ABC外（图（3）），此时h1、h2、h3与h之间有怎样的数量关系___．（请直接写出你的猜想，不需要说明理由．） 【答案】（1）h=h1+h2，理由见解析；（2）h=h1+h2+h3，理由见解析；（3）h=h1+h2−h3 【详解】（1）h=h1+h2，理由如下：连接AP，则 S△ABC=S△ABP+S△APC ∴BC⋅AM=AB⋅PD+AC⋅PF即BC⋅h=AB⋅h1+AC⋅h2 又∵△ABC是等边三角形∴BC=AB=AC，∴h=h1+h2． （2）h=h1+h2+h3，理由如下：连接AP、BP、CP，则S△ABC=S△ABP+S△BPC+S△ACP ∴BC⋅AM=AB⋅PD+AC⋅PF+BC⋅PE即BC⋅h=AB⋅h1+AC⋅h2+BC⋅h3 又∵△ABC是等边三角形，∴BC=AB=AC．∴h=h1+h2+h3． （3）h=h1+h2−h3．当点P在△ABC外时，结论h1+h2+h3=h不成立．此时，它们的关系是h1+h2−h3=h． 理由如下：连接PB，PC，PA ,由三角形的面积公式得：S△ABC=S△PAB+S△PAC−S△PBC， 即BC⋅AM=AB⋅PD+AC⋅PE−BC⋅PF， ∵AB=BC=AC，∴h1+h2−h3=h，即h1+h2−h3=h． 25．（24-25河北石家庄八年级上期中）【解决问题】如图1，在中，，于点．点是边上任意一点，过点作，，垂足分别为点，点． （1）若，，则的面积是______，______． （2）猜想线段，，的数量关系，并说明理由． （3）【变式探究】如图2，在中，若，点是内任意一点，且，，，垂足分别为点，点，点，求的值． （4）【拓展延伸】如图3，将长方形沿折叠，使点落在点上，点落在点处，点为折痕上的任意一点，过点作，，垂足分别为点，点．若，，直接写出的值． 【答案】（1）15，8；（2），见解析；（3）；（4）4 【详解】解：（1）∵，，，∴的面积， ∵，，，且，∴， ∵，∴.故答案为：15，8. （2）∵，，，且，∴， ∵，∴. （3）连接、、，作于，如图2所示： ∵，∴是等边三角形，∵，∴， ∴，∴的面积， ∵，，，∴的面积的面积的面积的面积 ，∴. （4）过点作，垂足为，如图3所示： ∵四边形是矩形，∴，， ∵，，∴， 由折叠可得：，， ∵，∴， ∵，，∴， ∴四边形是矩形，∴，∵，∴， ∵，∴，∴， 由解决问题（1）可得：，∴，即的值为4. 26．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图，是等边三角形，D、E分别是的边上的点，且，与相交于点P，于点F． (1)求证：；(2)求的度数；(3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析(2)(3) 【详解】（1）证明：∵是等边三角形，∴，， 在和中，，∴，∴； （2）解：∵，∴， ∵，∴； （3）解：∵，，∴．∴， ∵，∴，∴． 27.（25-26九年级上·江西南昌·开学考试）如图，点分别是等边三角形边上的点，且，与交于点.求证：． 【答案】见解析 【详解】证明∶∵是等边三角形，∴，， 又，∴，∴． 28．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF=EF，BD=CE，过D作DG∥AC交BC于G． 求证：（1）△GDF≌△CEF；（2）判断△ABC的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）△ABC是等腰三角形．理由见解析． 【详解】证明：（1）∵DG∥AC∴∠GDF＝∠CEF（两直线平行，内错角相等）， 在△GDF和△CEF中，∴△GDF≌△CEF（ASA）； （2）由（1）△GDF≌△CEF得DG＝CE;又∵BD＝CE，∴BD＝DG，∴∠DBG＝∠DGB， ∵DG∥AC，∴∠DGB＝∠ACB，∴∠ABC＝∠ACB，∴△ABC是等腰三角形． 29.（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，的角平分线与的垂直平分线相交于点D，，，垂足分别为E、F．(1)求证：；(2)若，求的周长． 【答案】(1)见解析(2)的周长为11． 【详解】（1）证明：连接， ∵D在的中垂线上，∴，∵，，平分， ∴，，∴，∴； （2）解：∵平分，∴，∵，，∴， 又∵，∴，∴，由（1）可知， ∴的周长为：． 30．（24-25八年级上·山东滨州·期末）如图所示，直线交轴于点，交轴于点满足．(1)求点、的坐标；(2)如图1，若的坐标为，且于点交于点．①求证：．②试求点的坐标．(3)如图2，若点为的中点，点为轴正半轴上一动点，连接，过作交轴于点，当点在轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为 (2)①见解析；②(3)的值不发生改变，等于4 【详解】（1）解：； ；点的坐标为，点的坐标为； （2）①证明：点的坐标为，点的坐标为，， ，，，，， 在和中，，； ②解：，，点的坐标为； （3）解：的值不发生改变，等于4，理由如下：如图，连接， 为的中点，，， ，，，， 在与中，，， ． 31．（24-25八年级上·四川成都·期末）已知中，，，直角的顶点为斜边上的一个动点，直角的两边分别交线段、于、两点． 图1                图2                 图3 (1)如图1，当，且时，求的长度； (2)如图2，当时，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，将直角绕点旋转，点是的中点，连接，过一点作，垂足为，交于；当线段最短时，求三角形的面积． 【答案】(1)；(2)见解析；(3)． 【详解】（1）解：∵，，∴，， ∵，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴即，解得； （2）证明∶连接，如图．∵，， ∴，，，∴， ∵，∴， 在和中，∴，∴； （3）解：由（）知，∵D是中点，∴， ∴当时，线段最短，∵，，∴四边形是矩形， ∵，∴四边形是正方形，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴， ∴，∴． 32．（24-25八年级下·湖北恩施·期中）实践活动 活动背景 我校结合校园内丰富的树木资源，坚持立德树人育人理念，着力打造学校“树惠文化”品牌，以培养学生扎根、向上的品质，逐步形成初一深扎知识土壤，培育基础和品德的“树根文化”，初二淬炼生命筋骨，注重承上启下、塑造责任与担当的“树干文化”，初三舒展理想苍穹，拼搏理想和勇争第一的“树冠文化”，八年级部分学生在学习勾股定理后，对“勾股树”产生了浓厚的兴趣，他们组建了兴趣小组并展开相关探究活动． 素材1 毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的树形图形（图中三角形均为直角三角形，四边形均为正方形）．因为重复数次后的形状好似一棵树，所以被称为毕达哥拉斯树（勾股树）． 素材2 经过学生兴趣小组讨论，对图形作出改变，制定了如下规则： 1．画出不同类型三角形形成的树形图；2．所画的基础三角形周长为8cm，其中一条边长固定为2cm． 根据规则，三位同学分别画出了如下不同类型的树形图并进行探究． 解决问题 任务一 指导老师就图2，提出问题：你能找出“树根”面积（）、“树干”面积和（）的关系，请直接写出答案：_______． 任务二 图4中小明画出了锐角，则_______． 任务三 图5小金画出了直角，计算的值，写出过程． 任务四 图6小林画出了钝角，，则_______． 活动小结 综合以上三位同学的图形以及结果，小组成员大胆猜想结论：周长一定的情况下，由______（填锐角、直角或钝角）三角形形成的图形总面积最大． 【答案】任务一：；任务二：；任务三：，过程见解析；任务四：；结论：钝角 【详解】解：任务一：如图， ∵是直角三角形，，∴， 又，，，∴，故答案为：； 任务二：由题意，，，，， ，故答案为：； 任务三：由题意可知，①， ，，，即，②， 联立①②得：，则． 任务四：如图，过点作，交延长线于点， ∵，∴， 设，则，，， ，在中，，即，解得， ，则，故答案为：． 结论：组成员大胆猜想结论：周长一定的情况下，由钝角三角形形成的总面积最大．证明如下： 在任务一中，，在任务二中，， 在任务三中，，， ∴周长一定的情况下，由钝角三角形形成的总面积最大．故答案为：钝角． 33.（24-25八年级上·湖北荆州·阶段练习）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】某兴趣小组从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三直角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F．求证：； 【问题提出】（2）如图3，改变直线的位置，其余条件与（1）相同，若，，求的面积；（3）如图4，四边形中，，的面积为20，且的长为8，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【详解】解：（1）由题意得，，，∴，， ∵，∴，∴， 在和中，，∴（AAS）， ∴，，∴； （2）同（1）可证，∴，，∴， ∵，∴，∴，，∴的面积为； （3）过点A作于F，过点B作交DC的延长线于E， ∵的面积为20，∴，∴， ∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴， 同（1）可证，∴，∴的面积为． 34．（24-25八年级下·江西赣州·阶段练习）一数学兴趣小组探究勾股定理在折叠中的应用，如图，将一张长方形纸片放在平面直角坐标系中，点A与原点O重合，顶点B、D分别在x轴、y轴上，，，P为边上一动点，连接，将沿折叠，点C落在点处． (1)如图1，连接，当点在线段上时，求点P的坐标． (2)如图2，当点P与点D重合时，沿将折叠得，与x轴交于点E，求的面积． (3)是否存在点P，使得点到长方形的两条较长边的距离之比为？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点P的坐标为(2)(3)点P的坐标为或 【详解】（1）∵，，∴ ∵将沿折叠，点C落在点处∴，， ∴设，则 ∴在中，∴解得 ∴∴∴点P的坐标为； （2）∵∴ ∵沿将折叠得，∴∴∴ 设，则∴在中， ∴解得∴∴的面积； （3）如图所示，过点C作交于点E，交于点F， ∵，∴∴四边形是长方形∴ 当时，∴，由折叠得， ∴∴∴设，则 ∴在中，∴ 解得∴ ∴∴点P的坐标为； 当时，∴，由折叠得， ∴∴∴设，则 ∴在中，∴解得∴ ∴∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 35．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论． 已知AD是的内角平分线．求证：． [初步探究]小慧的证明思路是：如图，过点C作，交的延长线于点E，……就可以运用所学知识予以证明．请你沿着小慧提供的思路写出下面的证明过程； [类比研究]小慧类比上面的研究思路继续学习，如图，已知是的一个内角相邻的外角平分线，又会得到类似的一个什么结论呢？请你写出这个结论，并予以证明； [应用拓展]如图，在中，，D是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点C恰好落在边上的点处．若，，则的长为____________． 【答案】[初步探究]见解析；[类比研究]见解析；[应用拓展] 【详解】[初步探究]证明：，， 是的角平分线 ， [类比研究]过点C作，交于点E， 证明：，， 是的角平分线 ， [应用拓展]在中，，，，， 由折叠性质可知：，， 由探究可知：， ． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题17.特殊三角形及勾股定理中的十二类模型 本专题包含特殊三角形及勾股定理中的十二类重要模型，主要有：维维尼亚模型、帽子模型（长短手模型）、等边截等长模型（定角模型）、角平分线第二定理模型、等直内接等直模型、等直+高分模型、奔驰模型、中点模型、翻折模型、赵爽弦图模型、勾股树模型、空间最短路径模型、将军饮马模型等模型等。通过这些综合训练希望能让大家弄清楚这些模型的适用条件，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 1.（2024·福建厦门·二模）出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．主要内容为“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”．如图，在等腰中，，，点为边上一动点，过作，，则根据出入相补原理，我们可发现，一定为定值，则（    ） A． B． C． D． 2.（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在边长为10的等边中，点M在边的延长线上，点N在边上，且，若，则的长为（   ）     A．3 B．4 C．5 D．6 3．（24-25八年级上·河南安阳·期中）如图，在中，，平分，于点E，于点D，且与交于点H，于点F，且与交于点G．则下面的结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号有（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 4.（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形与一个小正方形无缝隙地铺成一个大正方形，已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，用，表示直角三角形的两直角边，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 5.（24-25八年级上·福建三明·期中）如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，.若，则的值是（    ） A．20 B．24 C．30 D．36 6.（24-25·八年级上·山东枣庄·期中）有一个边长为1的正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上长出两个小正方形，其中，三个正方形的三条边围成的三角形是直角三角形，再经过1次这样的“生长”后，变成了如图1所示的图形．如果照此规律继续“生长”下去，它将变成如图2所示的“枝繁叶茂的勾股树”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有正方形的面积和是（   ）． A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 7.（24-25八年级下·湖北十堰·期末）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则该蚂蚁要吃到饭粒需爬行的最短路径长是（    ） A． B． C． D． 8.（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，点是等边三角形内一点，，，是由绕点逆时针旋转得到的，则的度数是（      ） A． B． C． D． 9.（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图，在正方形外取一点E，连接，，，过点作的垂线交于点P，若，则下列结论：①；②；③点C到直线的距离为；④其中结论正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（24-25七年级下·江西景德镇·期末）如图，过内一点P作三边垂线，垂足分别为D，E，F，已知，，，．则 ． 11.（24-25八年级上·浙江·专题练习）如图，已知，为的中点，若，，则 ． 12.（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当取最小值时，若，则此时的长为 ．    13.（24-25八年级上·广东佛山·期末）如图，在中，，，，是是的平分线，是线段上一点，是线段上一点，则的最小值为 ． 14.（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，，的周长为18．若点在直线上，连接、，则 ，的最大值为 ． 15.（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，中，分别是边上的动点，则的和的最小值是 ． 16．（24-25·和平区·八年级期末）如图，，点M，N分别是边，上的定点，点P，Q分别是边，上的动点，记，，当的值最小时，的大小=___（度）． 17.（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，在等腰直角三角形中，，，点D是的中点，E，F分别在边与边上运动，且满足，；当点E运动到与点C的距离为1时，则的面积为 ．    18.（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如图，矩形中，，点E是边上一点，连接，把沿折叠，使点B落在点处．当为直角三角形时，的长为 ． 19.（25-26九年级上·河北石家庄·开学考试）如图，在矩形纸片中，，将矩形纸片折叠，使点与点重合，点折叠至点处，则的面积为 ． 20.（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，在中，，，，为边上一点，将沿翻折，点的对应点恰好落在边上，则的长度是 ． 21.(24-25八年级上·山东青岛·开学考试）如图，有一个长方体的长15，宽为20，高为25，如果一只蚂蚁要沿长方体的表面从A点爬到B点，设爬行的最短路程的长是x，则是 ． 22.（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在四边形中，是对角线，是等边三角形．，，则的长为 ． 23.（2025八年级上·山东·专题练习）如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成长方体去掉一个“半圆柱”，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘，点E在上，．一名滑板爱好者从点A滑到点E，求他滑行的最短距离（边缘部分的厚度忽略不计） 24．（24-25七年级下·上海·期中）已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边的AB、AC、BC的距离分别是h1，h2，h3，△ABC的高为h，请你探索以下问题： （1）若点P在一边BC上（图（1）），此时h3=0，问h1、h2与h之间有怎样的数量关系?请说明理由； （2）若当点P在△ABC内（图（2）），此时h1、h2、h3与h之间有怎样的数量关系?请说明理由； （3）若点P在△ABC外（图（3）），此时h1、h2、h3与h之间有怎样的数量关系___．（请直接写出你的猜想，不需要说明理由．） 25．（24-25河北石家庄八年级上期中）【解决问题】如图1，在中，，于点．点是边上任意一点，过点作，，垂足分别为点，点． （1）若，，则的面积是______，______． （2）猜想线段，，的数量关系，并说明理由． （3）【变式探究】如图2，在中，若，点是内任意一点，且，，，垂足分别为点，点，点，求的值． （4）【拓展延伸】如图3，将长方形沿折叠，使点落在点上，点落在点处，点为折痕上的任意一点，过点作，，垂足分别为点，点．若，，直接写出的值． 26．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图，是等边三角形，D、E分别是的边上的点，且，与相交于点P，于点F． (1)求证：；(2)求的度数；(3)若，，求的长． 27.（25-26九年级上·江西南昌·开学考试）如图，点分别是等边三角形边上的点，且，与交于点.求证：． 28．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF=EF，BD=CE，过D作DG∥AC交BC于G． 求证：（1）△GDF≌△CEF；（2）判断△ABC的形状，并说明理由． 29.（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，的角平分线与的垂直平分线相交于点D，，，垂足分别为E、F．(1)求证：；(2)若，求的周长． 30．（24-25八年级上·山东滨州·期末）如图所示，直线交轴于点，交轴于点满足．(1)求点、的坐标；(2)如图1，若的坐标为，且于点交于点．①求证：．②试求点的坐标．(3)如图2，若点为的中点，点为轴正半轴上一动点，连接，过作交轴于点，当点在轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 31．（24-25八年级上·四川成都·期末）已知中，，，直角的顶点为斜边上的一个动点，直角的两边分别交线段、于、两点． 图1                图2                 图3 (1)如图1，当，且时，求的长度； (2)如图2，当时，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，将直角绕点旋转，点是的中点，连接，过一点作，垂足为，交于；当线段最短时，求三角形的面积． 32．（24-25八年级下·湖北恩施·期中）实践活动 活动背景 我校结合校园内丰富的树木资源，坚持立德树人育人理念，着力打造学校“树惠文化”品牌，以培养学生扎根、向上的品质，逐步形成初一深扎知识土壤，培育基础和品德的“树根文化”，初二淬炼生命筋骨，注重承上启下、塑造责任与担当的“树干文化”，初三舒展理想苍穹，拼搏理想和勇争第一的“树冠文化”，八年级部分学生在学习勾股定理后，对“勾股树”产生了浓厚的兴趣，他们组建了兴趣小组并展开相关探究活动． 素材1 毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的树形图形（图中三角形均为直角三角形，四边形均为正方形）．因为重复数次后的形状好似一棵树，所以被称为毕达哥拉斯树（勾股树）． 素材2 经过学生兴趣小组讨论，对图形作出改变，制定了如下规则： 1．画出不同类型三角形形成的树形图；2．所画的基础三角形周长为8cm，其中一条边长固定为2cm． 根据规则，三位同学分别画出了如下不同类型的树形图并进行探究． 解决问题 任务一 指导老师就图2，提出问题：你能找出“树根”面积（）、“树干”面积和（）的关系，请直接写出答案：_______． 任务二 图4中小明画出了锐角，则_______． 任务三 图5小金画出了直角，计算的值，写出过程． 任务四 图6小林画出了钝角，，则_______． 活动小结 综合以上三位同学的图形以及结果，小组成员大胆猜想结论：周长一定的情况下，由______（填锐角、直角或钝角）三角形形成的图形总面积最大． 33.（24-25八年级上·湖北荆州·阶段练习）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】某兴趣小组从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三直角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F．求证：； 【问题提出】（2）如图3，改变直线的位置，其余条件与（1）相同，若，，求的面积；（3）如图4，四边形中，，的面积为20，且的长为8，求的面积． 34．（24-25八年级下·江西赣州·阶段练习）一数学兴趣小组探究勾股定理在折叠中的应用，如图，将一张长方形纸片放在平面直角坐标系中，点A与原点O重合，顶点B、D分别在x轴、y轴上，，，P为边上一动点，连接，将沿折叠，点C落在点处． (1)如图1，连接，当点在线段上时，求点P的坐标． (2)如图2，当点P与点D重合时，沿将折叠得，与x轴交于点E，求的面积． (3)是否存在点P，使得点到长方形的两条较长边的距离之比为？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 35．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论． 已知AD是的内角平分线．求证：． [初步探究]小慧的证明思路是：如图，过点C作，交的延长线于点E，……就可以运用所学知识予以证明．请你沿着小慧提供的思路写出下面的证明过程； [类比研究]小慧类比上面的研究思路继续学习，如图，已知是的一个内角相邻的外角平分线，又会得到类似的一个什么结论呢？请你写出这个结论，并予以证明； [应用拓展]如图，在中，，D是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点C恰好落在边上的点处．若，，则的长为____________． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $