专题14 等腰（等边）三角形中重要模型之长短手模型与等边截等长模型（几何模型讲义）数学苏科版2024八年级上册

专题14 等腰（等边）三角形中重要模型之长短手模型与等边截等长模型 等腰（等边）三角形是中学阶段非常重要三角形，具有许多独特的性质和判定定理。各类考试的常客，并且形式多样，内容新颖，能较好地考查同学们的相关能力。本专题将把等腰三角形的几类重要模型作系统的归纳与介绍，方便大家对它有个全面的了解与掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1.帽子模型（长短手模型） 5 模型2.等边截等长模型（定角模型） 10 模型3.等边内接等边模型 13 16 帽子模型（长短手模型）与等边截等长模型、等边内接等边模型是初中几何中源于等腰三角形和等边三角形特性衍生的经典解题模型，其核心思想通过对称性、全等变换及线段比例关系简化复杂几何问题。‌ 两种模型均强调对称性与全等变换：帽子模型侧重等腰三角形的“长短手”对称‌，等边截等长模型与等边内接等边模型则利用等边三角形的旋转特性‌。在初中几何教学中，二者常结合“等边内接等边模型”综合训练学生的空间思维。 （24-25八年级上·湖北荆门·期中）如图，中，，点从点出发沿线段移动（点不与，重合），同时，点从点出发沿线段的延长线移动，已知点、移动的速度相同，与直线相交于点．(1)求证：；(2)过点作直线的垂线，垂足为，、在移动过程中，线段中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由． （24-25八年级上·重庆·期末）如图，在等边三角形中，，分别在边，上，且，与交于点，，垂足为点.下列结论：①；②；③是等腰三角形；④，其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 （24-25八年级上·江苏·期中）如图，点，，分别在等边的各边上，且于点，于点，于点．（1）求证：是等边三角形；（2）若，求的长． 1）帽子模型（长短手模型） 条件：如图，已知AB=AC，BD=CE，DG⊥BC于G，结论：①DF=FE；②。 证明：如图，过点D作交于H，则，， ∵，∴，∴，∴，∵，∴， 在和中,，∴，∴； ∵，∴，∵，，∴， ∴，∴． 2）等边截等长模型（定角模型） 条件：如图，在等边中，点，分别在边，上，且，与相交于点，于点．结论：①；②AD=BE；③；④BQ=2PQ。 证明：在等边三角形中，，， 在和中，，，∴AD=BE，∠CAD=∠ABE； ． ，，∴BQ=2PQ． 3）等边内接等边模型 图1 图2 1）等边内接等边（截取型） 条件：如图1，等边三角形ABC中，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上运动，且满足AD=BE=CF； 结论：三角形DEF也是等边三角形。 证明：∵是等边三角形，∴，． ∵，∴． 在和中，∴（）， ∴．同理，∴，∴是等边三角形． 2）等边内接等边（垂线型） 条件：如图，点、、分别在等边的各边上，且于点，于点，于点，结论：三角形DEF也是等边三角形。 证明：是等边三角形，， ，，，， ，，是等边三角形， 模型1.帽子模型（长短手模型） 例1（25-26八年级上·山东·期中）如图，等边三角形的边长为12，为边上一动点，为延长线上一动点，交于点，点为中点．若，则 ． 例2（25-26八年级上·吉林四平·阶段练习）如图，在中，．点从点出发沿线段运动，同时点从点出发沿线段的延长线运动，点、运动的速度相同，与直线相交于点．过点作交于点，且． (1)求证：；(2)过点作交于点，且．在点从点向点运动的过程中，线段的长度是否保持不变？若保持不变，请求出的长度，若改变，请说明如何变化． 例3（24-25八年级上·重庆南川·期末）在中，，点是边上的两点． (1)如图1，若，点在边上，点在的延长线上，且，连接交于点，过点作交于点，求的值；(2)如图2，若，点在的延长线上，连接，，，且，，求证：；(3)如图3，连接，，若，且，平分，，的面积为30，点分别是线段上的动点，连接，直接写出的最小值． 例4（2025·河南·模拟预测）综合与实践 【问题初探】(1)数学课上，李老师展示了这样一个问题：“如图，在中，，点是边上一点，点是延长线上的一点，连接交于点，若，求证：．” 如图，小乐同学从中点的角度，给出了一种解题思路：在线段上截取，使，连接，利用两个三角形全等和已知条件，可完成证明； 如图，小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路：过点作，交的延长线于点，利用两个三角形全等和已知条件，可完成证明． 请你选择一位同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】(2)李老师发现以上两位同学的做法非常巧妙，为了让同学们更好地理解这种转化的思想方法，李老师提出了新的问题，请你解答． 如图，在中，点在边上，是的中点，连接，，与相交于点，若，求证：． 【学以致用】(3)如图，在中，，，平分，点在的延长线上，过点作，交于点，交于点，且，若，请直接写出的长度． 模型2.等边截等长模型（定角模型） 例1（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别是BC、AC边上的两点，其中BD＝CE，连接AD、BE交于点P．求证：AD＝BE； 例2（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在等边中，点D，E分别在边BC，AC上．且与相交于点于点于点．(1)求证：；(2)分别求出的度数． 例3（24-25七年级上·山东泰安·期末）如图，在中，，，点、分别在边、上，且，与相交于点，于点． (1)求证：；(2)①求的值；②若，求的长． 例4（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，已知等边中．D、E两点分别在边上，，、相交于点F． (1)如图（1），求证： (2)如图（2），点H在线段的垂直平分线上且，K为中点．连接交于点G，求证：．(3)如图（3），M、D为边上的两个动点且，为等边三角形，当时，求________． 模型3.等边内接等边模型 例1（2024八年级上·重庆·专题练习）如图，过等边三角形的顶点、、依次作、、的垂线、，三条垂线围成，若，则的周长为（　　） A．12 B．18 C．20 D．24 例2（24-25七年级下·成都·校考期中）如图，和都是等边三角形，点D，E，F分别在边上，若的周长为15，，则的长为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 例3（24-25八年级下·广东云浮·期中）如图，点P，M，N分别在等边三角形的各边上，且于点P，于点M，于点N．(1)求证：是等边三角形；(2)若，求的长．    例4（2023·广西·中考真题）如图，是边长为4的等边三角形，点D，E，F分别在边，，上运动，满足．(1)求证：；(2)设的长为x，的面积为y，求y关于x的函数解析式；    1．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，为等边三角形，、分别是、上的点，且，与相交于点，于点．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC的边AB、BC上的动点（其中P，Q不与端点重合），点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，连接AQ、CP交于点M，下列结论：①AQ＝CP；②∠CMQ的度数等于60°；③当△PBQ为直角三角形时，t＝秒．其中正确的结论有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（24-25八年级上·湖南永州·期中）如图所示，在等边三角形中，D，E分别在边，上，且，与交于点F，，垂足为点G.下列结论：①；②；③是等边三角形；④，其中正确结论的个数是（    ）      A．3 B．2 C．1 D．0 4．（24-25八年级上·重庆万州·期末）如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作于E，Q为BC延长线上一点，当时，连接PQ交AC边于D，则DE的长为（    ） A． B． C． D． 5.（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，点在上，点在线段的延长线上，且，连接与相交于点．若，则的面积为（    ） A．1 B．2 C．2.5 D．3 6.（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，点是等边的边上一点，过点作，垂足为点，延长至点，使，连接交于点．下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级·广东·培优）如图，已知为等腰三角形，，点F为AC上一点，点D为BC延长线上一点，点E为AB延长线上一点，EF与BC相交于点G，如果，那么下列说法中，正确的个数有（    ） （1），（2），（3），（4）点G到AB，AC的距离之和为定值． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（24-25八年级上·广东韶关·期中）如图，点、、分别在等边的各边上，且于点，于点，于点，若，则的长为 ． 9．（24-25八年级上·安徽·期中）如图，等边三角形ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上的一点，当PA＝CQ时，连接PQ，交AC于点D．下列结论：①PD＝DQ；②∠Q＝30°；③DE＝AC；④AE＝CQ．其中正确的是 (填序号)． 10．（24-25八年级上·湖北十堰·期中）在中，，，点从点出发沿射线移动（运动到点停止），同时点从点出发沿线段的延长线移动，点，移动的速度相同（且同时停止），与相交于点．过点作于点，线段 ．    11．（24-25八年级上·北京朝阳·期中）如图，过边长为2的等边的边上一点P，作于E，为延长线上一点，当时，连接交边于，则下面结论：①；②D为的中点；③；④；其中正确的结论有： ． 12．（2024·河南新乡·模拟预测）如图，等边三角形的边上有一点P，过点P作于点E，Q为延长线上一点，当时，交于点D，若，则 ． 13．（24-25八年级上·广东广州·期中）已知，如图，为等边三角形，，相交于点P，于Q．(1)求证：；(2)求的度数；(3)若，求的长． 14．（24-25八年级上·湖北荆门·期中）如图，中，，点从点出发沿线段移动（点不与，重合），同时，点从点出发沿线段的延长线移动，已知点、移动的速度相同，与直线相交于点．(1)求证：；(2)过点作直线的垂线，垂足为，、在移动过程中，线段中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由． 15．（23-24浙江八年级上期中）如图，是等边三角形，点，，分别在边，，上运动，且满足．求证：是等边三角形． 16．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图，点，，分别在等边的各边上，且于点，于点，于点．（1）求证：是等边三角形；（2）若，求的长． 17．（24-25八年级上·河南信阳·期末）综合与实践 在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形全等“为主题开展数学活动：    【问题情景】如图，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，画一个三角形，把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的三角形都全等吗？此时，符合条件的角形有多少种？ (1)【操作发现】如图，善思组通过作图发现，此时即“边边角”对应相等的两个三角形______ 全等填“一定”或“不一定”． (2)【探究证明】钻研组受善思组的启发，提出并解决了图2中以下问题： 已知：如图2，在和中，，，．求证：． 请阅读并补全证明 证明：在上取一点，使． ，　　． 又．而．　　． ，　　． 又　　．．． (3)【拓展应用】创新小组在此基础上进行了深入思考，把变为等腰三角形，且，点在射线上，点在的延长线上，，连接，与边所在的直线交于点请帮忙解决以下两个问题：当点在线段上时，如图所示，求证：． 过点作交直线于点，若，，则______． 18．（24-25八年级上·广西贵港·期中）已知是等边三角形，边长为，点从点出发沿射线移动，同时点从点出发沿线段的延长线移动，点移动的速度相同，与直线相交于点． (1)如图1，为上的点，当时，求证：； (2)如图2，当点运动到的中点时，求的长； (3)如图3，过点作于点，在点从点向点移动的过程中，线段的长度是否会发生改变？若保持不变；请求出的长度，若改变，请说明理由． 19．（24-25八年级上·重庆潼南·期末）如图1，是等边三角形，点M，N分别是边上的动点，点M，N以相同的速度，分别从点A，B同时出发． (1)如图1，连接，求证：； (2)如图1，当点M，N分别在边上运动时（端点除外），相交于点，试探究的大小是否为定值，若是，求出的度数，若不是，请说明理由； (3)如图2，当点M，N分别在的延长线上运动时，直线相交于点，试探究的大小是否为定值，若是，求出的度数，若不是，请说明理由． 20．（24-25八年级·北京海淀·期中）（1）老师在课上给出了这样一道题目：如图1，等边边长为2，过边上一点作于，为延长线上一点，且，连接交于，求的长． 小明同学经过认真思考后认为，可以通过点作平行线构造等边三角形的方法来解决这个问题．请根据小明同学的思路直接写出的长． （2）【类比探究】老师引导同学继续研究：①等边边长为2，如图2当为的延长线上一点时，作的延长线于点，为边上一点，且，连接交于．求的长并证明． ②已知等边，当为的延长线上一点时，作射线于点，为延长线上一点，且，连接交直线于点，请在图3中补全图形，并证明长度保持不变． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14 等腰（等边）三角形中重要模型之长短手模型与等边截等长模型 等腰（等边）三角形是中学阶段非常重要三角形，具有许多独特的性质和判定定理。各类考试的常客，并且形式多样，内容新颖，能较好地考查同学们的相关能力。本专题将把等腰三角形的几类重要模型作系统的归纳与介绍，方便大家对它有个全面的了解与掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1.帽子模型（长短手模型） 5 模型2.等边截等长模型（定角模型） 10 模型3.等边内接等边模型 13 16 帽子模型（长短手模型）与等边截等长模型、等边内接等边模型是初中几何中源于等腰三角形和等边三角形特性衍生的经典解题模型，其核心思想通过对称性、全等变换及线段比例关系简化复杂几何问题。‌ 两种模型均强调对称性与全等变换：帽子模型侧重等腰三角形的“长短手”对称‌，等边截等长模型与等边内接等边模型则利用等边三角形的旋转特性‌。在初中几何教学中，二者常结合“等边内接等边模型”综合训练学生的空间思维。 （24-25八年级上·湖北荆门·期中）如图，中，，点从点出发沿线段移动（点不与，重合），同时，点从点出发沿线段的延长线移动，已知点、移动的速度相同，与直线相交于点．(1)求证：；(2)过点作直线的垂线，垂足为，、在移动过程中，线段中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由． 【答案】(1)见详解(2)的长度保持不变，理由见详解 【详解】（1）证明：过点作交于，如下图， ∵点、同时出发，且移动的速度相同，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴，∴，∴， 在和中，，∴，∴； （2）解：的长度保持不变，理由如下：由（1）可知，， ∵，∴，由（1）可知，，∴， ∴，∴为定值． （24-25八年级上·重庆·期末）如图，在等边三角形中，，分别在边，上，且，与交于点，，垂足为点.下列结论：①；②；③是等腰三角形；④，其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】解：是等边三角形，，， ，，在和中， ，，故结论①正确； ，， ，故结论②正确； ，，， 不是等腰三角形；故结论③错误； ，，， ， ，即，故结论④正确；综上所述：正确的结论为①②④，共有3个，故选：B． （24-25八年级上·江苏·期中）如图，点，，分别在等边的各边上，且于点，于点，于点．（1）求证：是等边三角形；（2）若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）6cm 【详解】解：（1）是等边三角形，， ，，，． ，，是等边三角形； （2）根据题意可得：∵△PMN是等边三角形，∴PM=MN=NP， 在△PBM、△MCN和△NAP中，， ∴（AAS），，； ，，． 是正三角形，，而， ．，，，． 1）帽子模型（长短手模型） 条件：如图，已知AB=AC，BD=CE，DG⊥BC于G，结论：①DF=FE；②。 证明：如图，过点D作交于H，则，， ∵，∴，∴，∴，∵，∴， 在和中,，∴，∴； ∵，∴，∵，，∴， ∴，∴． 2）等边截等长模型（定角模型） 条件：如图，在等边中，点，分别在边，上，且，与相交于点，于点．结论：①；②AD=BE；③；④BQ=2PQ。 证明：在等边三角形中，，， 在和中，，，∴AD=BE，∠CAD=∠ABE； ． ，，∴BQ=2PQ． 3）等边内接等边模型 图1 图2 1）等边内接等边（截取型） 条件：如图1，等边三角形ABC中，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上运动，且满足AD=BE=CF； 结论：三角形DEF也是等边三角形。 证明：∵是等边三角形，∴，． ∵，∴． 在和中，∴（）， ∴．同理，∴，∴是等边三角形． 2）等边内接等边（垂线型） 条件：如图，点、、分别在等边的各边上，且于点，于点，于点，结论：三角形DEF也是等边三角形。 证明：是等边三角形，， ，，，， ，，是等边三角形， 模型1.帽子模型（长短手模型） 例1（25-26八年级上·山东·期中）如图，等边三角形的边长为12，为边上一动点，为延长线上一动点，交于点，点为中点．若，则 ． 【答案】16 【详解】解：如下图，过点D作，交于F， 是等边三角形，， ，， 是等边三角形，，点P为中点，， 在和中，，，， ，，，设，则， ，解得：，，故答案为：16． 例2（25-26八年级上·吉林四平·阶段练习）如图，在中，．点从点出发沿线段运动，同时点从点出发沿线段的延长线运动，点、运动的速度相同，与直线相交于点．过点作交于点，且． (1)求证：；(2)过点作交于点，且．在点从点向点运动的过程中，线段的长度是否保持不变？若保持不变，请求出的长度，若改变，请说明如何变化． 【答案】(1)见解析(2)线段的长度保持不变，为3 【详解】（1）证明：∵点从点出发沿线段运动，同时点从点出发沿线段的延长线运动，点、运动的速度相同，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵，∴； （2）解：线段的长度保持不变．理由如下：由（1）知，，∴， ∵，，∴． 例3（24-25八年级上·重庆南川·期末）在中，，点是边上的两点． (1)如图1，若，点在边上，点在的延长线上，且，连接交于点，过点作交于点，求的值；(2)如图2，若，点在的延长线上，连接，，，且，，求证：；(3)如图3，连接，，若，且，平分，，的面积为30，点分别是线段上的动点，连接，直接写出的最小值． 【答案】(1)(2)见解析(3) 【详解】（1）解：，，是等边三角形，， ，，， ，是等边三角形，，， 在和中，，，； （2）解：，，是等边三角形， ，，， ，，，，， 在和中，，，，， 如图，过点作，交于点， ，，是等边三角形， ，，即， 在和中，，，，； （3）解：，，， ，， 如图，过点作于点，交于点，过点作于点， 平分，，当D，N，H三点共线时最小 ，，，的最小值为． 例4（2025·河南·模拟预测）综合与实践 【问题初探】(1)数学课上，李老师展示了这样一个问题：“如图，在中，，点是边上一点，点是延长线上的一点，连接交于点，若，求证：．” 如图，小乐同学从中点的角度，给出了一种解题思路：在线段上截取，使，连接，利用两个三角形全等和已知条件，可完成证明； 如图，小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路：过点作，交的延长线于点，利用两个三角形全等和已知条件，可完成证明． 请你选择一位同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】(2)李老师发现以上两位同学的做法非常巧妙，为了让同学们更好地理解这种转化的思想方法，李老师提出了新的问题，请你解答． 如图，在中，点在边上，是的中点，连接，，与相交于点，若，求证：． 【学以致用】(3)如图，在中，，，平分，点在的延长线上，过点作，交于点，交于点，且，若，请直接写出的长度． 【答案】(1)选择解题思路，证明见解析(2)证明见解析(3) 【详解】（1）证明：选择解题思路， ，，，， ，，，即， ，，，，，； 或选择解题思路，，，又，， ，，，， 又，，，，； （2）证明：如答图，延长至点，使得，连接， 是的中点，，又，， ，，， ，，， 又，即，，，，； （3）解：如答图4，延长至点，使得，连接， ，，，， ，，，， ，，平分，， ，，， ，，，，， ，，，， ，． 模型2.等边截等长模型（定角模型） 例1（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别是BC、AC边上的两点，其中BD＝CE，连接AD、BE交于点P．求证：AD＝BE； 【答案】见解析； 【详解】证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=AC，∠ABC=∠BAC=∠C=60°， 在△ABD和△BCE，∴△ABD≌△BCE∴AD=BE． 例2（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在等边中，点D，E分别在边BC，AC上．且与相交于点于点于点． (1)求证：；(2)分别求出的度数． 【答案】(1)见解析(2)； 【详解】（1）证明:是等边三角形， 在和中 （2）解： 例3（24-25七年级上·山东泰安·期末）如图，在中，，，点、分别在边、上，且，与相交于点，于点． (1)求证：；(2)①求的值；②若，求的长． 【答案】(1)见解析；(2)①，②． 【详解】（1）证明：，，是等边三角形，，， 在和中，，； （2）解：①，， ； ②，，，， 设，则，在中，， ，（只取正值），． 例4（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，已知等边中．D、E两点分别在边上，，、相交于点F． (1)如图（1），求证： (2)如图（2），点H在线段的垂直平分线上且，K为中点．连接交于点G，求证：．(3)如图（3），M、D为边上的两个动点且，为等边三角形，当时，求________． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）证明：∵等边， ∴，∴， ∵，∴， 又∵，∴，∴； （2）连接，∵点H在线段的垂直平分线上，∴， ∵，∴，∴为等边三角形， ∴，，∴， 又，∴，∴，， 由（1）可知：，∴，∴为等边三角形， ∴，，∴，∴， ∵K为中点，∴，∴，∴，∴； （3）连接并延长交于点， ∵，∴， ∴，∴， 过点分别作的垂线，垂足分别为，则：，， ∵为等边三角形，∴，，∴， ∴，同理，，∴，∵，∴为等边三角形， ∴，，设等边三角形的边长为， ∴， ∴，∴， 在中，，则：， ∴，，∴， ∵，∴， ∴，∴． 模型3.等边内接等边模型 例1（2024八年级上·重庆·专题练习）如图，过等边三角形的顶点、、依次作、、的垂线、，三条垂线围成，若，则的周长为（　　） A．12 B．18 C．20 D．24 【答案】B 【详解】解：∵，∴，∵是等边三角形，∴， ∴，∴，同理：， ∴是等边三角形．∴．在中，， ∴，∴，∵，∴， 在与中，，∴ ∴，∴，∴的周长为．故选：B． 例2（24-25七年级下·成都·校考期中）如图，和都是等边三角形，点D，E，F分别在边上，若的周长为15，，则的长为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，，∴，∴， 同理得：，∴， ∵的周长为15，∴，∴，故选：B． 例3（24-25八年级下·广东云浮·期中）如图，点P，M，N分别在等边三角形的各边上，且于点P，于点M，于点N．(1)求证：是等边三角形；(2)若，求的长．    【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）证明：∵是等边三角形，∴． ∵，∴． ∴． ∴．∴是等边三角形． （2）解：∵是等边三角形，∴． 在和中，，∴．∴． ∵，∴．∴． ∵，∴．∴． 例4（2023·广西·中考真题）如图，是边长为4的等边三角形，点D，E，F分别在边，，上运动，满足．(1)求证：；(2)设的长为x，的面积为y，求y关于x的函数解析式；    【答案】(1)见详解(2) 【详解】（1）证明：∵是边长为4的等边三角形， ∴，，∵，∴， 在和中，，∴； （2）解：分别过点C、F作，，垂足分别为点H、G，如图所示：    在等边中，，， ∴，∴， 设的长为x，则，， ∴，∴， 同理（1）可知，∴， ∵的面积为y，∴； 1．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，为等边三角形，、分别是、上的点，且，与相交于点，于点．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC．∴∠BAC=∠C． 在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（SAS）． ∴∠ABD=∠CAE．∴∠APD=∠ABP+∠PAB=∠BAC=60°．∴∠BPF=∠APD=60°． ∵∠BFP=90°，∠BPF=60°，∴∠PBF=30°．∴．故选：B． 2．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC的边AB、BC上的动点（其中P，Q不与端点重合），点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，连接AQ、CP交于点M，下列结论：①AQ＝CP；②∠CMQ的度数等于60°；③当△PBQ为直角三角形时，t＝秒．其中正确的结论有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠CAP＝60°，AB＝AC，根据题意得：AP＝BQ， 在△ABQ和△CAP中，，∴△ABQ≌△CAP（SAS），∴AQ＝CP，故①正确； ∵△ABQ≌△CAP，∴∠AQB＝∠CPA，∵∠BAQ+∠APC+∠AMP＝180°，∠BAQ+∠B+∠AQB＝180°， ∴∠AMP＝∠B＝60°，∴∠CMQ＝60°，故②正确； 当∠PQB＝90°时，∵∠B＝60°，∴∠BPQ＝30°，∴BP＝2BQ，∴4﹣t＝2t，解得，t＝， 当∠BPQ＝90°时，∵∠B＝60°，∴∠BQP＝30°，∴BQ＝2BP，∴t＝2（4﹣t），解得，t＝， 综合以上可得△PBQ为直角三角形时，t＝或t＝．故③不正确．故选：C． 3．（24-25八年级上·湖南永州·期中）如图所示，在等边三角形中，D，E分别在边，上，且，与交于点F，，垂足为点G.下列结论：①；②；③是等边三角形；④，其中正确结论的个数是（    ）      A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【详解】解：∵等边，∴，， ∵，∴，∴，故①正确； ∴，∴， 在中，，故②正确； ∵，，∴， ∴不是等腰三角形，故③错误； ∵，，∴， ∴，∴，故④正确，综上所述，正确的有①②④．故选：A． 4．（24-25八年级上·重庆万州·期末）如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作于E，Q为BC延长线上一点，当时，连接PQ交AC边于D，则DE的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】作，交的延长线于点F，则， ∵是等边三角形，于点，∴，，∴， ∵，∴，又∵，∴，∴，， ∵，∴，∵，，∴， ∵∴，∴， ∵，∴，故选：C． 5.（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，点在上，点在线段的延长线上，且，连接与相交于点．若，则的面积为（    ） A．1 B．2 C．2.5 D．3 【答案】A 【详解】解：如图，过作于， ∴，， ∵，∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴；故选：A． 6.（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，点是等边的边上一点，过点作，垂足为点，延长至点，使，连接交于点．下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：过做，交于， 是等边三角形，， ，，，是等边三角形， ，所以为中点，，为等边三角形，， ，，∴，故A不符合题意； ，，，， ，，故B不符合题意； ，，，即，故C不符合题意； 当时，而，∴，题干没有这个条件，故D错误符合题意；故选：D 7．（24-25八年级·广东·培优）如图，已知为等腰三角形，，点F为AC上一点，点D为BC延长线上一点，点E为AB延长线上一点，EF与BC相交于点G，如果，那么下列说法中，正确的个数有（    ） （1），（2），（3），（4）点G到AB，AC的距离之和为定值． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：如图，过点F作， ，，，，， ，，， ，，故（1）正确； 在AD上截取，，，， ，，， ，，，， ，，故（2）正确； 连接AG，过点作，，，垂足分别为，，， ，，， ，， ，，点G到AB，AC的距离之和为定值，故（4）正确；故选：C 8．（24-25八年级上·广东韶关·期中）如图，点、、分别在等边的各边上，且于点，于点，于点，若，则的长为 ． 【答案】4 【详解】解：是等边三角形，， ，，，， ，， 是等边三角形，，， ，，， 在中，，， ，，，故答案为：4． 9．（24-25八年级上·安徽·期中）如图，等边三角形ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上的一点，当PA＝CQ时，连接PQ，交AC于点D．下列结论：①PD＝DQ；②∠Q＝30°；③DE＝AC；④AE＝CQ．其中正确的是 (填序号)． 【答案】①③④ 【详解】①过P作PF∥BQ，交AC于F， ∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=∠A=60°， ∵PF∥BQ，∴∠AFP=∠ACB=60°，∠PFD=∠QCD，∴△AFP是等边三角形，∴PF=PA， ∵PA=CQ，∴PF=CQ，在△PFD和△QCD中，∵， ∴△PFD≌△QCD（AAS），∴PD=DQ；所以①结论正确； ②由①得：△PFD≌△QCD，∴∠DPF=∠Q，∵△APF等边三角形，∴∠APF=60°， ∵QP与AB不一定垂直，∴∠Q不一定为30°，所以②结论不正确； ③∵△APF是等边三角形，PE⊥AC，∴EF=AF，∵△PFD≌△QCD，∴DF=DC，∴DF=FC， ∴DE=EF+DF=AF+FC=AC，所以③结论正确； ④在Rt△AEP中，∠A=60°，∴∠APE=30°，∴AE=AP，∴AE=CQ， 所以④结论正确；所以本题结论正确的有：①③④；故答案为①③④． 10．（24-25八年级上·湖北十堰·期中）在中，，，点从点出发沿射线移动（运动到点停止），同时点从点出发沿线段的延长线移动，点，移动的速度相同（且同时停止），与相交于点．过点作于点，线段 ．    【答案】 【详解】解：过点作交的延长线于点H，如图所示：    由题意得，∵，∴， ∵，∴， ∴，∴， ∵∴，∴， ∵，∴，∴，∴；故答案为． 11．（24-25八年级上·北京朝阳·期中）如图，过边长为2的等边的边上一点P，作于E，为延长线上一点，当时，连接交边于，则下面结论：①；②D为的中点；③；④；其中正确的结论有： ． 【答案】②③④ 【详解】解：如图，过作交于． ，是等边三角形，，是等边三角形，， ，，，，故①错误； ，，，，故③正确； 在和中，，， ，，为的中点，故②正确； ，，，故④正确， 正确的结论有：②③④．故答案为：②③④． 12．（2024·河南新乡·模拟预测）如图，等边三角形的边上有一点P，过点P作于点E，Q为延长线上一点，当时，交于点D，若，则 ． 【答案】4 【详解】解：如图，过点Q作的延长线的垂线于点， 是等边三角形，，，， ，，， ，，，， ，，，， ，，， 是等边三角形，，故答案为：4． 13．（24-25八年级上·广东广州·期中）已知，如图，为等边三角形，，相交于点P，于Q．(1)求证：；(2)求的度数；(3)若，求的长． 【答案】(1)见解析(2)(3) 【详解】（1）证明：是等边三角形，， ， ， ； （2）解：， ， ； （3）解：，， ，，， ，． 14．（24-25八年级上·湖北荆门·期中）如图，中，，点从点出发沿线段移动（点不与，重合），同时，点从点出发沿线段的延长线移动，已知点、移动的速度相同，与直线相交于点． (1)求证：；(2)过点作直线的垂线，垂足为，、在移动过程中，线段中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由． 【答案】(1)见详解(2)的长度保持不变，理由见详解 【详解】（1）证明：过点作交于，如下图， ∵点、同时出发，且移动的速度相同，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴，∴，∴， 在和中，，∴，∴； （2）解：的长度保持不变，理由如下：由（1）可知，， ∵，∴，由（1）可知，， ∴，∴，∴为定值． 15．（23-24浙江八年级上期中）如图，是等边三角形，点，，分别在边，，上运动，且满足．求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【详解】证明∵是等边三角形，∴，． ∵，∴． 在和中，∴（）， ∴．同理，∴，∴是等边三角形． 16．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图，点，，分别在等边的各边上，且于点，于点，于点．（1）求证：是等边三角形；（2）若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）6cm 【详解】解：（1）是等边三角形，， ，，，． ，，是等边三角形； （2）根据题意可得：∵△PMN是等边三角形，∴PM=MN=NP， 在△PBM、△MCN和△NAP中，， ∴（AAS），，； ，，． 是正三角形，，而， ．，，，． 17．（24-25八年级上·河南信阳·期末）综合与实践 在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形全等“为主题开展数学活动：    【问题情景】如图，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，画一个三角形，把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的三角形都全等吗？此时，符合条件的角形有多少种？ (1)【操作发现】如图，善思组通过作图发现，此时即“边边角”对应相等的两个三角形______ 全等填“一定”或“不一定”． (2)【探究证明】钻研组受善思组的启发，提出并解决了图2中以下问题： 已知：如图2，在和中，，，．求证：． 请阅读并补全证明 证明：在上取一点，使． ，　　． 又．而．　　． ，　　． 又　　．．． (3)【拓展应用】创新小组在此基础上进行了深入思考，把变为等腰三角形，且，点在射线上，点在的延长线上，，连接，与边所在的直线交于点请帮忙解决以下两个问题：当点在线段上时，如图所示，求证：． 过点作交直线于点，若，，则______． 【答案】(1)不一定(2)，，，(3)①见解析；②或 【详解】（1）解：由图形可知两个三角形不一定全等；故答案为：不一定； （2）证明：在上取一点，使．，． 又，而，． ，，又，．． 故答案为：，，，； （3）证明：①过点作交于点，如图3.1，    ，，，，，， 又，，在和中，，，． ②解：如图3.2，当点在线段上，，，，    ，，，； 如图3.3，当点在线段的延长线上时，过点作交的延长线于点， 同理可得，，，，， ，．的长为2或4．故答案为：2或4． 18．（24-25八年级上·广西贵港·期中）已知是等边三角形，边长为，点从点出发沿射线移动，同时点从点出发沿线段的延长线移动，点移动的速度相同，与直线相交于点． (1)如图1，为上的点，当时，求证：； (2)如图2，当点运动到的中点时，求的长； (3)如图3，过点作于点，在点从点向点移动的过程中，线段的长度是否会发生改变？若保持不变；请求出的长度，若改变，请说明理由． 【答案】(1)见解析(2)(3) 【详解】（1）证明：如图1  是等边三角形，， ，，， 点移动的速度相同，， 在与中，，，； （2）解：如图2, 过点作交于，∵点为的中点，∴为的中点， ， ，由（1）可知， ，，； （3）解：线段的长度不变，， 理由如下：如图3，过点作交于， 由（1）可知，∴是等边三角形， ∵，∴，由（1）结论可知， 则，． 19．（24-25八年级上·重庆潼南·期末）如图1，是等边三角形，点M，N分别是边上的动点，点M，N以相同的速度，分别从点A，B同时出发． (1)如图1，连接，求证：； (2)如图1，当点M，N分别在边上运动时（端点除外），相交于点，试探究的大小是否为定值，若是，求出的度数，若不是，请说明理由； (3)如图2，当点M，N分别在的延长线上运动时，直线相交于点，试探究的大小是否为定值，若是，求出的度数，若不是，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析(2)是，(3)是， 【详解】（1）证明：点M，N以相同的速度，分别从点A，B同时出发 ， 是等边三角形，， 在和中，； （2）解：，是定值，理由如下： ， ； （3）解：，是定值，理由如下： 点M，N以相同的速度，分别从点A，B同时出发， 是等边三角形，，， ，即， 在和中，， ． 20．（24-25八年级·北京海淀·期中）（1）老师在课上给出了这样一道题目：如图1，等边边长为2，过边上一点作于，为延长线上一点，且，连接交于，求的长． 小明同学经过认真思考后认为，可以通过点作平行线构造等边三角形的方法来解决这个问题．请根据小明同学的思路直接写出的长． （2）【类比探究】老师引导同学继续研究：①等边边长为2，如图2当为的延长线上一点时，作的延长线于点，为边上一点，且，连接交于．求的长并证明． ②已知等边，当为的延长线上一点时，作射线于点，为延长线上一点，且，连接交直线于点，请在图3中补全图形，并证明长度保持不变． 【答案】（1）1；（2）①1，见解析；②见解析 【详解】（1）解：如图，过点作交于点， ，，， 为等边三角形，， ，为等边三角形，， ，，， 又，，， ，． （2）①解：过点作交的延长线于点， ，，， 为等边三角形，， ，为等边三角形，， ，，， 又，，， ，． ②证明：过点作交的延长线于点， ，，， 为等边三角形，， ，为等边三角形，， ，，，， ，， ，长度保持不变． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $