5.5 三元一次方程组（教学课件）-2025--2026学年北师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦三元一次方程及方程组的概念、解法与应用，课堂导入先回顾二元一次方程组的消元解法与化归思路，通过“含3个未知数的方程组如何求解”的问题，搭建从二元到三元的学习支架，衔接新旧知识。 其亮点是以《九章算术》古题引入探究，渗透数学文化，培养用数学眼光观察现实世界的意识。通过代入或加减消元将三元转化为二元再到一元，体现化归思想，发展运算能力与推理意识，归纳总结步骤清晰，助力学生形成模型观念。学生能提升问题解决能力，教师可优化教学流程提高效率。

5.5 三元一次方程组 第五章 二元一次方程组 北师大版（2024） 1 素养目标 1.了解三元一次方程及三元一次方程组的概念； 2.能解简单的三元一次方程组，在解的过程中进一步体会“消元”思想； 重点 3.能够利用三元一次方程组解决实际问题. 难点 2 新知导入 1.解二元一次方程组有哪几种方法？ 2.解二元一次方程组的基本思路是什么？ 含有 3 个未知数的方程组如何求解？ 代入消元法和加减消元法 二元一次方程组 消元 代入 加减 一元一次方程 化二元为一元 化归转化思想 3 探究新知 今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗.问：上、中、下禾实一秉各几何?(选自《九章算术》) 题目大意：有上禾3束，中禾2束，下禾1束，可得米39斗； 上禾2束，中禾3束，下禾1束，可得米34斗； 上禾1束，中禾2束，下禾3束，可得米26斗. 上、中、下禾每束各可得米多少斗? 题中有哪些未知量？你能找出哪些等量关系？ 4 探究新知 未知量：上、中、下禾每束各可得米多少斗 设每束上禾可得米x斗，每束中禾可得米y斗，每束下禾可得米z斗. 等量关系： 上禾3束＋中禾2束＋下禾1束＝39 上禾2束＋中禾3束＋下禾1束＝34 上禾1束＋中禾2束＋下禾3束＝26 x＋2y+3z＝ 26 ③ 3x＋2y＋z＝39 ① 2x+3y+z＝34 ② 观察列出的三个方程，你有什么发现？ 5 探究新知 3x＋2y＋z＝39 ① 2x+3y+z＝34 ② x＋2y+3z＝ 26 ③ 含三个未知数 未知数的次数都是 1 三元一次方程 含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的方程叫作三元一次方程. 6 探究新知 因这三个未知数的值必须同时满足上述三个方程，故将三个方程联立在一起. x＋2y+3z＝26 ③ 3x＋2y＋z＝39 ① 2x+3y+z＝34 ② 像这样，共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫作三元一次方程组. 【注意】组成三元一次方程组的三个一次方程中，不一定要求每一个一次方程都含有三个未知数． 7 探究新知 x＋2y+3z＝26 ③ 3x＋2y＋z＝39 ① 2x+3y+z＝34 ② 三元一次方程组中各个方程的公共解，叫作这个三元一次方程组的解. 怎样解三元一次方程组呢？ 8 探究新知 解二元一次方程组的基本思路是什么? 你认为用类似的思路可以求解这个三元一次方程组吗? 用类似的思路可以求解这个三元一次方程组. 二元一次方程组 一元一次方程 转化 消元 解二元一次方程组的基本思路是消元 9 探究新知 x＋2y+3z＝26 ③ 3x＋2y＋z＝39 ① 2x+3y+z＝34 ② 把 ， 代入④，得 z = 经检验，，，z = 满足原方程组. 解：由①，得z=39-3x-2y ④， 把④分别代入②③并化简，得 x-y=5 ⑤，8x+4y=91 ⑥， 解由⑤⑥组成的二元一次方程组，得 10 探究新知 x＋2y+3z＝26 ③ 3x＋2y＋z＝39 ① 2x+3y+z＝34 ② 你能用代入消元法先消去未知数x(或y)，从而得到方程组的解吗? 能 11 探究新知 x＋2y+3z＝26 ③ 3x＋2y＋z＝39 ① 2x+3y+z＝34 ② 把，z = 代入①，得 ， 解：由③，得 x=26-2y-3z ④ 把④分别代入①②并化简，得 4y+8z=39 ⑤，y+5z=18 ⑥ 解由⑤⑥组成的二元一次方程组，得 所以原方程组的解是： 12 探究新知 x＋2y+3z＝26 ③ 3x＋2y＋z＝39 ① 2x+3y+z＝34 ② 你还有其他方法吗?并思考不同方法之间的区别和联系. 有，也可以采用加减消元法进行求解. 不同方法之间的联系：都是通过消元解方程组. 13 归纳总结 解三元一次方程组的基本思路是： 通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”转化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程． 三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程 消元 消元 14 归纳总结 解三元一次方程组的一般步骤： (1)利用代入法或加减法消去三元一次方程组的一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； (2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； (3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中求出最后一个未知数的值； (4)将求得的三个未知数的值用符号“{”合写在一起． 15 归纳总结 消元法解三元一次方程组的两点注意： (1) 确定消去哪个未知数时，要从整体考虑，一般选择消去后可以使计算量相对较小的未知数． (2) 消去的未知数一定是同一个未知数，否则就达不到消元的目的． 16 A C A 小结 解三元一次方程组的基本思路是： 通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”转化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程． 三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程 消元 消元 谢谢同学们的聆听 练习1下列是三元一次方程组的是( ) A. B. C. D. 解析：A.满足三元一次方程组的定义,故符合题意； B. ,未知数的项的次数为2次,不是三元一次方程,故此选项不符合题意； C. ,未知数的项的次数为2次,不是三元一次方程,故此选项不符合题意； D. ,不是整式方程,故此选项不符合题意；故选A. 练习2 解方程组 若要使运算简便,可先消未知数( ) A.x B.y C.z D.以上说法都不对 解析：观察未知数x的系数的绝对值分别是5,2,7,其最小公倍数为70, 观察未知数y的系数的绝对值分别是7, , ,其最小公倍数为105, 观察未知数z的系数的绝对值分别是6,3,2,其最小公倍数为6, 所以要使运算简便,那么消元时最好应先消去z,故选：C. 练习3 甲、乙、丙三种商品,若购买甲3件、乙2件、丙1件,共需270元；购买甲1件、乙2件、丙3件,共需242元,那么购买甲、乙、丙三种商品各一件共需( ) A.128元 B.130元 C.150元 D.160元 解析：设甲、乙、丙三种商品的单价分别为x元、y元、z元. 根据题意,可列方程组： 将方程①和②相加,得到： , 化简得： ,两边同时除以4,得： , 因此,购买甲、乙、丙三种商品各一件共需128元.故选：A. 练习4 解三元一次方程组 解： ，得 .④ ①与④组成方程组 ，解这个方程组，得 . 把 ， 代入②，得 ，所以 . 因此，这个三元一次方程组的解为 . 练习5 在等式 中，当 时， ；当 时， ；当 时， .求a，b，c的值. 解：根据题意，得 ， ，得 ④， ，得 ⑤ ④与⑤组成二元一次方程组 ，解这个方程组，得 . 把 代入①，得 .因此 ，即a，b，c的值分别为3， ， . 练习6 解下列方程组： （1） （2） 解：（1）将①代入②，得 ，整理得 ， 于是有 解得 将 代入①，得 ， 练习6 解下列方程组： （1） （2） 解：（2） ，得 ④， ，得 ⑤. ，得 ⑥， ，得 ，解得 . 把 代入④，得 ，解得 . 把 ， 代入③，得 ，解得 ， 练习7 一个三位数，各数位上的数的和为14，百位上的数的2倍减去十位上的数的差是个位上的数的 .如果把这个三位数个位上的数与百位上的数交换位置，那么所得的新数比原数小99.求这个三位数. 解：设原数的个位、十位、百位上的数字分别为x，y，z， 由题意，得 ，解得 ， 答：原来的三位数为473. $