浙江省杭州市拱墅区2025-2026学年八年级上学期期中数学模拟试卷

浙江省杭州市拱墅区2025-2026学年八年级上学期 期中数学模拟试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共0分。在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求的。 1.若a<b,则下列不等式中一定成立的是() A.-a<-b 、B.a2+1<b2+1C.>6 D.a-3<b+1 2.下列图案中，轴对称图形的个数是() C A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.如图，任意画出一个Rt△ABC,使∠C=90°.①画∠MCN=90°；②以C'为圆心，BC为半径画弧交C'M于 点B';③以C为圆心，AC为半径画弧交CN于点A';④连接A'B,则可以得到Rt△A'B C与Rt△ABC全等，判定全等的理由是() A.AAS B.ASA C.SAS D.HL 4.如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点都在格点 上，则下列结论错误的是() A.BC2=5 B.AB =5 C.AC=45 D.∠ACB=90° 5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以点B和点C为圆心，大于BC的 长为半径作弧，两弧相交于D、E两点，作直线DE交AB于点F,交BC于点G, G 连结CF若AC=2,CG=√3，则CF的长为() B A是 B.2 C.3 D.2 6.如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分LABC,交CD于点E, BC=10,DE=3,则△BCE的面积等于() E A.6 B.9 C.15 D.18 第1页，共7页 7.如图是某个一元一次不等式的解集在数轴上的表示，若该不等式恰 有三个非负整数解，则a的取值范围是() 0 A.1<a≤2 B.2≤a<3 C.3≤a<4 D.3<a≤4 8.如图，线段AB,DE的垂直平分线交于点C,且LABC=∠EDC=72°，L AEB=92°，则∠EBD的度数为() B A.168 B.158° C.128° D.118° 9.如图，A,B,C,D四个点顺次在直线l上，AC=a,BD=b.以AC为底向下作等腰 直角三角形ACE,以BD为底向上作等腰三角形BDF,且FB=FD=BD,连接AF,DE, D 当BC的长度变化时，△ABF与△CDE的面积之差保持不变，则a与b需满足() B A.a B.a-fb C.a-jb D.a=√2b 10.如图，在△ABC中，∠A=20°，点D,E分别是AB,AC的点，AD=AE=4, B 点M,N分别是边AB,AC上的动点，在点M,N运动的过程中，DM+MN+NE 的最小值是() A A.2 B.4 C.6 D.8 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.以直角三角形的三边为边向形外作正方形，若S1=7,S2=10,则S3= 12如果不等式组民8x- 的解集是x>3,则m的取值范围是」 13.如图，△ABC中，AB=AC,∠BAC=54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点0，将∠C沿EF(E 在BC上，F在AC上)折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为度. 14.如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，BE1AD于E,连接CE,若△ABD的面积为6Cm2,AD: ED=5:1,SAAEB:SAEBC=3:2,则△AEC的面积为cm2. S, E B 第2页，共7页 15.令a、b两数中较大的数记作max|a,bl,如max2,3)=3,己知k为正整数且使不等式max2k+1,- k+5引≤5成立，则k的值是 16.己知如图在△ABC,△ADE中，∠BAC=∠DAE=90。,AB=AC,AD=AE,点 C,D,E三点在同一条直线上，连接BD,BE以下四个结论：①BD=CE;②BD ⊥CE;③∠ACE+∠DBC=45;④BE2=2(AD2+AB),则结论正确的是 B 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题8分) (1)解不等式5x>3(x-2)+2; (2)解一元一次不等式组 x-4>26-100 2x≤2② 并把不等式组的解在数轴上表示出来. 18.(本小题8分) 如图，在△ABC中，EF是AB的垂直平分线，AD1BC于点D,且D为CE的中点. (1)求证：BE=AC: (2)若LC=70°，求LBAC的度数. 第3页，共7页 19.(本小题8分) 某学习小组参照教材上的材料进行勾股定理的项目式探究，并制表如下： 利用剪拼法证明勾股定理 背景意大利著名画家达·芬奇证明勾股定理的剪拼法， ①在纸片上绘制两个边 ③将右侧部分翻折，并④左右两部分拼接在一 ②将左右两部分剪开 长分别为a,b的正方形 平移 步骤 说明①中大小正方形公共顶点的邻边分别在一条直线上步骤①中多边形的面积为S1,步骤④ 中多边形的面积为S2. 问题解决 (1)请用含a,b,c的代数式分别表示S1,S2. 任务 (2)请利用等积法证明勾股定理. 20.(本小题8分) 如图，在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高线，取BC的中点为点F,连结DE,DF,取ED的中点为 点G. (1)求证：FG1DE; (2)当∠A=60°时，求证：△DEF是等边三角形： 第4页，共7页 (3)在(2)的条件下，当BC=4时，求FG的长. 21.(本小题8分) 近年来，武汉市委组织部借助网红直播基地，积极探索党建引领乡村振兴的新模式.某电商对种植成本为20 元/千克的“阳光玫瑰”葡萄进行直播销售，如果按每千克40元销售，每天可卖出200千克.通过市场调查 发现，如果“阳光玫瑰”葡萄售价每千克降低1元，日销售量将增加20千克. (1)若每千克售价为36元，每天可卖出千克： (2)若日利润保持不变，每千克“阳光玫瑰”葡萄售价可降低多少元？ (3)小明的线下水果店也销售同款葡萄，标价为每千克50元.为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定 对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过(2)中的售价，则该商品至少需打几折销售？ 22.(本小题8分) 如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=9cm,AC=12cm,AB=15cm,现有一动点P,从点A出发， 第5页，共7页 沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/S,设运动时间为ts. D B Q 图0 图② (1)如图①，当t=_时，△APC的面积等于△ABC面积的一半； (2)如图②，在△DEF中，∠E=90°，DE=4cm,DF=5cm,∠D=∠A.在△ABC的边上，若另外有一个 动点Q,与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止.在两点运动过程中的某一时刻， 恰好△APQ≌△DEF,求点Q的运动速度. 23.(本小题8分) 定义：给定两个不等式组M和N,若不等式组M的任意一个解，都是不等式组N的一个解，则称不等式组M 为不等式组N的“衍生组”. 例如：不等式组P: 化之是不等式组Q: 任之6的“衍生组”· 化之04,8：仔之子，则不等式组 x-1≥-4 (1)若不等式组A: 是不等式组C: 2<4的“衍生组”（填 3x+2 “A”或“B”): 任±是不等式组E: x≥-3 (2)若关于x的不等式组D: 一3的“衍生组”，且不等式组D有且只有4个整 x<2 数解，求a的取值范围； (3)若关于x的不等式组M: 任之6+1a<b+1).m:任之52，P:任之+3：其中不等式组P是不等 「x>a 式组M的“衍生组”不等式组M是不等式组N的“衍生组”，且满足2a+b一c=0,求a的取值范围， 第6页，共7页 24.(本小题8分) 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC.过顶点C作直线CD(不经过点A,B),交线段AB(或AB的延长线)于 点D,以直线CD为对称轴，作点B的对称点E,连接AE,射线AE交直线CD于点F, E F B B D B D 图1 图2 图3 (1)如图1： ①若∠BCD=26°，则∠CAF的度数为： ②求证：EF2+AF2=2BC2; (2)如图2、图3，若直线CD绕点C转动的过程中，设AF=m,EF=n,请用含m,n的式子表示CF的长（请直接 写出答案). 第7页，共7页 浙江省杭州市拱墅区2025-2026学年八年级上学期 期中数学模拟试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求的。 1.若，则下列不等式中一定成立的是(    ) A. B. C. D. 2.下列图案中，轴对称图形的个数是(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 3.如图，任意画出一个，使画；以为圆心，为半径画弧交于点；以为圆心，为半径画弧交于点；连接，则可以得到与全等，判定全等的理由是(    ) A. B. C. D. 4.如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，的顶点都在格点上，则下列结论错误的是(    ) A. B. C. D. 5.如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线交于点，交于点，连结若，，则的长为(    ) A. B. C. D. 6.如图，已知在中，是边上的高线，平分，交于点，，，则的面积等于(    ) A. B. C. D. 7.如图是某个一元一次不等式的解集在数轴上的表示，若该不等式恰有三个非负整数解，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 8.如图，线段，的垂直平分线交于点，且，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 9.如图，，，，四个点顺次在直线上，以为底向下作等腰直角三角形，以为底向上作等腰三角形，且连接，当的长度变化时，与的面积之差保持不变，则与需满足(    ) A. B. C. D. 10.如图，在中，，点，分别是，的点，，点，分别是边，上的动点，在点，运动的过程中，的最小值是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.以直角三角形的三边为边向形外作正方形，若，，则      ． 12.如果不等式组的解集是，则的取值范围是          ． 13.如图，中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿在上，在上折叠，点与点恰好重合，则为          度． 14.如图，在中，为的平分线，于，连接，若的面积为，：：，：：，则的面积为      ． 15.令、两数中较大的数记作，，如，，已知为正整数且使不等式，成立，则的值是______． 16.已知：如图在，中，，，，点，，三点在同一条直线上，连接，以下四个结论：；；；，则结论正确的是          ． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 解不等式； 解一元一次不等式组，并把不等式组的解在数轴上表示出来． 18.本小题分 如图，在中，是的垂直平分线，于点，且为的中点． 求证：； 若，求的度数． 19.本小题分 某学习小组参照教材上的材料进行勾股定理的项目式探究，并制表如下： 利用剪拼法证明勾股定理 背景 意大利著名画家达芬奇证明勾股定理的剪拼法． 步骤 在纸片上绘制两个边长分别为，的正方形 将左右两部分剪开 将右侧部分翻折，并平移 左右两部分拼接在一起 说明：中大小正方形公共顶点的邻边分别在一条直线上；步骤中多边形的面积为，步骤中多边形的面积为． 问题解决 任务 请用含，，的代数式分别表示，． 请利用等积法证明勾股定理． 20.本小题分 如图，在中，、分别是边、上的高线，取的中点为点，连结，，取的中点为点． 求证：； 当时，求证：是等边三角形； 在的条件下，当时，求的长． 21.本小题分 近年来，武汉市委组织部借助网红直播基地，积极探索党建引领乡村振兴的新模式．某电商对种植成本为元千克的“阳光玫瑰”葡萄进行直播销售，如果按每千克元销售，每天可卖出千克．通过市场调查发现，如果“阳光玫瑰”葡萄售价每千克降低元，日销售量将增加千克． 若每千克售价为元，每天可卖出          千克； 若日利润保持不变，每千克“阳光玫瑰”葡萄售价可降低多少元？ 小明的线下水果店也销售同款葡萄，标价为每千克元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过中的售价，则该商品至少需打几折销售？ 22.本小题分 如图，在中，，，，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． 如图，当____时，的面积等于面积的一半； 如图，在中，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好≌，求点的运动速度． 23.本小题分 定义：给定两个不等式组和，若不等式组的任意一个解，都是不等式组的一个解，则称不等式组为不等式组的“衍生组”． 例如：不等式组：是不等式组：的“衍生组”． 若不等式组：，：，则不等式组______是不等式组：的“衍生组”填“”或“”； 若关于的不等式组：是不等式组：的“衍生组”，且不等式组有且只有个整数解，求的取值范围； 若关于的不等式组：，：，：，其中不等式组是不等式组的“衍生组”不等式组是不等式组的“衍生组”，且满足，求的取值范围． 24.本小题分 如图，在中，过顶点作直线不经过点，交线段或的延长线于点，以直线为对称轴，作点的对称点，连接，射线交直线于点． 如图： 若，则的度数为； 求证：； 如图、图，若直线绕点转动的过程中，设，请用含的式子表示的长请直接写出答案． 第3页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省杭州市拱墅区2025-2026学年八年级上学期 期中数学模拟试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若，则下列不等式中一定成立的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：、由，可得，原式不成立； B、由，不一定能得到，例如，但是，原式不一定成立； C、由，不一定能得到，例如，，但是，原式不一定成立； D、由，可得，原式一定成立； 故选：． 不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向；据此逐一判断即可． 本题主要考查了不等式的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 2.下列图案中，轴对称图形的个数是(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C  【解析】解：由题意可知：第，，个图为轴对称图形，共个． 故选：． 根据轴对称图形的定义进行判断即可． 本题考查轴对称图形，正确记忆轴对称图形的概念是解题关键． 3.如图，任意画出一个，使画；以为圆心，为半径画弧交于点；以为圆心，为半径画弧交于点；连接，则可以得到与全等，判定全等的理由是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：在和中， ， ≌， 即可以得到与全等的理由是， 故选：． 由作图可知，，然后问题可求解． 本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 4.如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，的顶点都在格点上，则下列结论错误的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：每个小正方形的边长均为， 、，正确，不符合题意； B、，正确，不符合题意； C、，原结论错误，符合题意； D、，， ， 是直角三角形，且，正确，不符合题意， 故选：． 根据勾股定理、勾股定理的逆定理计算判断即可． 本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理，熟知如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么是解题的关键． 5.如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线交于点，交于点，连结若，，则的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：由作图过程可知： 是的垂直平分线， ，， ， ， ， 点是的中点， 点是的中点， 是的中位线， ， 在中，根据勾股定理，得 ． 答：的长为． 故选：． 由作图过程可知：是的垂直平分线，，从而可以证明是的中位线，可得，再根据勾股定理即可求出的长． 本题考查了作图基本作图，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法和性质． 6.如图，已知在中，是边上的高线，平分，交于点，，，则的面积等于(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】本题考查了三角形的面积和角平分线性质，过作于，根据角平分线性质得出，根据三角形面积公式求出即可． 【详解】解：过作于， 是边上的高线，平分， ， ， 的面积为． 故选：． 7.如图是某个一元一次不等式的解集在数轴上的表示，若该不等式恰有三个非负整数解，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：该不等式恰有个非负整数解， 结合图形可得，该不等式的三个非负整数解为，，， 的取值范围是， 故选：． 结合图形可得，该不等式的三个非负整数解为，，，由此即可得解． 本题考查了一元一次不等式的整数解，在数轴上表示不等式的解集，采用数形结合的思想是解此题的关键． 8.如图，线段，的垂直平分线交于点，且，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：如图，连接， 线段，的垂直平分线交于点， ，， ， ， ， 在和中， ≌， ， 设，则，， ， 中，， 故选：． 连接，依据线段，的垂直平分线交于点，可得，，判定≌，可得，设，则，，，即可得到中，． 本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质的运用，解决问题的关键是依据全等三角形的对应角相等，以及三角形内角和定理得出结论． 9.如图，，，，四个点顺次在直线上，以为底向下作等腰直角三角形，以为底向上作等腰三角形，且连接，当的长度变化时，与的面积之差保持不变，则与需满足(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】过点作于点，过点作于点，先根据等腰三角形的性质可得，，利用勾股定理可得，再利用三角形的面积公式可得与的面积之差，然后根据“当的长度变化时，与的面积之差保持不变”建立等式，化简即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， 是等腰直角三角形，且， ， 是等腰三角形，且， ， ， ， 与的面积之差为 ， 当的长度变化时，与的面积之差保持不变， ， ， 故选：． 10.如图，在中，，点，分别是，的点，，点，分别是边，上的动点，在点，运动的过程中，的最小值是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：如图，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，，，， 则，，，，，， ， 的最小值是的长； ，， ，， 是等边三角形， ， 的最小值是， 故选：． 作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，，，，由对称的性质，得，，，，，，推出的最小值是的长，再证明是等边三角形，即可解决问题． 本题考查轴对称最短路线问题，等边三角形的判定与性质，两点之间线段最短，能利用轴对称的性质找出取得最小值的条件是解题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.以直角三角形的三边为边向形外作正方形，若，，则      ． 【答案】  【解析】解：， ，，， 又，， ， 故答案为：． 在直角三角形中使用勾股定理可得，代入面积即可求解． 本题考查勾股定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 12.如果不等式组的解集是，则的取值范围是          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是解一元一次不等式组以及不等式组的解集．先求出每个不等式的解集，然后和已知的不等式组解集比对，得到关于的不等式，从而解答即可． 【解答】 解：在 解不等式得，， 解不等式得，， 根据已知条件，不等式组解集是， 根据“同大取大”原则． 故答案为． 13.如图，中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿在上，在上折叠，点与点恰好重合，则为          度． 【答案】  【解析】连接、，根据角平分线的定义求出，根据等腰三角形两底角相等求出，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，再求出，根据全等三角形的性质可得，根据等边对等角求出，根据翻折的性质可得，然后根据等边对等角求出，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【解答】解：如图，连接、， ，为的平分线， ， 又， ， 是的垂直平分线， ， ， ， 为的平分线，， ， ， ， 将沿在上，在上折叠，点与点恰好重合， ， ， 在中，． 故答案为：． 14.如图，在中，为的平分线，于，连接，若的面积为，：：，：：，则的面积为      ． 【答案】  【解析】解：延长交于， ，为的平分线， ，， ≌， ，， ， ， ：：，的面积为， ， 又：：， ， ， 故答案为：． 延长交于，证明≌，得出，，根据三角形中线的性质得出，则求出，根据的面积为，：：，可求出的面积，结合：：，可求的面积，即可求解． 本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中线的性质等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键． 15.令、两数中较大的数记作，，如，，已知为正整数且使不等式，成立，则的值是______． 【答案】或  【解析】【分析】 本题主要考查对新定义的理解及解一元一次不等式组的能力，由新定义会分类讨论是前提，根据题意列出不等式组是关键．根据新定义分、两种情况，分别列出不等式求解即可． 【解答】 解：当时， 解得：； 当时， 解得 为正整数， 使不等式，成立的的值是或， 故答案为或． 16.已知：如图在，中，，，，点，，三点在同一条直线上，连接，以下四个结论：；；；，则结论正确的是          ． 【答案】  【解析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，正确找出两个全等三角形是解题关键．证出，根据全等三角形的性质即可判断正确；根据全等三角形的性质可得，设交于点，根据可得，则，由此即可判断正确；根据等腰三角形的性质可得，再根据角的和差、等量代换即可判断正确；根据勾股定理可得，，再根据可得，由此即可判断错误． 【详解】解：， ，即， 在和中， ， ，，则结论正确； 如图，设交于点， ， ， ，， ， ， ，则结论正确； ，， ， ，则结论正确； ，，， ，， 在中，， 在中，， ， ， ，即，则结论错误； 综上，结论正确的是， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 解不等式； 解一元一次不等式组，并把不等式组的解在数轴上表示出来． 【答案】；   ，  【解析】， ， ， ， ； 解不等式，得， 解不等式，得， 所以不等式组的解集为， 数轴表示如下： ． 根据解一元一次不等式的方法解答即可； 根据解一元一次不等式组的方法求得不等式组的解集，并在数轴上表示出来即可． 本题主要考查了解一元一次不等式、解一元一次不等式组及在数轴上表示不等式的解集，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 18.本小题分 如图，在中，是的垂直平分线，于点，且为的中点． 求证：； 若，求的度数． 【答案】(1)证明：因为EF是AB的垂直平分线，  所以BE＝AE．  因为AD⊥BC，D为CE的中点，  所以AD是EC的垂直平分线，  所以AE＝AC，  所以BE＝AC．  (2)解：因为AE＝AC，∠C＝70°，  所以∠AEC＝∠C＝70°．  因为BE＝AE，∠AEC＝180°-∠AEB＝∠B+∠EAB，  所以，  所以∠BAC＝180°-∠B-∠C＝75°．  【解析】 略  略 19.本小题分 某学习小组参照教材上的材料进行勾股定理的项目式探究，并制表如下： 利用剪拼法证明勾股定理 背景 意大利著名画家达芬奇证明勾股定理的剪拼法． 步骤 在纸片上绘制两个边长分别为，的正方形 将左右两部分剪开 将右侧部分翻折，并平移 左右两部分拼接在一起 说明：中大小正方形公共顶点的邻边分别在一条直线上；步骤中多边形的面积为，步骤中多边形的面积为． 问题解决 任务 请用含，，的代数式分别表示，． 请利用等积法证明勾股定理． 【答案】解： ，． 由得，  所以．   【解析】略 20.本小题分 如图，在中，、分别是边、上的高线，取的中点为点，连结，，取的中点为点． 求证：； 当时，求证：是等边三角形； 在的条件下，当时，求的长． 【答案】(1)证明：∵、分别是边、上的高线， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∵G是的中点， ∴；   (2)∵、分别是边、上的高线， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形；   (3)由（2）可知：是是等边三角形，且， ∵， ∴， ∵G是的中点， ∴， ∴．   【解析】  根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，可得到，再根据等腰三角形三线合一，可证；   根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，可得到，再结合等腰三角形的性质可推出，即可证明是等边三角形；   根据中的结论及的长度可求出和的长度，根据是中点可得的长度，再根据勾股定理即可求出． 21.本小题分 近年来，武汉市委组织部借助网红直播基地，积极探索党建引领乡村振兴的新模式．某电商对种植成本为元千克的“阳光玫瑰”葡萄进行直播销售，如果按每千克元销售，每天可卖出千克．通过市场调查发现，如果“阳光玫瑰”葡萄售价每千克降低元，日销售量将增加千克． 若每千克售价为元，每天可卖出          千克； 若日利润保持不变，每千克“阳光玫瑰”葡萄售价可降低多少元？ 小明的线下水果店也销售同款葡萄，标价为每千克元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过中的售价，则该商品至少需打几折销售？ 【答案】(1)280  (2)设每千克“阳光玫瑰”葡萄售价降低x元， 则每千克的销售利润为（40－x－20）元， 日销售量为（200＋20x）千克， 根据题意，得（40－x－20）（200＋20x）＝（40－20）×200，整理得x2－10x＝0， 解得x1＝0（不符合题意，舍去），x2＝10． 答：若日利润保持不变，每千克“阳光玫瑰”葡萄售价可降低10元；   (3)设该商品需要打y折销售，根据题意，得，解得 y≤6， ∴y的最大值为6． 答：该商品至少需打六折销售．   【解析】  解：若每千克售价为元，每天可卖出千克；  见答案  见答案 22.本小题分 如图，在中，，，，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． 如图，当____时，的面积等于面积的一半； 如图，在中，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好≌，求点的运动速度． 【答案】解：或； ≌，即对应顶点为与，与，与； 当点在上，如图所示： 此时，，， 点移动的速度为， 当点在上，如图所示： 此时，，， 即点移动的距离为，点移动的距离为， 点移动的速度为， 综上所述，两点运动过程中的某一时刻，恰好≌，点的运动速为或．   【解析】【分析】 此题主要考查全等三角形的判定与性质及三角形的中线性质及分类讨论思想的方法． 根据三角形的中线把三角形面积分成相等的两部分求解； 根据三角形全等的判定与性质求解． 【解答】 解：当点运动到或的中点时，的面积等于面积的一半， 当运动到的中点时，， 当运动到的中点时，， 故答案为或； 见答案． 23.本小题分 定义：给定两个不等式组和，若不等式组的任意一个解，都是不等式组的一个解，则称不等式组为不等式组的“衍生组”． 例如：不等式组：是不等式组：的“衍生组”． 若不等式组：，：，则不等式组______是不等式组：的“衍生组”填“”或“”； 若关于的不等式组：是不等式组：的“衍生组”，且不等式组有且只有个整数解，求的取值范围； 若关于的不等式组：，：，：，其中不等式组是不等式组的“衍生组”不等式组是不等式组的“衍生组”，且满足，求的取值范围． 【答案】；   ；     【解析】不等式组：的解集为， 不等式组：的解集为， 不等式组：的解集为， 不等式组是不等式组的“衍生组”， 故答案为：； 不等式组：的解集为， ，解得， 不等式组有且只有个整数解， ， 解得， 不等式组：的解集为， 不等式组是不等式组的“衍生组”， ， 解得， 的取值范围为； 不等式组：的解集为， 不等式组：的解集为， 不等式组：的解集为， 不等式组是不等式组的“衍生组”， ，， 解得，， 不等式组的“衍生组”不等式组是不等式组的“衍生组”， ，， 解得，， ， ， ，， 解得，， 综上所述：． 分别求出不等式组、、的解集，再根据定义判断即可； 求出不等式组的解集，再由不等式组有且只有个整数解，可得，求出，求出不等式组的解集，根据题意可得不等式组，解得，即可求的取值范围为； 分别求出不等式组、、的解集，由不等式组是不等式组的“衍生组”，得到，，由不等式组的“衍生组”不等式组是不等式组的“衍生组”，得到，，再由，可得，，结合前面所求，即可求的取值范围． 本题考查不等式组的解集，熟练掌握不等式组的解集，弄清“衍生组”的定义，根据定义确定不等式组是解题的关键． 24.本小题分 如图，在中，过顶点作直线不经过点，交线段或的延长线于点，以直线为对称轴，作点的对称点，连接，射线交直线于点． 如图： 若，则的度数为； 求证：； 如图、图，若直线绕点转动的过程中，设，请用含的式子表示的长请直接写出答案． 【答案】(1)①解：连接， ， ∵，点的对称点为点E， ∴， ∵， ∴，， ∴ ； ②证明：连接， ， ∵为对称轴， ∴， ∴， ∵， ∴，，， ∴，即：， ∴， ∴；   (2)​​​​​​​或．  【解析】  连接，利用对称性求出，，再利用等腰三角形性质求出本题答案； 连接，利用对称性求出，继而求出，即可求出本题答案； 本题考查三角形内角和定理，等腰三角形性质，轴对称性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质等．   解：图中，设， ，， ， 作交于， ，， 在   ， ， ， 即：； 图中，设， ，， ， 作， ，， ， ， ， ， ， 综上所述：的长为：或． 分析图，设，作交于，再证明，继而得到；分析图，作，证明，再得到即可得到答案． 第14页，共24页 学科网（北京）股份有限公司 $