专题：解三角形中的取值范围与最值问题讲义-2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

专题：解三角形中的取值范围与最值问题 一、核心解题方法归纳 1.利用正弦定理转化为三角函数最值 (1)将边转化为角的正弦形式，结合三角恒等变换化简目标表达式。 (2)利用三角形内角和(A+B+C=T)限定角的范围，再通过正弦、余弦函数的单调性或 有界性(Isinx|s1、|cosxs1)求最值。 2.利用余弦定理结合不等式（均值不等式为主） (1)针对涉及边的平方、乘积的问题，用余弦定理建立边与角的关系。 (2)结合均值不等式(a+b222ab、a+b≥2V(ab),等号成立条件为a=b),注意三角形两 边之和大于第三边的隐含条件。 3.利用三角形边角关系与函数思想 (1)以某一边或角为变量，建立目标量的函数解析式（一次、二次、分式函数等）。 (2)根据变量的取值范围（由三角形存在条件限定，如边长大于0、角∈(O,π）》，结合 函数单调性或配方法求范围。 4.几何法（图形直观分析） (1)固定三角形的某些元素（如一边及其对角），利用圆周角性质或图形平移、旋转， 分析目标量的变化范围。 (2)适用于直观性强的问题，如求三角形高、中线、角平分线的最值。 二、关键注意事项 (1)始终牢记三角形隐含条件：两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，内角和为 T,每个角∈(O,T): (1)用均值不等式时必须验证等号成立的条件，且需满足三角形存在（即等号成立时三 边能构成三角形)。 (③)三角函数化简后，要准确限定角的范围，避免因范围扩大或缩小导致结果错误。 三、例题讲解 1.(2025年安微省合肥一中高三10月考试题)已知△ABC中，角A,B,C所对的边分别 为a,b,c,且2(acos C+ccos A)cosC+b=0. (I)求角C的大小； (IⅡ)求sin2A+sin2B的取值范围. 解：()因为2(acosC+ccos A)cosC+b=0, 又acosC+ccosA=b, 所以2bc0sC+b=0, 1 故cosC=- 由C为三角形的内角得C=2 3； (0由)知A+B= 3, sin+sinB-1-cos24+1-cos2B=1-1 2 (cos24+cos2B), 11 2c0s4 cos241.62π-2A0→ 3 11 .1 1V cos24+cos24- 4 ×2 -sin 2A, =1-sin(2A+), 2 6 因为0<4<子 所以元<2A+”<5π 66 所以<i24+爱1 6 所以1-m24+名孕 6 放sm4+sin8的取值范围子， 2.(2025年安徽省芜湖市高三模拟试题)在△ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对 边，且2b-c=2 a cosC. (1)求A; (2)若△ABC为锐角三角形，c=2,求b的取值范围. 解：(1)：2b-c=2ac0sC, ..2b-c=2ax a2+-c,化为：62+c2-a=bc, 2ab .可得cosA= b2+c2-a2 bc 1 2bc 2bc=2' A∈(0，π)， (2)因为△ABC是锐角三角形，A=刀， 3 所以c--8e0受，且8e0受 3 2 故<C<2' π 6 正弦定理可得c.sinB2 xsin(3+OV3cosC+sinC sinC sin C sin C tan C 因为<C< 6 所以anC> 3 故0<L<5, tan C 所以1<1+5 <4, tan C 故b的取值范围为(1,4). 3.(2025年福建省福州一中高三模拟试题)己知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a, b,c,ccos+asinA-bsin B-csinC=0. cos Asin B (1)求A: (2)若a>c,求a+b的取值范围。 解：(1)由条件与正弦定理，可得4 ccos A+ a2-b2-c2 =0, bcosA .b2+c2-a2=2bccosA, ∴.4 ccos A- 2bccosA=0, bcosA :2c0sA-1=0,c0sA=2' 1 :0<A<π，.A= π 3 5 (2)atb=sin4+sin B2 +sin(c) c sinC sin C =+5.1+cosC-15 2cos2C 2 2+2simc=22 CC 2sin 2 c 2 1,V31 =22am2 ' C a>c,A>C, C a+b>2, 3 :故a+b的取值范围为(2，+0). 4.(2025年福建省泉州市高三质检题)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别a,b, c,且aows号+co+e--ae (1)求角B的大小； (2)若b=23,c=x(x>0),当△ABC仅有一解时，写出x的范围，并求a-c的取值范围. 解：(1)因为aosS+ccos 4a+c-b) 2 2 =+cosC)c+cosA(a+c-b) 2 2 -a+c+(acosC+ccosA)(a+c-b) =(a+c+b)(a+c-b) 2 =a'+c-b+2ac 2 →a2+c2-b2=ac, →cosB= 2 →B=π 3 (2)法一：由正弦定理，得C一 b sinC sin B' 则sinC=,B=T 4 3 则0<C<2 做正弦曲线如图所示， 4 0 2n 3 则当0<5或=1，即：4或0<：25时，AMBC仅有一解， 421 4 故x=4或0<x2V5; 法二：由正弦定理，如图，当b=csin B或bc时，△4BC仅有一解， 故x=4或0<x25: 当x=4时，a-c=2-4=-2； 当0<x25时， b sin A sinC sin B =4, 可作a-c=46如4-n0=c+骨-nC1=nc+5。 osC]=4sinC-爱· 2 因为0<CT,-T<C-交0， 3-31 3 9mc-胃0 所以 所以，a-c=4sinC-骨e[0,2B). 综上，a-ce{-2U[0,23). A C=X 2 B D E C 5.(2025年重庆南开中学高三模拟试题)已知函数f(x)=二cos4x-sinxcosx- sin x. (I)求f(x)的最小正周期及单调减区间： (IⅡ)在△ABC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c,若f(=- 2,BC边上的 2 中线AD=√2，求b2+c2的最大值. 解，1）函数fe)=osx-sinxcosx-n'x-(cox-sn到-分 sin 2x (cos'x-sin)(cos'x+sin) sin2x(cos'x-sinx)-sin 2x 号eos2x-sin2)s2 2cos(2x+), 4 所以最小正周期为T=π， 令2x+子e2x,+2小.eZ,解得xe[r-后机+1keZ, 8 所以函数的单调减区间为[kπ-兀， 2cos(1+)=- 4 2 ，c0s(A+)=-1,A=3n 4 AB+AC=2AD,.b2+c2+2bcco 3沉=4×2， 4 .b2+c2-V2bc=8, +e-8=hc 2 02b+c)8,2+e216 2-V282+V2),当且仅当6=c时，取等号.， 此时b2+c2的最大值为8(2+√2) 6.(2025年福建省三明二中月考题)锐角△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已 知2b-a=2c·c0sA. (1)求角C: (2)若a+b=4,求边c的取值范围. 解：(1)因为2b-a=2 c.cosA,由正弦定理可得2sinB-sinA=2 sin C cosA, 所以2sin[π-(A+C)]-sinA=2 sin C cos A, 2sin(A+C)-sin A=2sin C cos A 展开可得：2 sin AcosC+2 sin C cosA-sinA=2 sinC cosA 得到：2 sin AcosC-sinA=0因为sinA≠0，所以cosC=】 ,C是锐角， 所以C=乃 3 (2)由正弦定理a =b=cc2W5。 可得a=23。 c.sinA,b=25 -c.sin B sin A sin B sin C 33 3 3 2 .sin4+ 所以23 3c~sinB=4,得c= 2V5 sin A+sin B 因为锐角4ABC,所以0<C=2元 -A<亚，0<A<花，得到交<A< 3 2 2 6 2 sin 4+sin B=sin A+sin(sin 2 2cos 4=3sin(+ 6 因为<A<行，所以<A+<2要，s(4+只)e(5,, 6 2 3 63 61 所以c= 25 43、 sin A+sin B e2,3 四、变式练习 1.(2025年淄博市实验中学高三月考试题)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b, e,csin(A+乃)=a+b 61 (1)求C: (2)若△ABC的面积为√3c,求c的最小值. 解：(1)因为csin(4+匹)=a+b, 61 2 所以c sinA+号cosA)=a+b 由正弦定理可得sinC(√3sinA+cosA)=sinA+sinB,即 2 2 3sin Csin 4+sin Ccos 4=sin 4+sin(A+C), 可得√3 sin Csin A=sinA+sin AcosC, 又sinA≠0， 所以5C=1+osC即2mC-名-1，可得nC-急 又0<C<π， 所以C-亚=刀 66 可得C= 3 (2)由题意可得absin=√5c,即ah=4c, 2 3 由余弦定理可得cosC=Q+b2-c2 可得1=a2+62-c2 2ab 28c 所以12ab-c2_8c-c2 8c 8c 解得c≥4或c≤0，（舍去），当且仅当a=b=4时等号成立， 所以c的最小值为4. 2.(2025年四川省广元市高三诊断性考试题)己知△ABC的三个内角A,B,C对应的边分 别为a,b,c,√3a=V3 c cos B+bsinC. (1)求角C的大小： (2)如图，设P为△ABC内一点，PA=1,PB=2,且∠APB+∠ACB=π，求AC+BC的 最大值. 解(1)：√3a=√5 c cos B+bsinC. ..3sin A=3sin C cos B+sin B sin C. .√5sin(B+C=√3 sin Ccos B+sin Bsin C. 整理得√5 sin BcosC=sin BsinC. 易知sinB>0,.tanC=V3, 又C为三角形内角， 4C-. (2)由(1)与LAPB+LACB=R,得∠4PB=2 3 在APAB中，由余弦定理，AB=AP2+PB2-2PA:PBc0s∠APB=1+4-2x1×2×(=7 又 在 △ABC 中 AB-AC+BC:-2AC.BC cOs ZACB-(AC+BC)-3AC.BC (AC+BC)-3x (4C+BC:(AC+BC) 2 4 :AC+BC2√7，当且仅当AC=BC时取等“=”所以AC+BC的最大值为2√7. 3.(2025年合肥市高三模拟试题)△ABC的三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c, 己知bsin4+B csin B. 2 (1)求C; (2)若c=1,求a-1b的取值范围. 2 解：(1)因为bsin 4+B =csin B, 由正弦定理sin Bsin4+B -=sin Csin B, 2 因为sinB>0, 所以sinA+B sin C=sin(A+B), 所以sin(正-)=sinC=2sin，cos 2 2 即cosC=2 sin Ccos9 2 2 2 C 由C为三角形内角得cos二≠0， C I 故sin长= 22 所以C-子 (2)由(1)C=元， ,c=1, 3 由正弦定理得2R= 12V5 33 2 所 以 a- sin 4- in8=26, -sin B cos B 3 3 3 n8=299s8+n)- 3 3、2 因为B∈(0,2匹)， 所以cosB∈(2，D, 所以ab的取值范国(3》。 4.(2025年自贡市高三模拟试题)在△ABC中，已知角A,B,C所对边分别为a,b,c, tanC=sin4+sin B cos A+cos B (1)求角C; (2)若c=2,求a+b的取值范围 解：(I)因为tanC=sinC-sinA+sinB cosC cosA+cosB 所以sinC(cosA+cosB)=cosC(sinA+sinB); sin C cos A-cosC sin A=cosC sin B-sin C cos B, 所以sin(C-A)=sin(B-C), 故C-A=B-C或C-A=π-(B-C), 解得A+B=2C或B-A=π（舍） 又因为在△ABC中，A+B+C=π， 所以C=60°. (2)(法一)由余弦定理知c2=a2+b2-2 abcosC=a2+b2-ab, 所以4=c2=a+创-3aba+P-子a+-a+b, 所以a+b4,当且仅当a=b=2时等号成立. 又因为a,b,c是△ABC的三条边， 所以2<a+b4, 所以2<a+b4. (2)(法二)因为c=2,C=60°， 由正弦定理，c=4V5 sin C 3, 4V3 所以a= 4V3 -sin A.b=- -sin B 3 3 所 以 a+b=4 -(sin A+sin B) 3 专4)3(simA+sim020°=4)=4xV3 1 2sin4+2cos40=4sin(4+30), 因为A,B,C是△ABC的三个内角，且C=60°. 所以Ae(0°，120)， 所以A+30°∈(30°，150)， 所以n4+3091, 所以2<a+b4. 专题：解三角形中的取值范围与最值问题 一、核心解题方法归纳 1. 利用正弦定理转化为三角函数最值 (1)将边转化为角的正弦形式，结合三角恒等变换化简目标表达式。 (2)利用三角形内角和（A+B+C=π）限定角的范围，再通过正弦、余弦函数的单调性或有界性（|sinx|≤1、|cosx|≤1）求最值。 2. 利用余弦定理结合不等式（均值不等式为主） (1)针对涉及边的平方、乘积的问题，用余弦定理建立边与角的关系。 (2)结合均值不等式（a²+b²≥2ab、a+b≥2√(ab)，等号成立条件为a=b），注意三角形两边之和大于第三边的隐含条件。 3. 利用三角形边角关系与函数思想 (1)以某一边或角为变量，建立目标量的函数解析式（一次、二次、分式函数等）。 (2)根据变量的取值范围（由三角形存在条件限定，如边长大于0、角∈(0,π)），结合函数单调性或配方法求范围。 4. 几何法（图形直观分析） (1)固定三角形的某些元素（如一边及其对角），利用圆周角性质或图形平移、旋转，分析目标量的变化范围。 (2)适用于直观性强的问题，如求三角形高、中线、角平分线的最值。 二、关键注意事项 (1)始终牢记三角形隐含条件：两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，内角和为π，每个角∈(0,π)。 (1)用均值不等式时必须验证等号成立的条件，且需满足三角形存在（即等号成立时三边能构成三角形）。 (3)三角函数化简后，要准确限定角的范围，避免因范围扩大或缩小导致结果错误。 三、例题讲解 1．(2025年安徽省合肥一中高三10月考试题)已知中，角，，所对的边分别为，，，且． （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）求的取值范围． 2．(2025年安徽省芜湖市高三模拟试题)在中，，，分别为角，，的对边，且． （1）求； （2）若为锐角三角形，，求的取值范围． 3．(2025年福建省福州一中高三模拟试题)已知的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）若，求的取值范围． 4．(2025年福建省泉州市高三质检题)在中，内角，，所对的边分别，，，且． （1）求角的大小； （2）若，当仅有一解时，写出的范围，并求的取值范围． 5．(2025年重庆南开中学高三模拟试题)已知函数． （Ⅰ）求的最小正周期及单调减区间； （Ⅱ）在中，，，所对的边分别为，，，若，边上的中线，求的最大值． 6．(2025年福建省三明二中月考题)锐角内角，，的对边分别为，，．已知． （1）求角； （2）若，求边的取值范围． 四、变式练习 1．(2025年淄博市实验中学高三月考试题)在中，角，，的对边分别为，，，． （1）求； （2）若的面积为，求的最小值． 2．(2025年四川省广元市高三诊断性考试题)已知的三个内角，，对应的边分别为，，，． （1）求角的大小； （2）如图，设为内一点，，，且，求的最大值． 3．(2025年合肥市高三模拟试题)的三个内角，，的对边分别是，，，已知． （1）求； （2）若，求的取值范围． 4．(2025年自贡市高三模拟试题)在中，已知角，，所对边分别为，，，． （1）求角； （2）若，求的取值范围． 5．(2025年自贡市蜀光中学高三10月考试题)在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，． （1）求角的大小和边长的值； （2）求面积的取值范围． 6．(2025年北京市第二中学月考题)在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决该问题． 已知锐角中，、、分别为内角、、的对边，，_____． （1）求角； （2）求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $