专题研究：解三角形面积的核心与解题思路讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

专题研究：解三角形面积的核心与解题思路 解三角形面积问题是高考三角函数板块的高频考点，常结合正余弦定理、 三角恒等变换考查，核心是“根据已知条件选对面积公式，灵活边角互化”。 一、核心面积公式（基础必备） 1.底高公式：S=h2（a为任意一边，h为这边对应的高)。 2.两边及夹角公式：S=专absinC=专bcsinA=专acsinB(最常用，已知两边 和夹角直接用)。 3.外接圆半径关联公式：S=(R为三角形外接圆半径，已知三边或两边+ 半径时用)。 4.内角和与正弦公式：S=2 RsinAsinBsinC(仅已知外接圆半径和三个内角时 适用)。 5.海伦公式：S=Vp(p-a)(p-b)(p-c)(p=斗，已知三边时直接 计算)。 二、关键解题思路（按己知条件分类） 1.已知两角+一边：先由内角和求第三角，再用正弦定理求另一边，代入“两边 及夹角公式”。 2.已知两边+对角：用正弦定理求另一角，结合内角和确定第三角，再用“两边 及夹角公式”（注意多解情况）。 3.已知三边：直接用海伦公式，或先由余弦定理求任意一角，再代入“两边及 夹角公式”。 4.已知一边+高：直接用底高公式，无需额外转化。 5.含外接圆、内切圆半径：外接圆用S=紧，内切圆用S=pr(r为内切圆半 径，P为半周长)。 三、常见技巧与易错点 1.边角互化：通过正余弦定理将“边”转化为“角”或反之，适配面积公式。 2.拆分图形：遇到四边形或不规则图形，拆分为两个三角形分别求面积再求和。 3.易错点：忽略三角形内角范围(0<A,B,C<π)导致三角函数值符号错误； 用正弦定理时遗漏多解情况；海伦公式中半周长计算失误。 四、例题讲解 1.(2025年绵阳东辰中学高三10月考试题)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a, b,c,且2b-acosC)=V3c. (I)求A; (Ⅱ)若a=2,求△ABC面积的最大值. 2.(2025年仁怀市高三上入学模拟试题)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b, c,hsnA=aca(B-名} (1)求角B的大小； (2)若b=2V3,求△ABC面积的最大值. 3.(205年兰州一中模拟试盟如图所示，在梯形4BCD中，AB1CD,∠B1D=行，点E 是AD上的一点，DE=2AE=4,2 BC cosLBEC=BE cosLEBC+CE cosLECB, (1)求∠BEC的大小 (2)若ABCE的面积S为8√3，求BC. B ⊙ D 4.(2025年贵州省贵阳市三校联考试题)已知平面四边形ABCD内接于圆O,AB=BC=3, ∠ABC=60°. (1)若CD=√5，求∠ABD所对的圆弧AD的长； (2)求四边形ABCD面积的最大值， 5.(2025年广东实验中学高三10月练习试题)在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C 的对应边，已知acosC+√2c=b+ccosA. (1)求A; 2)若sn8-利=，C=25,求4HC的面积 6.(2025年眉山市高三模拟试题)(1)如图，在直径为10cm的轮子上有一长为6cm的弦， P是弦的中点，轮子以4弧度/秒的速度旋转，求点P经过5s所转过的弧长 (2)在A48C中，已知an4分m8且最长边为1，求48C的面积 B 7.(2025年南京师范大学附属中学高三10月考试题)如图，半圆0的直径为2cm,A为直 径延长线上的-点，OA=2cm,B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC,设 LA0B=a· (1)当a=元时，求四边形0ACB的周长； 3 (2)点B在什么位置时，四边形OACB的面积最大？最大值为多少？ B 8.(2025年四川省遂宁中学高三练习试题)已知△4BC中，√5AC·sinA=BC·cosB, (I)求B的大小： (IⅡ)已知C=T,AB=IO05,若D、E是边BC上的点，使∠DAE=T,求当△4DE面 3 积的最小时，∠BAD的大小， 1) 五、变式练习 1.(2025年西安市高三联考试题)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 若C,a=√3sinC-cosC. (1)求角B的大小； (2)若C=T,a=2,F为边AC上一点，且CF=V2BF,求△MBF的面积. 6 2.(2025年长沙市第一中学高三模拟试题)在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的 对边，若bcosC+(2a+c)cosB=0 (I)求B; (IⅡ)若A1BC面积的最大值为5， 6 3.(2025年云南省昆明市高三联考试题)己知在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为 a,b,c,sinA+2snB=5sin(4+7,其中Be(0,7. (I)若a=√2，c=5,求b; (IⅡ)若a=2,CB·AB=8,求△ABC的面积. 4.(2025年四川省绵阳中学高三练习试题)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b, A c.己知a·sin(A+B)=ccos (1)求A; (2)已知b=1,c=3,且边BC上有一点D满足SMARD=3Sa4Dc，求AD· 5.(2025年四川省绵阳市南山中学高三10月模拟试题)如图所示，在△ABC中，∠A,∠B, ∠C的对边分别为a,b,c,已知2 bsin Acos B+asin B=0,a=1,c=2 (1)求b和sinC; ②圈，设D为4C边上一点粉得R48D的面陕 B D 6.(2025年武汉市高三模拟试题)已知△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 满足(2a-c)cosB=bcosC. (1)求B的大小： (2)如图，AB=AC,在直线AC的右侧取点D,使得AD=2CD=4,求四边形ABCD面 积的最大值专题研究：解三角形面积的核心与解题思路 解三角形面积问题是高考三角函数板块的高频考点，常结合正余弦定理、 三角恒等变换考查，核心是“根据已知条件选对面积公式，灵活边角互化”。 一、核心面积公式（基础必备） 1.底高公式：S=h,(a为任意一边，h,为这边对应的高)。 2.两边及夹角公式：S=号absin C=-号besin A=号acsin B(最常用，已知两边和 夹角直接用)。 3.外接圆半径关联公式：S=bc Γ4R (R为三角形外接圆半径，己知三边或两边 +半径时用)。 4.内角和与正弦公式：S=2 R2sin A sin Bsin C(仅已知外接圆半径和三个内角时 适用)。 5.海伦公式：5=pp-ap-bp-d(p=a+9t,已知三边时直接计算)。 二、关键解题思路（按已知条件分类） 1.已知两角+一边：先由内角和求第三角，再用正弦定理求另一边，代入“两边 及夹角公式”。 2.己知两边+对角：用正弦定理求另一角，结合内角和确定第三角，再用“两边 及夹角公式”（注意多解情况）。 3.已知三边：直接用海伦公式，或先由余弦定理求任意一角，再代入“两边及 夹角公式”。 4.已知一边+高：直接用底高公式，无需额外转化。 5.含外接圆、内切圆半径：外接圆用S=bc 4R ,内切圆用S=pr(r为内切圆半 径，p为半周长)。 三、常见技巧与易错点 1.边角互化：通过正余弦定理将“边”转化为“角”或反之，适配面积公式。 2.拆分图形：遇到四边形或不规则图形，拆分为两个三角形分别求面积再求 和。 3.易错点：忽略三角形内角范围(0<A,B,C<π)导致三角函数值符号错误； 用正弦定理时遗漏多解情况；海伦公式中半周长计算失误。 四、例题讲解 1.(2025年绵阳东辰中学高三10月考试题)在△4BC中，角A,B,C所对的边分别为a, b,c,且2(b-acosC)=5c (I)求A; (Ⅱ)若a=2，,求△ABC面积的最大值. 解：(I）由正弦定理得2(sinB--sin AcosC)=V3sinC,又 .sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C 2cos4sinC=V3sinC,又sinC≠0，.2cosA=V5cos4s3 2, 故在△ABC中，A=30°： (Ⅱ）由余弦定理得：a2=b2+c2-2 becosA, 4 4=B+e2-2ceos30=+e2-5c2-5e,c2-540+ 5=bcsin A=Ibc 2+3 ·.△4BC面积2 故△MBC面积的最大值为2+V3 2.(2025年仁怀市高三上入学模拟试题)在△4BC中，角A,B,C所对的边分别为a,b, c, bsin4=aosB-8】 (1)求角B的大小： (2)若b=2V3,求△4BC面积的最大值. sin Bsin 4=sin Acos(B-) 解：(1)由正弦定理得 6 由于0<A<π，sinA≠0， inB=cos(B-A=5。 所以 6=。一COSB+SinB 3si咖B=3 1 OsB B=T 则tanB=V5,又0<B<元，所以。3. (2)由余弦定理，得l2=c2+a2-ca.2ac-a=ac(当且仅当a=c时，取“=”）， 从而3=2asim.3V5 3 所以△4BC的面积取得最大值3V3 3.(2025年兰州一中模拟试题)如图所示，在梯形ABCD中，AB/CD，, ∠BAD= 2,点 E是AD上的一点，DE=2AE=4,2 BCcos∠BEC=BEcos.∠EBC+CEcos∠ECB, (1)求∠BEC的大小： (2)若△BCE的面积S为8V5,求BC. B y E C D 解：(1)2 BCcos∠BEC=BEcos∠EBC+CEcos∠ECB, BE.BE2+BC2-CE2 CE.CEBC-BE=BC 2BE·BC 2CE·BC 1 os∠BEC= ∠BEC= 所以 2,即 3 ∠DEC= 2π 2π -a(0<u< (2)设∠AEB=C,则 3 3 因为DE=2AE=4, DE CE=- DE=AE 2 2π -a)cos( 所以 cosacosa, cos(2 3 3a) S=8E-CEsm子 25 85 -=85 3 △BCE的面积 cosa cos(2a)2sin(2a)-1 6 in(2a-7）=12a-z=元 所以 61 ，即 62, a= 所以3，此时BE=4,CE=8, △BCE中，由余弦定理得BC2=BE2+CE2-2BE·CEcos∠BEC, 1 =16+64-2×4×8× =48 2 故BC=4V5 4.(2025年贵州省贵阳市三校联考试题)已知平面四边形ABCD内接于圆O,AB=BC=3, ∠ABC=60°. (1)若CD=V5,求∠ABD所对的圆弧AD的长： (2)求四边形ABCD面积的最大值. 0 解：(1)连接AC, AB=BC=3,∠ABC=60°， ∴.△ABC为等边三角形，AC=3, :平面四边形ABCD内接于圆O, ∠ABC+∠ADC=180°（四点共圆）， ∴.∠ADC=120°， 由余弦定理可得，AD+DC2-AC2=2AD·DC.COS∠ADC, :AD=3 设△ABC的外接圆半径为R, R= AC 2sin∠ABC, AC=3,∠ABC=60° .R=V5 ∴.△OAD为等边三角形， 0= ·圆弧AD所对于应的角3， D=Ra=V5x=3π x33 (2)在AMCD中，AD+DC2-AC2=2AD.DC·∠ADC, :∠ADC=120°，AC=3, ..AD2+DC2=9-AD.CD, .AD2+CD2..2AD.CD. ∴.ADCD,3,当且仅当AD=CD=V3时等式成立， 四 边 形 ABCD面 积 1 1 8e+SB-BC60P号0：DC:sn2X3x325 )+,×3×2三3√3 2 四边形ABCD面积S=3V3」 5.(2025年广东实验中学高三10月练习试题)在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C 的对应边，已知acosC+V2c=b+ccosA, (1)求A: (2)若 in(B-1)=5 ,c=2V5,求△4BC的面积. 解：(1)·acosC+V2c=b+ccosA, 由正弦定理可得：sin AcosC+2sinC=sinB+sin CcosA, 又A+B+C=π， ∴.sinB=sin[π-(A+C】=sin(A+C), .sin AcosC+2sin C=sin Acos C+cos Asin C+sin CcosA, 2sinC=2sin CcosA, 又C∈(0，)， ∴.sinC>0, 2 cosA= 2. :A∈(0，π)， A交 .4 .sin(8-A)=5 (2) n(B-乃=V5 5,即 4-5, 0<B<3n -I<B-I<T 4,可得4 42， 4 5 如C-4=m8+孕=（份-孕-m8-子29 5, 又加8=sm8孕-是m8-+oB-1=55,25-如 4 2 5 10, 2R=-c 2v5 5 sinC 5 在△ABC中，由正弦定理可知： 5 R、5 2,(其中R为△MBC外接圆半径)， absin C-2R'sin Asin Bsin c-2x(515 1 X 21052 6.(2025年眉山市高三模拟试题)(1)如图，在直径为10m的轮子上有一长为6cm的弦， P是弦的中点，轮子以4弧度/秒的速度旋转，求点P经过5s所转过的弧长. tan = (2)在△4BC中，已知 3且最长边为1，求△4BC的面积. B 解：(1)因为P是弦的中点，所以OP⊥AB,因为AO=10m,AB=6cm,所以 OP=4cm, 因为轮子以4弧度/秒的速度旋转，选择5s,所以所转过的弧长1=4×5×4cm=80cm: 1 tan B= =-1 (2)因为 2 tan C=-tan(4+B)=tan 4+tan B 3,所以 tan Atan B-1 ,C-3n 所以4， 所以∠C为最大角，所以c=1, tan A=2 1 1 tan B= sin 4=5 sin B=10 3可 , 10, a b c a=csinA b=csinB 由正弦定理可得sinA sin B sinC,所以”sinC, sinC, 5xi而 Sabsin Cxesin x csin B sin Asin B510 1 2 2 sinC sinC 2sin C 2x210 所以△ABC的面积 7.(2025年南京师范大学附属中学高三10月考试题)如图，半圆O的直径为2Cm,A为直 径延长线上的-点，OA=2cm,B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC. 设∠AOB=a (1)当”3时，求四边形OACB的周长： (2)点B在什么位置时，四边形OACB的面积最大？最大值为多少？ 解 (1) 在△OAB中，由余弦定理 得 AB2=0A+0B2-20A:0Bc0sa=1+4-2x1×2cosT=3 3 即AB=V3, 于是四边形OACB的周长为OA+OB+AB+4AB=2+1+V3+4V3=3+5V5: (2)在A0AB中， 由余弦定 理 得 AB2=OA2+OB2-2OA.OBcosa=1+4-2×1×2×cosa=5-4cos0, 所以AB=V5-4cosa,0<a<π， 于 是四 边 形 OACB的 面 积 为 S=SMOB+SMBC= 01.08sna+5A8=sma+5 5-4c0sa) sina-3 cosa+ y5-2sima-5+55 4 34 +4, 5π 2+55 6时，四边形OACB的面积取得最大值4 8.(2025年四川省遂宁中学高三练习试题)已知△ABC中，V3AC·sinA=BC·cosB. (I)求B的大小： Cπ (Ⅱ)己知3，AB=100V5,若D、E是边BC上的点，使 DAE=T 6,求当△ADE 面积的最小时，∠BAD的大小. 1) 解：(I)V5AC:sinA=BC.cosB, :.3sin B.sin A=sin A.cos B, A∈(0，π)，.sinA≠0， anBs3 3 又B∈(O,).·B= 6: B=T C=T (Ⅱ)由(I)知，6，又3， ∴.△ABC为直角三角形，且 Bc=5, 4B=105,4C=10,设∠B4D=&,ac0, AD AB BDA=5 6-a sin 则 ,在△4BD中，由6 sin( -0） 6 AD= 503 sin(5r-a） 得 6 c6-号-&.2c ∠AEC= 3 +a 由 3,得 AE AC AE= 50W5 CE中，由，33大) ,得 sn于+a） SDE AD AE~sn∠D1E= 7500 2 sina)(3 (2 cosa+V3 4 由 2 cosa+ 2sina) 7500 2sin2a+√3 2 :a∈[0. as 2a∈[0,3，可得当sin2a=l,即4时，S取得最小值， 故当△ADE面积的最小时， ∠BAD=T 4 五、变式练习 1.(2025年西安市高三联考试题)在△4BC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c, -a=√5sinC-cosC 若b (1)求角B的大小： C= (2)若6，a=2,F为边AC上一点，且CF=V2BF,求△4BF的面积. c-a=√5sinC-cos 解：(1)由 得sinC-sinA=√5 sin BsinC--sin BcosC, sin C-sin(B+C)=3sin Bsin C-sin BcosC sin C-sin Bcos C-sin Ccos B=3 sin Bsin C-sin BcosC, 因为sinC>0, 化简的V3sinB+cosB=l, +名. 1 即