解三角形：最值与范围问题复习讲义-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

解三角形：最值与范围问题复习讲义 解三角形：最值与范围问题复习讲义 考点一 利用三角函数的有界性求最值与范围 【知识点解析】 1.利用三角函数的有界性求最值与范围的处理步骤 （1）利用正弦定理或余弦定理实现“边”化“角”. （2）利用实现统一角，将函数自变量边长只有一个. （3）利用和差公式、倍角公式、辅助角公式等对表达式进行化简. （4）讨论角度范围，进而得到三角函数的值域或最值. 2.常见的边角互化的方法 （1）在中，已知和 ①若求的范围，可先求,从而. ②若求的范围，可先求,从而. ③若求的范围，,从而. （2）在中，已知和 ①若求的范围，由正弦定理，化简可得. ②若求的范围，由正弦定理，化简可得. 3.常见讨论角度范围的方法 （1）若已知，则. （2）若已知且为锐角三角形，则，联立可求出所需角度范围. （3）若已知且为钝角三角形，则或，联立可求出所需角度范围. （4）若已知且为锐角三角形，则，联立可求出所需角度范围. 【例题分析】 1．（24-25高三下·河北沧州·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角B的大小； (2)若，求的取值范围． 2．（24-25高二下·湖南·阶段练习）锐角的内角的对边分别为，已知且． (1)求角C的大小； (2)求的取值范围． 3．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知三角形，角、、所对的边分别为、、，且，. (1)求角； (2)求的最大值，并求出此时的周长. 4．（24-25高二下·江苏连云港·阶段练习）函数 (1)已知，，求的值． (2)锐角三角形中，若，求三角形周长的取值范围． 5．（24-25高一下·山东济南·期中）在中，角、、所对的边分别为、、，且，，， (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长． (3)若三角形为锐角三角形，且，求周长的取值范围. 6．（24-25高一下·四川成都·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边是a，b，c，且满足，． (1)求角B的大小； (2)求面积的最大值． (3)求周长的取值范围. 7．（24-25高一下·四川成都·期中）在中，角的对边分别为，已知. (1)求角； (2)若是锐角三角形，求的取值范围. 8．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，． (1)求角A和边a； (2)求的取值范围． 9．（24-25高三下·广东深圳·阶段练习）记锐角的内角、、的对边分别为、、，已知. (1)求； (2)若，求面积的取值范围. 10．（24-25高三上·贵州黔南·期末）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题． 问题：已知锐角三角形的内角、、的对边分别为、、，______． (1)求； (2)若，求面积的取值范围． 考点二 利用基本不等式求最值与范围 【知识点解析】 1. 基本不等式一般形式（均值不等式） （1）原型：若，则； （2）常见变形：；； （3）使用步骤：一正、二定、三相等. 总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定值时，它们的积有最小值. 2.余弦定理联立基本不等式求最值 若已知和，由余弦定理得① 由基本不等式得② 联立①、②可解得与的范围. 【例题分析】 1．（24-25高三上·海南三亚·阶段练习）在锐角中，角A，，的对边分别为a，b，c，S为的面积，且. (1)求的值； (2)已知，求的面积的最大值. 2．（24-25高三下·重庆·阶段练习）在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，． (1)求A； (2)若外接圆的面积为，求面积的最大值． 3．（24-25高一下·广西来宾·阶段练习）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． (1)求A； (2)若，求外接圆的面积； (3)若，求面积的最大值． 4．（24-25高一下·广东湛江·阶段练习）某科考队为研究火山湖沿缓坡登上如图所示的火山口，在火山口上三点处分别插上旗帜．将火山口看作一个圆，测得（单位：米），．（参考数据：） (1)求该火山口的直径； (2)若D是火山口上另一点，求四边形面积的最大值． 5．（24-25高一下·福建泉州·期中）在中，．若， (1)求面积的最大值； (2)求周长的取值范围． 6．（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）三角形中，角的对边分别为且. (1)求； (2)求面积的最大值. 7．（2025·江苏苏州·三模）在中，角，，所对的边分别为，，，的面积和周长分别为，，且． (1)若，，求； (2)若且，求的最大值． 8．（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）在中，角所对的边，已知． (1)求角； (2)若，求面积的最大值． 考点三 利用二次函数求最值与范围 【知识点解析】 1.对于二次函数，，若，则二次函数开口向上，对称轴为 （1）若，则在上单调递增.当时，；当时，. （2）若，则在上单调递减.当时，；当时，. （3）若，则在上单调递减，在上单调递增. 当时，； 若，则； 若，则； ※若开口向下，依旧根据开口方向、对称轴与定义域的关系进行讨论 【例题分析】 1．（2025·湖南益阳·三模）在中，角所对的边分别为，已知，且． (1)若，求A； (2)若是锐角三角形，求周长的取值范围． 2．（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，． (1)求外接圆的面积； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 3．（24-25高一下·福建厦门·期中）已知中，角，，所对的边分别为. (1)求的值； (2)若为线段上一点且满足平分，求的面积的取值范围. 4．（24-25高一下·广东广州·期中）在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c. (1)已知，，，若的平分线交于点D，求线段的长； (2)若是锐角三角形，且，为的垂心，且，求的取值范围； (3)若，令，试求的最大值. 5．（23-24高三上·山东·阶段练习）如图，在中，，点P在边BC上，且． (1)若，求PB﹔ (2)求面积的最小值． 6．（24-25高三下·江苏南京·阶段练习）在中，角A、B、C所对的边为a、b、c，且． (1)若，求角C的正切值； (2)求的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$解三角形：最值与范围问题复习讲义 解三角形：最值与范围问题复习讲义 考点一 利用三角函数的有界性求最值与范围 【知识点解析】 1.利用三角函数的有界性求最值与范围的处理步骤 （1）利用正弦定理或余弦定理实现“边”化“角”. （2）利用实现统一角，将函数自变量边长只有一个. （3）利用和差公式、倍角公式、辅助角公式等对表达式进行化简. （4）讨论角度范围，进而得到三角函数的值域或最值. 2.常见的边角互化的方法 （1）在中，已知和 ①若求的范围，可先求,从而. ②若求的范围，可先求,从而. ③若求的范围，,从而. （2）在中，已知和 ①若求的范围，由正弦定理，化简可得. ②若求的范围，由正弦定理，化简可得. 3.常见讨论角度范围的方法 （1）若已知，则. （2）若已知且为锐角三角形，则，联立可求出所需角度范围. （3）若已知且为钝角三角形，则或，联立可求出所需角度范围. （4）若已知且为锐角三角形，则，联立可求出所需角度范围. 【例题分析】 1．（24-25高三下·河北沧州·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角B的大小； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）在中，有， 所以， 由正弦定理得， 由余弦定理得，所以， 因为，所以． （2）由正弦定理得， 所以， 因为，所以，故的取值范围为． 2．（24-25高二下·湖南·阶段练习）锐角的内角的对边分别为，已知且． (1)求角C的大小； (2)求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）已知， 由正弦定理，得， 所以．因为，所以． （2），由正弦定理，则， 可得 ， 又因为锐角，所以，所以， 所以， 所以． 3．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知三角形，角、、所对的边分别为、、，且，. (1)求角； (2)求的最大值，并求出此时的周长. 【答案】(1) (2)的最大值为，此时的周长为 【详解】（1）由可得， 由正弦定理可得， 所以， 因为、，所以，则，故. （2）由正弦定理可得， 所以 ， 设锐角满足，， 所以， 因为，则， 故当时，即时，取最大值， 此时，，， 此时，的周长为. 4．（24-25高二下·江苏连云港·阶段练习）函数 (1)已知，，求的值． (2)锐角三角形中，若，求三角形周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以， 因为，所以 所以， （2）由得， 因为锐角三角形中，，所以， 所以，解得， 由正弦定理得，即， ， 三角形的周长 因为，锐角三角形为锐角三角形，所以，即 解得，因为都在上递增， 故在单调递减， 所以的取值范围为 5．（24-25高一下·山东济南·期中）在中，角、、所对的边分别为、、，且，，， (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长． (3)若三角形为锐角三角形，且，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1），， 即， ，， 又，，， （2），， ， ，， 的周长为． （3）在锐角三角形ABC中，， 因为根据正弦定理，所以， 因为三角形周长为， 又因为，所以， 所以， 因为，即，所以， 即，， 所以. 6．（24-25高一下·四川成都·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边是a，b，c，且满足，． (1)求角B的大小； (2)求面积的最大值． (3)求周长的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1）方法1： 因为 ，所以． 由正弦定理可得：，即 ． 因为角为的内角，所以， 因此，又因为 ，所以． 方法2： 因为 ，所以． 利用余弦定理：， 化简得：． 又由余弦定理： ， 可得：，又因为，故． （2）方法1： 由余弦定理 ： 及 ，得：， 即 ．当且仅当时等号成立， 所以三角形面积， 即面积的最大值为. 方法2： 由正弦定理， ，可得：， 则． 利用 ，代入化简得： ． 因为 ，所以 ，即， 因此 ， 故 的面积的最大值为 ． （3）方法1： 由余弦定理 ，代入 得：． 利用不等式 ，可得：， 即，故 ． 又因为 ，故得， 即周长的取值范围是． 方法2： 由 ，得 ．根据正弦定理：， 故． 因为 ，所以 ，即． 因此， 即周长的取值范围是． 7．（24-25高一下·四川成都·期中）在中，角的对边分别为，已知. (1)求角； (2)若是锐角三角形，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由， 根据正弦定理得， 则， 所以， 所以， 因为，所以，所以. 又，所以. （2）因为是锐角三角形，且由（1）知， 所以，即，解得， 由正弦定理得： ， 因为，所以， 又，则， 所以，则， 所以的范围为. 8．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，． (1)求角A和边a； (2)求的取值范围． 【答案】(1)，1 (2) 【详解】（1）由和正弦定理可得， 化简得， 即 因，则，即， 因，故． 又由且， 可得． （2）由正弦定理，， 可得，， 则，（*） 因，将其代入（*），可得： ． 因，则，故， 则的取值范围是． 9．（24-25高三下·广东深圳·阶段练习）记锐角的内角、、的对边分别为、、，已知. (1)求； (2)若，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得 因为，则，所以， 又因为， 所以，则， 因为，则，即，所以. （2）因为是锐角的内角，又因为，所以，，得， 由正弦定理，得， 所以，， 所以 ， 由，得，所以， 即， 所以面积的取值范围是. 10．（24-25高三上·贵州黔南·期末）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题． 问题：已知锐角三角形的内角、、的对边分别为、、，______． (1)求； (2)若，求面积的取值范围． 【答案】(1)条件选择见解析， (2) 【详解】（1）若选择①．由，得， 所以，所以，解得或． 又因为，故． 若选择②． 由正弦定理得． 又因为，所以，所以， 即，整理可得，解得． 又因为，故． 若选择③：． 由正弦定理得． 又因为，所以，所以，即． 可得， 又因为，所以，所以，故． （2）由（1）可知，且，由正弦定理及， 可得． 又因为在锐角三角形中，，所以， 故，所以． 所以面积，所以， 所以面积的取值范围是． 考点二 利用基本不等式求最值与范围 【知识点解析】 1. 基本不等式一般形式（均值不等式） （1）原型：若，则； （2）常见变形：；； （3）使用步骤：一正、二定、三相等. 总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定值时，它们的积有最小值. 2.余弦定理联立基本不等式求最值 若已知和，由余弦定理得① 由基本不等式得② 联立①、②可解得与的范围. 【例题分析】 1．（24-25高三上·海南三亚·阶段练习）在锐角中，角A，，的对边分别为a，b，c，S为的面积，且. (1)求的值； (2)已知，求的面积的最大值. 【答案】(1)2 (2)2 【详解】（1）因为，且， 可得， 即，所以. （2）因为， 又因为，即， 整理可得，解得或， 又因为，则，， 由余弦定理可得：，即， 整理可得， 又因为，即， 当且仅当时，等号成立， 且此时为为锐角三角形，符合题意， 所以的面积的最大值为. 2．（24-25高三下·重庆·阶段练习）在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，． (1)求A； (2)若外接圆的面积为，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 由余弦定理可得， 因为，所以， （2）设的外接圆半径为，所以所以， 由正弦定理得， 故 又即， ，当且仅当时取等号， 故面积的最大值为. 3．（24-25高一下·广西来宾·阶段练习）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． (1)求A； (2)若，求外接圆的面积； (3)若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为， 整理可得， 由正弦定理可得，即， 由余弦定理可得， 且，所以. （2）由正弦定理可知的外接圆半径， 所以外接圆的面积为. （3）因为， 由余弦定理可得， 可得， 由（1）可得，即， 整理可得， 且，即，解得， 当且仅当时，等号成立， 则 所以面积的最大值为. 4．（24-25高一下·广东湛江·阶段练习）某科考队为研究火山湖沿缓坡登上如图所示的火山口，在火山口上三点处分别插上旗帜．将火山口看作一个圆，测得（单位：米），．（参考数据：） (1)求该火山口的直径； (2)若D是火山口上另一点，求四边形面积的最大值． 【答案】(1)米 (2)平方米 【详解】（1）由余弦定理， 即，所以， 设该火山口的半径为，由正弦定理， 即该火山口的直径为米； （2）要使四边形面积的最大，则在优弧上， 又（平方米）； 因为、、、四点共圆， 所以，则，， 设，， 由余弦定理， 即，所以（当且仅当时取等号）， 所以， 所以四边形的面积最大值为（平方米）. 5．（24-25高一下·福建泉州·期中）在中，．若， (1)求面积的最大值； (2)求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得：， 则， 所以， 所以， 因为为的内角，所以，所以. 又，所以. 由余弦定理，即． 因为，当且仅当时取“”， 所以． 所以． 当为等边三角形时，面积取得最大值为． （2）因为， 且，当且仅当时取“”， 所以， 又，所以， 所以， 所以周长的取值范围为. 6．（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）三角形中，角的对边分别为且. (1)求； (2)求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）已知， 由正弦定理：， 则，即. 因为，所以， 根据得：. （2）由余弦定理可得：， 所以三角形面积为， 当且仅当时，即为等边三角形时，三角形面积取最大值. 7．（2025·江苏苏州·三模）在中，角，，所对的边分别为，，，的面积和周长分别为，，且． (1)若，，求； (2)若且，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以， 消去得，又因为，所以， 所以，即． （2）法一：因为，所以， 即， 又因为，所以， 化简得， 因为，即，所以． 因为，所以（当且仅当时取等号）， 所以，由题意可知A为锐角，且，故， 因此，即的最大值为． 法二：在中，因为，所以， 由正弦定理得， 因为，所以， 即， 又，所以． 所以，所以（当且仅当时取等号）， 所以，因此，即的最大值为． 8．（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）在中，角所对的边，已知． (1)求角； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 得， 即，又， 所以，所以，又，从而得； （2）由（1）得，又， 由余弦定理 ， 所以，当且仅当时取得等号， 故，当且仅当时取得等号， 所以面积的最大值为. 考点三 利用二次函数求最值与范围 【知识点解析】 1.对于二次函数，，若，则二次函数开口向上，对称轴为 （1）若，则在上单调递增.当时，；当时，. （2）若，则在上单调递减.当时，；当时，. （3）若，则在上单调递减，在上单调递增. 当时，； 若，则； 若，则； ※若开口向下，依旧根据开口方向、对称轴与定义域的关系进行讨论 【例题分析】 1．（2025·湖南益阳·三模）在中，角所对的边分别为，已知，且． (1)若，求A； (2)若是锐角三角形，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，可得，即， ∴，则或（舍）， ∴， 当，由，可得. （2）由正弦定理可得∴， 易知，可得，因此， 易知在上单调递增，所以， 可得周长范围为. 2．（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，． (1)求外接圆的面积； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在中，，，所以， 由正弦定理得， 因为，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以，所以，即． 所以外接圆的半径为， 故外接圆的面积为． （2）由（1）知， 所以． 由正弦定理得， 又为锐角三角形，所以，所以， 所以，所以，所以，令， 所以， 当时，单调递增，所以， 所以，即的取值范围为． 3．（24-25高一下·福建厦门·期中）已知中，角，，所对的边分别为. (1)求的值； (2)若为线段上一点且满足平分，求的面积的取值范围. 【答案】(1)4 (2) 【详解】（1）由题意知，即， 故，即， 结合，得； （2）由于平分，故， 故， 而，即得, 设，则， 即，则， 故 ， 当，即时，取到最大值，最大值为3； 又，满足， 当无限趋近于1或2时，无限趋近于0， 故的面积的取值范围为. 4．（24-25高一下·广东广州·期中）在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c. (1)已知，，，若的平分线交于点D，求线段的长； (2)若是锐角三角形，且，为的垂心，且，求的取值范围； (3)若，令，试求的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为， 所以， 由正弦定理，得，即， 由余弦定理，得， 因为，所以； 又因为，所以， 即，解得，设边上的角平分线长为， 则， 即， 即，解得，即边上的角平分线长为； （2）延长交于，延长交于， 设，所以， 在Rt中，， 在中，，所以， 在Rt中，， 同理可得在Rt中，， 所以 ， 因为，所以，所以， 所以，即的取值范围为． （3）由余弦定理，， 所以， 所以 ， ， 所以．当且仅当， 即时，． 5．（23-24高三上·山东·阶段练习）如图，在中，，点P在边BC上，且． (1)若，求PB﹔ (2)求面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 所以在中由余弦定理可得， 所以，解得， 由正弦定理得，即，解得， 所以，， 在三角形ABC中由正弦定理得：，则， 解得，所以； （2）设，则，由于，则， 在中由正弦定理得：，解得， 过A点做BC的垂线，交BC于M点，设三角形的面积为S， 则，所以， 所以， 所以 即三角形ABC面积的最大值为. 6．（24-25高三下·江苏南京·阶段练习）在中，角A、B、C所对的边为a、b、c，且． (1)若，求角C的正切值； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）代入，所以，，即， 因，则， 所以，故，则. （2）由题可得：， 即， 即， 因为，所以，则， 因为， 则， 因为 ， 则，即， 故， 若，则；若，则，矛盾， 故， 则 ， 因为， 所以， ， 令，， 因为，因为，， 所以，所以，， . 故的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$