专题14 线段（压轴题专项训练）数学沪科版2024七年级上册

专题14 角 目录 1 类型一、车票种类问题 1 类型二、线段中的设元思想--根据线段的比关系设元 6 类型三、线段中的设元思想--根据线段的倍分关系设元 11 类型四、线段中的设元思想--根据线段和差关系设元 15 类型五、线段中的分类讨论思想--单个待定点的分类讨论 22 类型六、线段中的分类讨论思想--多个待定点的分类讨论 25 类型七、线段中的双中点模型--双中点结构的直接运用（有图） 30 类型八、线段中的双中点模型--双中点结构与分类讨论结合（无图） 34 类型九、线段中的动点问题--单个动点问题 37 类型十、线段中的动点问题--多动点问题 41 47 类型一、车票种类问题 方向是不同的，那么在票务印制中，所制的票务也是不同的.即当一条直线上有n(n>1)个不同的点时，有条线段，需要印制 n(n-1)类车票. 1．（20-21七年级上·广西崇左·期末）如图，在线段AD上有两点B，C，则图中共有_____条线段，若在车站A、D之间的线路中再设两个站点B、C，则应该共印刷_____种车票． A．3， 3 B．3， 6 C．6， 6 D．6， 12 【答案】D 【分析】从左到右的顺序依次确定线段，车票有方向性，是线段条数的2倍. 【详解】从A开始的线段有AB，AC，AD三条；从B开始的线段有BC，BD二条； 从C开始的线段有CD一条；所以共有6条线段； 车票从A到B和从B到A是不同的，所以车票数恰好是线段条数的2倍，所以需要12种车票， 故选D. 【点睛】本题考查了线段的定义，数线段，以及线段与生活中的车票的关系，熟练数线段，理解车票数是线段数的2倍是解题的关键. 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）一趟往返于上海、南京之间的列车，除起点、终点外，中间还要停靠3个站，这趟列车有几种车票？（仅考虑车票上的出发站与到达站） 【答案】20 【分析】本题主要考查了线段的应用，解题的关键是理解题意，运用类比方法建立知识点之间的联系准确计算． 【详解】解：设上海到南京及其间个车站点为：A，B，C，D，E共个站点， 每个车站都有准备到其它四个车站的车票， 例如：由A站要准备四种，即； B站要准备三种：； 所以一共要准备（种）． 答：这趟列车有20种车票． 3．（24-25七年级上·四川绵阳·期末）按要求作图，并回答问题： (1)若平面内有三个点，且不在同一直线上，将每两个点进行连接，可以连成几条线段？ (2)若平面内有四个点，且每三点都不在同一条直线上，将每两个点进行连接，可以连成几条线段？ (3)利用以上原理解决问题： 某趟高铁从起始点A市到终点E市会经过B，C，D三个站点，中途共停靠3次，每个站点到A市的距离如表所示： 站点 B C D E 与A市的距离（公里） 115 254 367 493 已知高铁的票价由路程决定，求共有几种不同的票价； (4)写出一个可以用以上问题中的原理解决的实际问题． 【答案】(1)图见解析，可以连成三条线段 (2)图见解析，可以连成六条线段 (3)图见解析，共有10种票价 (4)见解析 【分析】本题考查线段的计数以及其在实际生活中的应用，解题的关键是理解两点确定一条线段，并将实际问题转化为数学模型． （1）根据两点确定一条线段，通过列举法来计算线段数量； （2）根据两点确定一条线段，通过列举法来计算线段数量； （3）将站点看作点，不同站点间的距离不同对应不同票价，转化为求线段数量问题； （4）根据前面的原理构造类似的实际场景问题． 【详解】（1）解：如解图①，可以连成三条线段； （2）解：如解图②，可以连成六条线段； （3）解：由表可得（千米），（千米），（千米）， 所以任意两站点间的距离均不相等，即票价均不相等， 故A市到E市各站点的距离如解图③所示： ①从A出发有4种票价，即； ②从B出发有3种票价，即； ③从C出发有2种票价，即； ④从D出发有1种票价，即， ⑤从E出发，有0种票价， 4+3+2+1＝10（种）， 综上共有10种票价； （4）解：若将一个点看作一个篮球队，每个篮球队两两之间进行一场比赛，则三个篮球队共需进行三场比赛，四个篮球队共需进行六场比赛．（答案不唯一） 4．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）问题提出： 某学校举办足球赛，若有5支球队进行单循环比赛（即全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场），则该校一共要安排多少场比赛？ 构建模型：生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决问题．为解决上述问题，我们构建如下数学模型： （1）如图①，我们可以在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上），其中每个点各代表一支足球队，两支球队之间比赛一场就用一条线段把它们连接起来．由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有条线段，所以该校一共要安排10场比赛． （2）若学校有6支足球队进行单循环比赛，借助图②，我们可知该校一共要安排______场比赛； （3）根据以上规律，若学校有n支足球队进行单循环比赛，则该校一共要定排______场比赛． 实际应用： 实际应用： （4）9月2日开学时，老师为了让全班新同学互相认识，请班上46位新同学每两个人都相互握一次手，全班同学总共握手______次． 拓展提高： （5）往返于济南和青岛的同一辆高速列车，中途经济南东站、章丘、淄博、青州、潍坊、青岛6个车站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备车票的种数为______种． 【答案】（2）15（3）（4）1035（5）30 【分析】本题主要考查了单循环球赛赛制场次计算．熟练掌握计算原理和方法，建立数学模型，是解题的关键． （2）6支足球队进行单循环比赛，共要安排15场比赛； （3）n支足球队进行单循环比赛，共要安排场比赛； （4）46位新同学每两个人都相互握一次手，全班同学总共握手1035次； （5）6个车站，在这段线路上往返行车，要准备车票30种． 【详解】（2）6支足球队，任何一支球队都要分别与其他5支球队比赛一场，共比赛场； 故答案为：15； （3）n支足球队，任何一支球队都要分别与其他支球队比赛一场，共比赛场； 故答案为：； （4）46位新同学，任何一位同学都要分别与其他45位同学相互握一次手，全班同学总共握手次； 故答案为：1035； （5）6个车站，任何一个车站都要分别与其他5个车站准备车票，且往返车票种类不同，要准备车票的种数共种． 故答案为：30． 5．（21-22七年级上·江西吉安·阶段练习）观察图形，并回答下列问题：    (1)图中共有几条线段？说明你分析这个问题的具体思路； (2)请你用上面的思路来解决“十五个同学聚会每个人都与其他人握一次手，共握了多少次”这个问题； (3)十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片呢，共送了几张？ 【答案】(1)10条，见解析； (2)共握了105次； (3)共送了210张． 【分析】（1）根据线段的概念，分别得到以、、、为端点，且不重复的线段，相加即可得到答案； （2）将人演化成点，根据（1）结论，即可得到答案； （3）十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片，即每个人都送了14次，据此即可得到答案． 【详解】（1）解：图中共有10条线段，分析思路如下： 以为端点的线段有：、、、，共4条； 以为端点，且与前面不重复的线段有：、、，共3条； 以为端点，且与前面不重复的线段有：、，共2条； 以为端点，且与前面不重复的线段有：，共1条； 答：图中共有条线段； （2）解：将人演化成点，根据（1）结论可知， 握手的次数为：， 答：十五个同学聚会每个人都与其他人握一次手，共握了105次； （3）解：十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片，即每个人都送了14次， ， 答：十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片呢，共送了210张． 【点睛】本题考查了线段的计数，线段计数时注意分类讨论，做到不遗漏，不重复，理解（3）互送的区别． 类型二、线段中的设元思想--根据线段的比关系设元 已知几条线段之间的比例关系或倍、分关系时，一般可以运用方程思想，设出未知数，利用线段之间的关系构造一元一次方程求解. 6．（24-25九年级下·安徽池州·期中）如图，点C，O在线段上，，O是的中点，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，根据题意可求出，，据此根据线段的和差关系求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵O是的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 7．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）线段，在直线上截取线段，为线段的中点，为线段的中点，那么线段的长为（   ） A．4 B．6 C．5或7 D．4或6 【答案】D 【分析】本题考查了线段中点的计算，线段和差的计算，理解题意，作图分析，掌握线段中点的计算是解题的关键．根据题意，分类讨论：当点在之间时；点在延长线上时；根据线段中点的计算方法即可求解． 【详解】解：如图所示，点在之间时， ∵，为线段的中点， ∴， ∵，点为线段的中点， ∴， ∴； 如图所示，点在延长线上时， ∴； 综上所述，线段的长为或， 故选：D ． 8．（23-24七年级上·重庆渝北·期末）如图，已知A、B是线段上两点，，、分别为、的中点，且，则长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了两点间的距离，利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性.同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．如图，由于，可以设，，，而、分别为、的中点，那么线段可以用表示，而，由此即可得到关于的方程，解方程即可求出线段的长度． 【详解】解： ， 可以设，，， 而、分别为、的中点， ，， ， ， ， ， ， 的长为． 故选：D． 9．（21-22七年级上·四川巴中·期末）如图，已知B，C两点把线段AD从左至右依次分成2：4：3三部分，M是AD的中点，BM＝5cm，则线段MC的长为（　　） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 【答案】C 【分析】设，由M是AD的中点，得到，继而解得，再由列方程，解此方程即可． 【详解】解：由题意，设 M是AD的中点， BM＝5cm， 故选：C． 【点睛】本题考查线段的和差、线段的中点，一元一次方程等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 10．（23-24七年级下·广东惠州·开学考试）如图：点A，B在线段上，点M，N分别是线段的中点，，若，则线段的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，设，根据线段中点的定义得到，进而得到，求出，则． 【详解】解：设， ∵点M，N分别是线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）如图，点B、C在线段上，若，，且，求的长度． 【答案】 【分析】本题考查了线段的和差，一元一次方程，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键；设长为，表示出，，利用建立等式求解即可． 【详解】解：设长为． ， ； 又， ； ∵，， ， 解得：； 长为． 12．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图，B，C两点把线段分成三部分，P是的中点，已知，求线段的长． 【答案】2.5 【分析】本题考查的是两点间的距离，解题的关键是要注意各线段之间的和、差及倍数关系． 可设，，，再根据求出k的值，故可得出线段的长度，再根据P是的中点可求出的长，由即可得出结论 【详解】解：如图，， 可设，，， ∵，即 ∴， ∴， ∵P为的中点， ∴， ． 类型三、线段中的设元思想--根据线段的倍分关系设元 13．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，点D是线段的中点，延长到点C，使，点E是线段的中点，，求线段的长． 【答案】 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，设，中点得到，根据，得到，根据，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设， ∵点D是线段的中点， ∴， ∵点C在的延长线上，， ∴， ∴， ∵点E是线段的中点， ∴， ∴， 解得x， ∴． 14．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）已知C为的中点，E为线段上的一点，D为线段的中点． （1）如图①，若，，则 ； （2）如图②，若，，则 ． 【答案】 6 4.5 【分析】本题主要考查了线段中点的有关计算，线段的和差关系，以及一元一次方程的应用． （1）由C为线段的中点得出，再由线段的和差关系得出，再由线段中点可得出 （2）设，则．根据线段的中点可得出，根据已知条件可得出， 可得出，再由线段的中点可得出，最后由线段的和差关系即可得出答案． 【详解】解：（1）∵C为线段的中点，， ∴． 又∵， ∴． ∵D为线段的中点， ∴， 故答案为：6． （2）设，则． D为线段的中点， ∴． ∵，即， ∴， 解得，即． ∵，C为线段的中点， ∴． ∴， 故答案为： 15．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图点C在线段上，线段，点M，N分别是，的中点． (1)若，求的长； (2)若，求的长． 【答案】(1)6 (2)2 【分析】本题主要考查了线段的和差关系，线段中点的有关计算，以及一元一次方程的应用． （1）根据线段的和差可得，再根据线段的中点的性质可得和，最后再根据线段得和差可求的答案． （2）设，则，由，点M是的中点得出，根据线段得和差可得关与x的一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵点M，N分别是，的中点， ∴，， ∴ （2）解：设， ∵点N是的中点． ∴， ∵，且点M是的中点， ∴， 则， 即， 解得． 则． 16．（22-23七年级上·湖北武汉·期末）如图，点为线段上一点，在线段上，，点为的中点． (1)若，当忖，求的长． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，根据线段中点的定义可得，再列方程可得答案； （2）用含x的代数式表示出和的长度，再计算即可． 【详解】（1）解：设，则， ∵， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； （2）∵，， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了线段的和差倍分运算，一元一次方程的应用，中点的定义，解决本题的关键是用代数式表示线段． 17．（21-22七年级上·安徽铜陵·期末）如图，已知点是的中点，点是的中点，且，，求的长． 【答案】 【分析】令，可得，再由线段中点定义，得出，从而列出方程求出，即可求得长． 【详解】解：令， ， ， ， 点是的中点，点是的中点， ， ， ． 【点睛】本题考查求线段的长度，关键是令，应用线段的中点定义列出方程． 类型四、线段中的设元思想--根据线段和差关系设元 18．（23-24七年级上·安徽·单元测试）如图，点C、D在线段上，点C为中点，若，，则的长度是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查线段中点的计算，线段的和差，以及一元一次方程的应用，设的长度是，结合线段中点的特点得到，，再根据建立方程求解，即可解题． 【详解】解： ，点C为中点， ， 设的长度是， 则，， ， ， 解得， 故答案为：． 19．（22-23七年级上·湖北武汉·期末）数轴上有A、B、C三点，如图1，点A、B表示的数分别为m、n，点C在点B的右侧，． (1)若，点D是的中点． ①则点D表示的数为 　　． ②如图2，线段（E在F的左侧，），线段从A点出发，以1个单位每秒的速度向B点运动（点F不与B点重合），点M是的中点，N是的中点，在运动过程中，的长度始终为1，求a的值； (2)若，点D是的中点，若，试求线段的长． 【答案】(1)①；②4 (2)3 【分析】本题主要考查了数轴的简单应用，线段中点的定义，利用点在数轴上对应的数字表示出相应线段的长度是解题的关键． （1）①利用数轴上的点对应 的数字和线段中点的定义解答即可；②分别表示出点E，F对应的数字，再利用中点的定义得到点M，N对应的数字，利用列出方程，解方程即可得出结论； （2）设点C对应的数字为c，点D对应的是为d，利用m，n和中点的定义求得点D对应的数字，进而得到的值，利用已知条件列出关于的方程，解方程即可得出结论． 【详解】（1）解：①， ． ， ， ∴点C对应的数字为4， ∵点D是的中点， ， 设点D表示的数为x， ， ． ∴点D表示的数为． 故答案为：； ②设运动的时间为t秒， 则点E对应的数字为，点F对应的数字为， ∵点M是的中点，N是的中点， ∴点M对应的数字为，点N对应的数字为， ， ∴． 解得：或， ， ； （2）解：设点C对应的数字为c，点D对应的是为d， ∵点A、B表示的数分别为m、n，点C在点B的右侧，， ． ∵点D是的中点， ， ， ， ， ∴， 解得：． ． 20．（22-23七年级下·福建福州·开学考试）如图，已知，点C、D分别为线段、上的动点，若点C从点O出发以的速度沿方向运动，同时点D从点B出发以的速度沿方向运动．    (1)如图1，当运动时间为时，求的值； (2)如图1，若在运动过程中，始终保持，求OA的长； (3)如图2，在（2）的条件下，延长BO到点M，使，点P是直线OB上一点，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求出，，根据，求出，，最后求出结果即可； （2）设运动时间为，则，，求出，，根据，得出，求出，再根据求出结果即可； （3）当点P在O、B之间时，根据，得出，，求出，根据求出，根据，得出，求出，最后求出比值即可；当点P在点B右边时，可得，进而可得结果． 【详解】（1）解：当运动时间为时， ， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴；    （2）解：设运动时间为，则，， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴，，， ∵， ∴点P在点O右边， 当点P在O、B之间时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．    当点P在点B右边时， ∵，， ∴， ∴； 综上，或． 【点睛】本题主要考查了线段的和差运算，解题的关键是数形结合，根据线段之间的数量关系求出结果． 21．（20-21七年级上·浙江杭州·阶段练习）已知点C在线段上，，点D、E在直线上，点D在点E的左侧， (1)若，，线段在线段上移动， ①如图1，当E为中点时，求的长； ②当点C是线段的三等分点时，求的长； (2)若，线段在直线上移动，且满足关系式，求． 【答案】(1)①7；②或 (2)或． 【分析】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质、线段的和差、准确识图分类讨论的位置是解题的关键． （1）根据已知条件得到，①由线段中点的定义得到，求得，由线段的和差得到；②当点C线段的三等分点时，可求得 或 ，则 或，由线段的和差即可得到结论； （2）当点E在线段之间时，设，则，求得，设，得到，求得 ，当点E在点A的左侧，设，则，设，求得，得到，于是得到结论． 【详解】（1）∵， ∴， ①∵E为中点， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵点C是线段的三等分点，， ∴ 或 ， ∴ 或， ∴或； （2）当点E在线段之间时，如图， 设， 则， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ ， ∴ x， ∴； 当点E在点A的左侧，如图， 设，同理， 设， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， 当点E在线段上及点E在点B右侧时，无解， 综上所述的值为或． 类型五、线段中的分类讨论思想--单个待定点的分类讨论 题目如果没有图形，计算时，要讨论字母的顺序，可能有多种情况. 22．（23-24七年级上·安徽六安·期末）直线A上有两点、，点在、之间，满足，，若，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了线段的和差计算，根据点在点的左侧和右侧两种情况分别讨论，即可求解． 【详解】解：如图，，， ，， 又 当点在点左侧时，， 当点在点右侧时，． 故答案为：或． 23．（24-25七年级上·安徽宿州·阶段练习）点，在线段上，是线段中点，，若，则长为 ． 【答案】9或15/15或9 【分析】本题考查的是两点间的距离，解题的关键是灵活运用中点的性质，先求出，再分点D在点C的左侧和右侧，两种情况讨论即可． 【详解】解：∵C是线段中点，， ∴， ∴， 当点D在点C的左侧时，则； 当点D在点C的右侧时，则； 综上，长为9或， 故答案为：9或15． 24．（23-24七年级上·安徽蚌埠·期末）已知线段长度为9，点在直线上且有，是的中点，则等于（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，分当点C在线段上时，当点C在线段延长线上时，两种情况先求出，再由线段中点的定义得到，最后根据线段之间的关系即可求出答案． 【详解】解：如图所示，当点C在线段上时， ∵，线段长度为9， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴； 如图所示，当点C在线段延长线上时， ∵，线段长度为9， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴； 综上所述，等于或， 故选：D． 25．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）点、、在同一直线上，，，是中点，则的长为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了关于线段的中点的计算，线段的和与差的计算，分在点的右侧、在点的左侧两种情况进行计算即可，读懂题意熟练运用线段的和差倍分是解题的关键． 【详解】当在点的右侧时，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵是中点， ∴； 当在点的左侧时，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵是中点， ∴； 综上可知的长为或， 故选：． 类型六、线段中的分类讨论思想--多个待定点的分类讨论 26．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）如图，把一根绳子对折成线段，点在线段上，从点处把绳子剪断，且，若剪断后的各段绳子中最长的一段为，则绳子的原长为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了线段中点、线段的和差知识以及分类讨论思想，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键．分点和点是对折点两种情况分别进行讨论，即可得到答案． 【详解】解：本题有两种情形： （1）当点是绳子的对折点时，将绳子展开如图： ∵，剪断后的各段绳子中最长的一段为， ， ， ∴绳子的原长； （2）当点B是绳子的对折点时，将绳子展开如图： ∵，剪断后的各段绳子中最长的一段为， ， ， ∴绳子的原长． 故选：D． 27．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图，已知点、在直线上，，且，若点是线段的中点，则线段的长为（    ） A．1 B．3 C．1或4 D．1或5 【答案】D 【分析】本题考查了线段之间的数量关系，分两种情况：当点在点的右侧时和当点在点的左侧时，根据题意，画出图形，再根据线段之间的数量关系，计算即可． 【详解】解：如图，当点在点的右侧时， ∵，且， ∴， ∴， ∵点M是线段的中点， ∴， ∴； 如图，当点在点的左侧时， ∵，且， ∴， ∴， ∵点M是线段的中点， ∴， ∴， 综上所述，线段的长为或． 故选：D． 28．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）如图，已知点在线段上，，，点分别是的中点． (1)求的长； (2)求的长； (3)若点在直线上，且，点为的中点，求的长． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】本题考查了线段和差运算以及与线段的中点有关的运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得出，点是的中点，则，即可作答． （2）因为，点是的中点．所以，结合，即可作答． （3）依题意，进行分类讨论，即当点在线段的外部时或当点在线段的内部时，且结合线段的和差运算，列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵点是的中点． ∴； （2）解：∵，点是的中点． ∴， 由（1）得出， ∴． （3）解：依题意，当点在线段的外部时， ∵，， ∴， 点为的中点， ∴， 由（1）得， 则； 当点在线段的内部时， ∵，， ∴， 点为的中点， ∴， 由（1）得， 则； 综上：的长为或． 29．（2024七年级上·安徽·专题练习）如图，直线上有一点，点，分别为线段，的中点，． （1）若点在线段上，且，求线段的长度； （2）若点在直线上运动，设，，请分别计算下面情况时的长度： ①当在之间； ②当在左边； ③当在右边； 你发现了什么规律？ 【答案】（1）7；（2）①，②，③，当在直线上时， 【详解】本题考查了线段的和差，线段中点的性质 （1）根据线段中点的性质，可得，，根据线段的和，可得答案； （2）①根据线段中点的性质，可得，，根据线段的和，可得答案； ②根据线段中点的性质，可得，，根据线段的和，可得答案； ③画图，同理可得的长，从而得规律． 【解答】解：（1）当在线段上，如图1， ，点是中点， ， ，， ， 又点是中点， ， ； （2）①点在之间， 是的中点，是的中点， ，， ； ②点在的左边时，如图2， 是的中点，是的中点， ，， ； ③点在的右边时，如图3， 是的中点，是的中点， ，， ； 发现规律：当在直线上时，． 【点评】本题考查了两点间的距离，利用线段中点的定义得出，的长是解题关键． 类型七、线段中的双中点模型--双中点结构的直接运用（有图） 30．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）已知线段，延长至点 ，使．点是的中点，点是的中点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了两点间的距离，线段的中点，线段的和差，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据线段的和差得到，根据线段的中点得到，，再计算即可． 【详解】解：， ， 点是的中点，点是的中点， ，， ， 故答案为： ． 31．（23-24七年级上·安徽·期末）如图，为线段的中点，为线段的中点，为线段的中点，若，则（    ）． A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查线段中点的有关计算，线段的和差关系，根据题意，利用中点定义及线段的和差逐次求出有关线段长，即可得解． 【详解】∵为线段的中点，， ∴， ∵为线段的中点， ∴， ， ∵为线段的中点， ∴， ∴， 故选：C 32．（22-23七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，点A、B、C在同一直线上，为的中点，为的中点，为的中点，则下列说法：①，②，③，④，其中正确的是（   ） A．①③ B．②④ C．①④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段中点的定义，线段的和差．根据线段中点的定义得和，结合线段的和差分别计算 可知①正确；由①知，可知②错误；由 可知③正确；由 ，可知④正确即可． 【详解】解：① ∵H是的中点， ∵分别是的中点， ．     ，故①正确； ② 由①知，故②错误； ③ ，故③正确； ④ ，故④正确； 综上，①③④正确． 故选：D． 33．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，为线段上一点，，，、分别为、的中点． (1)若，，求的长； (2)若，求的值． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查了线段和、差的运算及线段中点的概念，解答本题的关键是熟练掌握线段中点的概念及性质． （1）根据M，N分别为的中点可得，，再由即可求解； （2）先由 、 求出 ，再依据中点性质表示出和 ，最后计算两者比值． 【详解】（1）解：∵M是的中点， ∴， ∵N是CB的中点， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵、分别为、的中点． ∴， ∴． 34．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，已知线段，点，在线段上，，点是的中点，点是的中点． (1)若，，当，求线段的长度； (2)当线段在线段上运动时，试判断线段的长度是否发生变化，如果不变，请求出线段的长度；如果变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)线段的长度不发生变化，长度为 【分析】本题考查了线段的和差，线段中点的有关计算，掌握线段间的数量关系是解题的关键． （1）先求出线段，然后再利用线段中点的性质求出，，进而求解即可； （2）利用线段中点的性质证明的长度不会发生改变． 【详解】（1）解： ，，， ， 点是的中点，点是的中点． ，， ； （2）线段的长度不发生变化． 理由如下： 点是的中点，点是的中点， ，， ， 线段的长度不发生变化，长度为． 类型八、线段中的双中点模型--双中点结构与分类讨论结合（无图） 35．（22-23七年级上·安徽芜湖·期末）已知点在直线上，若，，、分别为线段、的中点，则的长为（   ） A．5cm B．3cm C．5cm或3cm D．5cm或1cm 【答案】D 【分析】分点在线段上，在的延长线上，两种情况分别讨论，画出图形，根据中点的性质即可求解． 【详解】解：如图，当点在线段上， ∵，，、分别为线段、的中点， ∴， ∴ ； 如图，当点在的延长线上， ∵，，、分别为线段、的中点， ∴ ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了线段中点的定义，线段的和差，数形结合、分类讨论是解题的关键． 36．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）已知点C在线段上，点M、N分别是线段的中点，如果，求线段的长． 【答案】 【分析】本题考查了线段的和差，线段中点．熟练掌握线段中点性质，线段之间的倍分关系是解题的关键． 根据线段中点的性质可得，再根据，再代值计算即可． 【详解】解：∵点M、N分别是线段的中点，， ∴, ∴， 故线段的长为 37．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）直线l上有三点A、B、C，其中，，M、N分别是、的中点，则的长是（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了与线段中点有关的计算、线段的和差，分类讨论：当点C在线段的延长线上时，当点C在线段之间时，利用线段的中点公式及两点的距离公式即可求解． 【详解】解：当点C在线段的延长线上时，如图： ∵，，且M、N分别是、的中点， ∴，， ∴， 当点C在线段之间时，如图： ∵，，且M、N分别是、的中点， ∴，， ∴， 综上所述，的长是或， 故选：B． 38．（24-25七年级上·广东广州·期中）已知、、三点在同一条直线上，线段，线段，若是线段的中点，是线段的中点，则线段的长度是多少？ 【答案】线段的长度是 【分析】本题主要考查了线段的和差倍分，主要利用了线段中点的定义，难点在于要分情况讨论． 分两种情况讨论：①当点在线段上时；②当点在线段的延长线上时，根据线段中点的定义，计算即可． 【详解】解：①当点在线段上时，，，如图所示： ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴， 则； ②当点在线段的延长线上时，如图所示： ∴， ， 答：若是线段的中点，是线段的中点，则线段的长度是． 类型九、线段中的动点问题--单个动点问题 数轴上的动点问题主要考查线段的变化以及线段之间的数量关系，但数轴上利用点所对应的数比较容易将问题代数化，结合图形容易找出线段长度与数之间的关系，这种“以数解形”的思想是解决这类问题最常用的思想方法.此类问题需要注意分类讨论. 【注意】 (1)注意分析动点运动时的出发点与停止点； (2)注意分析动点运动的方向与速度，尤其当题目中出现多个动点时； (3)注意区分定点与动点，同时注意分析动点运动过程中保持不变的量. 39．（23-24七年级上·北京·期末）如图，线段，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线运动，M为的中点． (1)出发多少秒后，？ (2)当P在线段上运动时，试说明为定值． (3)当P在延长线上运动时，N为的中点，下列两个结论：长度不变；的值不变．选择一个正确的结论，并求出其值． 【答案】(1)出发6秒后； (2)，理由见解析； (3)选，，理由见解析． 【分析】本题考查了两点间的距离，解答本题的关键是用含时间的式子表示出各线段的长度． （1）分两种情况讨论，点P在点B左边，点P在点B右边，分别求出t的值即可． （2），，，表示出后，化简即可得出结论． （3），，，，分别表示出，的长度，即可作出判断． 【详解】（1）解：设出发x秒后， 当点P在点B左边时，，，， 由题意得，， 解得：； 当点P在点B右边时，，，， 由题意得：，方程无解； 综上可得：出发6秒后． （2）解：，，， ； （3）解：选； ，，，， 定值； 变化． 40．（25-26七年级上·河南郑州·阶段练习）阅读理解： 定义：在数轴上表示和的两点之间的距离是，这是绝对值的几何意义．如图，在数轴上，点表示的数是，点表示的数为3，则之间的距离为．另，线段的中点表示的数是，即； (1)若在数轴上有、、三点，点对应的数是，且、两点间的距离为6，为的中点，则点所对应的数是___________． (2)当满足___________时，的值最小，最小值为___________． (3)，则___________． (4)若数轴上点表示的数是4，点表示的数是16，动点从点开始以每秒3个单位长度的速度向数轴正半轴方向运动，求多少秒后点到点的距离是到点距离的2倍？ 【答案】(1)或 (2)；1 (3)或 (4)或8秒后点到点的距离是到点距离的2倍 【分析】本题主要考查数轴上的点表示有理数，两点之间距离的计算，一元一次方程的运用，掌握两点之间距离的计算，一元一次方程的运用是解题的关键． （1）根据两点之间距离的计算方法，分类讨论即可求解； （2）根据两点之间距离的计算方法，当表示数x的点在表示数2的点与表示数3的点之间时，值最小，由此即可求解； （3）根据绝对值的几何意义可得表示x与y在数轴上的距离为16，表示x与z在数轴上的距离为30，再分类讨论y和z在x的同侧或异侧时进行求解； （4）根据题意，设运动时间为t，则点P表示的数为，根据两点之间距离的计算方法，分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵A点对应的数是，且A、B两点间的距离为6， ∴当B点在A点的右边时，， ∴点B表示的数为2， ∴点C表示的数为：； 当B点在A点的左边时，， ∴点B表示的数为， ∴点C表示的数为：； 故答案为：或； （2）解：根据题意，表示数轴上x到2和3的距离之和， ∴当x在2和3之间时，距离和最小，最小值为， ∴x的取值范围， 故答案为：，1； （3）解：根据绝对值的几何意义可得表示x与y在数轴上的距离为16， 表示x与z在数轴上的距离为30， 当y和z在x的同侧时，假设x在数轴上的某点，y和z都在x的左边（或都在右边）， ∴此时y和z的距离为“x到z的距离”与“x到y的距离”的差， ∴， 当y和z在x的异侧时，假设y在x的左边，z在x的右边（或反之）， ∴此时y和z的距离为“x到z的距离”与“x到y的距离”的和， ∴， 综上，的值为或， 故答案为：或； （4）解：∵点M表示的数是4，点N表示的数是16，动点P从点M开始以每秒3个单位长度的速度向数轴正半轴方向运动， ∴设运动时间为t， ∴点P表示的数为， ∴当点P在之间时，， 解得秒； 当点P在点N右边时，， 解得秒； 综上所述，点P到点M的距离是到点N距离的2倍时，时间为或8秒． 41．（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）如图，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，满足．动点从点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点表示的数是_______，点表示的数是_______； (2)若点从点出发向左运动，点为的中点，在点到达点之前，求证：为定值． 【答案】(1)16， (2)证明见解析 【分析】本题考查了绝对值的非负性、数轴、线段的中点等知识，熟练掌握数轴的性质是解题关键． （1）根据绝对值的非负性可得，由此即可得； （2）先根据数轴的性质可得，点表示的数是，再求出，然后根据线段中点的定义可得，则可得，代入计算即可得证． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵数轴上点表示的数为，点表示的数为， ∴数轴上点表示的数是16，点表示的数是， 故答案为：16，． （2）证明：由（1）已得：数轴上点表示的数是16，点表示的数是， ∴， ∵动点从点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动时间为秒， ∴点表示的数是， ∴在点到达点之前，，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴为定值． 类型十、线段中的动点问题--多动点问题 42．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）如图，已知数轴上的点对应的数为，是数轴上的一点，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．    (1)数轴上点对应的数是_____，点对应的数是_____用含的式子表示； (2)动点从点与点同时出发，以每秒个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动，试问：运动多少时间点可以追上点？ (3)是的中点，是的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若有变化，请说明理由；若没有变化，请你画出图形，并求出的长． 【答案】(1)， (2)运动5秒，点可以追上点 (3)点在运动过程中，线段的长度不发生变化，的长为，图见解析 【分析】本题考查了数轴、一元一次方程的应用、线段的中点等知识，熟练掌握数轴的性质是解题关键． （1）根据数轴的性质即可得点表示的数和点对应的数； （2）根据点运动距离减去点运动距离等于的长，建立方程，解方程即可得； （3）分两种情况：①当点在点之间运动时，则，②当点在点左侧运动时，则，先根据线段中点可得，再线段的和差求解即可得． 【详解】（1）解：由题意得：点表示的数是， 点对应的数是， 故答案为：，． （2）解：由题意得：， 解得， 答：运动5秒，点可以追上点． （3）解：线段的长度不发生变化，画图求解如下： ①如图，当点在点之间运动时，则，    ∵是的中点，是的中点， ∴， ∴； ②如图，当点在点左侧运动时，则，    ∵是的中点，是的中点， ∴， ∴； 综上，点在运动过程中，线段的长度不发生变化，的长为． 43．（22-23七年级上·吉林·期末）如图，在直线上顺次取，，三点，已知，，点，分别从，两点同时出发向点运动．当其中一动点到达点时，，同时停止运动．已知点的速度为每秒2个单位长度，点速度为每秒1个单位长度，设运动时间为秒． (1)用含的式子表示线段的长度为______； (2)当为何值时，，两点重合？ (3)若点为中点，点为中点．问：是否存在时间，使长度为5？若存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，M、N两点重合 (3)当或时， 【分析】本题考查一元一次方程的应用、列代数式、线段的和与差，理解题意，正确得出表示线段的代数式，利用数形结合思想和分类讨论思想求解是解答的关键． （1）直接根据路程时间速度求解即可； （2）先用t表示出、，再根据题意列出方程求解即可； （3）先用t表示出，，再分点P在Q的左边和点P在Q的右边，利用列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点M的速度为每秒2个单位长度，运动时间为t秒， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意，，， 当，两点重合时，， ∴， 解得， ∴当时，M、N两点重合； （3）解：存在时间t，使． 由题意得，， ∵点为中点，点为中点． ∴，， ∴， 当点P在Q的左边时，，解得； 当点P在Q的右边时，，解得， ∴当或时，． 44．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）[背景知识]： 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为、，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为． [问题情境]： 如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为6，点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为秒．    [综合运用]： (1)线段的中点表示的数为________． (2)求：当为何值时，； (3)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 【答案】(1)1 (2)或 (3)不变，5 【分析】本题考查了数轴上两点的距离公式，线段的中点，以及线段的和差，找出线段之间的数量关系是解题关键，注意分类讨论． （1）利用已知线段中点公式求解即可； （2）根据题意，秒后，点表示的数是，点表示的数是，再利用数轴上两点的距离公式列绝对值方程求解即可； （3）分两种情况讨论：①当点在线段上；②当点在线段的延长线上时，根据线段的和差关系，结合线段中点分别求解即可． 【详解】（1）解：数轴上点表示的数为，点表示的数为6， 线段的中点表示的数为， 故答案为：1； （2）解：根据题意，秒后，点表示的数是，点表示的数是， ， ， 解得：或， 答：当或时，； （3）解： 线段的长度不变，理由如下： ①当点在线段上时，   点为的中点，点为的中点， ； ②当点在线段的延长线上时，   点为的中点，点为的中点， ； 所以线段的长度不变，是5． 45．（23-24七年级上·广东揭阳·期末）如图，射线上有A，B，C三点，满足．点P从点O出发，沿方向以的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段上向点O匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点O时，点P，Q停止运动． (1)若Q的速度为，求两点相遇时，的长； (2)当点P与点Q都同时运动到线段的中点时，求点Q的运动速度； (3)当时，点Q运动到的位置恰好是线段的中点，求点Q的运动速度． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查一元一次方程的应用，两点间距离，路程，速度时间之间的关系等知识，学习构建方程解决问题是解决此种题型的关键． （1）设经过，两点相遇，列出方程即可求得本题答案； （2）根据题意设经过点P与点Q都同时运动到线段的中点，先计算和的长度，再计算点P运动到的中点时的时间，再利用路程时间公式即可得出点Q的运动速度； （3）设Q的速度为，经过后，点Q运动到的位置恰好是线段的中点，点O对应数轴上的，点A对应数轴上的，点B对应数轴上的，点C对应数轴上的，点P对应数轴上的，点Q对应数轴上的，根据题意列出方程即可求出值． 【详解】（1）解：设经过，两点相遇， ∵点P从点O出发，沿方向以的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段上向点O匀速运动，两点同时出发，Q的速度为， 又∵， ∴， ∴， 则（cm）， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴，， ∵P从点O出发，沿方向以的速度匀速运动， ∴点P运动到中点时时间为：， ∴点Q的运动速度为：， 故答案为：； （3）解：设Q的速度为，经过后，点Q运动到的位置恰好是线段的中点， 且规定点O对应数轴上的，点A对应数轴上的，点B对应数轴上的，点C对应数轴上的， ∴点P对应数轴上的，点Q对应数轴上的， ∵点Q运动到的位置恰好是线段的中点， ∴，解得， ∵， ∴，解得或， 当时，此时， 而点Q到达O所需时间为； 当时，此时， 而点Q到达O所需时间为， 综上所述，当或， 故答案为：或． 46．（23-24七年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在数轴上的A点表示数，B点表示数，满足    (1)点A表示的数为____________，点B表示的数为______________. (2)若在原点处放一挡板，一小球甲从点A 处以2个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以3个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒）． ①当时，乙小球到原点的距离=__________________； 当时，乙小球到原点的距离=__________________． ②试探究：甲、乙两小球到原点的距离可能相等吗？若不能，请说明理由；若能，请计算说明． (3)现将小球乙看成动点P，当点P运动到线段上时，分别取和的中点，试判断的值是否为定值，若不是，请说明理由；若是，请求出该定值． 【答案】(1)，5 (2)①2，4；②能，当或时，甲、乙两小球到原点的距离相等 (3)的值是定值，这个定值为2 【分析】（1）根据偶次方和绝对值的非负性求出的值，由此即可得； （2）①当时，乙小球运动的距离为3，再利用的长减去3即可得；当时，乙小球运动的距离为9，再利用9减去的长即可得； ②先求出乙小球从点运动到原点所需时间为秒，再分两种情况：和，分别建立方程，解方程即可得； （3）先求出，点表示的有理数为，再分两种情况：①和②，分别求出，代入计算即可得． 【详解】（1）解：， ，， 解得， 则点表示的数为，点表示的数为5， 故答案为：，5． （2）解：①点表示的数为5， ， 当时，乙小球运动的距离为， 则乙小球到原点的距离为， 当时，乙小球运动的距离为， 则乙小球到原点的距离为， 故答案为：2，4； ②假设甲、乙两小球到原点的距离能相等， 乙小球从点运动到原点所需时间为（秒）， 当时，则， 解得，符合题设； 当时，， 解得，符合题设； 综上，当或时，甲、乙两小球到原点的距离相等． （3）解：由（1）可知，，点从点运动到点，再从点运动到点所需时间为（秒）， 点是的中点，点表示的数为5， 点表示的有理数为， ①如图，当时，则运动秒后，点表示的有理数为，   ， 点是的中点，点表示的数为， 点表示的有理数为， ， ； ②如图，当时，则运动秒后，点表示的有理数为，   ， 点是的中点，点表示的数为， 点表示的有理数为， ， ， 综上，的值是定值，这个定值为2． 【点睛】本题考查了偶次方和绝对值的非负性、一元一次方程的应用、数轴、整式加减的应用、线段中点等知识点，熟练掌握数轴的性质是解题关键． 47．（21-22七年级上·四川成都·期末）如图，数轴上线段（单位长度），（单位长度），点A在数轴上表示的数是-8，点在数轴上表示的数是10，若线段以3个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以1个单位长度/秒的速度也向右匀速运动． (1)线段与线段从开始相遇到完全离开共经过多长时间； (2)问运动多少秒时（单位长度）； (3)设线段，开始运动后的运动时间为秒，当为何值时，恰好满足． 【答案】(1)秒； (2)①、相遇之前：秒，②、相遇之后：秒 (3)当为5秒或9秒后恰好满足 【分析】（1）根据线段与线段从开始相遇到完全离开相当于线段AB比线段CD多走的路程为AB+CD，由此求解即可； （2）分、相遇之前和、相遇之后，两种情况讨论求解即可； （3）由题可得，秒后A，，，可分别表示为：A：，：，：，：．则：，，然后分分、相遇之前和、相遇之后，两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：、相遇后到A点完全离开： 秒 （2）解：①、相遇之前： 秒 ②、相遇之后： 秒 （3）由题可得，秒后A，，，可分别表示为：A：，：，：，：． 则：，， ①、相遇之前，由题可得： ②、相遇之后，由题可得： 综上所述：当为5秒或9秒后恰好满足． 【点睛】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，数轴上的动点问题，正确理解题意是解题的关键． 48．（21-22七年级上·河南郑州·期末）如图，点C是线段AB上的一点，线段AC＝8m，．机器狗P从点A出发，以6m/s的速度向右运动，到达点B后立即以原来的速度返回；机械猫Q从点C出发，以2m/s的速度向右运动，设它们同时出发，运动时间为xs．当机器狗P与机械猫Q第二次相遇时，机器狗和机械猫同时停止运动． (1)BC＝______m，AB＝______m； (2)试通过计算说明：当x为何值时，机器狗P在点A与机械猫Q的中点处？ (3)当x为何值时，机器狗和机械猫之间的距离PQ＝2m？请直接写出x的值． 【答案】(1)16，24． (2)当x=，即运动秒时，机器狗P在点A与机械猫Q的中点处． (3)当x=或x=或x=，即运动x=或x=或x=秒时，机器狗和机械猫之间的距离PQ=2m． 【分析】（1）由且AC=8cm得8+BC=，先求出BC的长，然后再求出AB的长即可； （2）先确定机器狗P在点A与机械猫Q的中点处只存在一种情况，即机器狗P与机械猫Q第一次相遇之前，再根据线段AP=AQ列方程求出x的值即可； （3）分三种情况，一是点P在线段AQ上，可根据AP+2=AQ列方程求出x的值；二是点P在线段BQ上且点P到达点B之前，可根据AP-2=AQ列方程求出x的值；三是点P在线段BQ上且点P从点B返回时，可根据2AB减去点P运动的距离等于AQ+2列方程求出x的值即可． 【详解】（1）解：∵，AB=AC+BC，AC=8m， ∴8+BC=，解得：BC=16m， ∴AB=×16=24m． 故答案为：16，24． （2）解：由题意可得：：机器狗P在点A与机械猫Q的中点处只存在一种情况，即机器狗P与机械猫Q第一次相遇之前， ∴6x={8+2x），解得x=． 答：当x=，即运动秒时，机器狗P在点A与机械猫Q的中点处． （3）解：当点P在线段AQ上且PQ=2m时，则6x+2=8+2x，解得x=； 当点P在线段BQ上且PQ=2m时，则6x-2=8+2x或24×2-6x=8+2x+2，解得x=或x ． 答：当x=或x=或x=，即运动x=或x=或x=秒时，机器狗和机械猫之间的距离PQ=2m． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程、一元一次方程的应用、线段上的动点问题的求解等知识点，正确地用含x的代数式表示线段A P和AQ的长是解答本题的关键. 49．（20-21七年级上·安徽蚌埠·期末）如图，点在数轴上分别表示有理数，且满足． （1）点表示的数是___________，点表示的数是____________． （2）若动点从点出发以每秒3个单位长度向右运动，动点从点出发以每秒1个单位长度向点运动，到达点即停止运动两点同时出发，且点停止运动时，也随之停止运动，求经过多少秒时，第一次相距3个单位长度？ （3）在（2）的条件下整个运动过程中，设运动时间为秒，若的中点为的中点为，当为何值时，？ 【答案】（1）﹣2，5；（2）1秒；（3）1秒或秒． 【分析】（1）由非负数的性质得a+2＝0，且b﹣5＝0，得出a＝﹣2，b＝5； （2）求出AB＝7，设经过x秒时，P、Q第一次相距3个单位长度，则AP＝3x，BQ＝x，可列方程 7﹣3x﹣x＝3，解方程即可； （3）由题意得t秒后，AP＝3t，BQ＝t，由中点的定义得AM＝AP＝t，BN＝BQ＝t，对P、M、B三点的位置分类讨论，用含t的式子表示BM、PB、AN长，由题意得出方程，解方程即可． 【详解】解：（1）∵满足， ∴a+2＝0， b﹣5＝0， ∴a＝﹣2，b＝5， 即点A所对应的数是﹣2，点B所对应的数是5； 故答案为：﹣2，5； （2）AB＝5﹣（﹣2）＝7， 设经过x秒时，P、Q第一次相距3个单位长度， 则AP＝3x，BQ＝x，PQ＝AB﹣AP﹣BQ， 列方程得，7﹣3x﹣x＝3， 解得：x＝1， 答：经过1秒时，P、Q第一次相距3个单位长度； （3）由题意得：t秒后，AP＝3t，BQ＝t， ∵AP的中点为M，BQ的中点为N， ∴AM＝AP＝t，BN＝BQ＝t， 如图1，当点P、M都在点B的左侧时， BM＝AB﹣AM＝7﹣t，PB＝AB﹣AP＝7﹣3t，AN＝AB﹣BN＝7﹣t， ∵BM+AN＝3PB， ∴7﹣t +7﹣t＝3（7﹣3t）， 解得：t＝1； 如图2，当点M在点B的左侧，点P在点B的右侧时， BM＝AB﹣AM＝7﹣t，PB＝AP﹣AB＝3t﹣7，AN＝AB﹣BN＝7﹣t， ∵BM+AN＝3PB， ∴7﹣t +7﹣t＝3（3t﹣7）， 解得：t＝； ③如图3，当点P、M都在点B的右侧时， BM＝AM﹣AB＝t﹣7，PB＝AP﹣AB＝3t﹣7，AN＝AB﹣BN＝7﹣t， ∵BM+AN＝3PB， ∴t﹣7+7﹣t＝3（3t﹣7）， 解得：t＝（舍去）； 综上所述，当t为1秒或秒时，BM+AN＝3PB． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴、两点的距离、非负数的性质以及分类讨论等知识；关键是数形结合，正确列出一元一次方程． 50．（24-25七年级上·江苏南通·期末）综合与实践：七年级某学习小组围绕“线段的中点”开展主题学习活动． 【问题情境】 如图，点A，B，C，D在同一条直线l上，，点M为线段中点，点N为线段中点．探究线段，，之间的关系． 【特例探究】 （1）如图1，点C，D在线段上，点M为中点，点N为中点． 列表分析线段，，之间的关系． 线段，，之间的关系分析表 特例序号 ① 6 4 1 ② 8 3 a ③ 10 6 b 表格中，数据________，________． 【推理论证】 （2）在（1）的条件下，若线段，，请用含m，n的式子表示的长，并说明理由； 【拓展运用】 （3）若点C，D在直线l上运动，且点C始终在点D的左侧，线段，，之间的关系是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请直接写出，，之间的关系式． 【答案】（1），；（2）；（3）不变， 【分析】本题考查的是线段的和差运算，线段的中点的含义； （1）根据表格信息分别求解当，，当，时的长度即可； （2）求解，，，结合点M为中点，点N为中点，可得，，再进一步求解即可； （3）分五种情况讨论：当点C，D在线段上，当在的左边，在的右边，如图，当在的右边，在的右边，如图，当在的左边，在的右边时，如图，当都在的左边时，再结合（2）的方法进一步求解即可. 【详解】解：（1）如图，点C，D在线段上， ，． ∴，，， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∵， ∴， 当，． ∴，，， ∴， 当，． ∴，，， ∴， ∴，； （2）如图，点C，D在线段上， ，． ∴，，， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∵， ∴； （3）点C，D在线段上，由（2）可知； 如图，当在的左边，在的右边， ，， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∴， 如图，当在的右边，在的右边， ∴， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∴ ， 如图，当在的左边，在的右边时， ∴， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∴ ， 如图，当都在的左边时， ∴， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∴ ， 综上：. 51．（24-25七年级上·江西九江·阶段练习）如图，点都在直线上，是线段的中点，是线段的中点，．    (1)当点在线段上且时，求和的长． (2)若是直线上的动点，动点从点A出发，以3个单位长度/秒的速度沿着的方向运动，运动时间为秒． ①已知另一动点从点出发，以2个单位长度/秒的速度沿着的方向同时运动．是否存在？若存在，求出此时运动的时间；若不存在，请说明理由． ②当动点在线段上运动时，分别是线段和的中点，试判断与线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2)①或；② 【分析】本题主经考查了动点产生的线段的计算．熟练掌握线段中点定义，线段的和差倍分关系，是解题的关键． （1）根据中点，得，，根据，得； （2）①存在，当P、Q相遇时，，得，解得；当P、Q相遇后，，得，解得；②根据中点，得，得，根据，即得． 【详解】（1）解：∵是线段的中点，．∴， ∵是线段的中点， ∴， ∴， ∵点在线段上且， ∴；    （2）解：①存在， 当P、Q相遇时， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得； 当P、Q相遇后， ∵， ∴， 解得； 故或；       ②，理由： ∵分别是线段和的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴．    1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14 角 目录 1 类型一、车票种类问题 1 类型二、线段中的设元思想--根据线段的比关系设元 3 类型三、线段中的设元思想--根据线段的倍分关系设元 4 类型四、线段中的设元思想--根据线段和差关系设元 5 类型五、线段中的分类讨论思想--单个待定点的分类讨论 7 类型六、线段中的分类讨论思想--多个待定点的分类讨论 7 类型七、线段中的双中点模型--双中点结构的直接运用（有图） 8 类型八、线段中的双中点模型--双中点结构与分类讨论结合（无图） 9 类型九、线段中的动点问题--单个动点问题 10 类型十、线段中的动点问题--多动点问题 11 12 类型一、车票种类问题 方向是不同的，那么在票务印制中，所制的票务也是不同的.即当一条直线上有n(n>1)个不同的点时，有条线段，需要印制 n(n-1)类车票. 1．（20-21七年级上·广西崇左·期末）如图，在线段AD上有两点B，C，则图中共有_____条线段，若在车站A、D之间的线路中再设两个站点B、C，则应该共印刷_____种车票． A．3， 3 B．3， 6 C．6， 6 D．6， 12 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）一趟往返于上海、南京之间的列车，除起点、终点外，中间还要停靠3个站，这趟列车有几种车票？（仅考虑车票上的出发站与到达站） 3．（24-25七年级上·四川绵阳·期末）按要求作图，并回答问题： (1)若平面内有三个点，且不在同一直线上，将每两个点进行连接，可以连成几条线段？ (2)若平面内有四个点，且每三点都不在同一条直线上，将每两个点进行连接，可以连成几条线段？ (3)利用以上原理解决问题： 某趟高铁从起始点A市到终点E市会经过B，C，D三个站点，中途共停靠3次，每个站点到A市的距离如表所示： 站点 B C D E 与A市的距离（公里） 115 254 367 493 已知高铁的票价由路程决定，求共有几种不同的票价； (4)写出一个可以用以上问题中的原理解决的实际问题． 4．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）问题提出： 某学校举办足球赛，若有5支球队进行单循环比赛（即全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场），则该校一共要安排多少场比赛？ 构建模型：生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决问题．为解决上述问题，我们构建如下数学模型： （1）如图①，我们可以在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上），其中每个点各代表一支足球队，两支球队之间比赛一场就用一条线段把它们连接起来．由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有条线段，所以该校一共要安排10场比赛． （2）若学校有6支足球队进行单循环比赛，借助图②，我们可知该校一共要安排______场比赛； （3）根据以上规律，若学校有n支足球队进行单循环比赛，则该校一共要定排______场比赛． 实际应用： 实际应用： （4）9月2日开学时，老师为了让全班新同学互相认识，请班上46位新同学每两个人都相互握一次手，全班同学总共握手______次． 拓展提高： （5）往返于济南和青岛的同一辆高速列车，中途经济南东站、章丘、淄博、青州、潍坊、青岛6个车站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备车票的种数为______种． 5．（21-22七年级上·江西吉安·阶段练习）观察图形，并回答下列问题：    (1)图中共有几条线段？说明你分析这个问题的具体思路； (2)请你用上面的思路来解决“十五个同学聚会每个人都与其他人握一次手，共握了多少次”这个问题； (3)十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片呢，共送了几张？ 类型二、线段中的设元思想--根据线段的比关系设元 已知几条线段之间的比例关系或倍、分关系时，一般可以运用方程思想，设出未知数，利用线段之间的关系构造一元一次方程求解. 6．（24-25九年级下·安徽池州·期中）如图，点C，O在线段上，，O是的中点，则的值是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）线段，在直线上截取线段，为线段的中点，为线段的中点，那么线段的长为（   ） A．4 B．6 C．5或7 D．4或6 8．（23-24七年级上·重庆渝北·期末）如图，已知A、B是线段上两点，，、分别为、的中点，且，则长为（    ） A． B． C． D． 9．（21-22七年级上·四川巴中·期末）如图，已知B，C两点把线段AD从左至右依次分成2：4：3三部分，M是AD的中点，BM＝5cm，则线段MC的长为（　　） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 10．（23-24七年级下·广东惠州·开学考试）如图：点A，B在线段上，点M，N分别是线段的中点，，若，则线段的长是 ． 11．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）如图，点B、C在线段上，若，，且，求的长度． 12．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图，B，C两点把线段分成三部分，P是的中点，已知，求线段的长． 类型三、线段中的设元思想--根据线段的倍分关系设元 13．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，点D是线段的中点，延长到点C，使，点E是线段的中点，，求线段的长． 14．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）已知C为的中点，E为线段上的一点，D为线段的中点． （1）如图①，若，，则 ； （2）如图②，若，，则 ． 15．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图点C在线段上，线段，点M，N分别是，的中点． (1)若，求的长； (2)若，求的长． 16．（22-23七年级上·湖北武汉·期末）如图，点为线段上一点，在线段上，，点为的中点． (1)若，当忖，求的长． (2)若，求的值． 17．（21-22七年级上·安徽铜陵·期末）如图，已知点是的中点，点是的中点，且，，求的长． 类型四、线段中的设元思想--根据线段和差关系设元 18．（23-24七年级上·安徽·单元测试）如图，点C、D在线段上，点C为中点，若，，则的长度是 ． 19．（22-23七年级上·湖北武汉·期末）数轴上有A、B、C三点，如图1，点A、B表示的数分别为m、n，点C在点B的右侧，． (1)若，点D是的中点． ①则点D表示的数为 　　． ②如图2，线段（E在F的左侧，），线段从A点出发，以1个单位每秒的速度向B点运动（点F不与B点重合），点M是的中点，N是的中点，在运动过程中，的长度始终为1，求a的值； (2)若，点D是的中点，若，试求线段的长． 20．（22-23七年级下·福建福州·开学考试）如图，已知，点C、D分别为线段、上的动点，若点C从点O出发以的速度沿方向运动，同时点D从点B出发以的速度沿方向运动．    (1)如图1，当运动时间为时，求的值； (2)如图1，若在运动过程中，始终保持，求OA的长； (3)如图2，在（2）的条件下，延长BO到点M，使，点P是直线OB上一点，且，求的值．   21．（20-21七年级上·浙江杭州·阶段练习）已知点C在线段上，，点D、E在直线上，点D在点E的左侧， (1)若，，线段在线段上移动， ①如图1，当E为中点时，求的长； ②当点C是线段的三等分点时，求的长； (2)若，线段在直线上移动，且满足关系式，求． 类型五、线段中的分类讨论思想--单个待定点的分类讨论 题目如果没有图形，计算时，要讨论字母的顺序，可能有多种情况. 22．（23-24七年级上·安徽六安·期末）直线A上有两点、，点在、之间，满足，，若，则 ． 23．（24-25七年级上·安徽宿州·阶段练习）点，在线段上，是线段中点，，若，则长为 ． 24．（23-24七年级上·安徽蚌埠·期末）已知线段长度为9，点在直线上且有，是的中点，则等于（    ） A． B． C．或 D．或 25．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）点、、在同一直线上，，，是中点，则的长为（    ） A． B．或 C．或 D． 类型六、线段中的分类讨论思想--多个待定点的分类讨论 26．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）如图，把一根绳子对折成线段，点在线段上，从点处把绳子剪断，且，若剪断后的各段绳子中最长的一段为，则绳子的原长为（   ） A． B． C．或 D．或 27．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图，已知点、在直线上，，且，若点是线段的中点，则线段的长为（    ） A．1 B．3 C．1或4 D．1或5 28．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）如图，已知点在线段上，，，点分别是的中点． (1)求的长； (2)求的长； (3)若点在直线上，且，点为的中点，求的长． 29．（2024七年级上·安徽·专题练习）如图，直线上有一点，点，分别为线段，的中点，． （1）若点在线段上，且，求线段的长度； （2）若点在直线上运动，设，，请分别计算下面情况时的长度： ①当在之间； ②当在左边； ③当在右边； 你发现了什么规律？ 类型七、线段中的双中点模型--双中点结构的直接运用（有图） 30．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）已知线段，延长至点 ，使．点是的中点，点是的中点，则 ． 31．（23-24七年级上·安徽·期末）如图，为线段的中点，为线段的中点，为线段的中点，若，则（    ）． A． B． C． D．1 32．（22-23七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，点A、B、C在同一直线上，为的中点，为的中点，为的中点，则下列说法：①，②，③，④，其中正确的是（   ） A．①③ B．②④ C．①④ D．①③④ 33．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，为线段上一点，，，、分别为、的中点． (1)若，，求的长； (2)若，求的值． 34．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，已知线段，点，在线段上，，点是的中点，点是的中点． (1)若，，当，求线段的长度； (2)当线段在线段上运动时，试判断线段的长度是否发生变化，如果不变，请求出线段的长度；如果变化，请说明理由． 类型八、线段中的双中点模型--双中点结构与分类讨论结合（无图） 35．（22-23七年级上·安徽芜湖·期末）已知点在直线上，若，，、分别为线段、的中点，则的长为（   ） A．5cm B．3cm C．5cm或3cm D．5cm或1cm 36．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）已知点C在线段上，点M、N分别是线段的中点，如果，求线段的长． 37．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）直线l上有三点A、B、C，其中，，M、N分别是、的中点，则的长是（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 38．（24-25七年级上·广东广州·期中）已知、、三点在同一条直线上，线段，线段，若是线段的中点，是线段的中点，则线段的长度是多少？ 类型九、线段中的动点问题--单个动点问题 数轴上的动点问题主要考查线段的变化以及线段之间的数量关系，但数轴上利用点所对应的数比较容易将问题代数化，结合图形容易找出线段长度与数之间的关系，这种“以数解形”的思想是解决这类问题最常用的思想方法.此类问题需要注意分类讨论. 【注意】 (1)注意分析动点运动时的出发点与停止点； (2)注意分析动点运动的方向与速度，尤其当题目中出现多个动点时； (3)注意区分定点与动点，同时注意分析动点运动过程中保持不变的量. 39．（23-24七年级上·北京·期末）如图，线段，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线运动，M为的中点． (1)出发多少秒后，？ (2)当P在线段上运动时，试说明为定值． (3)当P在延长线上运动时，N为的中点，下列两个结论：长度不变；的值不变．选择一个正确的结论，并求出其值． 40．（25-26七年级上·河南郑州·阶段练习）阅读理解： 定义：在数轴上表示和的两点之间的距离是，这是绝对值的几何意义．如图，在数轴上，点表示的数是，点表示的数为3，则之间的距离为．另，线段的中点表示的数是，即； (1)若在数轴上有、、三点，点对应的数是，且、两点间的距离为6，为的中点，则点所对应的数是___________． (2)当满足___________时，的值最小，最小值为___________． (3)，则___________． (4)若数轴上点表示的数是4，点表示的数是16，动点从点开始以每秒3个单位长度的速度向数轴正半轴方向运动，求多少秒后点到点的距离是到点距离的2倍？ 41．（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）如图，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，满足．动点从点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点表示的数是_______，点表示的数是_______； (2)若点从点出发向左运动，点为的中点，在点到达点之前，求证：为定值． 类型十、线段中的动点问题--多动点问题 42．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）如图，已知数轴上的点对应的数为，是数轴上的一点，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．    (1)数轴上点对应的数是_____，点对应的数是_____用含的式子表示； (2)动点从点与点同时出发，以每秒个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动，试问：运动多少时间点可以追上点？ (3)是的中点，是的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若有变化，请说明理由；若没有变化，请你画出图形，并求出的长． 43．（22-23七年级上·吉林·期末）如图，在直线上顺次取，，三点，已知，，点，分别从，两点同时出发向点运动．当其中一动点到达点时，，同时停止运动．已知点的速度为每秒2个单位长度，点速度为每秒1个单位长度，设运动时间为秒． (1)用含的式子表示线段的长度为______； (2)当为何值时，，两点重合？ (3)若点为中点，点为中点．问：是否存在时间，使长度为5？若存在，请说明理由． 44．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）[背景知识]： 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为、，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为． [问题情境]： 如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为6，点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为秒．    [综合运用]： (1)线段的中点表示的数为________． (2)求：当为何值时，； (3)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 45．（23-24七年级上·广东揭阳·期末）如图，射线上有A，B，C三点，满足．点P从点O出发，沿方向以的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段上向点O匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点O时，点P，Q停止运动． (1)若Q的速度为，求两点相遇时，的长； (2)当点P与点Q都同时运动到线段的中点时，求点Q的运动速度； (3)当时，点Q运动到的位置恰好是线段的中点，求点Q的运动速度． 46．（23-24七年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在数轴上的A点表示数，B点表示数，满足    (1)点A表示的数为____________，点B表示的数为______________. (2)若在原点处放一挡板，一小球甲从点A 处以2个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以3个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒）． ①当时，乙小球到原点的距离=__________________； 当时，乙小球到原点的距离=__________________． ②试探究：甲、乙两小球到原点的距离可能相等吗？若不能，请说明理由；若能，请计算说明． (3)现将小球乙看成动点P，当点P运动到线段上时，分别取和的中点，试判断的值是否为定值，若不是，请说明理由；若是，请求出该定值． 47．（21-22七年级上·四川成都·期末）如图，数轴上线段（单位长度），（单位长度），点A在数轴上表示的数是-8，点在数轴上表示的数是10，若线段以3个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以1个单位长度/秒的速度也向右匀速运动． (1)线段与线段从开始相遇到完全离开共经过多长时间； (2)问运动多少秒时（单位长度）； (3)设线段，开始运动后的运动时间为秒，当为何值时，恰好满足． 48．（21-22七年级上·河南郑州·期末）如图，点C是线段AB上的一点，线段AC＝8m，．机器狗P从点A出发，以6m/s的速度向右运动，到达点B后立即以原来的速度返回；机械猫Q从点C出发，以2m/s的速度向右运动，设它们同时出发，运动时间为xs．当机器狗P与机械猫Q第二次相遇时，机器狗和机械猫同时停止运动． (1)BC＝______m，AB＝______m； (2)试通过计算说明：当x为何值时，机器狗P在点A与机械猫Q的中点处？ (3)当x为何值时，机器狗和机械猫之间的距离PQ＝2m？请直接写出x的值． 49．（20-21七年级上·安徽蚌埠·期末）如图，点在数轴上分别表示有理数，且满足． （1）点表示的数是___________，点表示的数是____________． （2）若动点从点出发以每秒3个单位长度向右运动，动点从点出发以每秒1个单位长度向点运动，到达点即停止运动两点同时出发，且点停止运动时，也随之停止运动，求经过多少秒时，第一次相距3个单位长度？ （3）在（2）的条件下整个运动过程中，设运动时间为秒，若的中点为的中点为，当为何值时，？ 50．（24-25七年级上·江苏南通·期末）综合与实践：七年级某学习小组围绕“线段的中点”开展主题学习活动． 【问题情境】 如图，点A，B，C，D在同一条直线l上，，点M为线段中点，点N为线段中点．探究线段，，之间的关系． 【特例探究】 （1）如图1，点C，D在线段上，点M为中点，点N为中点． 列表分析线段，，之间的关系． 线段，，之间的关系分析表 特例序号 ① 6 4 1 ② 8 3 a ③ 10 6 b 表格中，数据________，________． 【推理论证】 （2）在（1）的条件下，若线段，，请用含m，n的式子表示的长，并说明理由； 【拓展运用】 （3）若点C，D在直线l上运动，且点C始终在点D的左侧，线段，，之间的关系是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请直接写出，，之间的关系式． 51．（24-25七年级上·江西九江·阶段练习）如图，点都在直线上，是线段的中点，是线段的中点，．    (1)当点在线段上且时，求和的长． (2)若是直线上的动点，动点从点A出发，以3个单位长度/秒的速度沿着的方向运动，运动时间为秒． ①已知另一动点从点出发，以2个单位长度/秒的速度沿着的方向同时运动．是否存在？若存在，求出此时运动的时间；若不存在，请说明理由． ②当动点在线段上运动时，分别是线段和的中点，试判断与线段之间的数量关系，并说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $