第01讲 排列组合与二项式定理（复习讲义）（北京专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第01讲 排列组合与二项式定理 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 2 03核心突破·靶向攻坚 3 知能解码 3 知识点1 两个计数原理 3 知识点2 排列数组合数的计算及性质 4 知识点3 二项式定理及其性质 5 题型破译 6 题型1 分类加法原理与分步乘法原理 6 题型2 求二项展开式的第k项 7 题型3 求指定项的系数 7 题型4 由项的系数确定参数 8 题型5 三项展开式的系数问题 9 题型6 两个二项式乘积展开式的系数问题 10 题型7 展开式系数问题 11 04真题溯源·考向感知 12 05课本典例·高考素材 14 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）求指定项的系数 （2）二项展开式各项的系数和 单选题 填空题 解答题 北京卷T12（5分） 北京卷T4（4分） 北京卷T5（4分） 考情分析： 北京卷中排列组合与二项式定理内容常出现在选择题或填空题中，分值一般为4-5分，难度中等偏易，属于“中低 档题型”。主要考查分类加法计数原理、分步乘法计数原理，以及排列与组合的基本概念与计算。二项式定理部分 重点考查展开式的通项公式、特定项系数、常数项等，偶尔会与赋值法结合考查系数和问题。易错点在于是否区分 排列与组合、是否考虑特殊位置或特殊元素、二项式展开式中项的系数与二项式系数的区别。 复习目标： 1.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理，能正确区分并使用两种计数方法解决实际问题。 2.理解排列与组合的概念，掌握排列数公式与组合数公式的计算及其性质。能解决常见的排列组合问题。 3.掌握二项式定理的展开形式，理解通项公式 ，能求展开式中特定项或其系数。 4.能利用赋值法求二项展开式中各项系数的和，能区分“二项式系数”与“项的系数”，避免概念混淆 知识点1 两个计数原理 （1）分类加法计数原理：完成一件事，如果有n类办法，且：第一类办法中有种不同的方法，第二类办法中有种不同的方法……第n类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法. （2）分步乘法计数原理：完成一件事，如果需要分成n个步骤，且：做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法……做第n步有种不同的方法.那么完成这件事共有 种不同的方法. 自主检测1平面上有5个不同的点A，B，C，D，E，以其中两个点为端点的有向线段共有( ) A．25条      B．10条      C．20条      D．30条 【答案】C 【详解】分两步，先从5个点中选出1个，共有5种可能性，再从剩下的4个点中选出1个，共有4种可能性，则以其中两个点为端点的有向线段共有种，故选：C. 自主检测2如图所示，在间有四个焊接点1，2，3，4，若某焊接点脱落，则此处断路，则焊接点脱落导致电路不通的情况的种数为（    ）    A．9 B．11 C．13 D．15 【答案】C 【详解】按照焊接点脱落的个数分类讨论，若脱落1个，则有共2种情况， 若脱落2个，则有共6种情况， 若脱落3个，则有共4种情况， 若脱落4个，则有共1种情况， 由分类加法计数原理，情况种数共有种． 故选：C． 知识点2 排列数组合数的计算及性质 排列数 组合数 定义 从n个不同元素中取出m（）个元素的所有 不同排列 的个数 从n个不同元素中取出m（）个元素的所有 不同组合 的个数 公式 性质 ， 1 ， 自主检测计算： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)126 ； (2)1680； (3)72； (4)120 . 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）. 知识点3 二项式定理及其性质 ＝ ． （1）这个公式叫做二项式定理． （2）展开式：等号右边的多项式叫做的二项展开式，展开式中一共有 n＋1 项． （3）二项式系数：各项的系数（k∈{0，1，2，…，n}）叫做二项式系数． 二项展开式的通项 展开式的第 k＋1 项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝ . 二项式系数的性质 对称性 在的展开式中，与首末两端“ 等距离 ”的两个二项式系数相等，即＝ 增减性 与最 大值 增减性：当k<时，二项式系数是逐渐增大的； 当k>时，二项式系数是逐渐 减小的 ； 当n为偶数时，中间一项的二项式系数 最大； 当n为奇数时，中间两项的二项式系数 ， 相等，且同时取得最大值 各二项 式系数 的和 （1） （2） 自主检测1的二项展开式中第4项是 ． 【答案】 【详解】由题可知：的二项展开式中第4项是 故答案为： 自主检测2的展开式中x的系数为 . 【答案】11 【详解】当第一个括号取2，第二个括号取的一次项时，展开式中的系数为； 当第一个括号取，第二个括号取常数项时，展开式中的系数为， 故展开式中的系数为. 故答案为：11 自主检测3，则 ． 【答案】45 【详解】由， 则二项展开式通项为，， 则令，解得， 所以． 故答案为：45． 题型1 分类加法原理与分步乘法原理 例1-1今年贺岁片，《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》引爆了电影市场，小明和他的同学一行五人决定去看这三部电影，每人只看一部电影，则不同的选择共有（    ） A．10种 B．60种 C．125种 D．243种 【答案】D 【详解】五人去看三部电影，每人只看一部电影，则不同的选择共有种， 故选：D． 【变式训练1-1·变载体】甲、乙分别从门不同课程中选修门，且人选修的课程不同，则不同的选法有（    ）种． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】甲从门课程中选择门，有种选法；乙再从甲未选的课程中选择门，有种选法； 根据分步乘法计数原理可得：不同的选法有种. 故选：C. 【变式训练1-2·变载体】有四对双胞胎共8人，从中随机选出4人，则其中恰有一对双胞胎的选法有 种． 【答案】48 【详解】先从四对双胞胎中选出一对，有种选择， 然后从剩下的六个人中选出两个人，且不能是同一对双胞胎， 这相当于从三对双胞胎中选出两对，再从每对中选出一个人，共有种选择， 根据乘法原理，总共有种选法. 故答案为：. 题型2 求二项展开式的第k项 例2-1展开式中的第项是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得二项式展开式的通项为：， 将代入上式，可得：， 所以展开式中的第项是：. 故选：A. 【变式训练2-1】展开式中的第四项为（    ） A． B． C．240 D． 【答案】B 【详解】展开式的通项公式为， 所以, 故选：B 题型3 求指定项的系数 例3-1（2025·北京通州·一模）在的展开式中，x的系数为（   ） A． B． C．32 D．40 【答案】A 【详解】通项公式， 令，得， 所以x的系数为， 故选：A 【变式训练3-1】（2025·北京西城·一模）在的展开式中，的系数等于（   ） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】D 【详解】由题设，二项式展开式通项为，， 令，则，即的系数等于24. 故选：D 题型4 由项的系数确定参数 例4-1（2025·北京海淀·二模）在的展开式中，的系数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】的展开式通项为， 令，可得，所以的系数为，解得. 故选：A. 【变式训练4-1】（2025·北京朝阳·二模）已知的展开式中，第4项和第6项的系数相等，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【详解】由，根据题意有，由组合数的性质有. 故选：B. 【变式训练4-2】（2025·北京东城·一模）在的展开式中，的系数为10，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【详解】因为的通项为， 令，解得， 则，解方程得：. 故选：D. 题型5 三项展开式的系数问题 例5-1的展开式中，的系数为（    ） A．60 B．120 C．240 D．360 【答案】B 【详解】要得到这一项，相当于从6个含有三项的因式中的3个因式取，1个因式取，2个因式取， 即这一项为. 故的系数为. 故选：B 【变式训练5-1】在的展开式中，的系数为（    ） A．3 B．6 C．60 D．30 【答案】C 【详解】根据二项式定理，可得展开式的通项为（）. 要求的系数，则的次数，此时. 同样根据二项式定理，展开式的通项为（）. 要得到，则令，解得. 当，时，的系数为 在的展开式中，的系数为60. 故选：C. 【变式训练5-2】展开式中，项的系数为（　　） A．5 B．-5 C．15 D．-15 【答案】B 【详解】，表示5个相乘， 展开式中出现有两种情况，第一种是中选出3个和2个1， 第二种是中选出4个和1个， 所以展开式中含有项有和， 所以项的系数为, 故答案为：B 题型6 两个二项式乘积展开式的系数问题 例6-1的展开式中，的系数为（    ） A．60 B．30 C．45 D．15 【答案】A 【详解】的展开式中，有， 则的系数为，的系数为， 所以的展开式中，的系数为． 故选：A． 【变式训练6-1】的展开式中的系数为（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】B 【详解】的展开式中含的项为， 所以的系数为15. 故选：B. 【变式训练6-2】的展开式中的系数为（   ） A．252 B．162 C．126 D．36 【答案】B 【详解】方法1：的通项公式为， 分别令可得，，， 所以的展开式中含的项为， ∴的系数为． 方法2：由， 的通项公式为， 分别令可得项的系数分别为， 所以的展开式中含的项为 所以的系数为． 故选：B． 题型7 展开式系数问题 例7-1若，则（    ）． A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【详解】令得：， 令得：， 所以， 故选：D. 例7-2若，则（   ） A．0 B．1 C．4 D．8 【答案】A 【详解】法一：令，则， 所以原式左边为， 原式右边为， 所以. 法二：根据二项式定理，得 所以 所以. 故选：A. 【变式训练7-1】已知，则 . 【答案】 【详解】根据二项式展开式可知， 当，即时，可得，即. 故答案为：. 【变式训练7-2】若，则 ． 【答案】 【详解】由题意可知，， 则，解得， 故. 故答案为：. 【变式训练7-3】已知，则 ； ．（用数字作答） 【答案】 【详解】， 所以的系数为； 令，， 令，， 作差得，所以 则；. 故答案为：；. 1．（2025·北京·高考真题）已知，则 ； ． 【答案】 【详解】令，则， 又， 故， 令，则， 令，则，故 故答案为：. 2．（2024·北京·高考真题）在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】的二项展开式为， 令，解得， 故所求即为. 故选：A. 3．（2022·北京·高考真题）若，则（    ） A．40 B．41 C． D． 【答案】B 【详解】令，则， 令，则， 故， 故选：B. 4．（2021·北京·高考真题）在的展开式中，常数项为 . 【答案】 【详解】的展开式的通项， 令，解得，故常数项为. 故答案为：. 5．（2020·北京·高考真题）在的展开式中，的系数为（    ）． A． B．5 C． D．10 【答案】C 【详解】展开式的通项公式为：， 令可得：，则的系数为：. 故选：C. 【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项． 一、填空题 1．填空： （1）从人中选派人去参加某个会议，不同的选法共有 种； （2）从件不同的礼物中选出件分别送给名同学，不同的方法共有 种； （3）设集合有个元素，集合有个元素，从这两个集合中各取出个元素，不同的方法共有 种． 【答案】 / 【详解】（1）、从人中选派人去参加某个会议，与顺序无关属于组合问题，不同的选法共有种； （2）、从件不同的礼物中选出件分别送给名同学，与顺序有关属于排列问题，不同的方法共有种； （3）、集合有个元素，集合有个元素，从这两个集合中各取出个元素，利用分步乘法计数原理可知，不同的方法共有种. 故答案为：;;. 2．填空： （1）的展开式中二项式系数的最大值是 ； （2） ； （3）被5除所得的余数是 ． 【答案】 252 1 【详解】（1）的展开式共有11项，中间项的二项式系数最大，即第6项的二项式系数最大，最大值为； （2）因为， 令可得， 令可得， 两式相减可得，则； （3）， 除了最后一项外其余项都可以被5整除， 又，因为256除以5余1， 所以被5除所得的余数是1. 故答案为：252；；1. 二、解答题 3．12名选手参加校园歌手大奖赛，比赛设一等奖、二等奖、三等奖各1名．问：一共有多少种不同的获奖情况？ 【答案】 【详解】由题意可得. 所以一共有种不同的获奖情况. 4．（1）由数字1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字的五位数？可以组成多少个没有重复数字的正整数？ （2）由数字1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字且比1300大的正整数？ 【答案】（1）；；（2） 【详解】（1）根据题意，将1，2，3，4，5进行全排列， 有种情况，即可以组成个没有重复数字的五位数. 要求由1，2，3，4，5组成没有重复数字的正整数，可以分种情况讨论： ①由5个数字组成的一位数，有种情况， ②由5个数字组成的两位数，有种情况， ③由5个数字组成的三位数，有种情况， ④由5个数字组成的四位数，有种情况， ⑤由5个数字组成的五位数，有种情况， 则一共有没有重复数字的正整数. （2）根据题意，分两种情况讨论： 组成的是位数或位数， 当组成的数字是位数时，有种情况， 当组成的数字是位数时，分两种情况讨论： ①首位数字是2，3，4或5时， 组成的4位数都比1300大， 此时有种情况， ②首位数字是时，第二位数字必须为3，4或时， 此时有种情况， 一共有种情况，即可以组成个比1300大的正整数. 5．由数字1，2，3，4，5可以组成多少个三位数（各位上的数字可以重复）？ 【答案】125个 【详解】由题意，百位、十位和个位上的数字均有5种选法， ∴由数字1，2，3，4，5可以组成个三位数． 6．求的展开式中和的指数相等的项． 【答案】 【详解】展开式通项为， 由得：， 展开式中和的指数相等的项为. 7．设，求： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）令得：；令得：， . （2）令得：. （3）由（1）（2）知：， 两式作和得：，. 8．设，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：由， 令，可得. （2）解：令，可得， 所以. （3）解：令，可得， 令，可得， 所以 9．（1）求的展开式的第4项的系数； （2）求的展开式中的系数． 【答案】（1）280；（2）-192. 【详解】解：（1）的展开式的第4项是 ． 因此，展开式第4项的系数是280． （2）的展开式的通项是． 根据题意，令，． 因此，的系数是． 10．一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球． (1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？ (2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ (3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ 【答案】(1)56 (2)21 (3)35 【详解】（1）从口袋内的8个球中取出3个球，取法种数是. （2）从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是. （3）由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是. 11．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息.若所用数字只有0和1，求与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数. 【答案】11 【详解】与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类： 第一类，与信息0110恰有两个对应位置上的数字相同，即从4个位置中选2个位置相同，其他2个不同有个信息； 第二类，与信息0110恰有一个对应位置上的数字相同，即从4个位置中选1个位置相同，其他3个不同有个信息； 第三类，与信息0110没有一个对应位置上的数字相同，即4个位置中对应数字都不同，有=1个信息. 由分类加法计数原理知，与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为6+4+1=11. 12．已知一个两位数中的每个数字都从1，2，3，4中任意选取. (1)如果两位数中的数字不允许重复使用，那么能得到多少个不同的两位数？ (2)如果两位数中的数字允许重复使用，那么能得到多少个不同的两位数？ 【答案】(1)12个 (2)16个 【详解】（1）因为两位数中的数字不允许重复使用，所以一个两位数相当于从1，2，3，4中任意取2个数的排列，故有个， 所以可以得到12个不同的两位数. （2）因为两位数中的数字允许重复使用，所以确定两位数分两步，每步有4种方法，利用分步相乘原理有个， 所以可以得到16个不同的两位数. 13．书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书. (1)从书架上任取1本书，有多少种不同取法？ (2)从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有多少种不同取法？ 【答案】(1)9 (2)24 【详解】（1）从书架上任取1本书，有三类方案： 第1类，从第1层取1本计算机书，有4种方法； 第2类，从第2层取1本文艺书，有3种方法； 第3类，从第3层取1本体育书，有2种方法. 根据分类加法计数原理，不同取法的种数为. （2）从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，可以分三步完成： 第1步，从第1层取1本计算机书，有4种方法； 第2步，从第2层取1本文艺书，有3种方法； 第3步，从第3层取1本体育书，有2种方法. 根据分步乘法计数原理，不同取法的种数为. 14．在100件产品中，有98件合格品，2件次品．从这100件产品中任意抽出3件． (1)有多少种不同的抽法？ (2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？ (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？ 【答案】(1)161700种； (2)9506种； (3)9604种. 【详解】（1）所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，即(种) 所以有161700种不同的抽法. （2）从2件次品中抽出1件次品的抽法有种，从98件合格品中抽出2件合格品的抽法有种，则(种)， 所以抽出的3件中恰好有 1件次品的抽法有9506种. （3）抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况， 由(2)知，有1件是次品的抽法有种，有2件次品的抽法有种， 由分类加法计数原理得：(种)， 所以抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有9604种. 15．班上每个小组有12名同学，现要从每个小组选4名同学代表本组与其他小组进行辩论赛． (1)每个小组有多少种选法? (2)如果还要从选出的同学中指定1名作替补，那么每个小组有多少种选法? (3)如果还要将选出的同学分别指定为第一、二、三、四辩手，那么每个小组有多少种选法？ 【答案】(1)495 (2)1980 (3)11880 【详解】（1）由题意可得每个小组有种选法， （2）由题意可得先从12名学生中选4名，然后再从这4名学生中选1人， 所以由分步乘法原理可得共有种选法， （3）由题意可得先从12名学生中选4名，然后对这4名学生进行全排列， 所以由分步乘法原理可得共有种选法 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 排列组合与二项式定理 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 2 03核心突破·靶向攻坚 3 知能解码 3 知识点1 两个计数原理 3 知识点2 排列数组合数的计算及性质 4 知识点3 二项式定理及其性质 5 题型破译 6 题型1 分类加法原理与分步乘法原理 6 题型2 求二项展开式的第k项 7 题型3 求指定项的系数 7 题型4 由项的系数确定参数 8 题型5 三项展开式的系数问题 9 题型6 两个二项式乘积展开式的系数问题 10 题型7 展开式系数问题 11 04真题溯源·考向感知 12 05课本典例·高考素材 14 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）求指定项的系数 （2）二项展开式各项的系数和 单选题 填空题 解答题 北京卷T12（5分） 北京卷T4（4分） 北京卷T5（4分） 考情分析： 北京卷中排列组合与二项式定理内容常出现在选择题或填空题中，分值一般为4-5分，难度中等偏易，属于“中低 档题型”。主要考查分类加法计数原理、分步乘法计数原理，以及排列与组合的基本概念与计算。二项式定理部分 重点考查展开式的通项公式、特定项系数、常数项等，偶尔会与赋值法结合考查系数和问题。易错点在于是否区分 排列与组合、是否考虑特殊位置或特殊元素、二项式展开式中项的系数与二项式系数的区别。 复习目标： 1.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理，能正确区分并使用两种计数方法解决实际问题。 2.理解排列与组合的概念，掌握排列数公式与组合数公式的计算及其性质。能解决常见的排列组合问题。 3.掌握二项式定理的展开形式，理解通项公式 ，能求展开式中特定项或其系数。 4.能利用赋值法求二项展开式中各项系数的和，能区分“二项式系数”与“项的系数”，避免概念混淆 知识点1 两个计数原理 （1）分类加法计数原理：完成一件事，如果有n类办法，且：第一类办法中有种不同的方法，第二类办法中有种不同的方法……第n类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法. （2）分步乘法计数原理：完成一件事，如果需要分成n个步骤，且：做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法……做第n步有种不同的方法.那么完成这件事共有 种不同的方法. 自主检测1平面上有5个不同的点A，B，C，D，E，以其中两个点为端点的有向线段共有( ) A．25条      B．10条      C．20条      D．30条 自主检测2如图所示，在间有四个焊接点1，2，3，4，若某焊接点脱落，则此处断路，则焊接点脱落导致电路不通的情况的种数为（    ）    A．9 B．11 C．13 D．15 知识点2 排列数组合数的计算及性质 排列数 组合数 定义 从n个不同元素中取出m（）个元素的所有 的个数 从n个不同元素中取出m（）个元素的所有 的个数 公式 性质 ， ， 自主检测计算： (1)； (2)； (3)； (4). 知识点3 二项式定理及其性质 ＝ ． （1）这个公式叫做二项式定理． （2）展开式：等号右边的多项式叫做的二项展开式，展开式中一共有 项． （3）二项式系数：各项的系数（k∈{0，1，2，…，n}）叫做二项式系数． 二项展开式的通项 展开式的第 项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝ . 二项式系数的性质 对称性 在的展开式中，与首末两端“ ”的两个二项式系数相等，即＝ 增减性 与最 大值 增减性：当k<时，二项式系数是逐渐增大的； 当k>时，二项式系数是逐渐 ； 当n为偶数时，中间一项的二项式系数 最大； 当n为奇数时，中间两项的二项式系数 ， 相等，且同时取得最大值 各二项 式系数 的和 （1） （2） 自主检测1的二项展开式中第4项是 ． 自主检测2的展开式中x的系数为 . 自主检测3，则 ． 题型1 分类加法原理与分步乘法原理 例1-1今年贺岁片，《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》引爆了电影市场，小明和他的同学一行五人决定去看这三部电影，每人只看一部电影，则不同的选择共有（    ） A．10种 B．60种 C．125种 D．243种 【变式训练1-1·变载体】甲、乙分别从门不同课程中选修门，且人选修的课程不同，则不同的选法有（    ）种． A． B． C． D． 【变式训练1-2·变载体】有四对双胞胎共8人，从中随机选出4人，则其中恰有一对双胞胎的选法有 种． 题型2 求二项展开式的第k项 例2-1展开式中的第项是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-1】展开式中的第四项为（    ） A． B． C．240 D． 题型3 求指定项的系数 例3-1（2025·北京通州·一模）在的展开式中，x的系数为（   ） A． B． C．32 D．40 【变式训练3-1】（2025·北京西城·一模）在的展开式中，的系数等于（   ） A．6 B．12 C．18 D．24 题型4 由项的系数确定参数 例4-1（2025·北京海淀·二模）在的展开式中，的系数为，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-1】（2025·北京朝阳·二模）已知的展开式中，第4项和第6项的系数相等，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式训练4-2】（2025·北京东城·一模）在的展开式中，的系数为10，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 题型5 三项展开式的系数问题 例5-1的展开式中，的系数为（    ） A．60 B．120 C．240 D．360 【变式训练5-1】在的展开式中，的系数为（    ） A．3 B．6 C．60 D．30 【变式训练5-2】展开式中，项的系数为（　　） A．5 B．-5 C．15 D．-15 题型6 两个二项式乘积展开式的系数问题 例6-1的展开式中，的系数为（    ） A．60 B．30 C．45 D．15 【变式训练6-1】的展开式中的系数为（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 【变式训练6-2】的展开式中的系数为（   ） A．252 B．162 C．126 D．36 题型7 展开式系数问题 例7-1若，则（    ）． A． B．0 C．1 D．2 例7-2若，则（   ） A．0 B．1 C．4 D．8 【变式训练7-1】已知，则 . 【变式训练7-2】若，则 ． 【变式训练7-3】已知，则 ； ．（用数字作答） 1．（2025·北京·高考真题）已知，则 ； ． 2．（2024·北京·高考真题）在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D． 3．（2022·北京·高考真题）若，则（    ） A．40 B．41 C． D． 4．（2021·北京·高考真题）在的展开式中，常数项为 . 5．（2020·北京·高考真题）在的展开式中，的系数为（    ）． A． B．5 C． D．10 一、填空题 1．填空： （1）从人中选派人去参加某个会议，不同的选法共有 种； （2）从件不同的礼物中选出件分别送给名同学，不同的方法共有 种； （3）设集合有个元素，集合有个元素，从这两个集合中各取出个元素，不同的方法共有 种． 2．填空： （1）的展开式中二项式系数的最大值是 ； （2） ； （3）被5除所得的余数是 ． 二、解答题 3．12名选手参加校园歌手大奖赛，比赛设一等奖、二等奖、三等奖各1名．问：一共有多少种不同的获奖情况？ 4．（1）由数字1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字的五位数？可以组成多少个没有重复数字的正整数？ （2）由数字1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字且比1300大的正整数？ 5．由数字1，2，3，4，5可以组成多少个三位数（各位上的数字可以重复）？ 6．求的展开式中和的指数相等的项． 7．设，求： (1)； (2)； (3)． 8．设，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 9．（1）求的展开式的第4项的系数； （2）求的展开式中的系数． 10．一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球． (1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？ (2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ (3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ 11．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息.若所用数字只有0和1，求与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数. 12．已知一个两位数中的每个数字都从1，2，3，4中任意选取. (1)如果两位数中的数字不允许重复使用，那么能得到多少个不同的两位数？ (2)如果两位数中的数字允许重复使用，那么能得到多少个不同的两位数？ 13．书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书. (1)从书架上任取1本书，有多少种不同取法？ (2)从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有多少种不同取法？ 14．在100件产品中，有98件合格品，2件次品．从这100件产品中任意抽出3件． (1)有多少种不同的抽法？ (2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？ (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？ 15．班上每个小组有12名同学，现要从每个小组选4名同学代表本组与其他小组进行辩论赛． (1)每个小组有多少种选法? (2)如果还要从选出的同学中指定1名作替补，那么每个小组有多少种选法? (3)如果还要将选出的同学分别指定为第一、二、三、四辩手，那么每个小组有多少种选法？ 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $