第01讲 平面向量的概念、线性运算、基本定理及其坐标运算（复习讲义）（北京专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第01讲 平面向量的概念、线性运算、基本定理及其坐标运算 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 2 03核心突破·靶向攻坚 4 知能解码 4 知识点1 平面向量的定义与表示 4 知识点2 平面向量的有关概念 4 知识点3 平面向量的线性运算 4 知识点4 平面向量线性运算的运算律 5 知识点5 平面向量共线定理 6 知识点6 平面向量基本定理 6 知识点7 平面向量的坐标表示 7 知识点8 平面向量线性运算的坐标表示 7 知识点9 平面向量平行（共线）的坐标表示 7 题型破译 8 题型1 平面向量基本概念的综合考查 8 【方法技巧】平面向量的基本概念 题型2 平面向量线性运算的综合考查 9 【方法技巧】平面向量的线性运算 题型3 平面向量共线定理及平行向量（共线向量）坐标运算的综合考查 10 【方法技巧】平面向量的共线定理及平行向量（共线向量）坐标运算 题型4 平面向量的基本定理综合考查 11 【方法技巧】平面向量的基本定理 题型5 “爪子定理”的综合应用 12 【方法技巧】“爪子定理” 04真题溯源·考向感知 14 05课本典例·高考素材 14 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）平面向量的线性运算及坐标表示 （2）数量积的运算律 （3）已知数量积求模 （4）向量的模 （5）垂直关系的向量表示 （6）数量积的坐标表示 单选题 填空题 解答题 北京卷T10（4分） 北京卷T5（4分） 北京卷T3（4分） 考情分析： 北京卷中，本讲内容以选择题（4 分，中低档难度）考查。 核心考查：向量的基本概念（如向量的大小与方向、相等向量、单位向量、零向量等），线性运算（加法、减法、 数乘运算及几何意义），平面向量基本定理（用一组基底表示向量），坐标运算（向量的坐标表示及加、减、数乘的 坐标运算）。易错点：忽视向量共线的条件，混淆向量的模与数量的运算，在坐标运算中计算失误，对基底的不共线 条件理解不清。 复习目标： 1.准确理解向量的基本概念，能区分不同类型向量，明晰零向量的特殊性质。 2.熟练掌握向量的线性运算，包括运算规则与几何意义，能运用三角形法则、平行四边形法则进行向量运算。 3.理解平面向量基本定理，能根据给定基底准确表示向量，掌握向量共线的条件及应用。 4.熟练运用向量的坐标运算，包括向量的坐标表示、坐标形式下的线性运算，能通过坐标判断向量共线。 知识点1 平面向量的定义与表示 （1）向量：在数学中，我们把既有 又有 的量叫做向量． （2）向量的表示 ①表示工具——有向线段． 有向线段包含三个要素： ， ， ． ②表示方法： 向量可以用 表示，向量的大小称为向量的 (或称模)，记作 .向量可以用字母a，b，c，…表示，也可以用有向线段的起点和终点字母表示，如：，. 知识点2 平面向量的有关概念 (1)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． (2)单位向量：长度等于1个单位的向量． (3)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行． (4)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (5)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 自主检测1下列命题正确的是（   ） A．单位向量均相等 B．任一向量与它的相反向量不相等 C．模为零的向量与任一向量平行 D．模相等的两个共线向量是相同的向量 自主检测2若，都是单位向量，则下列结论一定正确的是（ ） A． B．如果，那么 C． D．如果，那么或 知识点3 平面向量的线性运算 向量运算 定义 法则（或几何意义） 加法 求两个向量和的运算 法则 法则 减法 求与的相反向量的和的运算 法则 数乘 求实数与向量的积的运算 （1）； （2）当时，的方向与的方向 ；当时，的方向与的方向 ；当时， 知识点4 平面向量线性运算的运算律 1.向量加法的运算律 （1）交换律： ． （2）结合律： ． 2.向量减法的运算律 几何意义：可以表示为从向量的 指向向量的 的向量． 定义：，即减去一个向量相当于加上这个向量的 向量． 3.与，之间的关系 (1)对于任意向量，，都有 ； (2)当，共线，且同向时，有 或 ； (3)当，共线，且反向时，有 ． 4.数乘运算律 一般地，设，是任意向量，x，y是任意实数，则如下运算律成立： （1）对实数加法的分配律： ． （2）对实数乘法的结合律： ． （3）对向量加法的分配律： ． 自主检测1（    ） A． B．0 C． D． 自主检测2设向量，，满足，则（   ） A． B． C． D． 知识点5 平面向量共线定理 向量与共线的充要条件是：存在 实数，使 ． 给定四点，其中为不共线的三点，且，则三点共线的充要条件是 ． 自主检测1是平面内不共线的两向量，已知，若三点共线，则的值为（    ） A． B． C． D．3 自主检测2已知，，（和不共线），则三点共线（   ） A． B． C． D． 知识点6 平面向量基本定理 条件 ，是同一平面内的两个 结论 对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使 基底 若，不共线，把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底 自主检测如图，在中，，则（    ） A． B． C． D． 知识点7 平面向量的坐标表示 设平面上建立了直角坐标系，则平面上每个向量都可用从原点出发的有向线段表示．原点到，的向量，分别是轴正方向和轴正方向上的单位向量，组成标准正交基，则的坐标 视为在这组基下的坐标，等于向量终点的坐标． 知识点8 平面向量线性运算的坐标表示 已知，，则： （1） ， ， 即两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)． （2）若点A坐标为，点B坐标为，O为坐标原点， 则 ， ， ，即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标． (3)实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的 ； (4)设向量，则 ． (5)中点坐标公式：若的坐标分别为，，线段的中点P的坐标为，则 自主检测1已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 自主检测2已知向量，则（    ） A． B． C． D． 知识点9 平面向量平行（共线）的坐标表示 设，，其中．向量，共线的充要条件是 ． 自主检测已知向量，，，则（   ） A． B． C． D． 题型1 平面向量基本概念的综合考查 例1-1设，为非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例1-2设都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（   ） A． B． C． D．且 方法技巧 （1）概念辨析：区分向量与数量（向量有方向，数量无方向），明确相等向量（同模同向）、相反向量（同模反向）的定义。​ （2）特殊向量性质：零向量模为 0 且方向任意，与任意向量平行；单位向量模为 1，同一方向有唯一单位向量。​ （3）模的理解：向量的模是长度（非负），相等向量模必相等，但模相等的向量不一定相等（方向可能不同）。​ （4）方向判断：平行向量（共线向量）只需方向相同或相反，与模无关；共线向量不一定在同一直线上。 （5）应用场景：通过概念排除错误选项（如 “模为 0 的向量是零向量” 正确，“方向相同的向量是相等向量” 错误）。 【变式训练1-1】下列命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若 ，则 【变式训练1-2】已知平面向量，则“”是“，共线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练1-3】若向量与方向相反，则下列等式中必定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-4】设，是非零向量，“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 题型2 平面向量线性运算的综合考查 例2-1（    ） A． B． C． D． 例2-2化简为（    ） A． B． C． D． 方法技巧 （1）加法运算：几何上用三角形法则（首尾相接）或平行四边形法则（共起点），结果为从起点到终点的向量。​ （2）减法运算：几何上用三角形法则（共起点，指向被减向量），结果与两向量构成三角形的第三边。​ （3）数乘运算：数乘向量的模是原模与数的绝对值的积，方向由数的正负决定（正同原方向，负反原方向）。 （4）运算律应用：利用交换律、结合律、分配律简化运算（如多个向量加减可调整顺序）。​ （5）几何意义转化：将线性运算转化为图形中线段的关系（如中点向量可表示为两邻边向量和的一半）。 【变式训练2-1】（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】在矩形ABCD中，E为线段AB的中点，则（    ）    A． B． C． D． 【变式训练2-3】若，则化简等于（　　） A． B． C． D．以上都不对 题型3 平面向量共线定理及平行向量（共线向量）坐标运算的综合考查 例3-1已知向量不共线，与共线，则实数的值为（    ） A． B．2 C．6 D． 例3-2已知与是两个不共线的向量，，若三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C．4 D．5 例3-3已知向量，若，且满足，则（   ） A． B． C． D． 方法技巧 (1)共线定理核心：非零向量与共 线，当且仅当存在唯一实数, 使. (2)坐标共线条件：若向量坐标为和共线则对应坐标成比例（或交叉乘积相等)。 (3)季向量处理：零向量与任意向量共线，解题时需注意是否需排除零向量（如两向星共线”需考虑其中一者为零向量的情况)。 (4)参数求解：已知共线关系，列坐标比例方程求参数（如向星与共 线，求)。 (5)实际应用：判断三点共线（转化为两点向量共线），或证明线段平行（向量共线且不重合）。 【变式训练3-1】在中，E是AC的中点，，则点P在直线BE上的一个充分条件是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式训练3-2·变载体】已知，，，则共线的三点为（   ） A．B，C，D B．A，B，C C．A，C，D D．A，B，D 【变式训练3-3·变载体】已知向量，，，若，则（    ） A． B． C． D． 题型4 平面向量的基本定理综合考查 例4-1在平行四边形中，已知，，则（    ） A． B． C． D． 例4-2如图，在中，为线段上一点，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 方法技巧 （1）基底条件：作为基底的两向量需不共线（非零且不平行），同一平面内任一向量可由基底唯一表示。 （2）分解方法：将目标向量放在图形中，用基底所在线段表示，通过线性运算拆分（如三角形中用两边向量表示第三边）。​ （3）唯一性应用：若同一向量有两种基底表示形式，则对应系数相等（可列方程求系数）。​ （4）坐标与基底：基底为单位正交向量时，向量的分解系数即为坐标，可通过坐标转化基底表示。​ （5）综合转化：用基底表示未知向量，结合其他条件（如长度、角度）求解系数或参数。 【变式训练4-1】在中，点为边的中点，点为的中点.记，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】在平行四边形中，点E是边上的四等分点（靠近点D），则（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-3】在中，设，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练4-4·变载体】如图，已知分别是边上的点，且满足，，与交于，连接并延长交于点．若，则实数的值为（    ） A． B． C． D．2 题型5 “爪子定理”的综合应用 例5-1设为所在平面内一点，且，则（ ） A. B. C. D. 例5-2如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 方法技巧 形如条件的应用（“爪子定理”） “爪”字型图及性质： （1）已知为不共线的两个向量，则对于向量，必存在，使得。则三点共线 当，则与位于同侧，且位于与之间 当，则与位于两侧 时，当，则在线段上；当，则在线段延长线上 （2）已知在线段上，且，则 3、中确定方法 （1）在几何图形中通过三点共线即可考虑使用“爪”字型图完成向量的表示，进而确定 （2）若题目中某些向量的数量积已知，则对于向量方程，可考虑两边对同一向量作数量积运算，从而得到关于的方程，再进行求解 （3）若所给图形比较特殊（矩形，特殊梯形等），则可通过建系将向量坐标化，从而得到关于的方程，再进行求解 【变式训练5-1】中，若，，，则向量可用，表示为（   ） A． B． C． D． 【变式训练5-2】如图，已知，用，表示，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式训练5-3】如图，平行四边形ABCD中，，若，则（   ）    A． B． C． D． 1．（2023·北京·高考真题）已知向量满足，则（    ） A． B． C．0 D．1 2．（2020·北京·高考真题）已知正方形的边长为2，点P满足，则 ； ． 1．一架飞机向北飞行，然后改变方向向西飞行，求飞机飞行的路程及两次位移的合成. 2．有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡河．小船航行速度的大小为，方向为北偏西，河水的速度为向东，求小船实际航行速度的大小与方向(    )． A． 正北 B．与水流方向夹角为 C．与水流方向夹角为 D．垂直于河岸 3．已知点，向量，点是线段上靠近点的三等分点，求点的坐标 ． 4．已知任意两个非零向量，，若，，，你能判断A，B，C三点之间的位置关系吗？为什么？ 5．已知， 是两个不共线的向量，向量－ ， － 共线，求实数的值． 6．在中，，且与边AC相交于点E，的中线AM与DE相交于点N.设，用，分别表示向量. 7．如图，平行四边形的两条对角线相交于点O，，，点E，F分别是，的中点，G是的三等分点． （1）用表示，，； （2）能由（1）得出，的关系吗？ 8．如图，在任意四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC中点．求证：．    9．如图，在中，.设.    (1)用表示； (2)若为内部一点，且.求证：三点共线，并指明点的具体位置. 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 平面向量的概念、线性运算、基本定理及其坐标运算 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 2 03核心突破·靶向攻坚 4 知能解码 4 知识点1 平面向量的定义与表示 4 知识点2 平面向量的有关概念 4 知识点3 平面向量的线性运算 5 知识点4 平面向量线性运算的运算律 6 知识点5 平面向量共线定理 6 知识点6 平面向量基本定理 7 知识点7 平面向量的坐标表示 8 知识点8 平面向量线性运算的坐标表示 8 知识点9 平面向量平行（共线）的坐标表示 9 题型破译 9 题型1 平面向量基本概念的综合考查 9 【方法技巧】平面向量的基本概念 题型2 平面向量线性运算的综合考查 11 【方法技巧】平面向量的线性运算 题型3 平面向量共线定理及平行向量（共线向量）坐标运算的综合考查 13 【方法技巧】平面向量的共线定理及平行向量（共线向量）坐标运算 题型4 平面向量的基本定理综合考查 15 【方法技巧】平面向量的基本定理 题型5 “爪子定理”的综合应用 19 【方法技巧】“爪子定理” 04真题溯源·考向感知 21 05课本典例·高考素材 22 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）平面向量的线性运算及坐标表示 （2）数量积的运算律 （3）已知数量积求模 （4）向量的模 （5）垂直关系的向量表示 （6）数量积的坐标表示 单选题 填空题 解答题 北京卷T10（4分） 北京卷T5（4分） 北京卷T3（4分） 考情分析： 北京卷中，本讲内容以选择题（4 分，中低档难度）考查。 核心考查：向量的基本概念（如向量的大小与方向、相等向量、单位向量、零向量等），线性运算（加法、减法、 数乘运算及几何意义），平面向量基本定理（用一组基底表示向量），坐标运算（向量的坐标表示及加、减、数乘的 坐标运算）。易错点：忽视向量共线的条件，混淆向量的模与数量的运算，在坐标运算中计算失误，对基底的不共线 条件理解不清。 复习目标： 1.准确理解向量的基本概念，能区分不同类型向量，明晰零向量的特殊性质。 2.熟练掌握向量的线性运算，包括运算规则与几何意义，能运用三角形法则、平行四边形法则进行向量运算。 3.理解平面向量基本定理，能根据给定基底准确表示向量，掌握向量共线的条件及应用。 4.熟练运用向量的坐标运算，包括向量的坐标表示、坐标形式下的线性运算，能通过坐标判断向量共线。 知识点1 平面向量的定义与表示 （1）向量：在数学中，我们把既有 大小 又有 方向 的量叫做向量． （2）向量的表示 ①表示工具——有向线段． 有向线段包含三个要素： 起点 ， 方向 ， 长度 ． ②表示方法： 向量可以用 有向线段 表示，向量的大小称为向量的 长度 (或称模)，记作 || .向量可以用字母a，b，c，…表示，也可以用有向线段的起点和终点字母表示，如：，. 知识点2 平面向量的有关概念 (1)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． (2)单位向量：长度等于1个单位的向量． (3)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行． (4)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (5)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 自主检测1下列命题正确的是（   ） A．单位向量均相等 B．任一向量与它的相反向量不相等 C．模为零的向量与任一向量平行 D．模相等的两个共线向量是相同的向量 【答案】C 【详解】对于A：单位向量大小相等都是，但方向不一定相同，故单位向量不一定相等，故A错误； 对于B：零向量与它的相反向量相等，故B错误． 对于C：模为的向量为零向量，零向量与任非零意向量共线，故C正确； 对于D：模相等的两个共线向量可能是相同的向量也可能是相反向量，故D错误. 故选：C． 自主检测2若，都是单位向量，则下列结论一定正确的是（ ） A． B．如果，那么 C． D．如果，那么或 【答案】D 【详解】因为，都是单位向量，所以，且，方向不确定， 所以选项A和选项C错误； 如果，与方向相同或相反，且， 所以选项B错误，选项D正确. 故选：D. 知识点3 平面向量的线性运算 向量运算 定义 法则（或几何意义） 加法 求两个向量和的运算 三角形 法则 平行四边形 法则 减法 求与的相反向量的和的运算 三角形 法则 数乘 求实数与向量的积的运算 （1）； （2）当时，的方向与的方向 相同 ；当时，的方向与的方向 相反 ；当时， 知识点4 平面向量线性运算的运算律 1.向量加法的运算律 （1）交换律： ． （2）结合律： ． 2.向量减法的运算律 几何意义：可以表示为从向量的 终点 指向向量的 终点 的向量． 定义：，即减去一个向量相当于加上这个向量的 相反 向量． 3.与，之间的关系 (1)对于任意向量，，都有 ； (2)当，共线，且同向时，有 或 ； (3)当，共线，且反向时，有 ． 4.数乘运算律 一般地，设，是任意向量，x，y是任意实数，则如下运算律成立： （1）对实数加法的分配律： ． （2）对实数乘法的结合律： ． （3）对向量加法的分配律： ． 自主检测1（    ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【详解】. 故选：D 自主检测2设向量，，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以. 故选：D. 知识点5 平面向量共线定理 向量与共线的充要条件是：存在 唯一一个 实数，使 ． 给定四点，其中为不共线的三点，且，则三点共线的充要条件是 ． 自主检测1是平面内不共线的两向量，已知，若三点共线，则的值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【详解】由得，由三点共线，得 ， 又不共线，则，所以. 故选：A. 自主检测2已知，，（和不共线），则三点共线（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，所以共线， 即三点共线，故A正确； ，，，不共线，故B错误； ，，，不共线，故C错误； ，，， 不共线，故D错误； 故选：A 知识点6 平面向量基本定理 条件 ，是同一平面内的两个 不共线向量 结论 对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使 基底 若，不共线，把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底 自主检测如图，在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，可得， 所以. 故选：D. 知识点7 平面向量的坐标表示 设平面上建立了直角坐标系，则平面上每个向量都可用从原点出发的有向线段表示．原点到，的向量，分别是轴正方向和轴正方向上的单位向量，组成标准正交基，则的坐标 视为在这组基下的坐标，等于向量终点的坐标． 知识点8 平面向量线性运算的坐标表示 已知，，则： （1） ， ， 即两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)． （2）若点A坐标为，点B坐标为，O为坐标原点， 则 ， ， ，即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标． (3)实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的 相应坐标 ； (4)设向量，则 ． (5)中点坐标公式：若的坐标分别为，，线段的中点P的坐标为，则 自主检测1已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，， 所以. 故选：C 自主检测2已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 故选：C 知识点9 平面向量平行（共线）的坐标表示 设，，其中．向量，共线的充要条件是 ． 自主检测已知向量，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，，则，， 又， 则，解得， 故选：D. 题型1 平面向量基本概念的综合考查 例1-1设，为非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若，则，模长相等，但它们的方向可以不同，故不一定成立， 故得不到， 若，则， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 例1-2设都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（   ） A． B． C． D．且 【答案】C 【详解】由都是非零向量，且， 因为和分别表示与向量和同向的单位向量，所以向量和的方向相同， 结合选项，可得成立的充分条件为. 故选：C. 方法技巧 （1）概念辨析：区分向量与数量（向量有方向，数量无方向），明确相等向量（同模同向）、相反向量（同模反向）的定义。​ （2）特殊向量性质：零向量模为 0 且方向任意，与任意向量平行；单位向量模为 1，同一方向有唯一单位向量。​ （3）模的理解：向量的模是长度（非负），相等向量模必相等，但模相等的向量不一定相等（方向可能不同）。​ （4）方向判断：平行向量（共线向量）只需方向相同或相反，与模无关；共线向量不一定在同一直线上。 （5）应用场景：通过概念排除错误选项（如 “模为 0 的向量是零向量” 正确，“方向相同的向量是相等向量” 错误）。 【变式训练1-1】下列命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若 ，则 【答案】C 【详解】对于A：若，则只是大小相同，并不能说方向相同，A错误； 对于B：向量不能比较大小，B错误； 对于C：若，则方向相同，C正确； 对于D：若 ，如果为零向量，则不能推出平行，D错误. 故选：C. 【变式训练1-2】已知平面向量，则“”是“，共线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若则，共线，故充分性成立； 若，共线，不一定得到， 如，，显然满足，共线， 但是不存在实数使得，故必要性不成立； 所以“”是“，共线”的充分不必要条件. 故选：A 【变式训练1-3】若向量与方向相反，则下列等式中必定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为向量与方向相反，所以，. 故选：A. 【变式训练1-4】设，是非零向量，“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由表示单位向量相等，则同向，但不能确定它们模是否相等，即不能推出， 由表示同向且模相等，则， 所以“”是“”的必要而不充分条件. 故选：B 题型2 平面向量线性运算的综合考查 例2-1（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 故选：C. 例2-2化简为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据向量的四则运算可知， . 故选：D 方法技巧 （1）加法运算：几何上用三角形法则（首尾相接）或平行四边形法则（共起点），结果为从起点到终点的向量。​ （2）减法运算：几何上用三角形法则（共起点，指向被减向量），结果与两向量构成三角形的第三边。​ （3）数乘运算：数乘向量的模是原模与数的绝对值的积，方向由数的正负决定（正同原方向，负反原方向）。 （4）运算律应用：利用交换律、结合律、分配律简化运算（如多个向量加减可调整顺序）。​ （5）几何意义转化：将线性运算转化为图形中线段的关系（如中点向量可表示为两邻边向量和的一半）。 【变式训练2-1】（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由向量的线性运算可得． 故选：B． 【变式训练2-2】在矩形ABCD中，E为线段AB的中点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】. 故选：D. 【变式训练2-3】若，则化简等于（　　） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【详解】因为， 所以 ， 故选：C. 题型3 平面向量共线定理及平行向量（共线向量）坐标运算的综合考查 例3-1已知向量不共线，与共线，则实数的值为（    ） A． B．2 C．6 D． 【答案】A 【详解】因为与共线， 所以， 解得：， 故选：A 例3-2已知与是两个不共线的向量，，若三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C．4 D．5 【答案】B 【详解】因为， 所以， 因为三点共线，必存在一个实数，使得， 所以，而不共线， 所以，解得：. 故选：B. 例3-3已知向量，若，且满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，则， 又，则，整理得到， 故选：A. 方法技巧 (1)共线定理核心：非零向量与共 线，当且仅当存在唯一实数, 使. (2)坐标共线条件：若向量坐标为和共线则对应坐标成比例（或交叉乘积相等)。 (3)季向量处理：零向量与任意向量共线，解题时需注意是否需排除零向量（如两向星共线”需考虑其中一者为零向量的情况)。 (4)参数求解：已知共线关系，列坐标比例方程求参数（如向星与共 线，求)。 (5)实际应用：判断三点共线（转化为两点向量共线），或证明线段平行（向量共线且不重合）。 【变式训练3-1】在中，E是AC的中点，，则点P在直线BE上的一个充分条件是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】因为E是AC的中点，所以，所以， 又点P在直线BE上，即B，P，E三点共线，所以， 四个选项中，只有，符合，A选项正确，其他选项不正确. 故选：A． 【变式训练3-2·变载体】已知，，，则共线的三点为（   ） A．B，C，D B．A，B，C C．A，C，D D．A，B，D 【答案】D 【详解】A选项，，， 令，则，无解，不满足共线定理，A错误； B选项，，， 令，则，无解，不满足共线定理，B错误； C选项，， ， 令，则，无解， ，不满足共线定理，C错误； D选项，，故三点共线，D正确． 故选：D 【变式训练3-3·变载体】已知向量，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，， 所以，又，， 所以， 若，则，与矛盾，故， 所以， 所以， 故选：D. 题型4 平面向量的基本定理综合考查 例4-1在平行四边形中，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在平行四边形中，有. 已知，， 法一： . 法二： . 故选：D 例4-2如图，在中，为线段上一点，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因，则， 故， 因三点共线，故设，则， 因，则，解得． 故选：D． 方法技巧 （1）基底条件：作为基底的两向量需不共线（非零且不平行），同一平面内任一向量可由基底唯一表示。 （2）分解方法：将目标向量放在图形中，用基底所在线段表示，通过线性运算拆分（如三角形中用两边向量表示第三边）。​ （3）唯一性应用：若同一向量有两种基底表示形式，则对应系数相等（可列方程求系数）。​ （4）坐标与基底：基底为单位正交向量时，向量的分解系数即为坐标，可通过坐标转化基底表示。​ （5）综合转化：用基底表示未知向量，结合其他条件（如长度、角度）求解系数或参数。 【变式训练4-1】在中，点为边的中点，点为的中点.记，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，由点为边的中点，得，由点为的中点，得， 所以. 故选：B 法二：将特殊化，假设为以角为直角的等腰直角三角形， 如图，以点为原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系， 则，，则，， 根据题意，得，， 所以. 故选：B. 【变式训练4-2】在平行四边形中，点E是边上的四等分点（靠近点D），则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意有，所以， 故选：A. 【变式训练4-3】在中，设，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在中，设，， 因为，，所以， 即得，即 则. 故选：B. 【变式训练4-4·变载体】如图，已知分别是边上的点，且满足，，与交于，连接并延长交于点．若，则实数的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】由共线，则，， 所以①， 由共线，则，， 所以②， 由①②知：，则，故， 由，则， 由共线，则，可得. 故选：A 【点睛】关键点点睛：令、，利用不同参数及表示出为关键. 题型5 “爪子定理”的综合应用 例5-1设为所在平面内一点，且，则（ ） A. B. C. D. 答案：A 解析：由图可想到“爪字形图得：，解得： 例5-2如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 解：观察到三点共线，利用“爪”字型图，可得 ，且，由可得， 所以，由已知可得：，所以 答案：C 方法技巧 形如条件的应用（“爪子定理”） “爪”字型图及性质： （1）已知为不共线的两个向量，则对于向量，必存在，使得。则三点共线 当，则与位于同侧，且位于与之间 当，则与位于两侧 时，当，则在线段上；当，则在线段延长线上 （2）已知在线段上，且，则 3、中确定方法 （1）在几何图形中通过三点共线即可考虑使用“爪”字型图完成向量的表示，进而确定 （2）若题目中某些向量的数量积已知，则对于向量方程，可考虑两边对同一向量作数量积运算，从而得到关于的方程，再进行求解 （3）若所给图形比较特殊（矩形，特殊梯形等），则可通过建系将向量坐标化，从而得到关于的方程，再进行求解 【变式训练5-1】中，若，，，则向量可用，表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在中，， 则 . 又因为，所以. 故选：A 【变式训练5-2】如图，已知，用，表示，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为 所以. 故选：C. 【变式训练5-3】如图，平行四边形ABCD中，，若，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】取中点，连接， 因为是平行四边形，是中点， 则且，所以是平行四边形， 所以， 又，则， ， 所以. 故选：C． 1．（2023·北京·高考真题）已知向量满足，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【详解】向量满足， 所以. 故选：B 2．（2020·北京·高考真题）已知正方形的边长为2，点P满足，则 ； ． 【答案】 【详解】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则点、、、， ， 则点，，， 因此，，. 故答案为：；. 【点睛】本题考查平面向量的模和数量积的计算，建立平面直角坐标系，求出点的坐标是解答的关键，考查计算能力，属于基础题. 1．一架飞机向北飞行，然后改变方向向西飞行，求飞机飞行的路程及两次位移的合成. 【答案】飞机飞行的路程为；两次位移的合成是向北偏西约53°方向飞行. 【详解】由向量的加减运算可知：飞机飞行的路程是；两次位移的合成是向北偏西约53°，方向飞行.    【点睛】本题考查向量的加法及其几何意义，考查学生的计算能力，区分路程、位移是关键. 2．有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡河．小船航行速度的大小为，方向为北偏西，河水的速度为向东，求小船实际航行速度的大小与方向(    )． A． 正北 B．与水流方向夹角为 C．与水流方向夹角为 D．垂直于河岸 【答案】A 【详解】如图，为河水速度，为小船航行速度，设为小船实际航行速度．    设为渡口在对岸对应的点，则， 在中，∵，∴， ∴E和重合，． ∴小船实际航行速度的大小为，方向为正北方向． 故选：A. 3．已知点，向量，点是线段上靠近点的三等分点，求点的坐标 ． 【答案】 【详解】由题，设， 所以，即， 所以，解得， 所以点的坐标为. 故答案为： 4．已知任意两个非零向量，，若，，，你能判断A，B，C三点之间的位置关系吗？为什么？ 【答案】A，B，C三点共线 【详解】由题意得 ∵ ， ， ∴，即向量和向量共线， ∴A，B，C三点共线. 5．已知， 是两个不共线的向量，向量－ ， － 共线，求实数的值． 【答案】. 【详解】解　由，不共线，知向量－ 为非零向量．由向量－ ， －共线，可知存在实数λ，使得－ ＝λ，即 ＝ . 由， 不共线，必有＋＝＋1＝0. 否则，不妨设＋≠0，则＝ ，得，共线，与已知矛盾． 由，解得＝. 因此，当向量－ ， －共线时，＝. 6．在中，，且与边AC相交于点E，的中线AM与DE相交于点N.设，用，分别表示向量. 【答案】， . 【详解】如图，    . 【点睛】本题考查向量共线的表示，属于基础题. 7．如图，平行四边形的两条对角线相交于点O，，，点E，F分别是，的中点，G是的三等分点． （1）用表示，，； （2）能由（1）得出，的关系吗？ 【答案】（1）， ，；（2） 【解析】（1）利用三角形法则以及平行四边形法则即可。 （2）利用（1）的结果找出的关系即可得出，的关系 【详解】解：（1） ， ， ． （2）由（1）知，，，∴，即． 【点睛】本题主要考查了三角形法则以及平行四边形法则，属于基础题。 8．如图，在任意四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC中点．求证：．    【答案】证明见解析 【详解】因为E，F分别是AD，BC中点， 所以，，. 因为，， 所以， . 9．如图，在中，.设.    (1)用表示； (2)若为内部一点，且.求证：三点共线，并指明点的具体位置. 【答案】(1)， (2)证明见解析，是的中点 【详解】（1）依题意，， .- （2）由， 又，所以， ，故三点共线，且是的中点.    4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$