第01讲 排列组合与二项式定理（专项训练）（北京专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第01讲 排列组合与二项式定理 目录 01 常考题型过关练 题型01 分类加法原理与分步乘法原理 题型02 求二项展开式的第k项 题型03 求指定项的系数 题型04 由项的系数确定参数 题型05 三项展开式的系数问题 题型06 两个二项式乘积展开式的系数问题 题型07 展开式系数问题 02 核心突破提升练 03 真题溯源通关练 01 分类加法原理与分步乘法原理 1．六名志愿者到北京、延庆、张家口三个赛区参加活动，若每个赛区两名志愿者，则安排方式共有（    ） A．15种 B．90种 C．540种 D．720种 【答案】B 【详解】解：先从六名志愿者中选择两名志愿者到北京参加活动，有种方法，再从剩下的4名志愿者中选择2名志愿者到延庆参加活动，有种方法，最后从剩下的2名志愿者中选择2名志愿者到延庆参加活动，有种方法.由乘法分步原理得共有种方法. 故选：B 2．用四种颜色给正四棱锥的五个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂不同颜色，则不同的涂法有（    ） A．72种 B．36种 C．12种 D．60种 【答案】A 【详解】如下表 顶点 V A B C D 种数 4 3 2 C与A同色1 2 C与A不同色1 1 总计 故选：A． 3．某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、英语、体育、艺术、通技各一节课的课表，要求数学课排在上午，体育课排在下午，不同的排法种数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，要求数学课排在上午，体育课排在下午，有种排法， 再排其余4节，有种排法， 根据乘法原理，共有种排法， 故选：B． 4．某班从5名同学中选3名同学分别参加数学、物理和化学知识竞答，已知甲同学不能参加物理和化学知识竞答，其他同学都能参加这三科知识竞答，则不同的安排有（   ） A．42种 B．36种 C．6种 D．12种 【答案】B 【详解】第一类：三名同学中有甲同学，则不同的安排有：种； 第二类：三名同学中没有甲同学，则不同的安排有：种； 根据分类加法原理可得，共有种， 故选：B. 5．某班有甲、乙、丙、丁四名学生依次参加接力跑的接力比赛，已知甲不能站在第一位，乙不能站在第二位，则可能的安排排列顺序有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【详解】分甲站在第二位和不站在第二位两种情况讨论， ①当甲站在第二位时，余下三人可以全排列，此时共有种情况； ②当甲不站在第二位时，甲有个位置可选，此时乙也有种情况可选，余下两人可以全排列，则此时共有种情况； 综上所述，一共有种情况， 故选：B. 02 求二项展开式的第k项 6．二项式展开式中的第4项为 ． 【答案】 【详解】二项式展开式的通项公式为，， 所以展开式的第4项为. 故答案为：. 7．在的二项展开式中，第四项是常数项，则该常数项为 .（用数字作答） 【答案】 【详解】由二项式的展开式的通项为， 可得展开式的第四项为， 因为二项展开式的第四项为常数项，所以，解得. 该常数项为. 故答案为： 8．的展开式中的第四项是 . 【答案】 【详解】的展开式中的第四项是， 故答案为：. 03 求指定项的系数 9．在的展开式中，含的项的系数为（   ） A． B． C．112 D．448 【答案】A 【详解】的展开式的通项为，， 令，得，所以含的项的系数为． 故选：A 10．的展开式中的系数为（    ） A．210 B． C．10 D． 【答案】D 【详解】已知展开式中第项为， 令，解得； 所以含的项为. 因此展开式中的系数为. 故选：D 11．的展开式的第6项的系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据二项式展开式的通项公式得，第6项的系数为： . 故选：D 12．的展开式中，的系数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为的二项展开式的通项公式为， 令，得到，所以的系数是， 故选：C. 13．的展开式中，的系数为（    ） A．-54 B．-24 C．27 D．54 【答案】D 【详解】展开式通项为， 令，得的系数为. 故选:D. 04 由项的系数确定参数 14．在的展开式中，第3项和第13项的系数相同，则n＝（    ） A．16 B．14 C．15 D．17 【答案】B 【详解】根据题意可得， 所以n＝2＋12＝14． 故选：B 15．已知的展开式中的系数为15，则的系数为（   ） A．420 B．640 C．720 D．960 【答案】D 【详解】由展开式的通项公式为， 令得，则的系数，所以， 令可得，则项的系数为． 故选：D. 16．若（）的展开式中x与项的系数相等，则（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【详解】依题意，，，由展开式中x与项的系数相等， 得，因此，所以. 故选：C 17．的展开式中常数项是，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【详解】因为的展开式中常数项是：， 由 . 故选：C 18．已知展开式中第3项的系数比第2项的系数大162，则n的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【详解】 ， ． 由题意得，即得，解得， 故选：B． 05 三项展开式的系数问题 19．的展开式中，的系数为（    ） A．4 B．32 C．60 D．120 【答案】D 【详解】的展开式通项为， 的展开式通项为， 所以的展开式通项为 ， 由得 因此展开式中的系数为． 故选：D． 速解： 由5个相乘得到，要得到含的项的系数， 需要1个提供x，2个提供y，2个提供， 则展开式中的系数为． 故选：D． 20．的展开式中的常数项为（    ） A．120 B．88 C．24 D．18 【答案】B 【详解】因为， 要想得到常数项，则有两种可能性： （1）5个括号都取常数项，则得到的常数项为； （2）2个括号取常数项，2个括号取，1个括号取，则得到的常数项为. 根据多项式乘多项式的规则可知展开式的常数项为. 故选：B 21．的展开式中的系数为（    ） A．75 B．135 C．180 D．195 【答案】D 【详解】， 这个展开式中从第4项开始就不会出现，即只在前3项出现， 所以的系数为， 故选：D. 22．的展开式中项的系数为（ ） A．120 B．90 C．60 D．45 【答案】C 【详解】因为， 所以的展开式中项的系数为. 故选：C. 23．展开式中的系数为（   ） A． B． C．160 D．80 【答案】A 【详解】表示5个相乘，每个在相乘时均有三种选择， 选或或． 设选的有个，选的有个，那么选的有个， 则有，解得或或， 即选5个；或者选1个、3个、1个；或者选2个、1个、2个； 因此含项的系数为. 故选：A 06 两个二项式乘积展开式的系数问题 24．的展开式中，的系数为（   ） A．80 B．40 C． D． 【答案】D 【详解】个因式，个因式中取，个因式中取，个因式中取， 即可得出含的项，其为， 故的系数为. 故选：D 25．在的展开式中，的系数为（   ） A．260 B． C． D．220 【答案】D 【详解】依题意，展开式中含的项为，含的项为， 因此的展开式中含的项为， 所以的系数为220. 故选：D 26．的展开式中的系数为（   ） A．30 B．10 C． D． 【答案】A 【详解】由题意知的展开式的通项为. 令，得的展开式中的系数为； 令，得的展开式中的系数为， 所以的展开式中的系数为. 故选：A. 27．的展开式中的系数为（   ） A．162 B．168 C．180 D．185 【答案】B 【详解】二项式展开式的通项公式为， 所以的展开式中的系数为. 故选：B 28．展开式中的系数为（    ） A． B．24 C． D．16 【答案】D 【详解】的展开式的通项为， 若从因式选取，则需， 此时展开式中含的项为； 若从因式选取，则需， 此时展开式中含的项为； 故展开式中的系数为. 故选：D 07 展开式系数问题 29．若且，则实数m的值为（   ） A．1 B． C． D．1或 【答案】D 【详解】令可得， 因此可得，解得或. 故选：D 30．已知，若，则（    ） A． B． C．15 D．35 【答案】A 【详解】令，可得，解得， ， 展开式中的系数为. 故选：A. 31．已知，若，则自然数（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【详解】令，得， 令，得， 所以. 故选：B 32．设，若，则（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【详解】令，则可得. 又，则． 故选：D． 33．设，则（   ） A．7 B．14 C．6 D．13 【答案】D 【详解】令可得， 对两边同时求导得: ， 令有，， 所以. 故选：D 1．在的展开式中（    ） A．项的系数大于项的系数 B．项的系数大于项的系数 C．项的系数大于项的系数 D．项的系数大于项的系数 【答案】D 【详解】的展开式的通项公式， A.当时，项的系数为，当时，项的系数为，故A错误； B. 当时，项的系数为，项的系数为，故B错误； C. 当时，项的系数为,项的系数为，故C错误； D. 当时，项的系数为,项的系数为，故D正确. 故选：D 2．下列各二项式中，其展开式不存在常数项的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设二项展开式的第为常数项. 对A：由 ，由 ，所以展开式的第6项为常数项，即的展开式有常数项； 对B：由 ，由 ，所以展开式的第5项为常数项，即的展开式有常数项； 对C：由 ，由 ，所以的展开式的第9项为常数项，即的展开式有常数项； 对D：由 ，由 ，所以的展开式不存在常数项. 故选：D 3．（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】注意到原式中每一项都可以写成， 由组合数的定义可得， 所以原式， 由二项式定理可知， ， 两式相加再除以2可得， 所以原式. 故选：D. 4．某公司研发的6个不同的程序中有2个程序无法正常运行，若最多测试4次能找到这2个无法正常运行的程序，则不同的测试次序共有（    ） A．90种 B．108种 C．114种 D．128种 【答案】C 【详解】①测试2次找到2个无法正常运行的程序，则不同的测试次序有种； ②测试3次找到2个无法正常运行的程序，则不同的测试次序有种； ③测试4次找到2个无法正常运行的程序，则不同的测试次序有种； ④测试4次找到4个正常运行的程序，则不同的测试次序有种, 综上，不同的测试次序共有种． 故选：C 5．某校的音乐学会有7名男生及5名女生．某舞台上放了两行椅子，且每行有3张椅子．从该音乐学会中随机选出3名男生及3名女生在舞台上就座．若选出的女生必须坐在首行：求编排男生和女生在舞台上就座的方法的数目．（　　） A．350 B．720 C．12600 D．25200 【答案】C 【详解】先选女生：从5名女生中选3名，可以选种， 再选男生：从7名男生中选3名，可以选种， 再对女生排列：3名女生在首行3张椅子上排列，有种， 再对男生排列：3名男生在第二行3张椅子上排列，有种， 由分步乘法计数原理得，总方法数为种，故C正确. 故选：C 1．（2025·天津·高考真题）在的展开式中，项的系数为 ． 【答案】 【详解】展开式的通项公式为， 当时，， 即展开式中的系数为. 故答案为： 2．（2025·上海·高考真题）在二项式的展开式中，的系数为 ． 【答案】 【详解】由通项公式， 令，得， 可得项的系数为. 故答案为：. 3．（2024·上海·高考真题）在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为 ． 【答案】10 【详解】则二项式的展开式各项系数和为32，得，解得， 所以的展开式项的系数为. 故答案为：10 4．（2024·全国甲卷·高考真题）的展开式中，各项系数中的最大值为 ． 【答案】5 【详解】由题展开式通项公式为，且， 设展开式中第项系数最大，则， ，即，又，故， 所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为. 故答案为：5. 5．（2024·天津·高考真题）在的展开式中，常数项为 ． 【答案】20 【详解】因为的展开式的通项为， 令，可得， 所以常数项为. 故答案为：20. 6．（2023·上海·高考真题）已知，若存在{0，1，2，…，100}使得，则k的最大值为 . 【答案】49 【详解】二项式的通项为， 二项式的通项为， ， ，若，则为奇数， 此时， ，又为奇数，的最大值为49. 故答案为：49. 7．（2023·天津·高考真题）在的展开式中，的系数为 ． 【答案】 【详解】展开式的通项公式， 令可得，， 则项的系数为. 故答案为：60. 8．（2022·天津·高考真题）在的展开式中，常数项是 . 【答案】15 【详解】由题意的展开式的通项为， 令即，则，所以的展开式中的常数项为. 故答案为：. 9．（2022·浙江·高考真题）已知多项式，则 ， ． 【答案】 【详解】含的项为：，故； 令，即， 令，即， ∴， 故答案为：；． 10．（2022·上海·高考真题）二项式的展开式中，项的系数是常数项的5倍，则 ； 【答案】10 【详解】由题知 ，当 时，的系数为 ；当 时，常数项为 ； 又的系数是常数项的5倍，所以，解得 . 故答案为：10 11．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）的展开式中的系数为 （用数字作答）． 【答案】-28 【详解】因为， 所以的展开式中含的项为， 的展开式中的系数为-28 故答案为：-28 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 排列组合与二项式定理 目录 01 常考题型过关练 题型01 分类加法原理与分步乘法原理 题型02 求二项展开式的第k项 题型03 求指定项的系数 题型04 由项的系数确定参数 题型05 三项展开式的系数问题 题型06 两个二项式乘积展开式的系数问题 题型07 展开式系数问题 02 核心突破提升练 03 真题溯源通关练 01 分类加法原理与分步乘法原理 1．六名志愿者到北京、延庆、张家口三个赛区参加活动，若每个赛区两名志愿者，则安排方式共有（    ） A．15种 B．90种 C．540种 D．720种 2．用四种颜色给正四棱锥的五个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂不同颜色，则不同的涂法有（    ） A．72种 B．36种 C．12种 D．60种 3．某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、英语、体育、艺术、通技各一节课的课表，要求数学课排在上午，体育课排在下午，不同的排法种数是（    ） A． B． C． D． 4．某班从5名同学中选3名同学分别参加数学、物理和化学知识竞答，已知甲同学不能参加物理和化学知识竞答，其他同学都能参加这三科知识竞答，则不同的安排有（   ） A．42种 B．36种 C．6种 D．12种 5．某班有甲、乙、丙、丁四名学生依次参加接力跑的接力比赛，已知甲不能站在第一位，乙不能站在第二位，则可能的安排排列顺序有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 02 求二项展开式的第k项 6．二项式展开式中的第4项为 ． 7．在的二项展开式中，第四项是常数项，则该常数项为 .（用数字作答） 8．的展开式中的第四项是 . 03 求指定项的系数 9．在的展开式中，含的项的系数为（   ） A． B． C．112 D．448 10．的展开式中的系数为（    ） A．210 B． C．10 D． 11．的展开式的第6项的系数是（    ） A． B． C． D． 12．的展开式中，的系数是（   ） A． B． C． D． 13．的展开式中，的系数为（    ） A．-54 B．-24 C．27 D．54 04 由项的系数确定参数 14．在的展开式中，第3项和第13项的系数相同，则n＝（    ） A．16 B．14 C．15 D．17 15．已知的展开式中的系数为15，则的系数为（   ） A．420 B．640 C．720 D．960 16．若（）的展开式中x与项的系数相等，则（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 17．的展开式中常数项是，则（    ） A． B． C．2 D．3 18．已知展开式中第3项的系数比第2项的系数大162，则n的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 05 三项展开式的系数问题 19．的展开式中，的系数为（    ） A．4 B．32 C．60 D．120 20．的展开式中的常数项为（    ） A．120 B．88 C．24 D．18 21．的展开式中的系数为（    ） A．75 B．135 C．180 D．195 22．的展开式中项的系数为（ ） A．120 B．90 C．60 D．45 23．展开式中的系数为（   ） A． B． C．160 D．80 06 两个二项式乘积展开式的系数问题 24．的展开式中，的系数为（   ） A．80 B．40 C． D． 25．在的展开式中，的系数为（   ） A．260 B． C． D．220 26．的展开式中的系数为（   ） A．30 B．10 C． D． 27．的展开式中的系数为（   ） A．162 B．168 C．180 D．185 28．展开式中的系数为（    ） A． B．24 C． D．16 07 展开式系数问题 29．若且，则实数m的值为（   ） A．1 B． C． D．1或 30．已知，若，则（    ） A． B． C．15 D．35 31．已知，若，则自然数（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 32．设，若，则（    ） A．1 B． C．3 D． 33．设，则（   ） A．7 B．14 C．6 D．13 1．在的展开式中（    ） A．项的系数大于项的系数 B．项的系数大于项的系数 C．项的系数大于项的系数 D．项的系数大于项的系数 2．下列各二项式中，其展开式不存在常数项的是（    ） A． B． C． D． 3．（    ） A． B． C． D． 4．某公司研发的6个不同的程序中有2个程序无法正常运行，若最多测试4次能找到这2个无法正常运行的程序，则不同的测试次序共有（    ） A．90种 B．108种 C．114种 D．128种 5．某校的音乐学会有7名男生及5名女生．某舞台上放了两行椅子，且每行有3张椅子．从该音乐学会中随机选出3名男生及3名女生在舞台上就座．若选出的女生必须坐在首行：求编排男生和女生在舞台上就座的方法的数目．（　　） A．350 B．720 C．12600 D．25200 1．（2025·天津·高考真题）在的展开式中，项的系数为 ． 2．（2025·上海·高考真题）在二项式的展开式中，的系数为 ． 3．（2024·上海·高考真题）在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为 ． 4．（2024·全国甲卷·高考真题）的展开式中，各项系数中的最大值为 ． 5．（2024·天津·高考真题）在的展开式中，常数项为 ． 6．（2023·上海·高考真题）已知，若存在{0，1，2，…，100}使得，则k的最大值为 . 7．（2023·天津·高考真题）在的展开式中，的系数为 ． 8．（2022·天津·高考真题）在的展开式中，常数项是 . 9．（2022·浙江·高考真题）已知多项式，则 ， ． 10．（2022·上海·高考真题）二项式的展开式中，项的系数是常数项的5倍，则 ； 11．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）的展开式中的系数为 （用数字作答）． 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $