课下巩固精练卷(81) 排列与组合（Word练习）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教A版）

课下巩固精练卷(八十一)　排列与组合 【基础巩固题】 1．若，则m等于(　　 ) A．9 B．8 C．7 D．6 解析：选C.因为，所以m(m－1)(m－2)＝6×，即1＝，解得m＝7. 2．(2024·唐山模拟)从2艘驱逐舰和6艘护卫舰中选出3艘舰艇分别担任防空、反潜、巡逻任务，要求其中至少有一艘驱逐舰，则不同的安排方法种数为(　　 ) A．336 B．252 C．216 D．180 解析：选C.由题意得不同的安排方法种数为－＝216. 3．(2024·河北邯郸二模)某班联欢会原定5个节目，已排成节目单，开演前又增加了2个节目，现将这2个新节目插入节目单中，要求新节目既不排在第一位，也不排在最后一位，那么不同的插法种数为(　　 ) A．12 B．18 C．20 D．60 解析：选C.根据题意，可分为两类： ①当新节目插在中间的四个空隙中的一个时，有＝4×2＝8(种)方法； ②当新节目插在中间的四个空隙中的两个时，有＝4×3＝12(种)方法． 由分类计数原理得，共有8＋12＝20(种)不同的插法． 4．(2024·福建厦门三模)某校5名同学到A、B、C三家公司实习，每名同学只能去1家公司，每家公司至多接收2名同学．若同学甲去A公司，则不同的安排方法共有(　　 ) A．18种 B．30种 C．42种 D．60种 解析：选B.若只有同学甲去A公司，则共有＝6(种)可能，若除同学甲外还有一名同学去A公司，则共有＝12×2＝24(种)可能，故共有6＋24＝30(种)可能． 5．著名数学家欧几里得著的《几何原本》中记载：任何一个大于1的整数要么是一个素数，要么可以写成一系列素数的积，例如42＝2×3×7.对于1 260＝a1×a2×a3×…×an，其中a1，a2，a3，…，an均是素数，则从a1，a2，a3，…，an中任选3个数，可以组成不同三位数的个数为(　　 ) A．32 B．36 C．42 D．60 解析：选C.1 260＝2×2×3×3×5×7，从2，2，3，3，5，7中任选3个数组成三位数，可以分为两类：第一类，三个数互不相同，共有＝24(个)；第二类，含有2个2或2个3，共有＝18(个)，所以一共可以组成不同三位数的个数为24＋18＝42. 6．阳春三月，草长莺飞；丝绦拂堤，尽飘香玉．三个家庭的3位妈妈带着3名女孩和2名男孩共8人踏春．在沿行一条小溪时，为了安全起见，他们排队前进，三位母亲互不相邻照顾孩子；3名女孩相邻且不排最前面也不排最后面；为了防止2名男孩打闹，2人不相邻，且不排最前面也不排最后面．则不同的排法共有(　　 ) A．144种 B．216种 C．288种 D．432种 解析：选C.第一步：先将3名母亲全排列，共有种排法； 第二步：将3名女孩“捆绑”在一起，共有种排法； 第三步：将“捆绑”在一起的3名女孩作为一个元素，在第一步形成的2个空中选择1个插入，共有种排法； 第四步：首先将2名男孩之中的一人，插入第三步后相邻的两个妈妈中间，然后将另一个男孩插入由女孩与妈妈形成的2个空中的其中1个，共有种排法． 所以不同的排法共有＝288(种)． 7．(多选)(2024·淮安模拟)有甲、乙、丙等5名同学聚会，下列说法正确的是(　　 ) A．5名同学每两人握手1次，共握手20次 B．5名同学相互赠送祝福卡片，共需要卡片20张 C．5名同学围成一圈做游戏，有120种排法 D．5名同学站成一排拍照，甲、乙相邻，且丙不站正中间，有40种排法 解析：选BD.A选项，5名同学每两人握手1次，共握手＝10(次)，故A错误；B选项，5名同学相互赠送祝福卡片，共需要卡片＝20(张)，故B正确；C选项，5名同学围成一圈做游戏，确定4个人之后，最后一个人的位置也就确定了，所以有＝24(种)排法，故C错误；D选项，5名同学站成一排拍照，甲、乙相邻，共有＝48(种)排法，其中丙站正中间的排法有＝8(种)，所以甲、乙相邻，且丙不站正中间的排法有48－8＝40(种)，故D正确． 8．(多选)某周周一到周六的夜间值班工作由甲、乙、丙三人负责，每人负责其中的两天，每天只需一人值班，则下列关于安排方法数的说法正确的有(　　 ) A．共有90种安排方法 B．甲连续两天值班的安排方法有30种 C．甲连续两天值班且乙连续两天值班的安排方法有18种 D．甲、乙、丙三人每人都连续两天值夜班的安排方法有6种 解析：选ABD.对于A，首先任选2天安排甲值班，共＝15(种)方法，再从剩下的4天中选2天安排乙值班，共＝6(种)方法，最后安排丙，有＝1(种)方法，共计15×6×1＝90(种)方法，故A正确； 对于B，甲可以值周一周二、周二周三、…、周五周六，共有5(种)方法，再从剩余4天中选2天安排乙，剩下两天安排丙，此步骤共＝6(种)，共计5×6＝30(种)方法，故B正确； 对于C，首先确定甲在乙之前还是之后，有2(种)方法，再讨论丙值的两天班是否连续， 若连续，则从“□甲甲□乙乙□”或“□乙乙□甲甲□”对应的三个空档中选择一个，安排“丙丙”即可，此时有＝3(种)方法， 若不连续，则从“□甲甲□乙乙□”或“□乙乙□甲甲□”对应的三个空档中选择两个，各安排一个“丙”即可，此时有＝3(种)；综上，符合题意的方法数为2×(3＋3)＝12(种)，故C错误； 对于D，只需将“甲甲”“乙乙”“丙丙”做全排列即可，共＝6(种)方法，故D正确． 9．已知不定方程x1＋x2＋x3＋x4＝12，则不定方程正整数解的组数为________． 解析：问题相当于将12个完全相同的小球放入4个不同的盒子，且每个盒子中至少放入1个小球，使用“隔板法”得不定方程正整数解的组数为＝165. 答案：165 10．(人教A版选择性必修三P28)甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有________种不同情况． 解析：根据题意，甲乙都没有得到冠军，而乙不是最后一名， 分2种情况讨论： ①甲是最后一名，则乙可以为第二、三、四名，即乙有3(种)情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有＝6(种)情况，此时有3×6＝18(种)名次排列情况； ②甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，有＝6(种)情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有＝6(种)情况，此时有6×6＝36(种)名次排列情况． 故一共有36＋18＝54(种)不同的名次情况． 答案：54 【综合应用题】 11．如图是由6个正方形拼成的矩形图案，从图中的12个顶点中任取3个顶点作为一组，其中可以构成三角形的组数为(　　 ) A．208 B．204 C．200 D．196 解析：选C.任取的3个顶点不能构成三角形的情形有3种：一是3条横线上的4个点，其组数为；二是4条竖线上的3个点，其组数为；三是4条对角线上的3个点，其组数为.所以可以构成三角形的组数为＝200. 12．“灯笼”是中国传统农业时代的文化产物，兼具生活功能与艺术特色．如图，现有悬挂着的6盏不同的花灯需要从下往上依次取下，每次取1盏，则不同的取法种数为________． 解析：对于取下6盏不同的花灯，可先对6盏不同的花灯进行全排列，共有种排法，因为花灯每次只能取一盏，且只能从下往上取，又因为每串花灯先后顺序已经固定，所以除去重复的排列顺序，所以共有＝20(种)不同的取法． 答案：20 13．(2024·北京十一校联考)把6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每个人至少分1张，至多分2张，且这2张票具有连续的编号，那么不同的分法共有________种．(用数字作答) 解析：根据题意，可分为两步进行： ①先将票分为符合条件的4份，4人分6张票，且每人至少1张，至多2张， 则有2个人各1张，2个人各2张且分得的票必须连号，相当于将1，2，3，4，5，6这6个数字用3个板子隔开，分为四部分且不存在三连号， 即在其中的5个空隙中插入3个板子，有＝10(种)情况， 其中出现3张三连号的有123，4，5，6；1，234，5，6；1，2，345，6；1，2，3，456，共4种情况，不满足题意， 所以有10－4＝6(种)情况； ②再将分好的4份全排列，对应到4个人，有＝24(种)情况． 由分步乘法计数原理可得，共有6×24＝144(种)不同的分法． 答案：144 14．(2024·湖南师大附中质检)由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的六位数，要求奇数不相邻，且4不在第四位，则这样的六位数共有________个． 解析：先排偶数，有＝6(种)方法，3个偶数，共有4个空格，再将奇数插空，共有＝24(种)情况，故组成没有重复数字且奇数不相邻的六位数的个数为＝6×24＝144， 若4位于第四位，则第二位必须为偶数，可从数字2和6中二选一，有种选择，第五位与第六位，其中之一为偶数，故从两个位置中选择一个放入2和6中剩余的一个偶数，有种选择，剩余3个位置，3个奇数进行全排列，有＝6(种)选择， 则由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的六位数中，奇数不相邻，且4位于第四位共有＝24(个)， 所以由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的六位数中，奇数不相邻，且4不在第四位的六位数共有144－24＝120(个)． 答案：120 【创新拓展题】 15．如图，一只青蛙开始时位于数轴上原点的位置，每次向数轴的左侧或右侧随机跳跃一个单位长度，记an为第n次跳跃后对应数轴上的数字(n＝1，2，…，14)，则满足＝16，a14＝2的跳跃方法有(　　 ) A．336种 B．448种 C．315种 D．420种 解析：选B.因为＝16，所以a8＝－4或a8＝4. 当a8＝－4，a14＝2时，前8次向左跳跃6次，向右跳跃2次，后6次向右跳跃6次，所以有＝28(种)跳跃方法； 当a8＝4，a14＝2时，前8次向右跳跃6次，向左跳跃2次，后6次向左跳跃4次，向右跳跃2次，所以有＝28×15＝420(种)跳跃方法． 综上所述，满足＝16，a14＝2的跳跃方法有28＋420＝448(种)． 16．因演出需要，身高互不相等的8名演员要排成一个“波浪形”，即演员们的身高从最左边数起：第一个到第三个依次递增，第三个到第六个依次递减，第六、七、八个依次递增，则不同的排列方式有(　　 ) A．181种 B．109种 C．84种 D．96种 解析：选A.依题意作图如图所示： 上面的数字表示排列的位置，必须按照如图的方式排列，其中第3个位置必须比1，2，4，5，6要高，第8个位置必须比6，7高，1，6两处要比排列里其他位置低． 设8个演员按照从矮到高的顺序依次编号为①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，则第3个位置可选演员编号最小是⑥，最大是⑧，下面分类讨论： (1)第3个位置选⑥号：先从①，②，③，④，⑤号中选两个放入前两个位置，余下的3个号放入位置4，5，6，顺序是确定的，只有一种情况，然后⑦，⑧号放入最后两个位置也是确定的，此时共＝10(种)情况； (2)第3个位置选⑦号：先从①，②，③，④，⑤，⑥号中选两个放入前两个位置，余下的4个号中编号最小的放入第6个位置，剩下3个选2个放入4，5两个位置，余下的号和⑧号放入最后两个位置，此时共＝45(种)情况； (3)第3个位置选⑧号：先从①，②，③，④，⑤，⑥，⑦号中选两个放入前两个位置，余下的5个号中编号最小的放入第6个位置，剩下4个选2个放入4，5两个位置，余下的2个号放入最后两个位置，此时共＝126(种)情况． 综上，由分类加法计数原理可得共有10＋45＋126＝181(种)排列方式． 学科网（北京）股份有限公司 $