第01讲 导数的概念、运算及几何意义（专项训练）（北京专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第01讲 导数的概念、运算及几何意义 目录 01 常考题型过关练 题型01 导数的计算 题型02 求曲线切线的斜率或倾斜角 题型03 求在曲线上一点的切线方程 题型04 求过一点的切线方程 题型05 已知切线（斜率）求参数 题型06 两条切线平行、垂直问题 题型07 公切线问题 题型08 切线（方程）的综合应用 02 核心突破提升练 03 真题溯源通关练 01 导数的计算 1．设函数，则（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，则（   ） A． B． C．1 D．2 3．若函数，则（    ） A．2 B．4 C．6 D． 4．，若，则等于（    ） A． B．1 C． D． 5．求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)． 6．求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 02 求曲线切线的斜率或倾斜角 7．函数在处的切线斜率为（　　） A． B． C． D． 8．曲线在点处切线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 9．函数的图象在点处的切线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 10．若点在曲线上移动，经过点的切线的倾斜角为，则角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 03 求在曲线上一点的切线方程 11．已知函数，则曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 12．曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 13．函数的图象在处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 14．已知函数，则曲线在处的切线的斜率为（   ） A． B．0 C．1 D．2 04 求过一点的切线方程 15．已知函数，过点可作曲线的切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 16．过坐标原点作曲线的切线，则切线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 17．过点且与曲线相切的直线方程是（   ） A． B． C． D． 18．过点且与曲线相切的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 19．过点作曲线的切线，则这样的切线共有（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 20．设曲线的一条切线过点，则此切线与坐标轴围成的三角形面积为（    ） A． B． C． D． 05 已知切线（斜率）求参数 21．曲线在处的切线经过点，则实数的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 22．若曲线的一条切线为，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 23．已知曲线在点处的切线与曲线相切，则（    ） A． B． C． D． 24．已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则（    ） A． B． C． D． 25．若直线 与曲线 相切，则 （    ） A． B． C． D．4 26．若直线为函数且的图象的一条切线，则（    ） A． B． C． D． 06 两条切线平行、垂直问题 27．若函数与的图象有一条公共切线，且该公共切线与直线平行，则实数（    ） A． B． C． D． 28．曲线在点处的切线与直线垂直，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 29．若曲线的一条切线与直线垂直，则切线的方程为（    ） A． B． C． D． 30．对于三次函数，若曲线在点处的切线与曲线在点处点的切线重合，则（    ） A． B． C． D． 31．函数在处的切线与直线平行，则实数（    ） A． B．1 C． D． 32．已知曲线在处的切线与直线垂直，则的值为（    ） A．4 B．2 C． D． 07 公切线问题 33．已知直线是曲线与曲线的公切线，则（    ） A．2 B． C． D． 34．已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则（   ） A． B． C． D． 35．若曲线与曲线存在公共切线，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 36．函数与函数公切线的纵截距为（    ） A．1或0 B．-1或0 C．1或 D．-1或 37．已知，若直线 是曲线与曲线的公切线，则（    ） A． B． C．26 D．28 38．若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（    ） A． B． C． D． 39．已知函数，若直线是曲线与曲线的公切线，则的方程为（    ） A． B． C． D． 40．若曲线与恰有两条公切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 08 切线（方程）的综合应用 41．若过点可作函数图象的两条切线，则必有（    ） A． B． C． D． 42．已知函数 ，过坐标原点O作曲线的切线l，切点为A，过A且与l垂直的直线交x轴于点B，则面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 43．已知函数，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 44．若直线与曲线（且）无公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 45．设为的图象在轴两侧的点，则在处的切线与轴围成的三角形的面积的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 1．已知，一质点做简谐运动，其位移，则时该质点的瞬时速度为（    ） A．0 B．1 C． D． 2．直线与曲线相切的一个充分不必要条件为（   ） A． B． C． D． 3．已知二次函数（且）的图象与曲线交于点P，与x轴交于点A（异于点O），若曲线在点P处的切线为l，且l与AP垂直，则a的值为（    ） A． B． C． D． 4．如果方程能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数．隐函数的求导方法如下：在方程中，把y看成x的函数，则方程可看成关于x的恒等式，在等式两边同时对x求导，然后解出即可．例如，求由方程所确定的隐函数的导数，将方程的两边同时对x求导，则（是中间变量，需要用复合函数的求导法则），得．那么曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知两点，和曲线，若C经过原点的切线为，且直线，则（    ） A． B． C． D． 6．下列函数的图象不可能与直线相切的是（    ） A． B． C． D． 7．与曲线在某点处的切线垂直，且过该点的直线称为曲线在某点处的法线，若曲线的法线的纵截距存在，则其最小值为（    ） A． B． C． D． 8．已知曲线，过曲线上A，B两点分别作曲线的切线交于点P，AP⊥BP．记A，B两点的横坐标分别为，则（    ） A． B．1 C． D．2 9．过点可以向曲线作条切线，写出满足条件的一组有序实数对 10．已知是曲线上一点，作曲线在点处的切线，与轴、轴分别交于点、，为坐标原点，则 . 1．（2025·全国一卷·高考真题）若直线是曲线的切线，则 . 2．（2024·全国甲卷·高考真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 4．（2023·全国甲卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 5．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ． 6．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ． 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 导数的概念、运算及几何意义 目录 01 常考题型过关练 题型01 导数的计算 题型02 求曲线切线的斜率或倾斜角 题型03 求在曲线上一点的切线方程 题型04 求过一点的切线方程 题型05 已知切线（斜率）求参数 题型06 两条切线平行、垂直问题 题型07 公切线问题 题型08 切线（方程）的综合应用 02 核心突破提升练 03 真题溯源通关练 01 导数的计算 1．设函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 又，则，所以，则， 故选：B. 2．已知函数，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】因为，则，解得. 故选：D 3．若函数，则（    ） A．2 B．4 C．6 D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 将代入得，解得， 所以，所以. 故选：C 4．，若，则等于（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得：， 若，即， 则，解得． 故选：B． 5．求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）． （2） ． （3）． （4）． 6．求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）由， 则. （2）由， 则. （3）由， 则. （4）由 ， 则. （5）由， 则. （6）由， 则. 02 求曲线切线的斜率或倾斜角 7．函数在处的切线斜率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，则，， 所以函数在处的切线斜率为， 故选：C 8．曲线在点处切线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 当时，， 所以曲线在点处切线的斜率为，倾斜角为. 故选：C. 9．函数的图象在点处的切线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，则，显然，当时，无意义， 即在处斜率不存在，所以倾斜角为. 故选：D. 10．若点在曲线上移动，经过点的切线的倾斜角为，则角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，，则 所以过点切线斜率 所以 所以得 故选：D 03 求在曲线上一点的切线方程 11．已知函数，则曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，故，，所以曲线在处的切线方程为，即. 故选：D. 12．曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题知, 所以，， 所以曲线在处的切线方程为，即. 故选：B. 13．函数的图象在处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，函数，可得， 所以，， 所以在处的切线方程为，即. 故选：B 14．已知函数，则曲线在处的切线的斜率为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【详解】∵，∴， ∴，即在处的切线的斜率为1. 故选：C. 04 求过一点的切线方程 15．已知函数，过点可作曲线的切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解法一  由，得．设切点坐标为， 则切线方程为， 把代入可得，即， 因为，所以该方程有2个不同的实数解，故切线有2条． 解法二  由，得，令，得． 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故的极小值为，且，则点在曲线的下方，    数形结合可知，过点可作曲线的2条切线． 故选：B 16．过坐标原点作曲线的切线，则切线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】A 【详解】设切点为， 由可得， 则过坐标原点的切线的斜率， 故，即， 解得，故过坐标原点的切线共有1条． 故选：A． 17．过点且与曲线相切的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，点不在曲线上， 设切点为，则， 解得：，得切点，则 切线方程为：， 故选：． 18．过点且与曲线相切的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】设过点的曲线的切线为： ， 有, 解得或, 代入可得或. 故选： 19．过点作曲线的切线，则这样的切线共有（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【答案】C 【详解】因为，所以（）. 设切点坐标为：，切线斜率为：（）. 所以切线方程为：. 又切线过点， 所以 . 设（） 则， 由 ；由 . 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 且，，. 所以在和各有1个根. 所以方程：有且只有两个解. 故选：C 20．设曲线的一条切线过点，则此切线与坐标轴围成的三角形面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设切点为， 则切线方程为. 切线过点， 切线方程为， 故可得切线在轴上的截距为， 所以切线与坐标轴围成的三角形面积为. 故选：C. 05 已知切线（斜率）求参数 21．曲线在处的切线经过点，则实数的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【详解】，由导数几何意义知， 在处的切线斜率为， 当时，切线经过点，故有，解得. 故选：C． 22．若曲线的一条切线为，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【详解】设切点，因为，所以，切线方程为， 整理得，所以， 设得， 又因为时，时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以. 故选：B. 23．已知曲线在点处的切线与曲线相切，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解法1：由得，当时，， 所以曲线在点处的切线方程为：，即. 由，得， 所以，解得， 故选：D. 解法2：由得，当时，， 所以曲线在点处的切线方程为：，即. 因为，所以， 令，得， 所以与曲线 的切点为， 由切点在切线得，解得， 故选：D. 24．已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知，， 故， ， 则切线斜率为，故， 所以． 故选：B. 25．若直线 与曲线 相切，则 （    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【详解】设直线与曲线相切于点， 求导可得，因此切线斜率， 又切线过原点，可得，化简可得， 令，则， 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，， 因此可得，即可得. 故选： 26．若直线为函数且的图象的一条切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设切点为，因为且，则， 由导数的几何意义可得， 所以，即，故， 所以，解得， 故选：B. 06 两条切线平行、垂直问题 27．若函数与的图象有一条公共切线，且该公共切线与直线平行，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设函数图象上切点为，因为，所以，得， 所以，所以切线方程为，即，设函数的图象上的切点为 ，因为，所以，即，又，即，所以，即，解得或（舍），所以． 故选：A 28．曲线在点处的切线与直线垂直，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【详解】解：的导数为， 可得在点处的切线的斜率为， 由切线与直线垂直，可得， 解得， 故选：． 29．若曲线的一条切线与直线垂直，则切线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设切点为，， 切线与直线垂直， 切线的斜率为， 又，所以，，解得， ，即切点， 由点斜式可得，切线方程为：，即． 故选：． 30．对于三次函数，若曲线在点处的切线与曲线在点处点的切线重合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 设， ， 设，则，即……① 又，即 ……② 由①②可得， . 故选：B. 31．函数在处的切线与直线平行，则实数（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【详解】函数的导函数为 ， 函数在处的切线的导数即为切线的斜率为， 且切线与直线平行， 则有 ，可得 . 故选：B 32．已知曲线在处的切线与直线垂直，则的值为（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】因为，可得， 即曲线在处的切线斜率为， 且直线的斜率为， 由题意可得：，解得. 故选：B. 07 公切线问题 33．已知直线是曲线与曲线的公切线，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知直线是曲线与曲线的公切线， 设是图象上的切点，， 所以在点处的切线方程为，即① 令，解得， 即直线与曲线的切点为， 所以，即，解得或， 当时，①为，不符合题意，舍去， 所以，此时①可化为，所以， 故选：A 34．已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设曲线上的切点为，曲线上的切点为， ，， 解得. 故选：A. 35．若曲线与曲线存在公共切线，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得，曲线在点处的切线斜率为 由得在点处的切线斜率为， 如果两条曲线存在公共切线，那么． 又由斜率公式可得，由此得到，则有解， 所以直线与函数的图象有交点即可． 当直线与函数的图象相切时， 设切点为，则，且，得，即有切点，此时， 故实数a的取值范围是．    故选：D． 36．函数与函数公切线的纵截距为（    ） A．1或0 B．-1或0 C．1或 D．-1或 【答案】B 【详解】设切点分别为，, 且导数为， 所以切斜方程为既为， 也为， 所以， 所以， 所以， 所以或， 所以公切线的纵截距为或. 故选：B. 【点睛】本题考查求公切线问题，解题关键是分别在函数上设不同切点并求切线方程，根据两切线方程一样来求解公切线斜率. 37．已知，若直线 是曲线与曲线的公切线，则（    ） A． B． C．26 D．28 【答案】C 【详解】设直线与曲线相切于点 ，与曲线相切于点. 由知，又两曲线的公切线斜率为，则，解得或（舍去）. 所以，解得. 由知，又两曲线的公切线斜率为，则，即，故，整理得，故， 所以，故. 故选：C. 38．若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】的导数，令，则， 所以曲线在处的切线方程为， 即 的导数，设直线与曲线切于点， 则曲线在点处的切线方程为， 即，所以解得． 故选：D 39．已知函数，若直线是曲线与曲线的公切线，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设与曲线相切于点，与相切于点， 由，可得的斜率，所以①， 又由，可得，所以，即②， 又因为③， 将②③代入①中，可得，由③易知，,则④， 将④代入③，可得，则， 令，则，当时，单调递减； 当时，单调递增．所以，当且仅当时取等号， 故，可得，所以， 所以的方程为，即． 故选：B． 【点睛】方法技巧：对于利用导数解决函数综合问题问题的求解策略： 1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解； 2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 40．若曲线与恰有两条公切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设曲线切点为，的切点为， 则曲线在点处的切线方程为，即， 同理，在点处的切线方程为， 根据与有两条公切线， 则，所以，化简可得 具有两个交点， 转化为有两个解，构造函数，则， 当，，单调递增；当，，单调递减， 故在时有极大值即为最大值，故， 当时，，当时，， 故的取值范围为， 故选：A 08 切线（方程）的综合应用 41．若过点可作函数图象的两条切线，则必有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设切点为，， 又，所以切线斜率， 所以切线方程为， 又切线过点， 则，， 即， 由过点可作两条切线， 所以有两个正根， 即，整理可得， 故选：C. 42．已知函数 ，过坐标原点O作曲线的切线l，切点为A，过A且与l垂直的直线交x轴于点B，则面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以. 设切点为， 则，. 所以切线l方程为. 因为切线l过坐标原点O， 所以将代入切线方程，整理得，解得：. 所以， 则点，. 因为直线过A且与直线l垂直， 所以， 则直线的方程为. 令，解得， 所以点B坐标为. 所以. 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以. 故选：D 【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于：先利用导数的几何意义解决过原点的曲线切线方程问题；再根据平面两直线垂直得出直线的方程，进而求出点B坐标；最后表示出面积，利用基本不等式求解即可. 43．已知函数，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知：， 设函数上的切点坐标为，函数上的切点坐标为， 且，，则公切线的斜率，可得， 则公切线方程为， 代入得， 代入可得，整理得， 令，则， 若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则方程有两个不同的实根， 设，则， 令，解得；令，解得； 则在内单调递增，在单调递减，可得， 且当x趋近于时，趋近于；当x趋近于时，趋近于， 可得，解得，故实数的取值范围为. 故选：A. 【点睛】关键点睛：涉及公切线问题一般先设切点坐标，根据切线相同得到方程组，将双变量方程转化为单变量方程，再参变分离，转化为函数的交点问题，即可求出参数的取值范围. 44．若直线与曲线（且）无公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：当时，直线与曲线必有一个公共点，不合题意， 当时，若直线与曲线相切，设直线与曲线相切于点，则，得． 由切点在切线上，得， 由切点在曲线上，得， 所以，． 如图所示： 故当直线与曲线（且）无公共点时，． 故选：D 【点睛】思路点睛：时，由单调递增，单调递减容易判断；时，利用导数法研究直线与曲线相切时a的值，再根据对数函数在第一象限内随底数a的增大,图象向x轴靠近而得解. 45．设为的图象在轴两侧的点，则在处的切线与轴围成的三角形的面积的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【详解】 对函数求导得 ，设、，且， 所以，曲线在点处的切线方程为，可得， 同理可知，曲线在点处的切线方程为， 联立可得，即点， 在直线方程中，令，得，即，同理得， 所以，， ， 令，， ， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增，则. 当且仅当时，的面积取得最小值. 故选：D. 【点睛】方法点睛：求出三角形的表达形式后，利用换元法，构造函数，再利用导数求函数最值. 1．已知，一质点做简谐运动，其位移，则时该质点的瞬时速度为（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【详解】由题可知时该质点的瞬时速度为 ． 故选：A. 2．直线与曲线相切的一个充分不必要条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意设，则， 设直线与曲线相切的切点为， 则，所以， 所以， 所以. 对比选项可知直线与曲线相切的一个充分不必要条件为. 故选：B. 3．已知二次函数（且）的图象与曲线交于点P，与x轴交于点A（异于点O），若曲线在点P处的切线为l，且l与AP垂直，则a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】易知，设， 联立与可得，故， 由得，所以，， 因为，所以，即， 又，所以. 故选：B. 4．如果方程能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数．隐函数的求导方法如下：在方程中，把y看成x的函数，则方程可看成关于x的恒等式，在等式两边同时对x求导，然后解出即可．例如，求由方程所确定的隐函数的导数，将方程的两边同时对x求导，则（是中间变量，需要用复合函数的求导法则），得．那么曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由给定定义得，对左右两侧同时求导， 可得，将点代入，得， 解得，故切线斜率为，得到切线方程为， 化简得方程为，故B正确. 故选：B 5．已知两点，和曲线，若C经过原点的切线为，且直线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，，设切点为 则过原点的切线的斜率为，所以切线方程为：， 代点，则，解得，即斜率为 由，得， 结合图形知．令，， 则，所以在上单调递减，在单调递增． 因为，，所以． 故选：C      6．下列函数的图象不可能与直线相切的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若导函数有解，则直线就可以为该函数图象的切线． 对于选项A，令，解得，满足条件； 对于选项B，因为在上单调递增，且，，所以方程有解，满足条件； 对于选项C，令，解得，满足条件； 对于选项D，，不满足条件． 故选：D. 7．与曲线在某点处的切线垂直，且过该点的直线称为曲线在某点处的法线，若曲线的法线的纵截距存在，则其最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在曲线上任取一点，对函数求导得，则， 若曲线的法线的纵截距存在，则， 所以，曲线在点处的法线方程为， 即，所以，曲线在点处的法线的纵截距为， 令，令，其中， 则，令，可得， 当时，，此时，函数单调递减， 当时，，此时，函数单调递增， 所以，. 故选：A. 8．已知曲线，过曲线上A，B两点分别作曲线的切线交于点P，AP⊥BP．记A，B两点的横坐标分别为，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【详解】当时，，当时，， 依题意，曲线在点A，B处的切线互相垂直，则在1的两侧，不妨令， 因此，解得. 故选：B 9．过点可以向曲线作条切线，写出满足条件的一组有序实数对 【答案】（答案不唯一） 【详解】，， 设所求切线的切点坐标为，则切线斜率为， 得切线方程为， 由切线过点，有， 化简得， 设，则， ，解得或；，解得， 在和上单调递减，在上单调递增， 极大值，极小值， 且或时，时，， 的函数图象如图所示， 则当时，无解，；当或时， 有一个解，； 当或时，有两个解， ；当时，有三个解， . 故答案为：（答案不唯一） 10．已知是曲线上一点，作曲线在点处的切线，与轴、轴分别交于点、，为坐标原点，则 . 【答案】1 【详解】因为在曲线上，则 由得， 平方，得， ，, ∴曲线在点处的切线：， 令， 令，，则， ，，  ∴ ∴. 故答案为：1. 1．（2025·全国一卷·高考真题）若直线是曲线的切线，则 . 【答案】 【详解】法一：对于，其导数为， 因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2， 令，即，解得， 将代入切线方程，可得， 所以切点坐标为， 因为切点在曲线上， 所以，即，解得. 故答案为：. 法二：对于，其导数为， 假设与的切点为， 则，解得. 故答案为：. 2．（2024·全国甲卷·高考真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 则， 即该切线方程为，即， 令，则，令，则， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积. 故选：A. 3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 【答案】 【详解】由得，， 故曲线在处的切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合,所以，解得. 故答案为： 4．（2023·全国甲卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设曲线在点处的切线方程为， 因为， 所以， 所以 所以 所以曲线在点处的切线方程为. 故选：C 5．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】∵，∴， 设切点为,则,切线斜率, 切线方程为：, ∵切线过原点，∴, 整理得：, ∵切线有两条，∴,解得或, ∴的取值范围是, 故答案为： 6．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ． 【答案】 【详解】[方法一]：化为分段函数，分段求 分和两种情况，当时设切点为，求出函数导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得； 解： 因为， 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：； [方法二]：根据函数的对称性，数形结合 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 因为是偶函数，图象为： 所以当时的切线，只需找到关于y轴的对称直线即可. 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$