15.1.2 线段的垂直平分 第2课时 线段的垂直平分线的有关作图 课件 2025-2026学年人教版数学八年级上册

15.1.2(第2课时) 第十五章 轴对称 线段的垂直平分线的有关作图 探究1：尺规作图 如何利用直尺和圆规作线段的垂直平分线？ 如图，已知线段AB，要作线段AB的垂直平分线. 分析：由于“两点确定一条直线”，所以作线段AB的垂直平分线，关 键是确定所作的垂直平分线上的两个点.根据与A,B距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，可以作出这样的点. 思 考 A B C D 作法： （1）分别以点A，B为圆心，大于 AB的长为半径作弧，两弧交于C，D两点； （2）作直线CD. CD就是线段AB的垂直平分线. 我们也可以用这种方法确定线段的中点. 对于图中的五角星， 1.找出它的一对对称点A和A'，连接AA'. 2.作出线段 AA'的垂直平分线l，则l就是 这个五角星的一条对称轴. 典例分析 例1 你能作出这个五角星的对称轴吗? 分析 由于轴对称图形的对称轴是其任意一对对称点所连线段的垂直平分线，所以只要任意找一对对称点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这个图形的对称轴. 你能作出其他的对称轴吗？ 分析 假设所求作直线已经作出，则它不仅过 点C与直线AB垂直，而且是连接AB上与垂足 距离相等的两点的线段的垂直平分线.我们已 经会作线段的垂直平分线，因此需要首先在 直线AB上确定这两点.根据前面关于线段垂 直平分线的定理，这两点只需满足与点C的距离相等即可. 典例分析 例2 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线. 已知：直线AB和AB外一点C. 求作：AB的垂线，使它经过点C. 作法 如图. (1)以点C为圆心，适当长为半径作弧，交直 线AB于点D和点E. (2)分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为 半径作弧，两弧相交于点F. (3)作直线CF，直线CF就是所求作的垂线. 典例分析 例2 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线. 已知：直线AB和AB外一点C. 求作：AB的垂线，使它经过点C. 基本尺规作图 探索新知 尺规作图：过直线外一点作已知直线的垂线 A B C 作法：如图. (1) 以点 C 为圆心，适当长为半径作弧，交直线 AB 于点 D 和点 E； E D 由 (1) 可知，点 C 在线段 DE 的垂直平分线上，因而再作出与 D，E 距离相等的另一点 F，就能得到线段 DE 的垂直平分线． 探索新知 尺规作图：过直线外一点作已知直线的垂线 (3) 作直线 CF，则直线 CF 就是所求作的垂线. A B C E D F (2) 分别以点 D 和点 E 为圆心，大于 DE 的长为半径作弧，两弧相交于 点 F. 如果点在直线上如何作垂线呢？ 探索新知 如图，已知直线 l 和 l 上的一点 P，如何用尺规作 l 的垂线，使它经过点 P？能说明你的作法的道理吗？ l P 作法： (1)以点 P 为圆心，以任意长为半径作弧，与直线 l 相交于点A，B. (2)分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点 M，作直线 MP，直线 MP 即为所求作的垂线. A B M 探索新知 如图，已知直线 l 和 l 上的一点 P，如何用尺规作 l 的垂线，使它经过点 P？能说明你的作法的道理吗？ 作法： (1)以点 P 为圆心，以任意长为半径作弧，与直线 l 相交于点A，B. (2)分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点 M，作直线 MP，直线 MP 即为所求作的垂线. 可知点 P 到线段两端点的距离相等， 可知点 M 到线段 AB 两端点的距离相等，所以直线 MP 是线段 AB 的垂直平分线，所以直线MP垂直于直线 l. 3.画出下列图形的对称轴． 随堂检测 1.如图，A，B是路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车站.使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？ A B 分析：增设的公共汽车站要满足到两个小区的路程一样长，应在线段AB的垂直平分线上，又要在公路边上，所以找到AB垂直平分线与公路的交点便是. 公共汽车站 能力提升 2.如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点 M，N 表示大学，OA，OB 表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离较近且相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库 P 应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计.(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) O N M A B 解：如图所示： P 能力提升 线段垂直平分线的有关作图 尺规作图 作对称轴 属于基本作图之一，必须熟练掌握 (1)将图形对折，找折痕； (2)用尺规作图法； (3)用刻度尺先取一对对称点连线的中点，然后作垂线 课堂小结 1.如图，若AC=12，BC=7，AB的垂直平分线交AB于E，交AC于D，求△BCD的周长. A B C D E 解：∵ED是线段AB的垂直平分线， ∴BD=AD， ∵△BCD的周长=BD+DC+BC ∴△BCD的周长=AD+DC+BC =AC+BC =12+7=19. 课后作业 6. 下列各命题都成立，写出它们的逆命题 . 这些逆命题成立吗？ （1）同旁内角互补，两直线平行； 【教材P70习题15.1 第6题】 逆命题：两直线平行，同旁内角互补. 该逆命题成立. 课堂练习 （2）如果两个实数相等，那么它们的平方相等； 逆命题：如果两个实数的平方相等，那么它们相等. 该逆命题不成立. 逆命题：如果两个三角形的对应边相等，那么这两个三角形全等. 该逆命题成立. （3）全等三角形的对应边相等 . 课堂练习 8. 如图，AD与BC相交于点O，OA = OC，∠A = ∠C，BE = DE. 求证：OE垂直平分BD. 【教材P70习题15.1 第8题】 课堂练习 证明：在△AOB 和△COD 中， ∠A =∠C， OA = OC， ∠AOB = ∠COD， ∴△AOB≌△COD（ASA）. ∴OB = OD. ∴点 O 在线段 BD 的垂直平分线上. ∵BE = DE，∴点 E 也在线段 BD 的垂直平分线上. ∴OE 是线段 BD 的垂直平分线. ∴OE 垂直平分 BD. 课堂练习 $