精品解析：河南省信阳市息县2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

2025－－2026学年度上期九年级适应性测试（一）数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 方程4x2﹣3x﹣2＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A. 4，3，2 B. 4，﹣3，2 C. 4，﹣3，﹣2 D. 4，3，﹣2 2. 下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（　　） A. B. C. D. 3. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴为 B. 顶点坐标为 C. 函数的最大值是－3 D. 函数的最小值是－3 4. 等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A. 或 B. 或 C. D. 5. 已知二次函数的图像上有三点，， ，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 如果关于x的一元二次方程k2x2﹣（2k+1）x+1＝0有两个实数根，那么k的取值范围是（ ） A. k＞﹣ B. k＞﹣且k≠0 C. ﹣且k≠0 D. k且k≠0 7. 将抛物线向左平移3个单位长度，向下平移4个单位长度，得到的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 8. 某社区为改善环境，决定加大绿化投入．四月份绿化投入25万元，六月份绿化投入48万元，设平均每月绿化投入的增长率为，根据题意，可列得方程为（ ） A. B. C. D. 9. 在同一平面直角坐标系内，二次函数与一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移得到抛物线，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为 A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若关于x的一元二次方程有一个根为0，则m的值为_________． 12. 方程的解是______． 13. 二次函数图象的顶点坐标是_______． 14. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x人，可列得方程_____________． 15. 如图所示，已知二次函数的图象对称轴是直线：，下列结论：①；②；③；④；⑤（）；其中，正确的结论有_________．（写出序号即可） 三、解答题（本大题共8道小题，共75分） 16. 解方程． （1） （2） 17. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若，且该方程的两个实数根的差为，求的值． 18. 已知二次函数． （1）用列表描点法，在如图所示的坐标系中画出这个二次函数的图象； （2）根据图象写出当y为正数时x的取值范围为_______． （3）当时，y的取值范围为_______． 19. 某商店以20元的单价购进一批商品，经调查发现，在一段时间内，销售量与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，对应数值如表所示． 销售单价（元） 25 35 销售量 50 30 （1）求y与x之间的函数关系式； （2）现要求尽快销售完该商品，并使销售利润达到400元，求销售单价应定为每千克多少元？ 20. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的函数关系式； (2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标； 21. 泾阳茯茶是中国传统的黑茶之一，具有消食健胃、降脂减肥、补充维生素和矿物质等功效． （1）如图，某茶庄种植茯茶，由于规模不断扩大，现计划开阔一块面积为平方米的长方形采茶基地，已知该采茶基地的长比宽多米，求采茶基地的长和宽； （2）如图，该茶庄开设了一片观光园区，园区内原有一块长方形空地，该空地与（）中的采茶基地大小、形状均相同，后计划在此区域栽种鲜花（阴影部分）并铺设如图所示的宽度相同的小路（空白部分）供游客观光，若鲜花的种植面积为平方米，求小路的宽度． 22. 学习完二次函数的性质后，某兴趣小组以一组习题为依托，开展了进一步的研究，以下是他们的研究过程． ①，②，③． 【任务一】研究增减性 （1）当时， 随的增大而增大的是 ；（填序号） 【任务二】研究对称性 （2）函数 的对称轴是 ； 【任务三】研究最值 （3）当取何值时，函数 有最小值，并写出最小值； 【任务四】研究复杂问题的最值 （4） 若 ，求的最小值． 23. 如图1，斜坡与水平面夹角．为了对这个斜坡上的绿地进行喷灌，在斜坡底端安装了一个喷头A，喷头A喷出的水柱在空中走过的曲线可以看成抛物线的一部分．如图2，当水柱与A水平距离为4米时，达到最高点D，D与水平线的距离为4米． （1）在图2中建立平面直角坐标系，求水柱所在的抛物线的解析式（不需要写出自变量取值的范围）； （2）若斜坡上有一棵高2.5米的树，它与喷头A的水平距离为2米，通过计算判断从A喷出的水柱能否越过这棵树． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－－2026学年度上期九年级适应性测试（一）数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 方程4x2﹣3x﹣2＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A. 4，3，2 B. 4，﹣3，2 C. 4，﹣3，﹣2 D. 4，3，﹣2 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程找出二次项的系数，一次项系数及常数项即可． 【详解】解：方程4x2﹣3x﹣2=0中二次项系数、一次项系数、常数项分别是4，﹣3，﹣2， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 2. 下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的识别，根据二次函数的一般形式：形如（a，b，c为常数且），逐一判断即可解答． 【详解】解：A、，是二次函数，故A不符合题意； B、，不是二次函数，故B不符合题意； C、，是一次函数，故C不符合题意； D、，是二次函数，故D符合题意； 故选：D． 3. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴为 B. 顶点坐标为 C. 函数的最大值是－3 D. 函数的最小值是－3 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的图象及性质进行判断即可． 【详解】二次函数的对称轴为，顶点坐标为 ∵ ∴二次函数图象开口向下，函数有最大值，为 ∴A、B、D选项错误，C选项正确 故选：C 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键． 4. 等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得，，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为，腰长为，进而即可求出三角形的周长，掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：由方程得，，， ∵， ∴等腰三角形的底边长为，腰长为， ∴这个三角形的周长为， 故选：． 5. 已知二次函数的图像上有三点，， ，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键掌握二次函数图象的性质． 先求出抛物线的对称轴，再由对称性得C点关于对称轴的对称点的坐标，再根据抛物线开口向下，在对称轴右边，y随x的增大而增大，便可得出、、的大小关系. 【详解】解：， 对称轴为， 点关于的对称点时， ， 在的右边y随x的增大而增加， ，，， ， ∴． 故选：C． 6. 如果关于x的一元二次方程k2x2﹣（2k+1）x+1＝0有两个实数根，那么k的取值范围是（ ） A. k＞﹣ B. k＞﹣且k≠0 C. ﹣且k≠0 D. k且k≠0 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义得出k2≠0，且△=b2-4ac≥0，建立关于k的不等式组，求出k的取值范围即可． 【详解】解：由题意知，k2≠0，且△=b2-4ac=（2k+1）2-4k2=4k+1≥0． 解得k≥-且k≠0． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义． 7. 将抛物线向左平移3个单位长度，向下平移4个单位长度，得到的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，熟练掌握平移规律“左加右减括号内，上加下减括号外”是解题的关键． 根据“左加右减括号内，上加下减括号外”的规律平移求解即可． 【详解】解：将抛物线向左平移3个单位长度，向下平移4个单位长度，得到的抛物线解析式为． 故选B． 8. 某社区为改善环境，决定加大绿化投入．四月份绿化投入25万元，六月份绿化投入48万元，设平均每月绿化投入的增长率为，根据题意，可列得方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及连续增长问题．四月份到六月份间隔两个月，每月增长率为x，六月份的投入为四月份投入连续两次增长后的结果．根据题意列出方程即可． 【详解】解：四月份投入25万元，每月增长率为x，则五月份投入为万元，六月份在五月份基础上再增长，投入为万元， 根据题意，六月份投入48万元，因此方程为， 故选：C． 9. 在同一平面直角坐标系内，二次函数与一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数和二次函数的图象和性质，分别判断a，b的符号，利用排除法即可解答． 【详解】解：A、由一次函数图象可知，a＞0，b＞0，由二次函数图象可知，a＞0，b＜0，不符合题意； B、由一次函数图象可知，a＞0，b＜0，由二次函数图象可知，a＜0，b＜0，不符合题意； C、由一次函数图象可知，a＞0，b＜0，由二次函数图象可知，a＞0，b＜0，符合题意； D、由一次函数图象可知，a＜0，b=0，由二次函数图象可知，a＞0，b＜0，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的图象和一次函数的图象，解题的关键是明确一次函数和二次函数的性质． 10. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移得到抛物线，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为 A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【详解】解：过点C作CA⊥y轴于点A， 根据抛物线的对称性得：OBD的面积等于CAO的面积， ∴阴影部分的面积等于矩形ACBO的面积． ∵， ∴顶点坐标为C（2，－2）． ∴对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为：2×2=4． 故选B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若关于x的一元二次方程有一个根为0，则m的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义及方程的解的定义，将代入方程求出，再根据一元二次方程的定义求出，由此得到答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为0， ∴将代入，得， 解得， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 方程的解是______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 先移项，再分解因式，即可得解． 【详解】解：， 移项，得：， 分解因式，得：， 或， 解得：，， 故答案为：，． 13. 二次函数图象的顶点坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，将题目中二次函数的解析式化为顶点式即可解答本题． 【详解】解： ∴该函数的顶点坐标是， 故答案为：． 14. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x人，可列得方程_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的运用，根据题意，设每轮传染中平均一人传染人，由此列方程即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一人传染人， 根据题意得，， 整理得得，． 故答案为：． 15. 如图所示，已知二次函数的图象对称轴是直线：，下列结论：①；②；③；④；⑤（）；其中，正确的结论有_________．（写出序号即可） 【答案】③⑤##⑤③ 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数的图象与性质，解答此题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 根据抛物线的开口向下，对称轴及与y轴交点位置判断出，，，可判断①；根据对称轴为直线可判断②；由抛物线的对称性以及图象可判断③；由对称轴为及时的函数值可判断④；由于抛物线的顶点坐标及时的函数值可判断⑤，进而可得答案． 【详解】解：由抛物线的开口向下，得， 由抛物线的对称轴是直线，得、异号，所以， 由抛物线与轴的交点在轴的正半轴，得， 所以，故①不正确； 由抛物线的对称轴是直线， 所以，即，故②错误； 由抛物线的对称性以及图象可知， 与对应的函数值相同，都等于c，又， 当时，，因此③正确； 由图象可知，当时，， 因为， 所以，即，故④不正确； 由于抛物线的顶点坐标为，即时，的值最大，即最大， 当时，， 即，故⑤正确； 综上所述，正确的结论有：③⑤， 故答案为：③⑤． 三、解答题（本大题共8道小题，共75分） 16. 解方程． （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解答本题的关键． （1）方程运用公式法求解即可； （2）方程运用配方法求解即可． 【小问1详解】 解： 这里， ， ∴， ∴， 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ∴，． 17. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若，且该方程的两个实数根的差为，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴该方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】（）根据一元二次方程根的判别式进行证明即可； （）解方程得，，由方程的两个实数根的差为，得，据此即可求解； 本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式，解一元二次方程的一般方法是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， ∴，， ∵， ∴， ∵该方程的两个实数根的差为， ∴， 解得． 18. 已知二次函数． （1）用列表描点法，在如图所示的坐标系中画出这个二次函数的图象； （2）根据图象写出当y为正数时x的取值范围为_______． （3）当时，y的取值范围为_______． 【答案】（1）画出函数图象，如图：     （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．正确画出二次函数的图象，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）求出表格中的函数值，利用描点法画出函数图象即可； （2）结合图象，找到时，的取值范围即可； （3）图象法，确定函数的最大值和最小值即可得解． 【小问1详解】 解：∵， 列表如下： x … 0 1 2 3 … y … 0 3 4 3 0 … 【小问2详解】解：由图象可知：当为正数时，； 故答案为：； 【小问3详解】 解：由图象，可知：当时，函数值先增大后减小，抛物线关于直线对称， ∴和时的函数值相同，为最小值，， 当时，有最大值为：， ∴； 故答案为：． 19. 某商店以20元的单价购进一批商品，经调查发现，在一段时间内，销售量与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，对应数值如表所示． 销售单价（元） 25 35 销售量 50 30 （1）求y与x之间的函数关系式； （2）现要求尽快销售完该商品，并使销售利润达到400元，求销售单价应定为每千克多少元？ 【答案】（1） （2）每千克30元 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一元二次方程的应用. （1）设，把，，代入计算即可； （2）根据题意列出一元二次方程求解即可. 【小问1详解】 解：设， 把，，代入得， 解得， ； 【小问2详解】 解：根据题意， 得， 整理，得， 解得，， ，随的增大而减小，要尽快销售完，即销售量要大， 销售单价要小， ． 销售单价应定为每千克30元． 20. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的函数关系式； (2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标； 【答案】（1）抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3；(2) P点的坐标为（1,2）. 【解析】 【分析】（1）根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可； （2）根据AC是定值，得到当PA+PC最小时，△PAC的周长最小，A点关于直线L的对称点为点B，连接BC交直线L与点P即可得. 【详解】解：（1）将三点坐标分别代入解析式，解方程组得：a=-1 b=2 c=3， ∴抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3； (2) ∵AC长为定值，∴当PA+PC值为最小时，△PAC的周长最小. A点关于直线L的对称点为点B，连接BC交直线L与点P，P点的横坐标为1， 直线BC的解析式为：y=-x+3 ∴当x=1时，y=2，∴P点的坐标为（1,2）. 【点睛】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及有关最值问题，能正确地分析图形，连接BC是解决问题的关键. 21. 泾阳茯茶是中国传统的黑茶之一，具有消食健胃、降脂减肥、补充维生素和矿物质等功效． （1）如图，某茶庄种植茯茶，由于规模不断扩大，现计划开阔一块面积为平方米的长方形采茶基地，已知该采茶基地的长比宽多米，求采茶基地的长和宽； （2）如图，该茶庄开设了一片观光园区，园区内原有一块长方形空地，该空地与（）中的采茶基地大小、形状均相同，后计划在此区域栽种鲜花（阴影部分）并铺设如图所示的宽度相同的小路（空白部分）供游客观光，若鲜花的种植面积为平方米，求小路的宽度． 【答案】（1）采茶基地的长为米，宽为米； （2）小路的宽度为米． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． （）设采茶基地的宽为米，则长为米，根据面积为平方米列方程，然后解方程并检验即可； （）设小路的宽度为米，根据鲜花的种植面积为平方米列出方程，然后解方程并检验即可． 【小问1详解】 解：设采茶基地的宽为米，则长为米， 根据题意得：，整理得：， 解得：，（不合题意，舍去） 答：采茶基地的长为米，宽为米； 【小问2详解】 解：由（）得采茶基地的长为米，采茶基地的宽为米，设小路的宽度为米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去） 答：小路的宽度为米． 22. 学习完二次函数的性质后，某兴趣小组以一组习题为依托，开展了进一步的研究，以下是他们的研究过程． ①，②，③． 【任务一】研究增减性 （1）当时， 随的增大而增大的是 ；（填序号） 【任务二】研究对称性 （2）函数 的对称轴是 ； 【任务三】研究最值 （3）当取何值时，函数 有最小值，并写出最小值； 【任务四】研究复杂问题的最值 （4） 若 ，求的最小值． 【答案】（1）①③；（2）直线；（3）时，最小值为；（4） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质， （1）分别求出每一个函数的对称轴，再结合函数的性质确定即可； （2）根据二次函数的性质，直接求对称轴即可； （3）将代入函数的解析式，即可求最小值； （4）先求出，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：（1）①的对称轴为直线，开口向上，当时，值随的增大而增大； ②的对称轴为直线，开口向上，当时，值随的增大而增大； ③的对称轴为直线，开口向上，当时，值随的增大而增大； 故答案为：①③． （2）函数 的对称轴是直线； 故答案为：直线． （3）当时，函数 有最小值 （4）∵，，． ∴ ∴当时，的最小值为． 23. 如图1，斜坡与水平面夹角．为了对这个斜坡上的绿地进行喷灌，在斜坡底端安装了一个喷头A，喷头A喷出的水柱在空中走过的曲线可以看成抛物线的一部分．如图2，当水柱与A水平距离为4米时，达到最高点D，D与水平线的距离为4米． （1）在图2中建立平面直角坐标系，求水柱所在的抛物线的解析式（不需要写出自变量取值的范围）； （2）若斜坡上有一棵高2.5米的树，它与喷头A的水平距离为2米，通过计算判断从A喷出的水柱能否越过这棵树． 【答案】（1）； （2）不能． 【解析】 【分析】（1）如图建立平面直角坐标系，首先找出抛物线的顶点坐标，设抛物线解析式为顶点式，再将点A坐标代入即可得解； （2）根据题意，求出树的顶端点的纵坐标，然后求当时，抛物线线上点的纵坐标，然后比较两个纵坐标的大小即可得解． 【小问1详解】 解：以点A坐标原点，以所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图3， 依题，，最高点即抛物线的顶点， 设此抛物线的解析式为：， 将代入上式，得， ， 抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：斜坡上有一棵高2.5米的树，它与喷头A的水平距离为2米，如图4， ， 在中，， 设，则 ， ， ， 又当时， 故从A喷出的水柱不能越过这棵树． 【点睛】此题是二次函数的实际应用题，主要考查了待定系数法求抛物线的解析式、直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握待定系数法、勾股定理、二次函数的图像与性质是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $