第09讲 函数的对称性和周期性的综合应用 讲义-2026届高三数学一轮复习

2026高考数学一轮专题讲义与课时精练 第09讲 函数的对称性和周期性的综合应用 【基础回顾】 知识点1．奇函数、偶函数的对称性 （1）奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称． （2）若f(x＋a)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为x＝a； （3）若f(x＋a)是奇函数，则函数f(x)图象的对称中心为(a,0)． 知识点2．任意函数的对称 若函数y＝f(x)满足f(－x)＝f(2a＋x)，则函数的图象关于直线x＝a对称； 若函数y＝f(x)满足f(2a－x)+f(x)=2b，则函数的图象关于点(,b)对称． 知识点3．两个函数图象的对称 (1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称； (2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于x轴对称； (3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称． (4)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(,b)对称． 知识点4.函数的周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． (3)常见周期：f(x＋A)＝-f(x)，T=2|A| f(x＋A)+f(x)=B，T=2|A| f(x＋A)f(x)=B，T=2|A| f(x＋1)=f(x)+f(x+2)，则T=6 知识点5.函数的周期性和对称性的关系 （1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； （2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； （3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且. 题型一 函数的对称性及应用 一．对称性的表述 1.轴对称： 验证是否对某常数a恒成立． 2.中心对称： 验证是否对某常数a,b恒成立． 若为多项式函数，观察是否满足（整理后各项系数为0）． 特别的对称： 二次函数：关于对称． 三次函数：关于点中心对称 二．对称性的证明： 1.利用对称性建立等式： 若关于对称，则，代入已知点求未知值． 若关于对称，f(x)=2b-f(2a-x)，用于递推或构造方程． 2.对称变换法： 若关于对称，则（g为偶函数）． 若关于对称，则f(x)=b+h(x-a)（h为奇函数）． 【例题精讲】 1.已知函数，，，则 ． 2.已知函数的定义域为R，若为奇函数，且直线与的图象恰有5个公共点，，，，，则 . 3.已知所有的三次函数的图象都有对称中心，，若函数，则 . 4.若函数的图象与函数的图象关于直线对称，则 ． 5.已知，函数对任意有成立，与的图象有个交点为，…，，则（ ） A． B． C． D． 题型二 函数的周期性的应用 【例题精讲】 1．若函数f（x）满足f（x+1）＝﹣f（x）．且当，则f（4）＝（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1 2．已知偶函数f（x）的定义域为R，f（x）+f（3﹣x）＝0，且当时，，则f（2025）＝（　　） A． B．﹣1 C．1 D． 3．设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，当2≤x≤3时，f（x）＝5﹣2x，则（　　） A． B． C． D． （多选）4．已知函数f（x）定义域为R，其导函数为g（x），且f（2﹣x）+f（x）＝2，g（3﹣2x）+g（1+2x）＝1，则下列说法正确的是（　　） A．f（x）一个对称中心为（1，1） B．g（x）的一个周期为2 C．g（x）的图象关于x＝5对称 D． （多选）5．已知非常数函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（0）＝0，f（2x﹣1）＝f（x），则（　　） A．f（1）＝0 B．2是f（x）的一个周期 C．当且仅当x∈Z时，f（x）＝0 D．f（x）不存在最小正周期 题型三 对称性与奇偶性、周期性的综合应用 知识点1.对称性与周期性的关系： 若函数有两条对称轴和（），则周期． 若函数有一个对称中心和一条对称轴（），则周期． 若函数有两个对称中心和（），则周期． 知识点2.奇偶性与对称性的结合： 奇函数+关于对称周期． 偶函数+关于对称周期． 【例题精讲】 1．已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（x）＝f（2﹣x），若f（1）＝1，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+…+f（2025）＝（　　） A．1 B．0 C．1013 D．2025 2．设定义在R上的奇函数f（x）的导函数为f′（x），且对任意的x∈R，f′（x+4）＝﹣f′（x），f（1）＝2，则f（2027）的值为（　　） A．﹣2 B．0 C．2 D．2026 3．已知函数f（x）的定义域为R，其图象关于直线x＝﹣3对称且f（x+3）＝f（x﹣3），当x∈[0，3]时，f（x）＝2x+2x﹣11，则下列说法不正确的是（　　） A．函数f（x）为偶函数 B．函数f（x）在[﹣6，﹣3]上单调递增 C．函数f（x）的图象关于直线x＝3对称 D．f（2026）＝﹣7 （多选）4．已知定义在R上的函数f（x），g（x）满足f（x+4）＝﹣f（x），g（x）＝f（3x+2），g（﹣x）＝g（x），，则下列结论一定正确的是（　　） A．f（﹣x）＝﹣f（x） B．f（2024）＝2 C．f（2﹣x）＝f（x） D． （多选）5．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（x+1）是偶函数，当x∈（0，1]时，，则下列说法中正确的有（　　） A．x∈[1，2）时， B．函数f（x）的最小正周期是4 C． D．方程f（x）＝lg|x|恰有10个不同的实数根 课时精练 一．选择题（共8小题） 1．已知函数f（x）满足f（x+2）关于直线x＝﹣2对称，且f（x+2），当2≤x≤3时，f（x）＝log2（x），则f（）的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 2．已知函数f（x）的定义域为R，f（x+1）为奇函数，且对∀x∈R，f（x+4）＝f（﹣x）恒成立．则以下结论： ①f（x）为奇函数； ②f（3）＝0； ③； ④f（2023）＝0． 其中正确的为（　　） A．①②④ B．②③ C．②③④ D．①③④ 3．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x﹣1）+f（x+1）＝0，且当x∈[0，2）时，f（x）＝log2（x+1），则3f（2023）﹣2f（2022）的值为（　　） A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3 4．已知函数f（x）满足：∀x∈R，f（x﹣1）+6≥f（x+5），f（x+1）﹣3≥f（x﹣2），若f（3）＝1，则f（2025）＝（　　） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 5．已知函数f（x）的定义域为R，且f（x+y）+f（x﹣y）＝f（x）f（y），f（1）＝1，则f（k）＝（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．1 6．已知函数f（x）满足f（x﹣1）+f（x+1）＝2，且f（﹣1）＝1，则f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（9）的值为（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 7．已知函数f（x），g（x）的定义域均为R，且f（x）+g（2﹣x）＝5，g（x）﹣f（x﹣4）＝7．若y＝g（x）的图像关于直线x＝2对称，g（2）＝4，则f（k）＝（　　） A．﹣21 B．﹣22 C．﹣23 D．﹣24 8．已知定义域均为R的函数f（x），g（x）满足f（2﹣x）+f（x）＝2，g（4﹣x）＝g（x），g（2）＝3，若f（x）＝g（2+x）+4，则下列说法错误的是（　　） A．f（x）的图象关于y轴对称 B．﹣8为f（x）的一个周期 C．f（2023）＝﹣1 D．f（k）＝16 二．多选题（共3小题） （多选）9．已知定义域为R的偶函数f（x）满足f（x+2）＝﹣f（﹣x），当x∈（1，2]时f（x）＝2x﹣2，则下列结论正确的有（　　） A．f（﹣1）＝0 B．f（x）的图象关于点（3，0）成中心对称 C．f（2024）＞f（2025） D． （多选）10．已知函数f（x）与g（x）及其导函数f′（x）与g′（x）的定义域均为R．若f（x）为奇函数，f（x）+g（2﹣x）＝2，f′（x）+g′（x+1）＝2，则（　　） A．g（﹣2）+g（6）＝4 B．f′（0）＝0 C．曲线y＝f′（x）关于点中心对称 D． （多选）11．定义在区间[0，2]上的函数f（x）满足下列条件： （i）f（1）＝2，对于任意的x∈[0，2]，有f（x）≥1，且f（x）＝f（2﹣x）； （ii）对于任意的x∈[1，2]，当x+y≥3时，f（x）+f（y）≤f（x+y﹣2）+1成立． 则下列说法正确的是（　　） A．f（2）≥5 B．x∈[﹣2，0]时，恒有f（x+2）＝f（﹣x） C．f（x）在[0，1]上非减且 D．当x∈[1，2]，f（x）≤5﹣2x 三．填空题（共3小题） 12．已知定义在R上的函数f（x）满足f（2x+3）为偶函数，同时f（x+3）+f（5﹣x）＝0，且f（3）＝1，则（i）＝ 　 　 ． 13．偶函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），且x∈[﹣1，1]时，，则f（2022）＝　 　 ． 14．已知函数f（x）满足：f（a+b）＝f（a）•f（b），f（1）＝2，则　 　 ． 四．解答题（共5小题） 15．定义在（﹣2，2）上的函数f（x）满足对任意的x，y∈（﹣2，2），都有f（x）+f（y）＝f（x+y），且当x∈（0，2）时，f（x）＞0． （1）证明：函数f（x）是奇函数； （2）证明：f（x）在（﹣2，2）上是增函数； （3）若f（﹣1）＝﹣2，f（x）≤t2+at﹣1对任意x∈[﹣1，1]，a∈[﹣2，2]恒成立，求实数t的取值范围． 16．已知定义域为I＝（﹣∞，0）∪（0，+∞）的函数f（x）满足对任意x1，x2∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），都有f（x1x2）＝x1f（x2）+x2f（x1）． （1）求证：f（x）是奇函数； （2）设g（x），且x＞1时g（x）＜0， ①求证：g（x）在（0，+∞）上是减函数； ②求不等式g（2x﹣1）＞g（3x）的解集． 17．函数f（x）满足对任意x∈R，都有f（x+2）＝f（﹣x+2），且f（x）的图象关于直线x＝1对称，当x∈[2，3）时，f（x）＝2（x﹣2）3，且函数y＝f（x）﹣|logax|恰有2025个零点． （1）证明：函数f（x）为周期函数； （2）求整数a的值． 18．已知定义在R上的函数f（x）满足：对任意x，y∈R都有f（x+y）＝f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞0． （1）求f（0）的值，并证明f（x）为奇函数； （2）判断函数f（x）的单调性，并证明； （3）若f（k•2x）+f（4x+1﹣8x﹣2x）＞0对任意x∈[﹣1，2]恒成立，求实数k的取值范围． 19．定义在R上的函数f（x）满足，且{f（x）|x＞0}＝（2，+∞）． （1）求f（0）； （2）证明：f（x）＞0； （3）若对任意的x∈R，f（x）+λf（﹣x）≥4恒成立，求实数λ的取值范围． 第7页（共7页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026高考数学一轮专题讲义与课时精练 第09讲 函数的对称性和周期性的综合应用 【基础回顾】 知识点1．奇函数、偶函数的对称性 （1）奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称． （2）若f(x＋a)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为x＝a； （3）若f(x＋a)是奇函数，则函数f(x)图象的对称中心为(a,0)． 知识点2．任意函数的对称 若函数y＝f(x)满足f(－x)＝f(2a＋x)，则函数的图象关于直线x＝a对称； 若函数y＝f(x)满足f(2a－x)+f(x)=2b，则函数的图象关于点(,b)对称． 知识点3．两个函数图象的对称 (1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称； (2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于x轴对称； (3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称． (4)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(,b)对称． 知识点4.函数的周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． (3)常见周期：f(x＋A)＝-f(x)，T=2|A| f(x＋A)+f(x)=B，T=2|A| f(x＋A)f(x)=B，T=2|A| f(x＋1)=f(x)+f(x+2)，则T=6 知识点5.函数的周期性和对称性的关系 （1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； （2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； （3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且. 题型一 函数的对称性及应用 一．对称性的表述 1.轴对称： 验证是否对某常数a恒成立． 2.中心对称： 验证是否对某常数a,b恒成立． 若为多项式函数，观察是否满足（整理后各项系数为0）． 特别的对称： 二次函数：关于对称． 三次函数：关于点中心对称 二．对称性的证明： 1.利用对称性建立等式： 若关于对称，则，代入已知点求未知值． 若关于对称，f(x)=2b-f(2a-x)，用于递推或构造方程． 2.对称变换法： 若关于对称，则（g为偶函数）． 若关于对称，则f(x)=b+h(x-a)（h为奇函数）． 【例题精讲】 1.已知函数，，，则 ． 答案： 解：设函数图象的对称中心为，则有， 即， 整理得，比较系数可得， 因此函数图象的对称中心为，又，，且， 则点关于对称，所以. 故答案为：6 2.已知函数的定义域为R，若为奇函数，且直线与的图象恰有5个公共点，，，，，则 . 答案： 解答：为奇函数，则有， 即，可得， ，所以函数的图象关于点对称. 直线，即， 由，解得，所以直线过定点， 即直线关于点对称. 直线与的图象恰有5个公共点，，，，， 则有，，. 故答案为： 3.已知所有的三次函数的图象都有对称中心，，若函数，则 . 答案：8090 解：， 则， 即函数的图象的对称中心为， 则， 故 . 故答案为：8090. 4.若函数的图象与函数的图象关于直线对称，则 ． 答案： 解答：由于，解得，故它的反函数为. 再由函数的图像与的图像关于直线对称， 可得是函数的反函数，故， 所以． 故答案为． 5.已知，函数对任意有成立，与的图象有个交点为，…，，则（ ） A． B． C． D． 答案：D 解答：化简，所以的图象关于 对称， 由可得， 可得 的图象也关于对称， 因此与的图象的个交点为，…，， 也关于对称，所以，，设， 则，两式相加可， 同理可得 ， . 故选：D. 题型二 函数的周期性的应用 【例题精讲】 1．若函数f（x）满足f（x+1）＝﹣f（x）．且当，则f（4）＝（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1 【答案】C 【解答】解：因为f（x+1）＝﹣f（x）， 所以f（x+1）+f（x）＝0，所以f（x+2）+f（x+1）＝0， 所以f（x+2）＝f（x），所以f（x）的一个周期为2， 所以f（4）＝f（2）， 又， 所以，则f（4）＝﹣1． 故选：C． 2．已知偶函数f（x）的定义域为R，f（x）+f（3﹣x）＝0，且当时，，则f（2025）＝（　　） A． B．﹣1 C．1 D． 【答案】D 【解答】解：已知偶函数f（x）的定义域为R，f（x）+f（3﹣x）＝0， 则f（3﹣x）＝﹣f（x）＝﹣f（﹣x）， 所以f（3+x）＝﹣f（x）， 所以f（6+x）＝﹣f（3+x）＝f（x）， 所以f（x）是周期为6的周期函数， 当时，， 所以f（2025）＝f（337×6+3）＝f（3）＝﹣f（0）． 故选：D． 3．设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，当2≤x≤3时，f（x）＝5﹣2x，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：根据题意，当2≤x≤3时，f（x）＝5﹣2x， 又由函数f（x）是定义在R上且周期为2的函数， 故． 故选：A． （多选）4．已知函数f（x）定义域为R，其导函数为g（x），且f（2﹣x）+f（x）＝2，g（3﹣2x）+g（1+2x）＝1，则下列说法正确的是（　　） A．f（x）一个对称中心为（1，1） B．g（x）的一个周期为2 C．g（x）的图象关于x＝5对称 D． 【答案】ACD 【解答】解：对于A，由f（x）满足f（2﹣x）+f（x）＝2， 则f（x）关于（1，1）中心对称，故A正确； 对于B，由f（2﹣x）+f（x）＝2， 两边求导可得﹣f′（2﹣x）+f′（x）＝0， 即g（x）＝g（2﹣x）， 所以g（x）的图象关于x＝1对称， 又g（3﹣2x）+g（1+2x）＝1， 即为g（3﹣x）+g（1+x）＝1， 用x+1替换其中的x， 得g（2﹣x）+g（x+2）＝1， 又g（x）＝g（2﹣x）， 所以g（x）+g（x+2）＝1， 用x+2替换其中的x， 所以g（x+4）+g（x+2）＝1， 所以g（x+4）＝g（x）， 即g（x）的一个周期为4，故B错误； 对于C，因为g（x）的图象关于x＝1对称，周期为4， 所以g（x）的图象关于x＝5对称，故C正确； 对于D，将x＝0代入g（3﹣2x）+g（1+2x）＝1， 可得g（3）+g（1）＝1， 将x＝0代入g（x）＝g（2﹣x）， 得g（4）＝g（0）＝g（2）， 又g（x）+g（x+2）＝1， 所以， 所以g（2）+g（4）＝1， 所以g（1）+g（2）+g（3）+g（4）＝2， 又2031＝4×507+3， 所以507[g（1）+g（2）+g（3）+g（4）]+g（1）+g（2）+g（3） ＝507×2+g（1）+g（2）+g（3） ，故D正确． 故选：ACD． （多选）5．已知非常数函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（0）＝0，f（2x﹣1）＝f（x），则（　　） A．f（1）＝0 B．2是f（x）的一个周期 C．当且仅当x∈Z时，f（x）＝0 D．f（x）不存在最小正周期 【答案】ABD 【解答】解：对于A，由f（2x﹣1）＝f（x），令x＝0，得f（﹣1）＝f（0）， 又f（x）是定义在R上的偶函数，且f（0）＝0， 则f（1）＝f（﹣1）＝f（0）＝0，故A正确； 对于B，由f（2x﹣1）＝f（x）， 令2x＝t，有， 由f（2x﹣1）＝f（x），令2x＝﹣t，有， 又f（x）是定义在R上的偶函数，， 则有f（t﹣1）＝f（﹣t﹣1）， 所以函数f（x）的图象关于直线x＝﹣1对称， 即有f（﹣x）＝f（x﹣2）， 又f（x）是定义在R上的偶函数， 则f（﹣x）＝f（x）＝f（x﹣2）， 故f（x+2）＝f（x）， 所以2是f（x）的一个周期，故B正确； 对于C，由f（2x﹣1）＝f（x）， 令，得，故C错误； 对于D，若T是f（x）的一个周期， 则f（x+T）＝f（x）， 又因为f（x）＝f（2x﹣1）， 所以f（x+T）， 则也是f（x）的一个周期， 结合B选项可知，，…，都是f（x）的周期， 所以f（x）不存在最小正周期，故D正确． 故选：ABD． 题型三 对称性与奇偶性、周期性的综合应用 知识点1.对称性与周期性的关系： 若函数有两条对称轴和（），则周期． 若函数有一个对称中心和一条对称轴（），则周期． 若函数有两个对称中心和（），则周期． 知识点2.奇偶性与对称性的结合： 奇函数+关于对称周期． 偶函数+关于对称周期． 【例题精讲】 1．已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（x）＝f（2﹣x），若f（1）＝1，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+…+f（2025）＝（　　） A．1 B．0 C．1013 D．2025 【答案】A 【解答】解：因为f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，且满足f（x）＝f（2﹣x）， 所以f（x）＝f（2﹣x）＝﹣f（x+2）， 所以f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x）， 即函数的最小正周期为4， 又f（1）＝1，f（0）＝0， 所以f（2）＝f（2﹣2）＝f（0）＝0，f（4）＝f（0）＝0， f（3）＝f（2﹣（﹣1））＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣1， 所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝0， 所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+…+f（2025） ＝506[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（2025） ＝f（2025） ＝f（506×4+1）＝f（1）＝1． 故选：A． 2．设定义在R上的奇函数f（x）的导函数为f′（x），且对任意的x∈R，f′（x+4）＝﹣f′（x），f（1）＝2，则f（2027）的值为（　　） A．﹣2 B．0 C．2 D．2026 【答案】C 【解答】解：令函数h（x）＝f（x+4）+f（x）（x∈R），可得导函数h′（x）＝f′（x+4）+f′（x）， 由于f′（x+4）＝﹣f′（x），因此h′（x）＝0，因此h（x）＝c（c∈R）， 当x＝﹣2时，可得h（﹣2）＝f（﹣2）+f（2）＝0，因此c＝0， 因此f（x+4）＝﹣f（x），因此f（x+8）＝﹣f（x+4）＝f（x），即函数f（x）的一个周期为8， 所以f（2027）＝f（225×3+3）＝f（3）， 又由于f（x）为奇函数，可得f（x+4）＝﹣f（x）＝f（﹣x）， 因此函数f（x）的图象关于x＝2轴对称，因此f（3）＝f（1）＝2． 故选：C． 3．已知函数f（x）的定义域为R，其图象关于直线x＝﹣3对称且f（x+3）＝f（x﹣3），当x∈[0，3]时，f（x）＝2x+2x﹣11，则下列说法不正确的是（　　） A．函数f（x）为偶函数 B．函数f（x）在[﹣6，﹣3]上单调递增 C．函数f（x）的图象关于直线x＝3对称 D．f（2026）＝﹣7 【答案】D 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，因为函数f（x）的定义域为R，其函数图象关于直线x＝﹣3对称，所以f（x﹣3）＝f（﹣x﹣3）， 又f（x+3）＝f（x﹣3），所以f（x+3）＝f（﹣x﹣3），变形可得f（x）＝f（﹣x），即该函数为偶函数，故A正确； 对于B，因为f（x+3）＝f（x﹣3），变形可得f（x+6）＝f（x），所以函数f（x）是以6为一个周期的函数， 当x∈[﹣6，﹣3]时，x+6∈[0，3]，因为当x∈[0，3]时，f（x）＝2x+2x﹣11， 易得此时函数f（x）在[0，3]上单调递增，因6是函数f（x）的一个周期， 故函数f（x）在[﹣6，﹣3]上也单调递增，故B正确； 对于C，因为函数f（x）的图象关于直线x＝﹣3对称， 所以f（x﹣3）＝f（﹣x﹣3），又函数f（x）是偶函数，所以f（x）＝f（﹣x）， 则f（x﹣3）＝f[﹣（x﹣3）]＝f（3﹣x），而f（﹣x﹣3）＝f[﹣（﹣x﹣3）]＝f（x+3）， 故f（x+3）＝f（﹣x+3），即函数f（x）的图象关于直线x＝3对称，故C正确； 对于D，f（2026）＝f（337×6+4）＝f（4）＝f（﹣4）＝f（﹣4+6）＝f（2）， 又x∈[0，3]时，f（x）＝2x+2x﹣11， 故f（2026）＝f（2）＝22+2×2﹣11＝﹣3，故D错误． 故选：D． （多选）4．已知定义在R上的函数f（x），g（x）满足f（x+4）＝﹣f（x），g（x）＝f（3x+2），g（﹣x）＝g（x），，则下列结论一定正确的是（　　） A．f（﹣x）＝﹣f（x） B．f（2024）＝2 C．f（2﹣x）＝f（x） D． 【答案】AD 【解答】解：因为定义在R上的函数f（x），g（x）满足f（x+4）＝﹣f（x）， g（x）＝f（3x+2），g（﹣x）＝g（x），， 所以f（﹣3x+2）＝f（3x+2），所以f（﹣x+2）＝f（x+2），所以f（﹣x）＝f（x+4）， 又f（x+4）＝﹣f（x），所以f（﹣x）＝﹣f（x），所以A选项正确，C选项错误； 由f（x+4）＝﹣f（x），得f（x+8）＝﹣f（x+4）＝﹣[﹣f（x）]＝f（x）， 所以8为f（x）的一个周期，所以f（2024）＝f（253×8+0）＝f（0）， 在f（﹣x）＝﹣f（x）中，令x＝0，得f（0）＝0，所以f（2024）＝0，所以B选项错误； 由g（﹣x）＝g（x），得，又g（x）＝f（3x+2），所以f（1）＝2，f（3）＝2， 由f（x+4）＝﹣f（x），得f（5）＝﹣2，f（7）＝﹣2，因为f（x+8）＝f（x）， 所以f（1）＝f（9）＝f（17）＝f（25）＝…＝f（193）＝2， f（3）＝f（11）＝f（19）＝f（27）＝…＝f（195）＝2， f（5）＝f（13）＝f（21）＝f（29）＝…＝f（197）＝﹣2， f（7）＝f（15）＝f（23）＝f（31）＝…＝f（199）＝﹣2， 所以﹣f（1）﹣2f（3）﹣3f（5）﹣4f（7）＝8， ﹣5f（9）﹣6f（11）﹣7f（13）﹣8f（15）＝8， ……， 所以﹣97f（193）﹣98f（195）﹣99f（197）﹣100f（199）＝8， 所以，所以D选项正确． 故选：AD． （多选）5．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（x+1）是偶函数，当x∈（0，1]时，，则下列说法中正确的有（　　） A．x∈[1，2）时， B．函数f（x）的最小正周期是4 C． D．方程f（x）＝lg|x|恰有10个不同的实数根 【答案】BCD 【解答】解：因为f（x）为R上的奇函数，故f（﹣x）＝﹣f（x）， 而f（x+1）是偶函数， 故f（x+1）＝f（﹣x+1）＝﹣f（x﹣1）， 所以f（x+2）＝﹣f（x）， 故f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x）， 故f（x）的周期为4，故B正确； 由f（x+1）＝f（﹣x+1），可得f（x）＝f（2﹣x）， 当x∈[1，2）时，2﹣x∈（0，1]， 故f（x）＝f（2﹣x），故A错误； 因为f（x）为R上的奇函数，故f（0）＝0， 而f（1）1， 由f（x+2）＝﹣f（x）， 可得f（2）＝﹣f（0）＝0，f（3）＝﹣f（1）＝﹣1，f（4）＝f（0）＝0， 故f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝0， 故f（i）＝506×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）＝1，故C正确； 当x∈（0，1]，f′（x）0， 故f（x）在（0，1]为单调递增函数， 结合f（x）的周期性和对称性可得函数的图象，如图所示： 而f（x）＝lg|x|的解的个数可以看成y＝f（x），y＝lg|x|两个图象交点的个数， 而lg10＝1，结合图象可得y＝f（x），y＝lg|x|两个图象在y轴右侧交点的个数为5个， 因lg|﹣10|＝1，由图可得两个函数在y轴左侧交点的个数为5个，故共10个交点， 故f（x）＝lg|x|恰有10个不同的解，故D正确． 故选：BCD． 课时精练 一．选择题（共8小题） 1．已知函数f（x）满足f（x+2）关于直线x＝﹣2对称，且f（x+2），当2≤x≤3时，f（x）＝log2（x），则f（）的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【解答】解：根据题意，函数f（x）满足f（x+2）关于直线x＝﹣2对称，则f（x）为偶函数， 函数f（x）满足f（x+2），则有f（x+4）f（x）， 即函数f（x）是周期为4的周期函数， 则f（）＝（28×4）＝f（）＝f（）， 又由当2≤x≤3时，f（x）＝log2（x），则f（）＝log2（）＝3， 故f（）＝3， 故选：B． 2．已知函数f（x）的定义域为R，f（x+1）为奇函数，且对∀x∈R，f（x+4）＝f（﹣x）恒成立．则以下结论： ①f（x）为奇函数； ②f（3）＝0； ③； ④f（2023）＝0． 其中正确的为（　　） A．①②④ B．②③ C．②③④ D．①③④ 【答案】C 【解答】解：因为函数f（x+1）为奇函数，所以f（x）的图象关于点（1，0）对称，即f（1﹣x）＝﹣f（1+x）， 令x＝x﹣1，可得f（2﹣x）＝﹣f（x）， 令x＝﹣x﹣1，可得f（2+x）＝﹣f（﹣x）， 因为对∀x∈R，f（x+4）＝f（﹣x）恒成立， 所以f（2+x）＝f（2﹣x）， 又因为f（2﹣x）＝﹣f（x），f（2+x）＝﹣f（﹣x）， 所以﹣f（x）＝﹣f（﹣x），即f（x）＝f（﹣x），所以函数f（x）为偶函数，故①错误； 因为函数f（x+1）为奇函数，所以f（1）＝0， 因为f（2+x）＝f（2﹣x）， 令x＝1，得f（3）＝f（1）＝0，故②正确； 因为f（2+x）＝f（2﹣x）， 令，得， 因为f（x）的图象关于点（1，0）对称， 所以， 因为，所以，故③正确； 又因为f（x+4）＝f（﹣x）＝f（x），所以函数f（x）为周期函数，周期为4， 所以f（2023）＝f（505×4+3）＝f（3）＝0，故④正确； 综上可知，正确的有：②③④． 故选：C． 3．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x﹣1）+f（x+1）＝0，且当x∈[0，2）时，f（x）＝log2（x+1），则3f（2023）﹣2f（2022）的值为（　　） A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3 【答案】D 【解答】解：∵f（x﹣1）+f（x+1）＝0， ∴f（﹣1）+f（1）＝0，且f（1）＝log2（1+1）＝1， ∴f（﹣1）＝﹣1， ∴f（0）+f（2）＝0，且f（0）＝log2（0+1）＝0， ∴f（2）＝0，又可得f（x）+f（x+2）＝0， ∴f（x+4）＝f（x）， ∴f（x）是周期T＝4的周期函数， ∴f（2023）＝f（﹣1）＝﹣1，f（2022）＝f（2）＝0， ∴3f（2023）﹣2f（2022）＝3×（﹣1）﹣2×0＝﹣3． 故选：D． 4．已知函数f（x）满足：∀x∈R，f（x﹣1）+6≥f（x+5），f（x+1）﹣3≥f（x﹣2），若f（3）＝1，则f（2025）＝（　　） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【答案】D 【解答】解：依题意，得f（x）+6≥f（x+6）， 令x＝﹣3，则f（﹣3）+6≥f（3）＝1⇒f（﹣3）≥﹣5， 又因为f（x+1）﹣3≥f（x﹣2）⇒f（x）﹣3≥f（x﹣3）⇒f（x）≥f（x﹣3）+3， 在f（x）≥f（x﹣3）+3中令x＝0，则f（0）≥f（﹣3）+3⇒f（0）≥﹣2， 在f（x）≥f（x﹣3）+3中令x＝3，则f（3）≥f（0）+3⇒f（0）≤﹣2， 故得f（0）＝﹣2； 又f（2025）＝f（2019+6）≤f（2019）+6≤....≤f（3）+337×6＝2023； 又f（2025）≥f（2025﹣3）+3＝f（2022）+3≥⋯≥f（0）+675×3＝﹣2+2025＝2023， 所以2023≤f（2025）≤2023，即f（2025）＝2023． 故选：D． 5．已知函数f（x）的定义域为R，且f（x+y）+f（x﹣y）＝f（x）f（y），f（1）＝1，则f（k）＝（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．1 【答案】A 【解答】解：令y＝1，则f（x+1）+f（x﹣1）＝f（x），即f（x+1）＝f（x）﹣f（x﹣1）， ∴f（x+2）＝f（x+1）﹣f（x），f（x+3）＝f（x+2）﹣f（x+1）， ∴f（x+3）＝﹣f（x），则f（x+6）＝﹣f（x+3）＝f（x）， ∴f（x）的周期为6， 令x＝1，y＝0得f（1）+f（1）＝f（1）×f（0），解得f（0）＝2， 又f（x+1）＝f（x）﹣f（x﹣1）， ∴f（2）＝f（1）﹣f（0）＝﹣1， f（3）＝f（2）﹣f（1）＝﹣2， f（4）＝f（3）﹣f（2）＝﹣1， f（5）＝f（4）﹣f（3）＝1， f（6）＝f（5）﹣f（4）＝2， ∴， ∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝﹣3． 故选：A． 6．已知函数f（x）满足f（x﹣1）+f（x+1）＝2，且f（﹣1）＝1，则f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（9）的值为（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【解答】解：根据f（x﹣1）+f（x+1）＝2，得f（x﹣3）+f（x﹣1）＝2， 相减得f（x+1）＝f（x﹣3），即f（x+4）＝f（x）， 因此f（x）的周期为4，又因为f（﹣1）＝1，f（﹣1）+f（1）＝2，因此f（1）＝1， 因为f（2）+f（4）＝2，f（1）+f（3）＝2， 所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝4， 所以f（1）+f（2）+⋯+f（9）＝2（f（1）+f（2）+f（3）+f（4））+f（1）＝4×2+1＝9． 故选：B． 7．已知函数f（x），g（x）的定义域均为R，且f（x）+g（2﹣x）＝5，g（x）﹣f（x﹣4）＝7．若y＝g（x）的图像关于直线x＝2对称，g（2）＝4，则f（k）＝（　　） A．﹣21 B．﹣22 C．﹣23 D．﹣24 【答案】D 【解答】解：∵y＝g（x）的图像关于直线x＝2对称，则g（2﹣x）＝g（2+x）， ∵f（x）+g（2﹣x）＝5，∴f（﹣x）+g（2+x）＝5，∴f（﹣x）＝f（x），故f（x）为偶函数， ∵g（2）＝4，f（0）+g（2）＝5，得f（0）＝1．由g（x）﹣f（x﹣4）＝7，得g（2﹣x）＝f（﹣x﹣2）+7，代入f（x）+g（2﹣x）＝5，得f（x）+f（﹣x﹣2）＝﹣2，故f（x）关于点（﹣1，﹣1）中心对称， ∴f（1）＝f（﹣1）＝﹣1，由f（x）+f（﹣x﹣2）＝﹣2，f（﹣x）＝f（x），得f（x）+f（x+2）＝﹣2， ∴f（x+2）+f（x+4）＝﹣2，故f（x+4）＝f（x），f（x）周期为4， 由f（0）+f（2）＝﹣2，得f（2）＝﹣3，又f（3）＝f（﹣1）＝f（1）＝﹣1， 所以f（k）＝6f（1）+6f（2）+5f（3）+5f（4）＝11×（﹣1）+5×1+6×（﹣3）＝﹣24， 故选：D． 8．已知定义域均为R的函数f（x），g（x）满足f（2﹣x）+f（x）＝2，g（4﹣x）＝g（x），g（2）＝3，若f（x）＝g（2+x）+4，则下列说法错误的是（　　） A．f（x）的图象关于y轴对称 B．﹣8为f（x）的一个周期 C．f（2023）＝﹣1 D．f（k）＝16 【答案】C 【解答】解：因为g（4﹣x）＝g（x），g（2）＝3，又f（x）＝g（2+x）+4， 所以f（2﹣x）＝g（4﹣x）+4，f（x﹣2）＝g（x）+4，两式相减可得： f（2﹣x）﹣f（x﹣2）＝0，所以f（2﹣x）＝f（x﹣2）， 所以f（﹣x）＝f（x），所以f（x）的图象关于y轴对称，所以A选项正确； 又f（2﹣x）+f（x）＝2，所以f（2﹣x）+f（﹣x）＝2， 所以f（x+2）+f（x）＝2，所以f（x+4）+f（x+2）＝2， 所以f（x+4）＝f（x），所以f（x）的周期为4， 所以﹣8为f（x）的一个周期，所以B选项正确； 因为g（2）＝3，f（x）＝g（2+x）+4， 所以f（0）＝g（2）+4＝7， 又f（2﹣x）+f（x）＝2，所以2f（1）＝2，所以f（1）＝1， 所以f（2）＝2﹣f（0）＝2﹣7＝﹣5，f（3）＝f（﹣1）＝f（1）＝1，f（4）＝f（0）＝7， 所以f（2023）＝f（4×505+3）＝f（3）＝1，所以C选项错误； 所以f（x）的一个周期的和为f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝1﹣5+1+7＝4， 所以f（k）＝5×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）+f（2）＝5×4+1﹣5＝16，所以D选项正确． 故选：C． 二．多选题（共3小题） （多选）9．已知定义域为R的偶函数f（x）满足f（x+2）＝﹣f（﹣x），当x∈（1，2]时f（x）＝2x﹣2，则下列结论正确的有（　　） A．f（﹣1）＝0 B．f（x）的图象关于点（3，0）成中心对称 C．f（2024）＞f（2025） D． 【答案】ABD 【解答】解：对A，∵f（x）满足f（x+2）＝﹣f（﹣x）， 令x＝﹣1， 则f（1）＝﹣f（1），即f（1）＝0， 又∵f（x）为偶函数，∴f（﹣1）＝f（1）＝0，故A对； 对B，∵f（x+2）＝﹣f（﹣x）＝﹣f（x）， ∴f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x）， 故f（x）的周期T＝4， 再根据f（x+2）＝﹣f（﹣x），即f（x+6）＝﹣f（﹣x）， ∴f（x）的图象关于点（3，0）成中心对称，故B对； 对C，由B知：f（x）的周期T＝4， 故f（2024）＝f（506×4）＝f（0）， ∵f（x+2）＝﹣f（﹣x）， 令x＝0， 则f（2）＝﹣f（0）， 又∵当x∈（1，2]时f（x）＝2x﹣2， ∴f（2）＝22﹣2＝2， 即f（0）＝﹣f（2）＝﹣2， 即f（2024）＝f（0）＝﹣2， f（2025）＝f（506×4+1）＝f（1）＝0， 故f（2024）＜f（2025），故C错误； 对D，f（x）满足f（x+2）＝﹣f（﹣x）， ∴f（x）关于（1，0）中心对称， 又∵当x∈（1，2]时f（x）＝2x﹣2， ∴f（x）在[0，2]上单调递增； 当x＝0时，， 当x≠0时，∵f（x）为偶函数， ∴， ∵， 当且仅当时，即x＝1时等号成立， ∴，故D对． 故选：ABD． （多选）10．已知函数f（x）与g（x）及其导函数f′（x）与g′（x）的定义域均为R．若f（x）为奇函数，f（x）+g（2﹣x）＝2，f′（x）+g′（x+1）＝2，则（　　） A．g（﹣2）+g（6）＝4 B．f′（0）＝0 C．曲线y＝f′（x）关于点中心对称 D． 【答案】ACD 【解答】解：对于选项A，令x＝﹣4，则f（﹣4）+g（6）＝2，令x＝4，则f（4）+g（﹣2）＝2， 所以g（6）+g（﹣2）＝4，所以选项A正确； 对于选项B，因为f（x）为奇函数，所以f′（x）为偶函数，所以无法得出f′（0）＝0，所以选项B错误； 对于选项C，因为f（x）+g（2﹣x）＝2⇒f′（x）﹣g′（2﹣x）＝0， 又因为f′（x）+g′（x+1）＝2，所以g′（x+1）+g′（2﹣x）＝2， 所以g′（x）关于中心对称． 因为f′（x）＝2﹣g′（x+1），结合函数图象平移， 所以f′（x）关于中心对称，所以选项C正确； 对于选项D，由于f′（x）为偶函数，结合C选项所得对称中心，可知f′（x）周期为2，所以f′（x）+f′（1﹣x）＝2，f′（）＝f′（）＝1， 又因为g′（x+1）＝2﹣f′（x），所以g′（x）＝2﹣f′（x﹣1）， 且， 因为， 所以， 所以，因此选项D正确． 故选：ACD． （多选）11．定义在区间[0，2]上的函数f（x）满足下列条件： （i）f（1）＝2，对于任意的x∈[0，2]，有f（x）≥1，且f（x）＝f（2﹣x）； （ii）对于任意的x∈[1，2]，当x+y≥3时，f（x）+f（y）≤f（x+y﹣2）+1成立． 则下列说法正确的是（　　） A．f（2）≥5 B．x∈[﹣2，0]时，恒有f（x+2）＝f（﹣x） C．f（x）在[0，1]上非减且 D．当x∈[1，2]，f（x）≤5﹣2x 【答案】BCD 【解答】解：∵（i）f（1）＝2，对于任意的x∈[0，2]，有f（x）≥1，且f（x）＝f（2﹣x）； （ii）对于任意的x∈[1，2]，当x+y≥3时，f（x）+f（y）≤f（x+y﹣2）+1成立， 对于选项A，∵f（1）＝2，取x＝1时，由（ii）式得2f（1）≤f（0）+1， 于是f（0）≥3，再令x＝2得，f（2）＝f（2﹣2）＝f（0）≥3，但无法确定f（2）≥5， 于是选项A错误； 对于选项B，∵x∈[﹣2，0]，则﹣x∈[0，2]，0≤x+2≤2， 根据（i）有f（x+2）＝f[2﹣（x+2）]＝f（﹣x），即f（x+2）＝f（﹣x） 成立， 于是选项B正确； 对于选项C，对于任意的x，y∈[0，1]∈[0，2]，有2﹣x，2﹣y∈[1，2]， 若x+y≤1，则4﹣（x+y）≥3， 由条件（ii）有f（2﹣x）+f（2﹣y）≤f（4﹣x﹣y﹣2）+1＝f（2﹣x﹣y）+1＝f[2﹣（x+y）]+1， 即f[2﹣（x+y）]≥f（2﹣x）+f（2﹣y）﹣1．……① 由x∈[0，2]，f（x）＝f（2﹣x），f（2﹣y）＝f（y）∴f[2﹣（x+y）]＝f（x+y）， 故由①变为f（x+y）≥f（x）+f（y）﹣1…………② 对于任意的x1，x2∈[0，1]，设x1＜x2，则0＜x2﹣x1＜1．即x2﹣x1∈（0，1）， 不难想到x2＝[（x2﹣x1）+x1]，据②有f（x2）＝f[（x2﹣x1）+x1]≥f（x2﹣x1）+f（x1）﹣1， ∴f（x2）﹣f（x1）≥f（x2﹣x1）﹣1，而x∈[0，2]，有f（x）≥1，进而f（x2﹣x1）≥1， 于是f（x2）﹣f（x1）≥0，显然x∈[0，1]上f（x）非减； 对于任意n∈N*有， 即， 即， 下面以此式作为递推式得： ≤⋯ 1+（）n， 故选项C正确； 对于选项D，若对于任意x∈（0，1]和n∈N*，使得， 由选项C，知x∈[0，1]上f（x）非减，则， 而．故， ∴，此时x∈[0，1]．即f（x）≤2x+1成立， 当且仅当x∈[1，2）时，1＜x≤2，则﹣2≤﹣x＜﹣1，0≤2﹣x＜1， f（x）＝f（2﹣x）≤2（2﹣x）+1＝5﹣2x， 另外，x∈[1，2]，当x+y≥3时，根据（ii），f（x）+f（y）≤f（x+y﹣2）+1， 特取x＝y＝2，此时f（2）+f（2）≤f（2）+1，f（2）≤1，即f（2）≤5﹣4＝1， 综上所述，当x∈[1，2]，f（x）≤5﹣2x恒成立．即选项D成立． 故选：BCD． 三．填空题（共3小题） 12．已知定义在R上的函数f（x）满足f（2x+3）为偶函数，同时f（x+3）+f（5﹣x）＝0，且f（3）＝1，则（i）＝ 　﹣1　 ． 【答案】﹣1． 【解答】解：因为f（2x+3）为偶函数， 所以f（﹣2x+3）＝f（2x+3）， 所以f（5﹣x）＝f（x+1），又f（x+3）+f（5﹣x）＝0， 所以f（x+3）+f（x+1）＝0，且f（4）＝0， 所以f（x+2）+f（x）＝0，所以f（x+4）+f（x+2）＝0， 所以f（x+4）＝f（x），所以f（x）的周期为4， 又f（1）+f（3）＝f（2）+f（4）＝0，又f（3）＝1， 所以f（1）＝﹣f（3）＝﹣1， 所以（i）＝[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]×506+f（1）＝0×506﹣1＝﹣1． 故答案为：﹣1． 13．偶函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），且x∈[﹣1，1]时，，则f（2022）＝　　 ． 【答案】． 【解答】解：因为f（x）为偶函数，且x∈[﹣1，1]时，， 所以， 解得，所以， 因为f（x+2）＝f（x），所以函数f（x）的周期为2， 所以． 故答案为：． 14．已知函数f（x）满足：f（a+b）＝f（a）•f（b），f（1）＝2，则　16　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：运用条件知：2， 且 16 故答案为：16 四．解答题（共5小题） 15．定义在（﹣2，2）上的函数f（x）满足对任意的x，y∈（﹣2，2），都有f（x）+f（y）＝f（x+y），且当x∈（0，2）时，f（x）＞0． （1）证明：函数f（x）是奇函数； （2）证明：f（x）在（﹣2，2）上是增函数； （3）若f（﹣1）＝﹣2，f（x）≤t2+at﹣1对任意x∈[﹣1，1]，a∈[﹣2，2]恒成立，求实数t的取值范围． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）实数t的取值范围为（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）． 【解答】解：（1）证明：∵x，y∈（﹣2，2），都有f（x）+f（y）＝f（x+y）， ∴令x＝y＝0，则f（0）+f（0）＝f（0），解得f（0）＝0， 令y＝﹣x，则f（x）+f（﹣x）＝f（0）＝0，即f（﹣x）＝﹣f（x）， ∴函数f（x）是奇函数； （2）证明：任取x1，x2∈（0，2）且x1＞x2， 则f（x1）﹣f（x2）＝f（x1）+f（﹣x2）＝f（x1﹣x2）， ∵x1，x2∈（0，2）且x1＞x2时，f（x）＞0， ∴0＜x1﹣x2＜2，f（x1﹣x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）， ∴f（x）在（0，2）上单调递增， 由（1）得函数f（x）是奇函数， ∴f（x）在（﹣2，0）上单调递增， 故f（x）在（﹣2，2）上是增函数； （3）由（1）（2）得函数f（x）是奇函数，f（x）在[﹣1，1]上是增函数， f（﹣1）＝﹣2，f（x）≤t2+at﹣1对任意x∈[﹣1，1]，a∈[﹣2，2]恒成立，转化为t2+at﹣1≥f（x）max， ∵f（﹣1）＝﹣2， ∴f（x）max＝f（1）＝﹣f（﹣1）＝2， ∴t2+at﹣1≥2对任意a∈[﹣2，2]恒成立，即t2+at﹣3≥0对任意a∈[﹣2，2]恒成立， 令g（a）＝ta+t2﹣3，a∈[﹣2，2]， ∴，即，解得t≤﹣3或t≥3， 故实数t的取值范围为（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）． 16．已知定义域为I＝（﹣∞，0）∪（0，+∞）的函数f（x）满足对任意x1，x2∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），都有f（x1x2）＝x1f（x2）+x2f（x1）． （1）求证：f（x）是奇函数； （2）设g（x），且x＞1时g（x）＜0， ①求证：g（x）在（0，+∞）上是减函数； ②求不等式g（2x﹣1）＞g（3x）的解集． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）取x1＝x2＝1，可得f（1）＝0，取x1＝x2＝﹣1，可得f（﹣1）f（1）＝0． 取x1＝x，x2＝﹣1，可得f（﹣x）＝﹣f（x）+xf（﹣1）＝﹣f（x）． ∴f（x）是奇函数． （2）①∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数， 由f（x1x2）＝x1f（x2）+x2f（x1）．可得有g（x1x2）＝g（x2）+g（x1）． 设x1＞x2＞0，则，x＞1时g（x）＜0，可得0． ∴g（x1）＝g（）＝g（x2）+g（）＜g（x2）． ∴g（x）在（0，+∞）上是减函数； ②∵g（x）是偶函数且在（0，+∞）上是减函数，∴不等式g（2x﹣1）＞g（3x）的解集⇔． ⇒⇒x＜﹣1或或 ∴不等式g（2x﹣1）＞g（3x）的解集为（﹣∞，﹣1）． 17．函数f（x）满足对任意x∈R，都有f（x+2）＝f（﹣x+2），且f（x）的图象关于直线x＝1对称，当x∈[2，3）时，f（x）＝2（x﹣2）3，且函数y＝f（x）﹣|logax|恰有2025个零点． （1）证明：函数f（x）为周期函数； （2）求整数a的值． 【答案】（1）因为f（x）的图象关于直线x＝1对称，所以f（﹣x）＝f（x+2）， 又因为f（x+2）＝f（﹣x+2），所以f（﹣x）＝f（﹣x+2）， 所以f（x）＝f（x+2），所以函数f（x）的周期为2， 所以函数f（x）为周期函数． （2）45． 【解答】解：（1）证明：因为f（x）的图象关于直线x＝1对称，所以f（﹣x）＝f（x+2）， 又因为f（x+2）＝f（﹣x+2），所以f（﹣x）＝f（﹣x+2）， 所以f（x）＝f（x+2），所以函数f（x）的周期为2， 所以函数f（x）为周期函数． （2）因为f（x+2）＝f（﹣x+2），所以函数f（x）的图象关于x＝2对称， 因为当x∈[2，3）时，f（x）＝2（x﹣2）3， 所以由对称性和周期性可得：当0＜a＜1和a＞1时，函数y＝|logax|图象相同，如图所示， 因为函数y＝f（x）﹣|logax|恰有2025个零点， 所以函数f（x）的图象与图象y＝|logax|在（0，+∞）上恰有2025个交点， 由图象可知，第2025个交点为（2025，f（2025）），所以f（2025）＝|loga2025|， 又因为f（2025）＝f（2022+3）＝f（3）＝2（3﹣2）3＝2， 所以由|loga2025|＝2得，loga2025＝±2， 所以或． 所以整数a的值为45． 18．已知定义在R上的函数f（x）满足：对任意x，y∈R都有f（x+y）＝f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞0． （1）求f（0）的值，并证明f（x）为奇函数； （2）判断函数f（x）的单调性，并证明； （3）若f（k•2x）+f（4x+1﹣8x﹣2x）＞0对任意x∈[﹣1，2]恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）令x＝y＝0，则有f（0+0）＝f（0）+f（0），解得f（0）＝0． 证明：令y＝﹣x，则有f（x﹣x）＝f（x）+f（﹣x）＝f（0）＝0，所以f（﹣x）＝﹣f（x），故函数f（x）为奇函数； （2）f（x）是R上的增函数．证明如下： 设x2＞x1，所以x2﹣x1＞0，由f（x2）＝f（x1+x2﹣x1）＝f（x1）+f（x2﹣x1）＝f（x2）﹣f（x1）， 因为当x＞0时，f（x）＞0，所以f（x2﹣x1）＝f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），所以f（x）是R上的增函数； （3）由题意可知，f（k•2x）+f（4x+1﹣8x﹣2x）＞0对任意x∈[﹣1，2]恒成立，即f（k•2x+4x+1﹣8x﹣2x）＞f（0）对任意x∈[﹣1，2]恒成立， 因为y＝f（x）是R上的增函数，所以k•2x+4x+1﹣8x﹣2x＞0对任意x∈[﹣1，2]恒成立， 所以k•2x＞2x+8x﹣4x+1对任意x∈[﹣1，2]恒成立，即k＞1+22x﹣2x+2对任意x∈[﹣1，2]恒成立， 令t＝2x，则，则f（t）＝t2﹣4t+1，所以k＞f（t）max， 当t＝4时，f（t）的最大值为f（4）＝16﹣16+1＝1， 所以k＞1． 19．定义在R上的函数f（x）满足，且{f（x）|x＞0}＝（2，+∞）． （1）求f（0）； （2）证明：f（x）＞0； （3）若对任意的x∈R，f（x）+λf（﹣x）≥4恒成立，求实数λ的取值范围． 【答案】（1）2； （2）证明见解析； （3）[1，+∞）． 【解答】解：（1）解：由， 令y＝0，得， 因为f（x）不恒为0， 所以f（0）＝2． （2）证明：， 若存在x0∈R，使f（x0）＝0，则有，这与题设矛盾， 所以∀x∈R，f（x）＞0． （3）在条件式中令y＝﹣x，可得f（x）f（﹣x）＝4， 又由（2）知∀x∈R，f（x）＞0，所以． 令t＝f（x），则对任意t＞0，，即恒成立． 记，t＞0，取t＝f（0）＝2时，g（t）有最大值1， 所以λ的取值范围为[1，+∞）． 第7页（共7页） 学科网（北京）股份有限公司 $