第02讲 30°，45°，60°角的三角函数值+三角函数的计算讲义（知识详解+5典例分析+习题巩固）【满分全攻略备考系列】2025-2026学年北师大版数学九年级下册重难点讲义与测试

第02讲 30°，45°，60°角的三角函数值+三角函数的计算 （知识详解+5典例分析+习题巩固） 知识详解 知识点01： 30°，45°，60°角的三角函数值 知识点02：特殊角的三角函数值的实际应用 知识点03：用科学计算器求任意锐角的三角函数值 知识点04：用科学计算器由锐角三角函数值求锐角 知识点05：仰角、俯角 典例分析 （举三反三） 考点1：特殊角的三角函数值的综合运算 考点2：利用特殊角的三角函数值解决实际问题 考点3：用计算器求锐角的三角函数值 考点4：锐角三角函数与平面直角坐标系的综合 考点5：有关锐角三角函数值的新定义探究 习题巩固 一、单选题（6） 二、填空题（5） 三、解答题（6） 【知识点01】30°，45°，60°角的三角函数值 三角函数 sin α cos α tan α 30° 45° 1 60° 【知识点02】特殊角的三角函数值的实际应用 利用特殊角的三角函数值解决实际问题的一般步骤： (1)根据题意构造出含有特殊角的直角三角形，建立三角函数模型； (2)利用三角函数的定义或定义的变形表示题目中的相关量； (3)找出各个量之间的关系； (4)利用已知量与未知量的关系求解未知量； (5)得出结论. 注意在构造直角三角形时，要注意角度拆分的应用. 【知识点03】用科学计算器求任意锐角的三角函数值 1. 求整数度数的锐角的三角函数值在科学计算器的面板上涉及三角函数的键有，当我们计算某整数度数的三角函数值时，可先按相应的键，然后从高位向低位按出表示度数的整数，最后按 键，屏幕上就会显示出结果. 2. 求非整数度数的锐角的三角函数值 (1)若度数是用度表示的，则按整数度数的按键步骤操作 即可. (2)若度数是用度、分、秒表示的，在用科学计算器计算三角函数值时，同样先按 或或键，然后依次按 (度) (分) (秒)键，最后按键，屏幕上就会显示出结果. 若锐角中只有度、秒，则应在(分)键前补上0 . 【知识点04】用科学计算器由锐角三角函数值求锐角 已知锐角三角函数值求锐角的度数 如果是特殊角(30°，45°或60°角)的三角函数值，可直接写出其相应的角的度数；若不是特殊角的三角函数值，应利用计算器求角的度数. 求角的度数要先按键，将 转化成它们的第二功能. 当三角函数值为分数时，应先化成小数. 【知识点05】仰角、俯角 名称 定义 图示 仰角 当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角 俯角 当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角 【题型一】特殊角的三角函数值的综合运算 【典例1-1】（24-25九年级下·甘肃平凉·期中）计算 结果是（     ） A．2 B． C．1 D． 【典例1-2】（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）式子的值为 ． 【典例1-3】（24-25九年级下·上海长宁·期中）计算：． 【变式1-1】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）计算： ． 【变式1-2】（24-25九年级下·天津河西·阶段练习）计算： (1)； (2) 【变式1-3】（24-25九年级下·湖南长沙·期末）计算：． 【题型二】利用特殊角的三角函数值解决实际问题 【典例2-1】（2023九年级下·江苏·专题练习）如图，小梦要测量学校旗杆的高度，在点A处测得，在点C处测得．已知米，点A、C、D在同一直线上，则旗杆的高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【典例2-2】（20-21九年级上·河北保定·期末）如图，有一个三角形的钢架ABC，∠A=30°，∠C=45°，AC=2（+1）m．工人师傅搬运此钢架 （填“能”或“不能”）通过一个直径为2.1m的圆形门？ 【典例2-3】（2024九年级下·广东·专题练习）某数学活动小组要测量一建筑物的高度，如图，他们在建筑物前的平地上选择一点A，在点A和建筑物之间选择一点B，测得，用高的测角仪在A处测得建筑物顶部E的仰角为，在B处测得仰角为，求该建筑物的高． 【变式2-1】（2025九年级下·广东深圳·学业考试）如图是某壁挂台灯的侧面示意图，已知台灯底部离桌面距离，支架长，灯长，当支架与墙壁的夹角、灯罩AB与水平面的夹角均为时，阅读时光照效果最佳，此时点A与桌面的距离约为（图中所有点均在同一平面内，参考数据）（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25九年级下·湖南怀化·阶段练习）如图，婷婷想测量“青云塔”的高度．她在处仰望塔顶，测得仰角为，再往塔的方向前进至处，测得仰角为，那么塔高约为 ． 【变式2-3】（24-25九年级下·浙江湖州·阶段练习）如图1是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图2是小明锻炼时上半身由位置运动到底面垂直的位置时的示意图，已知米，米，． (1)求的长； (2)若米，求、两点的距离． 【题型三】用计算器求锐角的三角函数值 【典例3-1】（2025九年级下·全国·专题练习）如图，中，，，，若用科学计算器求的正切值，则下列按键顺序正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】（21-22九年级下·全国·单元测试）用科学计算器计算： ． 【典例3-3】（2025九年级下·全国·专题练习）用计算器求下列各值精确到： (1)； (2)． 【变式3-1】（23-24九年级下·山东烟台·期中）如图所示，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序及结果如下： 按键的结果为a； 按键的结果为b；则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（22-23九年级下·山东烟台·期中）运用计算器进行计算，按键顺序如下  ，则计算器显示的结果是 ． 【变式3-3】（2025九年级下·全国·专题练习）用计算器求下列各值精确到： (1)； (2)． 【题型四】锐角三角函数与平面直角坐标系的综合 【典例4-1】（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，有三点， 则（     ） A． B． C． D． 【典例4-2】（23-24九年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，有三点，，，则 ． 【典例4-3】（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，在平面直角坐标系内有一点，连接，求与轴正方向所夹锐角的正弦值． 【变式4-1】（22-23九年级上·福建漳州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点，连接交y轴于点B．若， 则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（22-23九年级下·安徽安庆·阶段练习）在平面直角坐标系中，位于第二象限的点在轴上的正投影为点，则 ． 【变式4-3】（24-25九年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，经过原点O的直线与双曲线交于点，点B在射线上，点C的坐标为． (1)求双曲线的表达式； (2)若，求点B的坐标． 【题型五】有关锐角三角函数值的新定义探究 【典例5-1】（24-25九年级上·四川眉山·期末）定义一种运算，，例如：当，时，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【典例5-2】（22-23九年级上·山东济南·期末）定义一种运算：，．例如：当，时，，则的值为 ． 【典例5-3】（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）【知识迁移】：对于钝角α，定义它的三角函数值如下：，． (1)求，，的值； (2)若一个三角形的三个内角的比是，和是这个三角形的两个内角，且、是方程的两个不相等的实数根，求和的度数及m的值． 【变式5-1】（21-22九年级上·江苏苏州·期末）我们给出定义：如果两个锐角的和为45°，那么称这两个角互为半余角．如图，在△ABC中，∠A，∠B互为半余角，且，则tanA＝ ． 【变式5-2】（2023九年级下·全国·专题练习）一般地，当，为任意角时，，，与的值可以用下面的公式求得： ； ； ； ． 例如：． 类似地，求： (1)的值． (2)的值． (3)的值提示：对于钝角，定义它的三角函数值如下：，． 【变式5-3】（23-24九年级下·江苏无锡·阶段练习）定义：， ， ， ； 例如： (1)______，______，______； (2)如图，在中，，，，；求证：；    (3)利用（2）中的结论证明： （，）． 一、单选题 1．（22-23九年级上·陕西西安·期末）计算的值为（    ） A． B．1 C． D．2 2．（24-25九年级下·甘肃临夏·阶段练习）若，则锐角的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级下·广西钦州·阶段练习）已知在中，，设，当是最小的内角时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23九年级下·山东济南·阶段练习）在中，若， ，则这个三角形一定是（   ）． A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 5．（20-21九年级上·山东潍坊·期末）已知，运用科学计算器求锐角时（在开机状态下），按下的第一个键是（  ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·山东淄博·期中）为了方便行人推车过某天桥，市政府在高的天桥一侧修建了长的斜道（如图所示），我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数，具体按键顺序是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（22-23九年级下·福建福州·期中）计算： ． 8．（24-25九年级下·江苏连云港·阶段练习）若，则锐角 °． 9．（24-25九年级下·山东青岛·阶段练习）计算： ． 10．（23-24九年级上·北京·单元测试）计算： （精确到）． 11．（22-23九年级下·甘肃平凉·阶段练习）在中，若，则是 ． 三、解答题 12．（23-24九年级上·山东泰安·期末）计算：． 13．（24-25九年级下·甘肃张掖·阶段练习）计算： 14．（24-25九年级下·全国）用计算器求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 15．（23-24九年级下·全国）根据下列条件用计算器求锐角α的度数（结果精确到）． (1)； (2)； (3)； (4)． 16．（2025九年级下·浙江·专题练习）在中，已知，都是锐角，且，判断的形状． 17．（2023九年级下·全国·专题练习）如图，在平面坐标系内，点，．点为轴上动点，求的最小值．    1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 30°，45°，60°角的三角函数值+三角函数的计算 （知识详解+5典例分析+习题巩固） 知识详解 知识点01： 30°，45°，60°角的三角函数值 知识点02：特殊角的三角函数值的实际应用 知识点03：用科学计算器求任意锐角的三角函数值 知识点04：用科学计算器由锐角三角函数值求锐角 知识点05：仰角、俯角 典例分析 （举三反三） 考点1：特殊角的三角函数值的综合运算 考点2：利用特殊角的三角函数值解决实际问题 考点3：用计算器求锐角的三角函数值 考点4：锐角三角函数与平面直角坐标系的综合 考点5：有关锐角三角函数值的新定义探究 习题巩固 一、单选题（6） 二、填空题（5） 三、解答题（6） 【知识点01】30°，45°，60°角的三角函数值 三角函数 sin α cos α tan α 30° 45° 1 60° 【知识点02】特殊角的三角函数值的实际应用 利用特殊角的三角函数值解决实际问题的一般步骤： (1)根据题意构造出含有特殊角的直角三角形，建立三角函数模型； (2)利用三角函数的定义或定义的变形表示题目中的相关量； (3)找出各个量之间的关系； (4)利用已知量与未知量的关系求解未知量； (5)得出结论. 注意在构造直角三角形时，要注意角度拆分的应用. 【知识点03】用科学计算器求任意锐角的三角函数值 1. 求整数度数的锐角的三角函数值在科学计算器的面板上涉及三角函数的键有，当我们计算某整数度数的三角函数值时，可先按相应的键，然后从高位向低位按出表示度数的整数，最后按 键，屏幕上就会显示出结果. 2. 求非整数度数的锐角的三角函数值 (1)若度数是用度表示的，则按整数度数的按键步骤操作 即可. (2)若度数是用度、分、秒表示的，在用科学计算器计算三角函数值时，同样先按 或或键，然后依次按 (度) (分) (秒)键，最后按键，屏幕上就会显示出结果. 若锐角中只有度、秒，则应在(分)键前补上0 . 【知识点04】用科学计算器由锐角三角函数值求锐角 已知锐角三角函数值求锐角的度数 如果是特殊角(30°，45°或60°角)的三角函数值，可直接写出其相应的角的度数；若不是特殊角的三角函数值，应利用计算器求角的度数. 求角的度数要先按键，将 转化成它们的第二功能. 当三角函数值为分数时，应先化成小数. 【知识点05】仰角、俯角 名称 定义 图示 仰角 当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角 俯角 当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角 【题型一】特殊角的三角函数值的综合运算 【典例1-1】（24-25九年级下·甘肃平凉·期中）计算 结果是（     ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值及零指数幂的运算，需逐一计算各部分后合并同类项即可． 【详解】解： ， 故选：C． 【典例1-2】（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）式子的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了含特殊角的三角函数值的混合运算、二次根式的混合运算等知识点，掌握常见角的特殊角的三角函数值成为解题的关键．先利用特殊角的三角函数值化简，然后再运用二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：2． 【典例1-3】（24-25九年级下·上海长宁·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值的混合计算，牢记特殊角的三角函数值是解答本题的关键．先用特殊角的三角函数值化简，然后再进行计算即可． 【详解】解： ． 【变式1-1】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）计算： ． 【答案】0 【分析】本题考查特殊角三角函数的计算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．把特殊角的三角函数值代入计算即可． 【详解】解：原式 故答案为：0． 【变式1-2】（24-25九年级下·天津河西·阶段练习）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答； （2）把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答． 本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 【变式1-3】（24-25九年级下·湖南长沙·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了含特殊角三角函数的混合运算，牢记特殊角的函数值成为解题的关键． 先根据特殊角的三角函数化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 【题型二】利用特殊角的三角函数值解决实际问题 【典例2-1】（2023九年级下·江苏·专题练习）如图，小梦要测量学校旗杆的高度，在点A处测得，在点C处测得．已知米，点A、C、D在同一直线上，则旗杆的高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】先在中证明，再在中求出，最后利用线段的和差得到关于的方程，求解即可． 【详解】解：在中， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的知识，掌握特殊角的函数值，直角三角形的边角关系是解题的关键． 【典例2-2】（20-21九年级上·河北保定·期末）如图，有一个三角形的钢架ABC，∠A=30°，∠C=45°，AC=2（+1）m．工人师傅搬运此钢架 （填“能”或“不能”）通过一个直径为2.1m的圆形门？ 【答案】能 【分析】过B作BD⊥AC于D，解直角三角形求出AD=xm，CD=BD=xm，得出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为2.1m的圆形门， 理由是：过B作BD⊥AC于D， ∵AB＞BD，BC＞BD，AC＞AB， ∴求出DB长和2.1m比较即可， 设BD=xm， ∵∠A=30°，∠C=45°， ∴DC=BD=xm，AD=BD=xm， ∵AC=2（+1）m， ∴x+x=2（+1）， ∴x=2，即BD=2m＜2.1m， ∴工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为2.1m的圆形门． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解一元一次方程等知识点，能正确求出BD的长是解此题的关键． 【典例2-3】（2024九年级下·广东·专题练习）某数学活动小组要测量一建筑物的高度，如图，他们在建筑物前的平地上选择一点A，在点A和建筑物之间选择一点B，测得，用高的测角仪在A处测得建筑物顶部E的仰角为，在B处测得仰角为，求该建筑物的高． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，等角对等边，三角形外角的性质，设直线与直线交于G，根据矩形的性质与判定定理可得的长，再证明得到，再解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，设直线与直线交于G， 由题意可得：四边形，四边形，四边形均为矩形，    ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 答：该建筑物的高为． 【变式2-1】（2025九年级下·广东深圳·学业考试）如图是某壁挂台灯的侧面示意图，已知台灯底部离桌面距离，支架长，灯长，当支架与墙壁的夹角、灯罩AB与水平面的夹角均为时，阅读时光照效果最佳，此时点A与桌面的距离约为（图中所有点均在同一平面内，参考数据）（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，过点B作直线的垂线，垂足为E，过点A作直线的垂线，垂足为F，分别解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点B作直线的垂线，垂足为E，过点A作直线的垂线，垂足为F， 在中，， ∴； 在中，， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2-2】（24-25九年级下·湖南怀化·阶段练习）如图，婷婷想测量“青云塔”的高度．她在处仰望塔顶，测得仰角为，再往塔的方向前进至处，测得仰角为，那么塔高约为 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，设塔高，利用，表示出，利用，表示出，再根据线段的和差关系列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，， 设塔高， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 即：； 故答案为：． 【变式2-3】（24-25九年级下·浙江湖州·阶段练习）如图1是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图2是小明锻炼时上半身由位置运动到底面垂直的位置时的示意图，已知米，米，． (1)求的长； (2)若米，求、两点的距离． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查解直角三角形的应用，勾股定理，含度角的直角三角形的性质，解题关键是熟练运用勾股定理以及含度角的直角三角形的性质． （1）过点B作于点E，从而可求得，然后根据，可求得； （2）过点N作的延长线于点F，然后根据，可求得，最后利用勾股定理求出的长度． 【详解】（1）解：过点作于点， 四边形是矩形， （米） （米）， ， （米）． （2）过点作于点， ， ， （米）， （米）， （米）． 【题型三】用计算器求锐角的三角函数值 【典例3-1】（2025九年级下·全国·专题练习）如图，中，，，，若用科学计算器求的正切值，则下列按键顺序正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正切的定义，用计算器求一个角的正切值，解题的关键是熟练掌握正切定义，根据，，，得出，然后用计算器计算即可． 【详解】解：由，得， 故按键顺序为，故选：A． 【典例3-2】（21-22九年级下·全国·单元测试）用科学计算器计算： ． 【答案】/ 【分析】根据计算器进行计算即可求解． 【详解】解：用计算器按，与后，按显示结果为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根据计算器求三角函数值，熟练掌握计算器的使用方法是解题的关键． 【典例3-3】（2025九年级下·全国·专题练习）用计算器求下列各值精确到： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用计算器求正切值，直接利用计算器进行计算即可． 【详解】（1） 解：依次按键：， 显示结果为0.5317094317，得； （2）依次按键：， 显示结果为0.790697482，得． 【变式3-1】（23-24九年级下·山东烟台·期中）如图所示，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序及结果如下： 按键的结果为a； 按键的结果为b；则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查科学计算器的有关计算，根据按键顺序，列出算式，求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解：由图可知：，， ∴； 故选D． 【变式3-2】（22-23九年级下·山东烟台·期中）运用计算器进行计算，按键顺序如下  ，则计算器显示的结果是 ． 【答案】 【分析】根据计算器的按键顺序，写出计算的式子，然后求值． 【详解】根据题意得式子为 化简得 故答案为． 【点睛】本题考查了计算器的应用，根据按键顺序正确写出计算式子． 【变式3-3】（2025九年级下·全国·专题练习）用计算器求下列各值精确到： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用计算器求正切值，直接利用计算器进行计算即可． 【详解】（1）解：依次按键， 显示结果为2.144506921，即； （2）依次按键， 显示结果为0.4101298895，即． 【题型四】锐角三角函数与平面直角坐标系的综合 【典例4-1】（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，有三点， 则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，平面直角坐标系，关键是构造直角三角形．过作交延长线于，计算出、的长，根据余弦计算方法计算即可． 【详解】解：过作交延长线于， ，，， ， ，， ， ， 故选：． 【典例4-2】（23-24九年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，有三点，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形，求正弦，根据点的坐标得出是等腰直角三角形，进而根据正弦的定义，即可求解． 【详解】解：如图所示，取点， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：． 【典例4-3】（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，在平面直角坐标系内有一点，连接，求与轴正方向所夹锐角的正弦值． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，坐标与图形的性质，过点作轴，则，由勾股定理求出，然后利用正切定义求解即可． 【详解】解：过点作轴，， ． 在中，由勾股定理得， 因此． 【变式4-1】（22-23九年级上·福建漳州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点，连接交y轴于点B．若， 则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作轴于点D，利用相似三角形的判定和性质求得，利用平行线分线段成比例定理求得，再根据正切函数的定义即可求解． 【详解】解：作轴于点D，则， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，正切函数的定义，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 【变式4-2】（22-23九年级下·安徽安庆·阶段练习）在平面直角坐标系中，位于第二象限的点在轴上的正投影为点，则 ． 【答案】 【分析】依据点在x轴上的正投影为点，即可得到，，进而得出的值． 【详解】点在x轴上的正投影为点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行投影以及平面直角坐标系，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律． 【变式4-3】（24-25九年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，经过原点O的直线与双曲线交于点，点B在射线上，点C的坐标为． (1)求双曲线的表达式； (2)若，求点B的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合运用、锐角三角函数．解决本题的关键是运用待定系数法求出反比例函数的解析式，根据的正确值和正比例函数的解析式求出点的坐标． （1）根据点在上，可以求出，把点的坐标代入反比例函数中求出的值即可得到反比例函数的表达式； （2）因为直线的解析式为，设点的坐标为，根据，可得关于的分式方程，解方程求出即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：点在上， 把代入， 可得：， 点的坐标为， 设双曲线的表达式为（）， 把，代入， 可得：， 双曲线的表达式为； （2）解：如下图所示，过点作轴，垂足为点， 设点的坐标为， 可得：，， 在中，， ， 解得：， 经检验，是分式方程的解， ， ∴点的坐标为． 【题型五】有关锐角三角函数值的新定义探究 【典例5-1】（24-25九年级上·四川眉山·期末）定义一种运算，，例如：当，时，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查特殊角的锐角函数值计算、二次根式的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． 【详解】解：由题意得， ， 故选：B． 【典例5-2】（22-23九年级上·山东济南·期末）定义一种运算：，．例如：当，时，，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据和新定义，代入计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的计算，涉及新定义，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值，能准确进行二次根式的计算． 【典例5-3】（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）【知识迁移】：对于钝角α，定义它的三角函数值如下：，． (1)求，，的值； (2)若一个三角形的三个内角的比是，和是这个三角形的两个内角，且、是方程的两个不相等的实数根，求和的度数及m的值． 【答案】(1)；； (2)， 【分析】此题考查了解直角三角形，一元二次方程根与系数的关系，以及特殊角的三角函数值，弄清题中的新定义是解本题的关键． （1）仿照已知定义将各式变形，利用特殊角的三角函数值求出值即可； （2）先求出三个内角，根据一元二次方程根与系数的关系得到，再分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， ； （2）解：∵一个三角形的三个内角的比是， ∴三个内角分别为：， ∵、是方程的两个不相等的实数根， ∴， 当，则、， ∴，解得：； 当，则、， 不满足，故舍； 当，则、， 不满足，故舍， 综上所述：，． 【变式5-1】（21-22九年级上·江苏苏州·期末）我们给出定义：如果两个锐角的和为45°，那么称这两个角互为半余角．如图，在△ABC中，∠A，∠B互为半余角，且，则tanA＝ ． 【答案】 【分析】作BD⊥AC，交AC的延长线于点D，则△BCD是等腰直角三角形，利用勾股定理求出CD、BD的长，然后根据正切的定义求解即可． 【详解】解：作BD⊥AC，交AC的延长线于点D， ∵∠A，∠B互为半余角， ∴∠BCD=∠A+∠B=45°， ∴∠CBD=45°， ∴∠BCD=∠CBD， ∴BD=CD， ∵， ∴可设BC=，AC=， ∵BD2+CD2=BC2， ∴BD=CD=， ∴AD=3x+2x=5x， ∴tanA＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义，勾股定理，以及正切的定义，正确作出辅助线是解答本题的关键． 【变式5-2】（2023九年级下·全国·专题练习）一般地，当，为任意角时，，，与的值可以用下面的公式求得： ； ； ； ． 例如：． 类似地，求： (1)的值． (2)的值． (3)的值提示：对于钝角，定义它的三角函数值如下：，． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）由，根据特殊角的三角函数值代入公式进行计算即可求解； （2）由，根据特殊角的三角函数值代入公式进行计算即可求解； （3）由，根据特殊角的三角函数值代入公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：， ． ． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【变式5-3】（23-24九年级下·江苏无锡·阶段练习）定义：， ， ， ； 例如： (1)______，______，______； (2)如图，在中，，，，；求证：；    (3)利用（2）中的结论证明： （，）． 【答案】(1)；1； (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了三角函数的有关计算，解题的关键是理解题意，熟练掌握三角函数的定义． （1）根据题干中提供的信息进行计算即可； （2）根据三角函数的定义进行解答即可； （3）根据解析（2）的结论分别求出，，即可得出结论． 【详解】（1）解： ； ； ； （2）证明：∵在中，，，，， ∴，，， ∵， ∴． （3）证明：∵ ， ∴． 一、单选题 1．（22-23九年级上·陕西西安·期末）计算的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据特殊角三角函数值的混合计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故选C． 【点睛】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，熟知相关特殊角的三角函数值是解题的关键． 2．（24-25九年级下·甘肃临夏·阶段练习）若，则锐角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值．直接利用特殊角的三角函数值得出即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：A 3．（22-23九年级下·广西钦州·阶段练习）已知在中，，设，当是最小的内角时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，是最小的内角时，可得，再结合正弦的含义可得答案． 【详解】解：∵，是最小的内角时， ∴， 设， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，锐角的正弦的含义，特殊角的三角函数值，熟记锐角的正弦的含义以及其增减性是解本题的关键． 4．（22-23九年级下·山东济南·阶段练习）在中，若， ，则这个三角形一定是（   ）． A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 【答案】C 【分析】根据特殊角的三角函数值和三角形的内角和定理求出角的度数，再进行判断． 【详解】解：∵， ， ∴，， ∴， ∴是钝角三角形， 故选：C． 【点睛】本题考查特殊角三角函数值，三角形分类，三角形内角和定理，熟练掌握根据特殊角三角函数值求角度是解题的关键． 5．（20-21九年级上·山东潍坊·期末）已知，运用科学计算器求锐角时（在开机状态下），按下的第一个键是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据计算器求锐角的方法即可得结论． 【详解】∵cosA=0.2659，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下）的按键顺序是：2ndF，cos，0.2659，∴按下的第一个键是2ndF． 故选：D． 【点睛】本题考查了计算器﹣三角函数，解决本题的关键是熟练利用计算器． 6．（24-25九年级上·山东淄博·期中）为了方便行人推车过某天桥，市政府在高的天桥一侧修建了长的斜道（如图所示），我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数，具体按键顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用计算器求出角度的度数，根据题意可得，据此即可求解，掌握正弦的定义是解题的关键． 【详解】解：由图可得，， ∴按键顺序是， 故选：． 二、填空题 7．（22-23九年级下·福建福州·期中）计算： ． 【答案】 【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键． 8．（24-25九年级下·江苏连云港·阶段练习）若，则锐角 °． 【答案】45 【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．本题考查的知识点特殊角的三角函数值，理解并熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：45． 9．（24-25九年级下·山东青岛·阶段练习）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查零指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键． 先根据零指数幂，二次根式除法的运算法则化简，特殊角的三角函数值，再计算乘法，即可解题． 【详解】解： ． 故答案为：． 10．（23-24九年级上·北京·单元测试）计算： （精确到）． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角函数值的混合计算，分别用计算器求出正弦和余弦的结果，然后求和即可． 【详解】解：利用计算器可以算出：，， ∴， 故答案为：． 11．（22-23九年级下·甘肃平凉·阶段练习）在中，若，则是 ． 【答案】等腰直角三角形 【分析】根据题意可得，．据此即可求得答案． 【详解】根据题意，得 ，． 可得 ，． 则 ． 所以，． 所以，为等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形． 【点睛】本题主要考查锐角三角函数、等腰三角形的判定，牢记，，的锐角三角函数值是解题的关键． 三、解答题 12．（23-24九年级上·山东泰安·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值、绝对值的化简和负整数指数幂的运算，利用，绝对值的意义和特殊角的三角函数值计算即可． 【详解】 ． 13．（24-25九年级下·甘肃张掖·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，利用特殊角的三角函数值、零指数幂和二次根式的性质分别运算，再相加减即可，掌握实数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 14．（24-25九年级下·全国）用计算器求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是锐角三角函数值的计算； （1）直接利用计算器进行计算即可； （2）直接利用计算器进行计算即可； （3）直接利用计算器进行计算即可； （4）直接利用计算器进行计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； 15．（23-24九年级下·全国）根据下列条件用计算器求锐角α的度数（结果精确到）． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题主要考查了利用计算器根据已知的三角函数值求角度，熟练掌握计算器的操作方法是解决问题的关键． （1）先按“”键，接着按“”键，再输入“0.893 6”，然后按“”得出答案即可； （2）先按“”键，接着按“”键，再输入“”，然后按“” 得出答案即可； （3）先按“”键，接着按“”键，再输入“”，然后按“” 得出答案即可； （4）先按“”键，接着按“”键，再输入“”，然后按“” 得出答案即可． 不同品牌的计算器，按键顺序不同，以上仅供参考． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）； 16．（2025九年级下·浙江·专题练习）在中，已知，都是锐角，且，判断的形状． 【答案】等边三角形 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值以及偶次方和绝对值的性质，直接利用特殊角的三角函数值得出，的度数，进而得出答案，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键． 【详解】解：， ，， 则，， 故， 则是等边三角形． 17．（2023九年级下·全国·专题练习）如图，在平面坐标系内，点，．点为轴上动点，求的最小值．    【答案】 【分析】取，连接，作，于交轴于，先利用坐标求出线段长，得到，进而得到，推出，，得到，再利用垂线段最短，得到当与重合，与重合时，最短，即为的长，利用三角函数即可求出答案． 【详解】解：如图，取，连接，作，于交轴于，   ，， ，，，， ， ， ，， ， 当与重合，与重合时，最短，最小值即为的长， 在中，， 的最小值为． 【点睛】本题考查了垂线段最短，锐角三角函数，30度角所对的直角边等于斜边一半，学会转化线段是解题关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $