专题1.2-1.3 特殊角的三角函数与三角函数的计算（知识梳理+6个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共43题）-2025-2026学年北师大版数学九年级下册同步培优讲义

本讲义聚焦特殊角（30°、45°、60°）的三角函数值及计算器求三角函数值与角度这一核心知识点，通过知识梳理（含记忆技巧）、6个考点讲练（如混合运算、判断三角形形状）、中考真题演练、难度分层练（基础夯实、培优拔高）构建从基础到应用的学习支架。 该资料以核心素养为导向，通过“天桥斜道倾斜角计算”培养数学眼光，“判断和谐三角形形状”发展数学思维，“计算器操作步骤教学”提升数学语言表达。考点讲练含典例与变式，分层练习适配不同学生，课中助力教师高效授课，课后帮助学生查漏补缺，强化知识应用能力。

专题1.2-1.3 特殊角的三角函数与三角函数的计算 【知识梳理+6个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共43题】 （解析版） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：特殊角的三角函数值 1 知识点梳理02：计算器—三角函数 2 优选题型 考点讲练 2 考点1：特殊三角形的三角函数 2 考点2：特殊角三角函数值的混合运算 4 考点3：由特殊角的三角函数值判断三角形形状 5 考点4：用计算器求锐角三角函数值 7 考点5：根据特殊角三角函数值求角的度数 8 考点6：给出三角函数值，用计算器求锐角度数 17 中考真题 实战演练 19 难度分层 拔尖冲刺 24 基础夯实 24 培优拔高 27 知识点梳理01：特殊角的三角函数值 （1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值． sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝； sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1； sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝； （2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记． （3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多． 知识点梳理02：计算器—三角函数 （1）用计算器可以求出任意锐角的三角函数值，也可以根据三角函数值求出锐角的度数． （2）求锐角三角函数值的方法： 如求tan46°35′的值时，先按键“tan”，再输入角的度数46°35′，按键“＝”即可得到结果． 注意：不同型号的计算器使用方法不同． （3）已知锐角三角函数值求锐角的方法是： 如已知sinα＝0.5678，一般先按键“2ndF”，再按键“sin”，输入“0.5678”，再按键“＝”即可得到结果． 注意：一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键． 考点1：特殊三角形的三角函数 【典例精讲】（24-25九年级下·四川泸州·阶段练习）计算：． 【答案】 【思路点拨】本题考查实数的运算，负整数指数幂，零指数幂，特殊锐角三角函数值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 先利用零指数幂，负整数指数幂，特殊锐角三角函数值，算术平方根的定义计算后再算乘法，最后算加减即可． 【规范解答】解：原式 ． 【变式训练1】（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，连接，过反比例函数图象上的点向轴引垂线，垂足为点，交于点；过点向轴引垂线，垂足为点，交于点，若，则k＝ ． 【答案】3 【思路点拨】如图，过点作轴于点，过点作轴于点，由，可得是等腰直角三角形，即可得出 ，再结合即可得出，利用矩形性质可得，，即可求得答案． 【规范解答】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， 四边形和四边形是矩形， ，， ． 故答案为：3． 【变式训练2】（2025九年级下·江西南昌·学业考试）（1）计算： （2）如图，在等腰中，平分交于点，平分交于点，求证：为等腰三角形． 【答案】（1）；（2）见解析 【思路点拨】此题考查了等腰三角形的性质和判定、实数的混合运算等知识，熟练掌握等腰三角形的判定和性质、特殊角的三角函数是关键． （1）根据立方根的定义，绝对值，零次幂的定义、特殊角的三角函数值依次化简后计算加减法即可得到结果； （2）证明，得到，即可证明为等腰三角形． 【规范解答】解：（1） ； （2）证明：∵平分交于点，平分交于点， ∴， ∴， ∵是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 考点2：特殊角三角函数值的混合运算 【典例精讲】（2024九年级下·广东·专题练习）计算：． 【答案】 【思路点拨】本题考查了实数的运算，化简绝对值、二次根式的运算、特殊角三角函数值，熟练掌握有关知识是解决本题的关键.根据绝对值的性质、二次根式的运算法则，特殊角的三角函数值分别进行计算，再把所得的结果合并即可． 【规范解答】解： ． 【变式训练1】（2024·北京·模拟预测）计算：． 【答案】 【思路点拨】本题考查零次幂、特殊角的余弦值、算术平方根、绝对值的计算，根据实数的相关计算方法计算即可． 【规范解答】解：原式 ． 【变式训练2】（2024·安徽·模拟预测）计算：． 【答案】 【思路点拨】本题考查了实数的混合运算，先计算乘方、特殊角的三角函数值、二次根式、零指数幂，再化简绝对值，最后计算加减即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【规范解答】解： ． 考点3：由特殊角的三角函数值判断三角形形状 【典例精讲】（23-24九年级下·湖南衡阳·期中）在中， ，那么是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【思路点拨】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键，根据特殊角的三角函数值即可求出的大小，即可得出结论． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∴， 是等腰三角形 故选：A． 【变式训练1】（23-24九年级下·浙江衢州·期末）如果三角形满足，一个角是另一个角的倍，那么我们称这个三角形为“和谐三角形”．下列各组数据中，能作为一个“和谐三角形”三边长的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【思路点拨】本题考查了直角三角形，三角函数，勾股定理的逆定理．直接利用直角三角形的性质结合勾股定理的逆定理进而分析得出答案． 【规范解答】A、，，，构成的是等边三角形，三角形三个内角都为，故不符合题意； B、，构成的是等腰直角三角形，三个内角的度数分别为、、，故不符合题意； C、解直角三角形可知该三角形是三个角分别、、的直角三角形，其中，符合“和谐三角形”的定义，故选项正确； D、，，，构成的是直角三角形，根据三角函数值可知不符合“和谐三角形”，故该选项错误； 故选：C． 【变式训练2】（23-24九年级下·山东威海·月考）在中，若，，都是锐角，则的形状是 ． 【答案】钝角三角形 【思路点拨】由题意易得，则有，然后问题可求解． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的形状是钝角三角形； 故答案为钝角三角形． 考点4：用计算器求锐角三角函数值 【典例精讲】（2025九年级下·全国·专题练习）如图，中，，，，若用科学计算器求的正切值，则下列按键顺序正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了正切的定义，用计算器求一个角的正切值，解题的关键是熟练掌握正切定义，根据，，，得出，然后用计算器计算即可． 【规范解答】解：由，得， 故按键顺序为， 故选：A． 【变式训练1】（23-24九年级下·山东淄博·期中）用计算器求的值，以下按键顺序正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了用计算器算三角函数的方法．掌握计算器的按键顺序是解题的关键．根据用计算器算三角函数的方法：先按键“”，再输入角的度数，按键“”即可得到结果． 【规范解答】解：先按键“”，再输入依次角的度数、 、、、、，按键“”即可得到结果． 故选：A． 【变式训练2】（24-25九年级下·山东淄博·期中）如图是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器按此顺序输入：   ，显示屏显示的结果为将这个数据精确到0.1后，下列说法正确的是（   ）， A．的正切函数值约为 B．正切函数值为的角约是 C．的正切函数值约为 D．正切函数值为的角约是 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查计算器中的三角函数，熟练掌握计算器的使用方法是解题的关键．根据计算器的使用方法即可得到答案． 【规范解答】解：由题意可知，该计算结果为正切函数值为的角约是， 故选D． 考点5：根据特殊角三角函数值求角的度数 【典例精讲】（2025·江苏镇江·二模）（1）问题发现：如图1，在正方形中，在边上，在边上，与交于点 ，求证：． （2）问题解决：如图2，在菱形中，在边上，在射线上，与交于点 和是否仍然相等？如果是，请写出证明；如果不是，请说明理由． （3）创新应用：如图3，在矩形中，在射线（与不重合）上运动，经过点，当点在射线上时，则的长为______．   【答案】（1）见详解，（2），理由见详解，（3）4或12 【思路点拨】（1）根据正方形的性质得，即可证明，有，结合，即可得； （2）过点A作于点M，过点E作于点N，根据菱形的性质得和，由等面积法得，即可证明，有，可得，结合平行线的性质得，即可证明； （3）分两种情况：①当点E和点D重合时，连接，根据矩形的性质得和，由三角形内角和定理得，可得，进一步证明，则，由勾股定理和直角三角形的性质求得和，可证明，则和，可得点G在射线上，结合等腰三角形的性质求得和，根据求解；②当点F和点C重合时，由，可知点在射线上，同理可得，，利用即可． 【规范解答】证明：（1）∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2），理由如下， 过点A作于点M，过点E作于点N，如图， ∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 则； （3）解：①当点E和点D重合时，连接， 如图， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴点G在射线上， ∵，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则； ②当点F和点C重合时，如图， ∵， ∴点在射线上， 同理可得，， ∴； 综上所述，的长为4或12． 【变式训练1】（2025·辽宁本溪·二模）在中，，点D是边的中点，过点D作，过点C作，与交于点E，连接交于点G． (1)如图1，当时，，求证：； (2)如图2，当时，点F是上一点（不与C，D重合），连接，且，连接，若，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，当B，F两点之间距离最短时，直接写出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【思路点拨】（1）根据，得点E在边上，证明，得，根据，即得； （2）过点B作于点H，连接，取中点O，连接，根据线段垂直平分线性质得，得，在和中，证明，由可得，得，得,即得； （3）过点B作于点H，连接，取中点O，连接，根据线段垂直平分线性质得， ，求出，可得是等边三角形，得，得，，,当点F在上时，取得最小值，得，由，得，得，得，由勾股定理得，得，即得． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， 当时，， ∴点E在边上， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点D是边的中点，即， ∴； （2）证明：连接， ∵，， ∴， ∴， ∵在和中，，， ∴， ∵， ∴， ∴和中，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点B作于点H，连接，取中点O，连接， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 由（2）知，， ∴，， ∴， ∴当点F在上时，取得最小值， ∴此时， 又∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故取得最小值时，的面积为． 【变式训练2】（2025·天津河北·二模）在平面直角坐标系中，O为原点，平行四边形的顶点，平行四边形与平行四边形关于y轴对称． (1)填空：如图①，点B的坐标为_____，点P的坐标为_____； (2)如图②，平行四边形沿水平方向向右平移t个单位长度，得到平行四边形，点O，M，N，P的对应点分别为点，平行四边形与平行四边形重叠部分面积为S． ①若，且平行四边形与平行四边形重叠部分为四边形时，试用含有t的式子表示，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)； (2)①，且；②． 【思路点拨】（1）根据平行四边形性质得，根据关于y轴对称的点性质得； （2）①根据，两平行四边形重叠部分为四边形时，得，；②根据，得，当时，；当时，；当时，，；当时，，；当时，，；故当时，． 【规范解答】（1）解：∵平行四边形中，，且， ∴， ∴， ∴， ∵平行四边形与平行四边形关于y轴对称， ∴点P与点C关于y轴对称， ∴， 故答案为：；； （2）解：①如图，当时， ∵平行四边形与平行四边形重叠部分为四边形， ∴点在边上，点在边上， ∵，， ∴，； ②∵， ∴， ∴， 由轴对称与平移知，， 当时，重叠部分是等边三角形， ∵， ∴， ∴当时，； 当时，重叠部分是梯形， ∵，， ∴, ∴； 当时，重叠部分是六边形形， ∵，，， ∴， ∴； 当时，重叠部分是梯形， ∵，， ∴， ∴； 综上，． 故． 考点6：给出三角函数值，用计算器求锐角度数 【典例精讲】（24-25九年级下·全国·单元测试）如图，为方便行人推车过天桥，市政府在10m高的天桥两端分别修建了50m长的斜道，用科学计算器计算这条斜道的倾斜角，下列按键顺序正确的是（　　） A． B．   C． D．   【答案】B 【思路点拨】在直角三角形中，先根据与的关系找出所用的正弦三角函数，再利用科学计算器选项B按键顺序求角即可． 【规范解答】， 所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时， 按键顺序为   故选：B． 【变式训练1】（24-25九年级下·全国·课后作业）根据下列条件求锐角的度数； （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【思路点拨】根据计算器求锐角的度数，注意按键顺序，按完显示的是以度为单位，再按即显示以度分秒为单位的角度． 【规范解答】（1），按键顺序是显示 ； （2），按键顺序是显示； （3），按键顺序是显示； （4），按键顺序是显示． 【变式训练2】（24-25九年级下·广东广州·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则AB＝ ，∠A＝ ，∠B＝ ．（角度精确到1′） 【答案】 13 22°36′ 67°24′ 【思路点拨】根据勾股定理以及锐角三角函数即可求出答案． 【规范解答】解：∵∠C＝90°，BC＝5，AC＝12， ∴由勾股定理可知： ， ∴， ∴∠A≈22°36′， ∴∠B＝90°﹣∠A＝67°24′； 故答案为：13，22°36′，67°24′． 1．（2024·重庆·中考真题）如图，在菱形中，是对角线上一点（），，垂足为，以的长为半径的分别交于点，交的延长线于点与交于点，连接．若是的中点，，则 ， ． 【答案】 【思路点拨】先求出，进而得到，根据勾股定理求出，过作于点，由相似三角形求出的长度，再利用相似三角形的性质求解． 【规范解答】解： 是的中点，， ∴． ∵四边形是菱形， ，， ∴， ∴， ， ∴． ∵， ∴， ∴，， 在中 ． 过作于点， ∵，，， ∴． ， ， ， ， ， ． 四边形是菱形， ，， ． ，， ， ， ， ． 故答案为：；． 2．（2024·山东聊城·中考真题）关于x的方程有两个相等的实数根，是一个锐角，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式，特殊三角函数值，牢记“当时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，由特殊三角函数值即可求解此题． 【规范解答】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 又∵是锐角三角形的一个内角， ∴． 故答案为：． 3．（2024·辽宁大连·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴的正半轴上，，点的坐标为，将绕点逆时针旋转，使点的对应点落在边上，则的坐标为 ． 【答案】 【思路点拨】过点作轴于点，先根据正切值求出，再根据勾股定理求出，然后根据旋转的性质可得，，进而可得，然后在中，利用含度角的直角三角形的性质以及勾股定理可求出、的长，于是得解． 【规范解答】解：如图，过点作轴于点， ∵的顶点在轴的正半轴上，，点的坐标为， ∴，， ∴，， ∴， 由旋转的性质得：，， ∴，则， ∴，， ∴点的坐标为， 故答案为：． 4．（2024·四川乐山·中考真题）已知是关于x的方程的一个实数根，则锐角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了根与系数的关系以及特殊角的三角函数值，设方程的另一个根为，根据根与系数的关系求出和锐角的度数． 【规范解答】解：设方程的另一个根为，则： ， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 5．（2024·福建龙岩·中考真题）如图，是菱形的对角线，于点E，交于点F，且E为的中点，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定及性质，特殊角的三角形函数等；连接，由线段垂直平分线的性质得，结合菱形的性质及等边三角形的判定方法得是等边三角形，由特殊角的三角形函数即可求解；掌握菱形的性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定及性质，特殊角的三角形函数是解题的关键． 【规范解答】解：连接， 于点E，E为的中点， ， 四边形是菱形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 故选：D． 基础夯实 1．（2023·贵州遵义·一模）（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】A 【思路点拨】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键，根据特殊角的三角函数值求解即可． 【规范解答】解：， 故选：A． 2．（22-23九年级下·山东济南·期中）已知为锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键；根据特殊角的三角函数值求解即可． 【规范解答】解：，， ， 故选：． 3．（24-25九年级下·山东临沂·阶段练习）在，，，，中，无理数有（　　）个． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【思路点拨】此题主要考查了无理数的定义，特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题关键 根据无理数得定义求解即可． 【规范解答】解：，， ∴，是无理数， 无理数的个数是2， 故选：D． 4．（2025·广东江门·三模）计算： ． 【答案】 【思路点拨】先化简二次根式，并直接将特殊角的三角函数值代入求解即可．本题考查了计算特殊角的正切值，二次根式的混合运算，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值． 【规范解答】解：． 故答案为：． 5．（24-25九年级下·山东青岛·阶段练习）计算： ． 【答案】/ 【思路点拨】本题主要考查零指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键． 先根据零指数幂，二次根式除法的运算法则化简，特殊角的三角函数值，再计算乘法，即可解题． 【规范解答】解： ． 故答案为：． 6．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）计算： ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了计算特殊角的正切值，二次根式的混合运算，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值，直接将特殊角的三角函数值代入求解即可． 【规范解答】解：， 故答案为：． 7．（2025·河南郑州·模拟预测）若，则其正弦值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查特殊锐角三角函数值，熟练掌握其特殊值是解题的关键． 利用特殊锐角三角函数值即可求得答案． 【规范解答】解：若， 则其正弦值为， 故答案为：． 8．（2024·上海·模拟预测）计算： 【答案】4 【思路点拨】此题考查了绝对值，零指数幂，算术平方根和特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算绝对值，零指数幂，算术平方根和特殊角的三角函数值，然后计算加减即可． 【规范解答】解： ． 9．（2025·甘肃武威·一模）计算： 【答案】 【思路点拨】本题考查了二次根式、绝对值、负整数指数幂以及三角函数，先化简二次根式、绝对值、负整数指数幂以及三角函数，再合并同类项即可． 【规范解答】解：， ， ． 10．（2024·广东清远·一模）（1）计算：； （2）已知一次函数的图象经过点与点，求该一次函数的表达式． 【答案】（1）2；（2） 【思路点拨】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，零指数幂运算，算术平方根和特殊角的三角函数值，熟知待定系数法及实数的运算法则是解题的关键． （1）首先计算零指数幂，算术平方根和特殊角的三角函数值，然后计算加减即可； （2）利用待定系数法即可解决问题． 【规范解答】解：（1） ； （2）将点与点代入得，， 解得， 所以一次函数的表达式为． 培优拔高 11．（2025·陕西榆林·模拟预测）在中，，，D为边的中点，E为边上任意一点．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了勾股定理，三角函数，含角的直角三角形的性质，熟记等腰三角形三线合一的性质是解题的关键． 过点作于点，根据等腰三角形三线合一的性质得出的长，再根据三角函数求解即可． 【规范解答】解：如图，过点作于点， ， ∴， ∵， ∴， ∵，为边的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴在中，， ∴． 故选：B． 12．（2025·湖南·模拟预测）如果三角形满足一个角是另一个角的4倍，那么我们称这个三角形为“倍角三角形”．下列各组数据中，能作为一个倍角三角形三边长的一组是（   ） A．1，2，3 B．1，1， C．1，1， D．1，2， 【答案】C 【思路点拨】本题考查三角形及其性质、解直角三角形，A选项三边不满足三角形三边关系，B选项为等腰直角三角形，D选项为直角三角形，C选项为等腰三角形，且角度为，，，满足条件． 【规范解答】解：A．，三边不满足三角形三边关系，不能构成三角形，不合题意； B．，则此三边构成等腰直角三角形，不能满足一个角是另一个角的4倍，不合题意； C．1，1，，此三边构成一个等腰三角形，通过作底边上的高可得到底角为，顶角为，满足一个角是另一个角的4倍，符合题意； D．1，2，，此三边构成直角三角形，最小角为，不能满足一个角是另一个角的4倍，不合题意； 故选：C． 13．（24-25九年级下·甘肃平凉·期中）计算 结果是（     ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查特殊角的三角函数值及零指数幂的运算，需逐一计算各部分后合并同类项即可． 【规范解答】解： ， 故选：C． 14．（2025·宁夏吴忠·二模）计算： ． 【答案】/ 【思路点拨】本题主要考查了零指数幂、特殊角的三角函数值、化简绝对值以及实数运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键．首先进行零指数幂运算、特殊角的三角函数值以及化简绝对值，再进行乘法运算，然后相加减即可． 【规范解答】解：原式 ． 故答案为：． 15．（24-25九年级下·重庆开州·阶段练习）计算： ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了实数的运算，涉及零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值，根据实数的运算法则进行计算即可． 【规范解答】解：， 故答案为：． 16．（2025·四川达州·二模）计算： ． 【答案】 【思路点拨】本题考查特殊角的三角函数，分母有理化，二次根式的化简，掌握知识点是解题的关键． 根据特殊角的三角函数，分母有理化计算，再进行二次根式的化简，即可解答． 【规范解答】解：． 故答案为：． 17．（2025·湖南长沙·一模）如图，在中，，，顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上．若的面积恰好被轴平分，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了反比例函数系数的几何意义，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角函数，掌握反比例函数系数的几何意义，三角函数以及相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据反比例函数系数的几何意义，三角函数以及相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质进行计算即可． 【规范解答】解：如图，过点，点分别作轴的垂线，垂足分别为，， 点在反比例函数的图象上， ， 则， 的面积恰好被轴平分， ， 以为底的与以为底的的高相等， 即， 又 ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 18．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，射线放置在由小正方形组成的网格中，现请你仅用无刻度的直尺分别在图①、图②的网格中作射线，使的值分别为1，（不写作法，保留作图痕迹）．（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】 【思路点拨】根据正切的定义，在网格中找到对边与邻边的长度比符合要求的线段，从而确定射线的位置： ①找到从出发的一条射线，使得在某一网格线上，与形成的角的对边和邻边长度相等． 选择点 ，连接和得到射线． ②同理，对边长度为，邻边长度为， 选择点 ，连接和得到射线． 【规范解答】解：如图所示： 19．（2024·广东·模拟预测）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查了特殊角的三角函数值，实数的计算．熟练掌握特殊角的三角函数值，实数的运算顺序和法则，是解题的关键． （1）直接利用特殊角的三角函数值分别代入，再计算得出答案； （2）直接利用零指数幂、二次根式性质、特殊角的三角函数值分别求出每一部分的值，再计算得出答案. 【规范解答】（1）解： ； （2） 20．（2025·江苏泰州·三模）（1）计算： （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2），． 【思路点拨】（1）分别计算三角函数值、负指数幂、绝对值和二次根式，再进行加减运算． （2）先对括号内的式子通分，再将除法转化为乘法，因式分解后约分，最后代入求值． 【规范解答】解：（1） ； （2） ， 当时，原式． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2-1.3 特殊角的三角函数与三角函数的计算 【知识梳理+6个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共43题】 （原卷版） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：特殊角的三角函数值 1 知识点梳理02：计算器—三角函数 2 优选题型 考点讲练 2 考点1：特殊三角形的三角函数 2 考点2：特殊角三角函数值的混合运算 3 考点3：由特殊角的三角函数值判断三角形形状 3 考点4：用计算器求锐角三角函数值 4 考点5：根据特殊角三角函数值求角的度数 5 考点6：给出三角函数值，用计算器求锐角度数 6 中考真题 实战演练 7 难度分层 拔尖冲刺 8 基础夯实 8 培优拔高 9 知识点梳理01：特殊角的三角函数值 （1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值． sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝； sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1； sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝； （2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记． （3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多． 知识点梳理02：计算器—三角函数 （1）用计算器可以求出任意锐角的三角函数值，也可以根据三角函数值求出锐角的度数． （2）求锐角三角函数值的方法： 如求tan46°35′的值时，先按键“tan”，再输入角的度数46°35′，按键“＝”即可得到结果． 注意：不同型号的计算器使用方法不同． （3）已知锐角三角函数值求锐角的方法是： 如已知sinα＝0.5678，一般先按键“2ndF”，再按键“sin”，输入“0.5678”，再按键“＝”即可得到结果． 注意：一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键． 考点1：特殊三角形的三角函数 【典例精讲】（24-25九年级下·四川泸州·阶段练习）计算：． 【变式训练1】（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，连接，过反比例函数图象上的点向轴引垂线，垂足为点，交于点；过点向轴引垂线，垂足为点，交于点，若，则k＝ ． 【变式训练2】（2025九年级下·江西南昌·学业考试）（1）计算： （2）如图，在等腰中，平分交于点，平分交于点，求证：为等腰三角形． 考点2：特殊角三角函数值的混合运算 【典例精讲】（2024九年级下·广东·专题练习）计算：． 【变式训练1】（2024·北京·模拟预测）计算：． 【变式训练2】（2024·安徽·模拟预测）计算：． 考点3：由特殊角的三角函数值判断三角形形状 【典例精讲】（23-24九年级下·湖南衡阳·期中）在中， ，那么是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式训练1】（23-24九年级下·浙江衢州·期末）如果三角形满足，一个角是另一个角的倍，那么我们称这个三角形为“和谐三角形”．下列各组数据中，能作为一个“和谐三角形”三边长的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式训练2】（23-24九年级下·山东威海·月考）在中，若，，都是锐角，则的形状是 ． 考点4：用计算器求锐角三角函数值 【典例精讲】（2025九年级下·全国·专题练习）如图，中，，，，若用科学计算器求的正切值，则下列按键顺序正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（23-24九年级下·山东淄博·期中）用计算器求的值，以下按键顺序正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25九年级下·山东淄博·期中）如图是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器按此顺序输入：   ，显示屏显示的结果为将这个数据精确到0.1后，下列说法正确的是（   ）， A．的正切函数值约为 B．正切函数值为的角约是 C．的正切函数值约为 D．正切函数值为的角约是 考点5：根据特殊角三角函数值求角的度数 【典例精讲】（2025·江苏镇江·二模）（1）问题发现：如图1，在正方形中，在边上，在边上，与交于点 ，求证：． （2）问题解决：如图2，在菱形中，在边上，在射线上，与交于点 和是否仍然相等？如果是，请写出证明；如果不是，请说明理由． （3）创新应用：如图3，在矩形中，在射线（与不重合）上运动，经过点，当点在射线上时，则的长为______．   【变式训练1】（2025·辽宁本溪·二模）在中，，点D是边的中点，过点D作，过点C作，与交于点E，连接交于点G． (1)如图1，当时，，求证：； (2)如图2，当时，点F是上一点（不与C，D重合），连接，且，连接，若，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，当B，F两点之间距离最短时，直接写出的面积． 【变式训练2】（2025·天津河北·二模）在平面直角坐标系中，O为原点，平行四边形的顶点，平行四边形与平行四边形关于y轴对称． (1)填空：如图①，点B的坐标为_____，点P的坐标为_____； (2)如图②，平行四边形沿水平方向向右平移t个单位长度，得到平行四边形，点O，M，N，P的对应点分别为点，平行四边形与平行四边形重叠部分面积为S． ①若，且平行四边形与平行四边形重叠部分为四边形时，试用含有t的式子表示，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 考点6：给出三角函数值，用计算器求锐角度数 【典例精讲】（24-25九年级下·全国·单元测试）如图，为方便行人推车过天桥，市政府在10m高的天桥两端分别修建了50m长的斜道，用科学计算器计算这条斜道的倾斜角，下列按键顺序正确的是（　　） A． B．   C． D．   【变式训练1】（24-25九年级下·全国·课后作业）根据下列条件求锐角的度数； （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式训练2】（24-25九年级下·广东广州·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则AB＝ ，∠A＝ ，∠B＝ ．（角度精确到1′） 1．（2024·重庆·中考真题）如图，在菱形中，是对角线上一点（），，垂足为，以的长为半径的分别交于点，交的延长线于点与交于点，连接．若是的中点，，则 ， ． 2．（2024·山东聊城·中考真题）关于x的方程有两个相等的实数根，是一个锐角，则 ． 3．（2024·辽宁大连·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴的正半轴上，，点的坐标为，将绕点逆时针旋转，使点的对应点落在边上，则的坐标为 ． 4．（2024·四川乐山·中考真题）已知是关于x的方程的一个实数根，则锐角的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·福建龙岩·中考真题）如图，是菱形的对角线，于点E，交于点F，且E为的中点，则的值是（   ） A． B． C． D． 基础夯实 1．（2023·贵州遵义·一模）（    ） A． B．1 C．2 D．4 2．（22-23九年级下·山东济南·期中）已知为锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·山东临沂·阶段练习）在，，，，中，无理数有（　　）个． A．5 B．4 C．3 D．2 4．（2025·广东江门·三模）计算： ． 5．（24-25九年级下·山东青岛·阶段练习）计算： ． 6．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）计算： ． 7．（2025·河南郑州·模拟预测）若，则其正弦值为 ． 8．（2024·上海·模拟预测）计算： 9．（2025·甘肃武威·一模）计算： 10．（2024·广东清远·一模）（1）计算：； （2）已知一次函数的图象经过点与点，求该一次函数的表达式． 培优拔高 11．（2025·陕西榆林·模拟预测）在中，，，D为边的中点，E为边上任意一点．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 12．（2025·湖南·模拟预测）如果三角形满足一个角是另一个角的4倍，那么我们称这个三角形为“倍角三角形”．下列各组数据中，能作为一个倍角三角形三边长的一组是（   ） A．1，2，3 B．1，1， C．1，1， D．1，2， 13．（24-25九年级下·甘肃平凉·期中）计算 结果是（     ） A．2 B． C．1 D． 14．（2025·宁夏吴忠·二模）计算： ． 15．（24-25九年级下·重庆开州·阶段练习）计算： ． 16．（2025·四川达州·二模）计算： ． 17．（2025·湖南长沙·一模）如图，在中，，，顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上．若的面积恰好被轴平分，则 ． 18．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，射线放置在由小正方形组成的网格中，现请你仅用无刻度的直尺分别在图①、图②的网格中作射线，使的值分别为1，（不写作法，保留作图痕迹）．（不写作法，保留作图痕迹）． 19．（2024·广东·模拟预测）计算 (1) (2) 20．（2025·江苏泰州·三模）（1）计算： （2）先化简，再求值：，其中． 学科网（北京）股份有限公司 $