专题3.8 抛物线的几何性质（高效培优讲义）数学苏教版2019高二选择性必修第一册

专题3.8 抛物线的几何性质 教学目标 1. 掌握抛物线的简单几何性质及其简单应用 2. 能借助抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离与该点到准线的距离进行相互转化，从而解决相关问题． 3.在探索抛物线几何性质的过程中，发展直观想象素养，通过几何性质的应用转化，发展数学运算素养． 教学重难点 1.重点 抛物线的简单几何性质． 2.难点 抛物线几何性质的运用． 知识点01 抛物线的几何性质 抛物线的简单几何性质： 标准 方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 图形 顶点 (0,0) (0,0) 轴 对称轴y=0 对称轴x=0 焦点 准线 离心率 e =1 e=1 开口 开口向右 开口向左 开口向上 开口向下 焦半径 范围 x≥0 x≤0 y≥0 y≤0 注意：强调p的几何意义：表示焦点到准线的距离． 【即学即练】 1．抛物线的焦点到准线的距离为（  ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】利用抛物线的标准方程可得，由焦点到准线的距离为，从而得到结果. 【解析】抛物线的焦点到准线的距离为， 由抛物线标准方程可得， 故选：C. 2．（多选）对于抛物线上，下列描述正确的是（  ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程为 【答案】AC 【分析】写出标准形式即，即可得到相关结论 【解析】由抛物线，即，可知抛物线的开口向上，焦点坐标为，焦点到准线的距离为4，准线方程为． 故选：AC 知识点02 抛物线标准方程的几何性质的进一步说明 以为例: 范围：，， 抛物线（）在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标的横坐标满足不等式；当x的值增大时，也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．抛物线是无界曲线． 对称性：关于x轴对称 抛物线（）关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．抛物线只有一条对称轴． 顶点：坐标原点 抛物线（）和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．抛物线的顶点坐标是． 离心率：． 抛物线（）上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率．用e 表示，． 抛物线的通径 通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径． 因为通过抛物线（）的焦点而垂直于x轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为，，所以抛物线的通径长为．这就是抛物线标准方程中的一种几何意义．另一方面，由通径的定义我们还可以看出，刻画了抛物线开口的大小，值越大，开口越宽；值越小，开口越窄． 【即学即练】 1．已知抛物线恰好经过圆的圆心，则的准线方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】圆的圆心为， 将圆心的坐标代入抛物线的方程得，解得， 故抛物线的方程为，标准方程为， 则，所以，，故抛物线的准线方程为. 故选：C. 2．抛物线的通径长为 【答案】/ 【分析】根据抛物线的通径的定义进行求解即可. 【解析】由，所以该抛物线的焦点坐标为， 把代入中，得， 所以抛物线的通径长为， 故答案为： 知识点03 焦半径公式 设抛物线上一点的坐标为，焦点为． 1、 抛物线，． 2、抛物线，． 3、抛物线，． 4、抛物线，． 【即学即练】 1．已知抛物线的方程为，为抛物线的焦点，则 【答案】 【分析】利用抛物线的定义可得x0－(－2)＝5，求得x0＝3代入抛物线方程中可求出y的值，从而可求出点P的坐标 【解析】如图所示：    由图及抛物线定义可得焦半径为： ， 故答案为： 2．已知点P在抛物线C：上，且点P到C的焦点F的距离为，则点P到x轴的距离为 . 【答案】4 【分析】设，，根据焦半径公式得到方程，求出，得到答案. 【解析】由，得，则抛物线C的准线方程为. 设，，则，∴， ∴点P到轴的距离为4. 故答案为：4 题型01 利用抛物线的几何性质求方程 【典例1】已知抛物线C关于y轴对称，顶点在坐标原点，且焦点在直线上，则抛物线C的标准方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直线与y轴的交点坐标，得抛物线的焦点，进而可得抛物线的标准方程． 【解析】直线与y轴的交点为， 所以抛物线C的焦点为，故，解得， 所以抛物线C的标准方程为． 故选：D． 利用抛物线的简单几何性质求抛物线标准方程应把握三个要点: (1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准一次项是x还是y，一次项的系数是正还是负． (2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴． (3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1. 【变式1】点到抛物线的准线的距离为6，那么该抛物线的标准方程是（  ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】将转化为，分类讨论和两种情况，利用抛物线性质，列出关于a的方程求解即可. 【解析】将转化为, 当时，抛物线开口向上，准线方程， 点到准线的距离为，解得， 所以抛物线方程为，即； 当时，抛物线开口向下，准线方程， 点到准线的距离为，解得或（舍去）， 所以抛物线方程为，即. 所以抛物线的方程为或 故选：D. 【变式2】设抛物线：的焦点为，在上，，则的方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用抛物线性质知抛物线的开口向上，利用列出关于的方程求解即可. 【解析】抛物线的开口向上， 由于在上，且， 根据抛物线的定义可知， 所以抛物线的方程为. 故选：A 【变式3】边长为1的等边，O为坐标原点，x轴，以O为顶点且过的抛物线方程是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用抛物线性质求解即可. 【解析】设抛物线方程为.设， 由题意得，，解得，， 取点A在x轴上方，故，代入抛物线中， 则有，解得， 所以抛物线方程为. 故选：C 【变式4】焦点在直线上的抛物线的标准方程为 ． 【答案】或 【分析】先求出直线与坐标轴的点的坐标，然后根据抛物线方程的定义求出结果即可. 【解析】抛物线的标准方程中，焦点必在坐标轴上，先求直线和坐标轴的交点： 直线与轴的交点为，与轴的交点为， 所以抛物线的焦点为或． 当焦点为时，抛物线方程为；当焦点为时，抛物线方程为． 综上，抛物线的标准方程为或． 故答案为：或． 题型02 抛物线的对称性及其应用 【典例1】已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为____________ 【答案】 【分析】设另外两个顶点的坐标分别为，由图形的对称性可以得到方程，解此方程得到的值，即可得到答案. 【解析】由题意，依据抛物线的对称性，及等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上， 可设另外两个顶点的坐标分别为， ，解得， 故这个等边三角形的边长为. 故答案为：. 利用抛物线方程确定抛物线关于哪个坐标轴对称,从而解决问题,抛物线的的对称性主要用于解决抛物线的内接三角形问题. 【变式1】若点在抛物线上，则下列点中一定在该抛物线上的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用抛物线关于x轴对称求解即可 【解析】由抛物线关于x轴对称易知，点一定在该抛物线上. 故选：B. 【变式2】等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（  ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】正三角形的另外两个顶点关于轴对称，设另外两个顶点坐标分别是，把顶点代入抛物线方程化简即可求解. 【解析】设正三角形得边长为， 由图可知正三角形的另外两个顶点关于轴对称，可设另外两个顶点坐标分别是， 把顶点代入抛物线方程得解得， 所以正三角形的边长为. 故选：D. 【变式3】已知正方形的边长为2，其中一个顶点为原点，另外三个顶点中有两个在抛物线上，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，不妨设在坐标原点，则关于轴对称，可求得的坐标，进而计算可求得. 【解析】因为正方形的边长为2，其中三个顶点在抛物线上， 则不妨设在坐标原点，则关于轴对称， 所以， 所以，解得. 故答案为：. 【变式4】已知抛物线与椭圆相交于A，B两点，若，则 . 【答案】/ 【分析】设点，根据椭圆和抛物线的对称性求得，然后代入椭圆方程可得点，最后代入抛物线方程计算即可. 【解析】由椭圆和抛物线的对称性，知轴，且关于轴对称， 不妨设，则，， 由可知，代入得，即， 再将代入可得，解得. 故答案为：. 题型03 抛物线中的三角形周长与面积 【典例1】已知抛物线，从抛物线内一点发出平行于轴的光线经过扡物线上点反射后交抛物线于点，则的面积为 . 【答案】 【分析】根据抛物线求出交点横坐标，再结合面积公式与抛物线的焦点弦的性质求解即可. 【解析】由抛物线的光学性质知，直线与轴的交点为抛物线的焦点， 的焦点为，故与轴的交点横坐标为， 根据题意，画出草图，如下图所示， 令得，解得，又过焦点， 所以方程为：， 即，联立， 得，解得或，所以 ∴的边上的高为， 又， 所以， 故答案为：. 【变式1】已知抛物线：（）的焦点关于其准线的对称点为,若为坐标原点，过焦点且斜率为1的直线交抛物线于、两点，则的面积为_______________. 【答案】. 【分析】根据抛物线求出，再结合面积公式与抛物线的焦点弦的性质求解即可. 【解析】抛物线：的焦点关于其准线的对称点为， 于是，解得：， 所以抛物线的方程为. ，直线的方程为，设，， 由消去x得：，则， 所以的面积. 故答案为： 【变式2】已知抛物线的焦点为F，点在C的内部，若点B是抛物线C上的一个动点，且周长的最小值为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【分析】过点作准线的垂线，垂足为，交轴于，结合的周长为，结合两点间距离公式计算可得． 【解析】如图，过点作准线的垂线，垂足为，交轴于， 抛物线为，准线l的方程为 B到准线的距离为d，则由抛物线的定义可知， 所以的周长为， , , 故选：B． 【变式3】（多选）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（  ） A． B． C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形 【答案】AC 【分析】先求得焦点坐标，从而求得，根据弦长公式求得，根据圆与等腰三角形的知识确定正确答案. 【解析】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点， 所以，则A选项正确，且抛物线的方程为. B选项：设， 由消去并化简得， 解得，所以，B选项错误. C选项：设的中点为，到直线的距离分别为， 因为， 即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确. D选项：直线，即， 到直线的距离为， 所以三角形的面积为， 由上述分析可知， 所以， 所以三角形不是等腰三角形，D选项错误. 故选：AC. 【变式4】已知直线与抛物线交于两点，且． (1)求； (2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值． 【答案】(1);(2) 【分析】（1）利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出； （2）设直线：，利用，找到的关系，以及的面积表达式，再结合函数的性质即可求出其最小值． 【解析】（1）设， 由可得，，所以， 所以， 即，因为，解得：． （2）因为，显然直线的斜率不可能为零， 设直线：，， 由可得，，所以，， ， 因为，所以， 即， 亦即， 将代入得， ，， 所以，且，解得或． 设点到直线的距离为，所以， ， 所以的面积， 而或，所以， 当时，的面积 题型04 焦半径公式的应用 【典例1】已知为坐标原点，为抛物线的焦点，点在上，且，则（  ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】由抛物线定义及得，进而将点代入抛物线方程即可得. 【解析】由抛物线的定义，知，又，， 所以，即， 由点在上，得， 结合，解得. 故选：C 【变式1】设抛物线的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，，A为垂足，如果直线的斜率为，则（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】由抛物线，求出焦点，再结合题意求出直线的方程为：，在求出点及点，从而可求解. 【解析】由抛物线，则焦点，准线：， 又因为直线的斜率为，则直线的方程为：， 因，所以可得点， 又，所以，即得点， 则. 故选：C. 【变式2】已知抛物线的焦点为，在C上，则 ． 【答案】5 【分析】利用抛物线的焦半径公式即可求解. 【解析】抛物线为，， 在C上，. 故答案为：5. 【变式3】已知抛物线，过焦点P的直线交抛物线C于A，B两点，且线段的长是焦半径长的3倍，则直线的斜率为 ． 【答案】 【分析】利用抛物线的焦半径公式即可求解. 【解析】设直线的倾斜角为，则． 因为线段的长是焦半径长的3倍，所以，故， 当时，，， 则，解得，所以直线的斜率为 同理可得当时，，所以直线的斜率为． 综上，直线的斜率为 故答案为： 题型05 抛物线的实际应用问题 【典例1】如图，抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射的一种装置.当旋转抛物面的主光轴指向太阳的时候，平行的太阳光线入射到旋转抛物面表面，经过反光材料的反射，这些反射光线都从它的焦点处通过，形成太阳光线的高密集区，抛物面的焦点在它的主光轴上.现有一拋物线型太阳灶，灶口直径为，灶深为，则焦点到灶底（抛物线的顶点）的距离为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据在可得，即可求解. 【解析】建立如图所示的直角坐标系，设抛物线方程为， 由题意可知在抛物线上，故， 因此焦点到灶底（抛物线的顶点）的距离为， 故选：D. 抛物线的实际应用问题常主要涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解． 处理抛物线的实际应用问题的五个步骤: 【变式1】如图，一座抛物线形拱桥，当桥洞内水面宽16m时，拱顶距离水面4m，当水面下降1m后，桥洞内水面宽为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为轴，过原点且垂直于轴的直线为轴建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为，分析可知点在该抛物线上，求出的值，可得出抛物线的方程，将代入抛物线方程，即可得出结果. 【解析】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为轴，过原点且垂直于轴的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的方程为，由题意可知点在抛物线上， 所以，可得，所以抛物线的方程为， 当水面下降后，即当时，，可得， 因此，当水面下降后，桥洞内水面宽为. 故选：D. 【变式2】图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，则焦点的坐标为（  ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，设抛物线方程为且，结合点在抛物线上求参数，即可得焦点坐标. 【解析】由题意，设抛物线方程为且，显然点在抛物线上， 所以，则，故焦点的坐标为. 故选：B 【变式3】已知某条河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽8米，一条木船宽4米，木船露出水面上的部分高为0.75米. (1)建立适当的坐标系，求拱桥所在抛物线的方程； (2)当水面上涨0.5米时，木船能否通行？ (3)当水面上涨多少米时，木船开始不能通行？ 【答案】(1);(2)能;(3)3 【分析】（1）根据题意建立平面直角坐标系并设出抛物线的方程，进而求出方程; （2）（3）根据已知条件及（1）的结论，结合点在抛物线上即可求解； 【解析】（1）以拱顶为原点，拱桥的对称轴为轴建立直角坐标系.如图所示    设抛物线的方程为，则 点在抛物线上，代入方程得， 所以抛物线的方程为. （2）当水面上涨0.5米时，木船与拱顶的距离为3.75米， 设，代入方程得，故，则 ， 所以木船能通行； （3）假设当水面上涨米时，木船开始不能通行，此时木船与拱桥接触，且与拱顶的距离为， 把代入方程，得， 故，由，得. 所以当水面上涨3米时，木船开始不能通行. 1．下列关于抛物线的图象描述正确的是（  ） A．开口向上，焦点为 B．开口向右，焦点为 C．开口向上，焦点为 D．开口向右，焦点为 【答案】A 【分析】利用抛物线方程，判断开口方向以及焦点坐标即可. 【解析】抛物线，即， 可知抛物线的开口向上，焦点坐标为. 故选：A. 2．已知，则方程表示的曲线可能是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由方程得或，通过分类讨论，结合抛物线的性质、直线的斜率及截距等知识进行判断即可. 【解析】方程，得或， 当时，则有 或，分别表示开口向上的抛物线满足的部分和斜率为正且在轴上截距为正的直线，故A，B，D不符合，C符合； 当时，则有 或，分别表示开口向上的抛物线满足的部分和斜率为负且在轴上截距为负的直线，故A，B，C，D均不符合， 综上，方程表示的曲线可能是C. 故选：C. 3．已知为抛物的焦点，给出以下三个条件：①点均在抛物线上；②；③中存在横坐标大于2的点．则同时满足这三个条件的三角形有（  ） A．0个 B．21 C．有限个且多于2个 D．无限个 【答案】A 【解析】假设有这样的三角形存在，因为在抛物线上，焦点， 设，则，，， 因为，所以，， 设第一象限的点的横坐标大于2，假设，则， 则，故， 所以，显然不成立， 所以不存在这样的三角形满足这3个条件. 故选：A 4．已知点为抛物线的焦点，直线与该抛物线交于A，B两点，点为的中点，过点向该抛物线的准线作垂线，垂足为.若，则（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】根据题意，过点分别向该抛物线的准线作垂线，垂足分别为， 所以，所以， 设，， 根据定义可得， 联立，可得，，则， ，解得. 故选：B. 5．连接抛物线的焦点F与点所得的线段与抛物线交于点A，设点O为坐标原点，则三角形OAM的面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出直线所在的直线方程为，再求出点的纵坐标，即得解. 【解析】抛物线的焦点为且， 所以直线所在的直线方程为， 与抛物线方程联立有， 解得，， 因为点是线段与抛物线的交点，所以点的纵坐标为， 所以． 故选：B． 6．在平面直角坐标系中，抛物线为轴正半轴上一点，线段的垂直平分线交于两点，若，则三角形的周长为（  ） A． B．64 C． D．80 【答案】A 【分析】线段的垂直平分线交于两点,结合抛物线的对称性可得与互相平分,则四边形为菱形,可设点坐标,通过几何关系求出点坐标,在代入抛物线方程即可求解. 【解析】因为线段的垂直平分线交于两点， 所以结合抛物线的对称性可得与互相平分,则四边形为菱形. 设点且则线段的垂直平分线方程为， 令与轴交于点,又，    则在直角三角形中 继而可得， 所以点坐标为， 代入抛物线，可得，解得， 直角三角形中, 所以三角形的周长为. 故选：A. 7．（多选）以直线与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为（ ） A B. C. D. 【答案】AC 【分析】根据条件求抛物线的焦点坐标，再求抛物线的标准方程. 【解析】直线与轴的交点坐标是，即抛物线的焦点坐标是，此时抛物线的标准方程，与轴的交点坐标是，抛物线的焦点坐标是，此时抛物线的标准方程是. 故选：AC 8．（多选）已知抛物线（如图），过抛物线焦点的直线自上而下，分别交抛物线和圆于，，，四点，则（ ） A. B. C. 当直线的斜率为时， D. 【答案】ABD 【分析】根据联立直线方程与抛物线方程，即可得韦达定理，进而由向量的坐标运算即可求解A，根据焦半径即可求解BC，结合基本不等式即可求解D. 【解析】由题意可得， 设直线方程为，， 则，，所以， 对于A，，故A正确， 对于B，，B正确， 对于C，当直线斜率为时，直线方程为，联立直线与抛物线方程可得， 解得，所以， 所以，故C错误， 对于D， ， 将代入可得， 所以， 等号成立当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：ABD. 9．（多选）已知抛物线，过其焦点的直线与抛物线交于，两点，在第一象限，抛物线的准线与轴交于点，则（  ） A． B．时， C．以为直径的圆与准线相切 D． 【答案】ACD 【解析】A选项，设过焦点的直线方程为， 联立，可得，， ，，则，故A正确； B选项，，故， 当时，，解得， 由对称性，不妨设，则，， 解得，，此时， ，显然，故B错误； C选项，，，的中点坐标为， 到准线的距离为， 所以，以为直径的圆与准线相切，C正确；    D选项，， ， ，故D正确. 故选：ACD. 10．已知抛物线的焦点为，倾斜角为的直线l过点F，若l与C相交于A，B两点，则以AB为直径的圆被y轴截得的弦长为 ． 【答案】 【解析】由抛物线的焦点为，得抛物线的方程为， 直线方程为，由，消去得，设， 则，线段中点， ，则以AB为直径的圆为， 令，得，所以该圆被y轴截得的弦长为. 故答案为： 11．已知抛物线的焦点为，准线为，若点在上，点在上，且是周长为12的正三角形.则抛物线的方程为 . 【答案】 【解析】由是周长为12的等边三角形，得， 又由抛物线的定义可得.设准线与轴交于，则， 从而， 在中，，即. 所以抛物线的方程为. 故答案为： 12．抛物线的准线为l，M为上的动点，则点到与到直线的距离之和的最小值为_____________ 【答案】 【分析】利用抛物线的定义将问题转化为焦点到直线的距离即可求解. 【解析】 如图，抛物线的焦点为, 根据抛物线的定义可知，点到的距离等于, 所以点到与到直线的距离之和即为与到直线的距离之和， 由图可知，与到直线的距离之和的最小值为焦点到直线的距离， 所以即为所求， 故答案为: 13．如图，已知抛物线的焦点为F，点M在其准线上，，直线MF的倾斜角为，且与C交于A，B两点，O为坐标原点 (1)求C的方程； (2)求的面积. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为直线的倾斜角为，记准线与x轴交点为K， 易知为等腰直角三角形，且， 所以焦点到准线的距离为2，即， 所以抛物线的方程为. （2）由（1）可得，， 因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即的方程为， 联立可得， 所以 所以， 又点到直线AB的距离， 所以的面积. 14．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点. （1）求的最小值； （2）判断点是否在以为直径的圆上，并说明理由. 【答案】（1）11 （2）在，理由见解析 【分析】（1）需对直线分斜率存在和不存在，分别将两种情况下的直线与抛物线联立，从而求解. （2）由（1）知分情况对以为直径的圆对点进行验证，从而求解． 【解析】（1）从而求（2）由（1）中当直线斜率，由题意知：抛物线焦点，准线：， 直线过定点，且定点在抛物线内，所以得：直线的斜率不为0， 设直线方程为， 当时，直线率不存在，即直线方程为：， 此时：，， 所以：； 当时，即直线斜率存在时，得直线方程为：， 将直线与抛物线联立得：，化简得：， ， 设：，，由根与系数关系得：， ， 所以：当直线斜率存在时，的最小值为：. 综上所述：的最小值为：. （2）在，理由如下： 由（1）知：当直线斜率不存在时：直线为：，， 以为直径的圆方程为：， 将代入得：，所以点在以为直径圆上； 当直线斜率存在时：由（1）知：，， ， 所以得：，， 所以得：点在以为直径的圆上. 综上所述：点在以为直径的圆上. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.8 抛物线的几何性质 教学目标 1. 掌握抛物线的简单几何性质及其简单应用 2. 能借助抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离与该点到准线的距离进行相互转化，从而解决相关问题． 3.在探索抛物线几何性质的过程中，发展直观想象素养，通过几何性质的应用转化，发展数学运算素养． 教学重难点 1.重点 抛物线的简单几何性质． 2.难点 抛物线几何性质的运用． 知识点01 抛物线的几何性质 抛物线的简单几何性质： 标准 方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 图形 顶点 轴 焦点 准线 离心率 开口 开口向_______ 开口向_______ 开口向_______ 开口向_______ 焦半径 范围 注意：强调p的几何意义：表示焦点到准线的距离． 【即学即练】 1．抛物线的焦点到准线的距离为（  ） A．4 B．2 C．1 D． 2．（多选）对于抛物线上，下列描述正确的是（  ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程为 知识点02 抛物线标准方程的几何性质的进一步说明 以为例: 范围：，， 抛物线（）在y轴的右侧，开口向_______，这条抛物线上的任意一点M的坐标的横坐标满足不等式；当x的值增大时，也_______，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．抛物线是无界曲线． 对称性：关于_______对称 抛物线（）关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．抛物线只有_______对称轴． 顶点：坐标原点 抛物线（）和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．抛物线的顶点坐标是． 离心率：． 抛物线（）上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率．用e 表示，_______． 抛物线的通径 通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径． 因为通过抛物线（）的焦点而垂直于x轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为，，所以抛物线的通径长为_______．这就是抛物线标准方程中的一种几何意义．另一方面，由通径的定义我们还可以看出，刻画了抛物线开口的大小，值越大，开口越宽；值越小，开口越窄． 【即学即练】 1．已知抛物线恰好经过圆的圆心，则的准线方程为（  ） A． B． C． D． 2．抛物线的通径长为 知识点03 焦半径公式 设抛物线上一点的坐标为，焦点为． 1、 抛物线，． 2、抛物线，． 3、抛物线，． 4、抛物线，． 【即学即练】 1．已知抛物线的方程为，为抛物线的焦点，则 2．已知点P在抛物线C：上，且点P到C的焦点F的距离为，则点P到x轴的距离为 . 题型01 利用抛物线的几何性质求方程 【典例1】已知抛物线C关于y轴对称，顶点在坐标原点，且焦点在直线上，则抛物线C的标准方程为（  ） A． B． C． D． 利用抛物线的简单几何性质求抛物线标准方程应把握三个要点: (1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准一次项是x还是y，一次项的系数是正还是负． (2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴． (3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1. 【变式1】点到抛物线的准线的距离为6，那么该抛物线的标准方程是（  ） A． B．或 C． D．或 【变式2】设抛物线：的焦点为，在上，，则的方程为（  ） A． B． C． D． 【变式3】边长为1的等边，O为坐标原点，x轴，以O为顶点且过的抛物线方程是（  ） A． B． C． D． 【变式4】焦点在直线上的抛物线的标准方程为 ． 题型02 抛物线的对称性及其应用 【典例1】已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为____________ 利用抛物线方程确定抛物线关于哪个坐标轴对称,从而解决问题,抛物线的的对称性主要用于解决抛物线的内接三角形问题. 【变式1】若点在抛物线上，则下列点中一定在该抛物线上的是（  ） A． B． C． D． 【变式2】等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（  ） A．2 B． C．4 D． 【变式3】已知正方形的边长为2，其中一个顶点为原点，另外三个顶点中有两个在抛物线上，则 ． 【变式4】已知抛物线与椭圆相交于A，B两点，若，则 . 题型03 抛物线中的三角形周长与面积 【典例1】已知抛物线，从抛物线内一点发出平行于轴的光线经过扡物线上点反射后交抛物线于点，则的面积为 . 【变式1】已知抛物线：（）的焦点关于其准线的对称点为,若为坐标原点，过焦点且斜率为1的直线交抛物线于、两点，则的面积为_______________. 【变式2】已知抛物线的焦点为F，点在C的内部，若点B是抛物线C上的一个动点，且周长的最小值为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【变式3】（多选）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（  ） A． B． C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形 【变式4】已知直线与抛物线交于两点，且． (1)求； (2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值． 题型04 焦半径公式的应用 【典例1】已知为坐标原点，为抛物线的焦点，点在上，且，则（  ） A．1 B．2 C．4 D．8 【变式1】设抛物线的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，，A为垂足，如果直线的斜率为，则（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】已知抛物线的焦点为，在C上，则 ． 【变式3】已知抛物线，过焦点P的直线交抛物线C于A，B两点，且线段的长是焦半径长的3倍，则直线的斜率为 ． 题型05 抛物线的实际应用问题 【典例1】如图，抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射的一种装置.当旋转抛物面的主光轴指向太阳的时候，平行的太阳光线入射到旋转抛物面表面，经过反光材料的反射，这些反射光线都从它的焦点处通过，形成太阳光线的高密集区，抛物面的焦点在它的主光轴上.现有一拋物线型太阳灶，灶口直径为，灶深为，则焦点到灶底（抛物线的顶点）的距离为（  ） A． B． C． D． 抛物线的实际应用问题常主要涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解． 处理抛物线的实际应用问题的五个步骤: 【变式1】如图，一座抛物线形拱桥，当桥洞内水面宽16m时，拱顶距离水面4m，当水面下降1m后，桥洞内水面宽为（  ） A． B． C． D． 【变式2】图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，则焦点的坐标为（  ）    A． B． C． D． 【变式3】已知某条河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽8米，一条木船宽4米，木船露出水面上的部分高为0.75米. (1)建立适当的坐标系，求拱桥所在抛物线的方程； (2)当水面上涨0.5米时，木船能否通行？ (3)当水面上涨多少米时，木船开始不能通行？ 1．下列关于抛物线的图象描述正确的是（  ） A．开口向上，焦点为 B．开口向右，焦点为 C．开口向上，焦点为 D．开口向右，焦点为 2．已知，则方程表示的曲线可能是（  ） A． B． C． D． 3．已知为抛物的焦点，给出以下三个条件：①点均在抛物线上；②；③中存在横坐标大于2的点．则同时满足这三个条件的三角形有（  ） A．0个 B．21 C．有限个且多于2个 D．无限个 4．已知点为抛物线的焦点，直线与该抛物线交于A，B两点，点为的中点，过点向该抛物线的准线作垂线，垂足为.若，则（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．连接抛物线的焦点F与点所得的线段与抛物线交于点A，设点O为坐标原点，则三角形OAM的面积为（  ） A． B． C． D． 6．在平面直角坐标系中，抛物线为轴正半轴上一点，线段的垂直平分线交于两点，若，则三角形的周长为（  ） A． B．64 C． D．80 7．（多选）以直线与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为（ ） A B. C. D. 8．（多选）已知抛物线（如图），过抛物线焦点的直线自上而下，分别交抛物线和圆于，，，四点，则（ ） A. B. C. 当直线的斜率为时， D. 9．（多选）已知抛物线，过其焦点的直线与抛物线交于，两点，在第一象限，抛物线的准线与轴交于点，则（  ） A． B．时， C．以为直径的圆与准线相切 D． 10．已知抛物线的焦点为，倾斜角为的直线l过点F，若l与C相交于A，B两点，则以AB为直径的圆被y轴截得的弦长为 ． 11．已知抛物线的焦点为，准线为，若点在上，点在上，且是周长为12的正三角形.则抛物线的方程为 . 12．抛物线的准线为l，M为上的动点，则点到与到直线的距离之和的最小值为_____________ 13．如图，已知抛物线的焦点为F，点M在其准线上，，直线MF的倾斜角为，且与C交于A，B两点，O为坐标原点 (1)求C的方程； (2)求的面积. 14．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点. （1）求的最小值； （2）判断点是否在以为直径的圆上，并说明理由. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $