专题09 球（柱）体模型（讲义）物理人教版2019选择性必修第一册

专题09 球（柱）体模型 1.圆界面的法线是过圆心的直线，经过两次折射后光线向圆心偏折 2.球形介质对光的偏折有对称性。 【例1】如图，一个半径为R的玻璃球，O点为球心。球面内侧单色点光源S发出的一束光在A点射出，出射光线AB与球直径SC平行，θ＝ 30°。光在真空中的传播速度为c。求： (1)玻璃的折射率； (2)从S发出的光线经多次全反射回到S点的最短时间。 【答案】　(1)　(2) 【解析】　(1)根据题意将光路图补充完整，如图所示 根据几何关系可知 θ1＝θ＝30°，θ2＝60° 根据折射定律有 n＝ 解得n＝ (2)设全反射的临界角为C，则 sin C＝＝，则C<45° 光在玻璃球内的传播速度有v＝ 根据几何关系可知当θ＝ 45°，即光路为圆的内接正方形时，从S发出的光线经多次全反射回到S点的时间最短，则正方形的边长x＝R 则最短时间为t＝＝。 【总结提升】 (1)解决几何光学问题应先根据折射定律和反射定律准确画好光路图。 (2)充分利用光的可逆性、对称性、相似性等几何关系以及边角关系。　 【例2】如图甲所示，AB为半圆的直径，O为圆心，在O点左侧用红色激光笔从E点垂直AB射入的红光进入半球形介质后在上表面的入射角恰好等于全反射的临界角C＝45°。 (1)求半球形介质的折射率； (2)若取用半球形介质制成环状介质砖，如图乙所示，内径为R、外径为R′＝R的环状介质砖的圆心为O，一束平行于水平轴O′O的光线由A点进入介质砖，到达B点(图中未标出)刚好发生全反射，求A点处光线的入射角和折射角。 【答案】　(1)　(2)45°　30° 【解析】　(1)由全反射临界角的公式有sin C＝ 即sin 45°＝＝，半球形介质的折射率n＝。 (2)光线平行于O′O方向射向球面，到达B点刚好发生全反射，在B点的入射角等于临界角C。在△OAB 中，OA＝R，OB＝R，由正弦定理得＝ 可得sin r＝ 则A点处光线的折射角r＝30° 由n＝解得A点处光线的入射角i＝45°。 【例3】电子产品中常用到发光二极管，其中一种是由半径为R的半球体透明介质和发光管芯组成，管芯发光部分是一个圆心与半球体介质的球心O重合的圆面，如图所示，PQ为发光圆面的直径，圆弧ABC在半球体介质过球心O的纵截面上，B、D分别为圆弧ABC、BDC的中点。由PQ上的M点发出的一条光线MD经D点折射出去后与OB平行，已知θ＝75°。 (1)求半球体介质的折射率及光从该介质射入空气中的临界角； (2)为使从发光圆面射向半球面上的所有光线都能直接射出，则管芯发光圆面的面积最大为多少？ 【答案】　(1)　45°　(2) 【解析】　(1)如图甲所示，由几何关系得光线射到D点的入射角、折射角分别为θ2＝30°、θ1＝45° 甲 则半球体介质的折射率n＝＝ 又sin C＝，解得临界角C＝45°。 (2)如图乙所示 乙 由正弦定理得＝ 整理得sin α＝sin β 当β＝90°时，α最大，即从P或Q点垂直于PQ发出的光线射到球面上时入射角最大，则 sin αmax＝ 所有光都能直接射出，应满足sin αmax<sin C，解得r< 管芯发光圆面的面积最大为S＝π＝。 一、单选题 1．如图所示，由某种新型材料制成的截面为半圆形的透明材料板。若用激光（光束a）从底面中心O点垂直底面射入材料板，将从Q点射出；若将该激光以与AP成37°角从P点射入材料板（光束b），恰好也从Q点射出。已知，光在真空中传播的速度为c，则以下说法正确的是（　　） A．该材料对光束的折射率为 B．该材料对光束的折射率为 C．光束在材料板中的传播速度为 D．光束从点射出后的光线与光束平行 【答案】D 【详解】AB．材料对光的折射率由材料和光的频率决定，材料和入射光相同，折射率相同，材料板对激光的折射率，AB错误； C．光束在材料板中的传播速度为，C错误； D．出射点Q所在的切线与AB平行，由几何关系和折射定律可得，出射光线与光束b平行，D正确。 故选D。 2．如图所示，ABC为一半圆形玻璃砖，O为玻璃砖的圆心，AC为直径，OB垂直AC，AC边所在底面上镀有一层反射膜。一细光束沿垂直于AC方向经弧面上P点射入玻璃砖，已知P点到AC的距离为圆弧半径的一半，若这束光被AC边反射后恰好射向顶点B，则玻璃砖的折射率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意，由折射定律和反射定律画出光路图，如图所示： 设玻璃砖的半径为R，因为P点到AC的距离为圆弧半径的一半，所以P点到AC的距离为 由勾股定理可得的长度为 设入射角为，根据几何关系有 所以 由于这束光被AC边反射后恰好射向顶点B，所以根据几何关系有 故 解得 所以折射角为 根据折射定律有 故选A。 3．如图所示，圆形透明介质半径为R、折射率为n。O为圆形介质的圆心，P为边界上的一点，S、Q为同一条直径上的两个点，PS长度为L。一束光线沿PQ方向从真空照射到边界的P点上，折射后折射光线经过S点，等于，则OS长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据折射定律可得 由题意可知三角形和三角形相似，所以 根据正弦定理可得 其中 联立，解得 故选B。 4．如图所示，半径为R的玻璃球缺，底面半径为球体半径的倍，已知该玻璃的折射率为。现用激光笔从球面上的M点垂直底面射向玻璃球缺，激光束的延长线过底面边缘上的A点。则折射光线与底边的交点到A的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设球半径为R，球冠底面中心为，连接，则垂直AB，设，则 可知 已知MA⊥AB，所以 设图中N点为光线在球冠内地面上的反射点，光路图如图所示 设光线在M点的入射角为，折射角为r，由于等边三角形，所以入射角 由折射定律得 代入数据得 则 故 故选D。 5．光滑半球形的碗底水平放置一枚硬币，小明同学站在某一位置恰好仅能看到硬币边缘一点，将碗中注满透明液体后，恰好能看到整个硬币，已知硬币的半径为碗半径的，该透明液体的折射率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设碗的半径为R，作前后两次的光路图，如下图所示，由几何关系可知，， 根据 解得，故C正确，ABD错误。 故选C。 6．某柱形光学元件的横截面如图所示，ACD是以D点为圆心，以R为半径的四分之一圆，一束单色光平行DC边从AD边射入该光学元件。已知该单色光在光学元件中的折射率为n=2，真空中光速为c，只考虑第一次射到圆弧AC上的光，则下列说法正确的是（　　） A．AC圆弧上有光射出的部分与没有光射出的部分的弧长之比为2∶1 B．从距D点处入射的光由该光学元件射出后恰与AD边平行 C．从AD中点入射的光在光学元件中传播所需要的时间为 D．换成另一束频率大的单色光平行DC边入射，AC圆弧上能出射光的部分增加 【答案】B 【详解】A．根据题意有 则 恰好发生全反射时的光路图如图所示 则圆弧上有光线射出，AC圆弧上有光射出的部分与没有光射出的部分的弧长之比为，故A错误； B．设从距D点处入射的光射到圆弧上的入射角为，则 则 故反射角也为，反射光线与入射光线垂直，即反射光线垂直，射出时方向不变，故射出后恰与AD边平行，故B正确； C．从AD中点入射的光射到圆弧上时的入射角为，恰好发生全反射，射到上的入射点设为，如图所示 因只考虑第一次射到圆弧AC上的光，则光从E点发生全反射射到F点的路程为 又， 解得射到F点的时间为，但光射到F点后仍能发生全反射，射回到介质中，则光在光学元件中传播的时间大于，故C错误； D．单色光的频率越大，光学元件对该单色光的折射率越大，由可知，临界角越小，则平行DC边入射的单色光中恰好发生全反射的那条光线的入射点会向下移，故换成另一束频率大的单色光平行DC边入射，AC圆弧上能出射光的部分减少，故D错误。 故选B。 7．如图所示为半径为的半圆形玻璃砖的截面，为圆心，一束单色光斜射到平面上的点，入射角，折射光线照射到圆弧面上时刚好发生全反射，已知玻璃砖对该光的折射率为，则间的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设折射角为，根据折射定律有 解得 设全反射临界角为，则 根据正弦定理 解得 故选D。 8．如图，ABC为半圆柱体透明介质的横截面，AC为直径，B为ABC的中点。真空中一束单色光从AC边射入介质，入射点为A点，折射光直接由B点出射。不考虑光的多次反射，下列说法正确的是（　　） A．入射角θ小于45° B．该介质折射率大于 C．增大入射角，该单色光在BC上可能发生全反射 D．减小入射角，该单色光在AB上可能发生全反射 【答案】D 【详解】AB．根据题意，画出光路图，如图所示 由几何关系可知，折射角为45°，则由折射定律有 则有， 解得 故AB错误； C．根据题意，由 可知 即 增大入射角，光路图如图所示 由几何关系可知，光在BC上的入射角小于45°，则该单色光在BC上不可能发生全反射，故C错误； D．减小入射角，光路图如图所示 由几何关系可知，光在AB上的入射角大于45°，可能大于临界角，则该单色光在AB上可能发生全反射，故D正确。 故选D。 9．折射率为的玻璃圆柱水平放置，平行于其横截面的一束光线从顶点入射，光线与竖直方向的夹角为，如图所示。该光线从圆柱内射出时，与竖直方向的夹角为（不考虑光线在圆柱内的反射）（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 设光线射入圆柱体时的折射角为，根据光的折射定律可知 解得 如图，根据几何关系可知光线射出圆柱体时的入射角 则法线与竖直方向的夹角 根据光的折射定律可知 解得光线射出圆柱体时的折射角 光线从圆柱体内射出时，与竖直方向的夹角为 故选B。 10．如图扇形的材料，折射率大于，现有两条光线1和2，从扇形材料的A点传播，光线1传到圆弧（圆）AC的中点B．光线2传播到C点偏上，则两光线发生下列哪种情况（　　） A．1不全反射，2全反射 B．都不全反射 C．都全反射 D．1全反射，2不全反射 【答案】C 【详解】因可得临界角 即C<45° 因射到B点的光线的入射角为 可知光线1会发生全反射；因射到C点偏上的的光线的入射角为 可知光线2会发生全反射。 故选C。 二、多选题 11．导光管采光系统由采光装置、导光管和漫射装置组成，如图甲所示。某地铁站导光管采光系统中的半球形采光装置和圆柱形导光管过球心的截面如图乙所示，半球的直径，导光管长度，一束平行单色光在该竖直平面内从采光装置上方以与竖直方向成角的方向射入，已知采光装置对该单色光的折射率为，导光管底面到地铁站地面的距离为，下列说法正确的是（　　） A．上有光照射到的区域长度为 B．上有光照射到的区域长度为 C．无采光装置和漫射装置（如图丙所示）时地面上左、右两侧光斑的最远距离为 D．无采光装置和漫射装置（如图丙所示）时地面上左、右两侧光斑的最远距离为 【答案】BC 【详解】AB．根据题意，由折射定律画出光路图，如图所示， 根据题意，由折射定律可得 解得 即r=45° 由几何关系可得 则AB界面有光照射到的区域长度为AC=AO+OC= 故A错误，B正确。 CD．无采光装置和漫射装置时，根据题意有 可知单色光将在导光管中发生全反射，根据题意画出光路图，可得单色光由导光管中射出时的光路图如图所示， 根据几何知识可知CD=3mtan45°=3m 由于对称性可得，无采光装置和漫射装置时地面上左、右两侧光斑的最远距离为x=2CD+d 解得x=6.45m 故C正确，D错误。 故选BC。 12．如图为一半圆柱形均匀透明材料的横截面，一束红光a从空气沿半径方向入射到圆心O，当时，反射光b和折射光c刚好垂直。下列说法正确的是（　　） A．该材料对红光的折射率为 B．若，光线c消失 C．若入射光a变为白光，光线b为白光 D．若入射光a变为紫光，光线b和c仍然垂直 【答案】ABC 【详解】A．根据几何关系可知从材料内发生折射时光线的折射角为，故折射率为     故A正确； B．设临界角为C，得 故，故若，会发生全反射，光线c消失，故B正确； C．由于光线b为反射光线，反射角等于入射角，故当入射光a变为白光，光线b为白光，故C正确； D．对同种介质，紫光的折射率比红光大，故若入射光a变为紫光，折射角将变大，光线b和c不会垂直，故D错误。 故选ABC。 三、解答题 13．如图所示，一半径为R的半圆形薄玻璃砖，某种单色光以α=45º的入射角照射到玻璃砖的上表面，已知玻璃砖对该单色光的折射率为，真空中的光速为c，不考虑多次反射。求： (1)从圆心O处入射的光在玻璃砖处的折射角； (2)从圆心O处入射的光在玻璃砖中传播的时间。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设从圆心O处入射的光在玻璃砖处的折射角为，根据折射定律有 代入数据解得 即 （2）光在玻璃中的传播速度为 折射后光沿某条半径传播，所以光在玻璃中传播的距离为R，则光在玻璃砖中传播的时间为 14．有一个半径为R的半圆柱形透明体，其俯视图如图所示。某同学进行了如下实验：用激光笔从右侧沿垂直于直径AB方向朝透明体射入，保持入射方向不变，入射点由圆心O处缓慢向A处移动，观察到从圆弧面上射出的光逐渐减弱。当入射点到达C处时，恰好看不到光从圆弧面上D处射出，测得OC=0.5R，真空中光速为c。 (1)求透明体材料的折射率n； (2)从C处垂直入射的光线恰好从B点射出，求光线在透明体中传播的时间t。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当入射点到达C处时，恰好看不到光从圆弧面上D处射出，可知在D处刚好发生全反射，根据全反射临界角公式有 根据几何关系可得 联立可得， （2）从C处垂直入射的光线恰好从B点射出，根据几何关系可得， 则光线在透明体中通过的路程为 光线在透明体中传播速度为 则光线在透明体中传播的时间为 15．夜晚在高速公路上行车，当车灯照射到公路旁边的指示牌上时，指示牌能将照射到其上的光线返回，使司机看清指示牌上的标志。其反光原理是在指示牌上涂有一层由玻璃制成的微小球体，示意图如图所示。假定车灯射出的光为单色光，平行入射到玻璃微球表面，玻璃微球右侧面有反光膜，入射角为的灯光能够逆向返回，玻璃微球半径为，光速，求： (1)玻璃微球的折射率； (2)单色光在玻璃微球内的传播时间。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当光线以入射时，设其折射角为，由折射定律可得 如图所示 由几何关系可知 代入数据可解得 （2）设该光在玻璃微球内传播的路程为，由几何关系有 单色光在该玻璃微球内的传播速度为 根据运动学公式有 代入数据可解得 16．在一些建筑内部，即便是白天也比较昏暗。巴西科学家莫泽利用塑料瓶和水设计了一种简易灯具，可以将太阳光导入室内，提供较强的照明效果。一位工程师参考莫泽灯原理设计了如下的装置，将太阳光导入室内。该装置由某种均匀透明材质制成，上下两端为半球体，半径为R，分别置于室外和室内；中间部分为圆柱体，高度为L＝6R，圆柱体侧边用特殊的反光膜包裹，安装在建筑材料中。在测试中发现，当太阳光与AB夹角θ＝30°时，照射到球面的所有光恰好能全部通过半球底面AB进入圆柱中（不计光线在球面的反射），求： (1)该材料的折射率； (2)已知光线在反光膜上每反射一次，能量就变为反射前的。求此时，A点入射的光线从室外到室内后，能量保留的比例η（不计光线在A点的能量损失，）。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由几何关系可知折射角为。 根据折射定律有 （2）设在A点的折射角为，根据折射定律有 解得 则有 由 即反射6次 则能量保留的比例为 17．如图所示为一半径为R＝6cm的透明半球体，PQ为半球体的直径，O为半球体的球心。已知半球体的折射率为1.5，现有一束激光垂直半球的平面射入半球体，入射点从P点沿直径PQ方向缓慢向Q点移动，（不考虑光线在半球体内多次反射）求： (1)当入射点移动至距离球心为3cm位置时，光线射出半球体的折射角的正弦值为多少？ (2)当入射点移动至距离球心为多少时，才开始有光线从下方球冠射出？ 【答案】(1)0.75 (2)4cm 【详解】（1）由题意作出光路图，如图所示 当该束激光入射点移动至距离球心为3cm的A点入射时，设此时入射角为r，则 从球冠射出时折射角为i，由折射定律，可得 （2）如图所示，设入射点移动至距离球心O为x的B点时才有光线射出，此时入射角为C，由几何关系可知 又，解得 18．如图所示，一半圆形透明玻璃砖平放在水平桌面上，其横截面是半径为R的半圆，O为圆心。将激光束垂直于AB面射入，若光到达右表面后，都能从右表面射出，已知玻璃的折射率为n，真空中的光速为c。求： (1)光在玻璃砖中传播的速度。 (2)求入射光束在AB上的最大宽度。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据折射规律有 解得 （2）光到达右表面后，入射角恰好等于临界角C，则OE的距离为 则入射光束在AB上的最大宽度 解得 19．一个水平放置半径为的圆柱形罐体内装了一半的透明液体，液体上方是空气，其截面如图所示。一激光器从罐体底部P点沿着罐体的内壁向上移动，它所发出的光束始终指向圆心O点。当光束与竖直方向成角时，恰好观察不到从液体表面射向空气的折射光束。已知光在空气中的传播速度为，求： (1)液体的折射率； (2)当时，激光从入射点传播到圆柱形罐体出射点的时间。（不考虑反射光） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）题意可知当入射角达到45°时，恰好到达临界角C，根据 可得液体的折射率 （2）由于 可知激光在液体中的传播速度 当0<θ<45°时，激光均能从液体表面射出，在液体中传播时间为 激光在空气中传播时间为 从入射点传播到圆柱形罐体出射点的时间t=t1+t2 解得 20．如图所示，半圆ABC为半圆柱形玻璃砖的截面，半圆的半径为R，O为圆心，AC为半圆的水平直径，一束单色光以与水平面成45°角的方向照射到AC上，移动入射点，当入射点在D点时，折射光线刚好照射到圆弧的最低点B点，测得。 (1)求玻璃砖对该光的折射率； (2)试判断：通过改变光在AC上的入射点和入射角（小于90°），能不能使折射光线在B点发生全反射（不考虑二次反射），请说明理由。 【答案】(1) (2)不能，见解析 【详解】（1）根据题意，设折射角为，由几何关系可得 解得 由折射定律可得玻璃砖对该光的折射率 （2）设折射光线刚好能在B点发生全反射，则光在B点的入射角为全反射临界角C，则有 解得 根据几何关系，光在AC边的折射角 由折射定律有 解得 由此可见，通过改变光在AC上的入射点和入射角（小于），不能使折射光线在B点发生全反射。 21．由透明介质制成的半圆柱光学元件，其横截面如图所示，半径，半圆的圆心为O，直径与x轴重合，该光学器件的面是反光材料。一束垂直于x轴的激光，从横截面上的P点由空气射入光学元件后，经折射与反射后恰好从O点正上方Q点射出。已知入射角，光在真空中的传播速度为。 (1)画出光路图并求该透明材料的折射率； (2)求光从P点传播到Q点需要的时间。（不考虑多次反射情况） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）光路图如图所示 设折射角为r，由光的折射定律有 由对称性和几何知识有 解得 该透明材料的折射率 （2）设光在透明柱体中传播的距离为s，根据几何关系有 光在透明柱体中的传播速度大小 光从P点传播到Q点需要的时间 解得光从P点传播到Q点需要的时间 22．如图所示，某玻璃砖的横截面是半径为R的半圆，圆心为，将玻璃砖保持上表面水平固定于水平桌面上，玻璃砖与桌面的切点为。一细束激光在玻璃砖截面所在平面内经射入玻璃砖，出射光线打在桌面上A点。已知激光的入射角为45°，与A点的距离为，不考虑多次反射，已知该激光在真空中的传播速度为c，。 (1)求该玻璃砖对入射激光的折射率n； (2)将入射激光向左平移，当入射点为B点（图中未画出）时，激光恰能在左侧圆弧面上C点（图中未画出）发生全反射，求激光在玻璃砖内由B点传播到C点所需的时间t。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由几何关系知，折射角 满足 根据折射率定义 解得 （2）由全反射临界角 可知 设为路程，由正弦定理 解得 由激光在玻璃砖中的速度 解得 23．如图所示，半径为的半球形玻璃砖固定在水平面上，上表面水平，为其竖直截面，为圆弧最低点，为圆心，为的中点，在点正上方点有一光源。沿方向射出一束光，经玻璃砖折射后，出射光线照射在水平面上的点，已知，。不考虑光在圆弧面上的反射，光在真空中传播的速度为。求： (1)玻璃砖对该光的折射率； (2)光在玻璃砖中传播的时间。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据题意，作出光路图如图所示 由几何关系可知，， 玻璃砖对该光的折射率 解得 （2）光在玻璃砖中传播的路程 光在玻璃砖中传播的速度 光在玻璃砖中传播的时间 解得 24．如图，玻璃砖的横截面是半径为R的半圆，圆心为O点，直径与x轴重合。一束平行于x轴的激光，从横截面上的P点由空气射入玻璃砖，从Q点射出。已知P点到x轴的距离为，P、Q间的距离为。 (1)求玻璃砖的折射率； (2)在该横截面沿圆弧任意改变入射点的位置和入射方向，使激光能在圆心O点发生全反射，求入射光线与x轴之间夹角的范围。 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）根据题意得出光路图如图所示 根据几何关系可得，， 可得， 根据折射定律 （2）发生全反射的临界角满足 可得 要使激光能在圆心O点发生全反射，激光必须指向点射入，如图所示 只要入射角大于，即可发生全反射，则使激光能在圆心O点发生全反射，入射光线与x轴之间夹角的范围。由对称性可知，入射光线与x轴之间夹角的范围还可以为。 25．一玻璃柱的折射率，其横截面为四分之一圆，圆的半径为R，如图所示。截面所在平面内，一束与AB边平行的光线从圆弧入射。入射光线与AB边的距离由小变大，距离为h时，光线进入柱体后射到BC边恰好发生全反射。求此时h与R的比值。 【答案】 【详解】如图，画出光路图 可知 设临界角为C，得 ， 根据可得 解得 故可得 故可知 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 球（柱）体模型 1.圆界面的法线是过圆心的直线，经过两次折射后光线向圆心偏折 2.球形介质对光的偏折有对称性。 【例1】如图，一个半径为R的玻璃球，O点为球心。球面内侧单色点光源S发出的一束光在A点射出，出射光线AB与球直径SC平行，θ＝ 30°。光在真空中的传播速度为c。求： (1)玻璃的折射率； (2)从S发出的光线经多次全反射回到S点的最短时间。 【总结提升】 (1)解决几何光学问题应先根据折射定律和反射定律准确画好光路图。 (2)充分利用光的可逆性、对称性、相似性等几何关系以及边角关系。　 【例2】如图甲所示，AB为半圆的直径，O为圆心，在O点左侧用红色激光笔从E点垂直AB射入的红光进入半球形介质后在上表面的入射角恰好等于全反射的临界角C＝45°。 (1)求半球形介质的折射率； (2)若取用半球形介质制成环状介质砖，如图乙所示，内径为R、外径为R′＝R的环状介质砖的圆心为O，一束平行于水平轴O′O的光线由A点进入介质砖，到达B点(图中未标出)刚好发生全反射，求A点处光线的入射角和折射角。 【例3】电子产品中常用到发光二极管，其中一种是由半径为R的半球体透明介质和发光管芯组成，管芯发光部分是一个圆心与半球体介质的球心O重合的圆面，如图所示，PQ为发光圆面的直径，圆弧ABC在半球体介质过球心O的纵截面上，B、D分别为圆弧ABC、BDC的中点。由PQ上的M点发出的一条光线MD经D点折射出去后与OB平行，已知θ＝75°。 (1)求半球体介质的折射率及光从该介质射入空气中的临界角； (2)为使从发光圆面射向半球面上的所有光线都能直接射出，则管芯发光圆面的面积最大为多少？ 一、单选题 1．如图所示，由某种新型材料制成的截面为半圆形的透明材料板。若用激光（光束a）从底面中心O点垂直底面射入材料板，将从Q点射出；若将该激光以与AP成37°角从P点射入材料板（光束b），恰好也从Q点射出。已知，光在真空中传播的速度为c，则以下说法正确的是（　　） A．该材料对光束的折射率为 B．该材料对光束的折射率为 C．光束在材料板中的传播速度为 D．光束从点射出后的光线与光束平行 2．如图所示，ABC为一半圆形玻璃砖，O为玻璃砖的圆心，AC为直径，OB垂直AC，AC边所在底面上镀有一层反射膜。一细光束沿垂直于AC方向经弧面上P点射入玻璃砖，已知P点到AC的距离为圆弧半径的一半，若这束光被AC边反射后恰好射向顶点B，则玻璃砖的折射率为（　　） A． B． C． D． 3．如图所示，圆形透明介质半径为R、折射率为n。O为圆形介质的圆心，P为边界上的一点，S、Q为同一条直径上的两个点，PS长度为L。一束光线沿PQ方向从真空照射到边界的P点上，折射后折射光线经过S点，等于，则OS长度为（　　） A． B． C． D． 4．如图所示，半径为R的玻璃球缺，底面半径为球体半径的倍，已知该玻璃的折射率为。现用激光笔从球面上的M点垂直底面射向玻璃球缺，激光束的延长线过底面边缘上的A点。则折射光线与底边的交点到A的距离为（    ） A． B． C． D． 5．光滑半球形的碗底水平放置一枚硬币，小明同学站在某一位置恰好仅能看到硬币边缘一点，将碗中注满透明液体后，恰好能看到整个硬币，已知硬币的半径为碗半径的，该透明液体的折射率为（　　） A． B． C． D． 6．某柱形光学元件的横截面如图所示，ACD是以D点为圆心，以R为半径的四分之一圆，一束单色光平行DC边从AD边射入该光学元件。已知该单色光在光学元件中的折射率为n=2，真空中光速为c，只考虑第一次射到圆弧AC上的光，则下列说法正确的是（　　） A．AC圆弧上有光射出的部分与没有光射出的部分的弧长之比为2∶1 B．从距D点处入射的光由该光学元件射出后恰与AD边平行 C．从AD中点入射的光在光学元件中传播所需要的时间为 D．换成另一束频率大的单色光平行DC边入射，AC圆弧上能出射光的部分增加 7．如图所示为半径为的半圆形玻璃砖的截面，为圆心，一束单色光斜射到平面上的点，入射角，折射光线照射到圆弧面上时刚好发生全反射，已知玻璃砖对该光的折射率为，则间的距离为（　　） A． B． C． D． 8．如图，ABC为半圆柱体透明介质的横截面，AC为直径，B为ABC的中点。真空中一束单色光从AC边射入介质，入射点为A点，折射光直接由B点出射。不考虑光的多次反射，下列说法正确的是（　　） A．入射角θ小于45° B．该介质折射率大于 C．增大入射角，该单色光在BC上可能发生全反射 D．减小入射角，该单色光在AB上可能发生全反射 9．折射率为的玻璃圆柱水平放置，平行于其横截面的一束光线从顶点入射，光线与竖直方向的夹角为，如图所示。该光线从圆柱内射出时，与竖直方向的夹角为（不考虑光线在圆柱内的反射）（　　） A． B． C． D． 10．如图扇形的材料，折射率大于，现有两条光线1和2，从扇形材料的A点传播，光线1传到圆弧（圆）AC的中点B．光线2传播到C点偏上，则两光线发生下列哪种情况（　　） A．1不全反射，2全反射 B．都不全反射 C．都全反射 D．1全反射，2不全反射 二、多选题 11．导光管采光系统由采光装置、导光管和漫射装置组成，如图甲所示。某地铁站导光管采光系统中的半球形采光装置和圆柱形导光管过球心的截面如图乙所示，半球的直径，导光管长度，一束平行单色光在该竖直平面内从采光装置上方以与竖直方向成角的方向射入，已知采光装置对该单色光的折射率为，导光管底面到地铁站地面的距离为，下列说法正确的是（　　） A．上有光照射到的区域长度为 B．上有光照射到的区域长度为 C．无采光装置和漫射装置（如图丙所示）时地面上左、右两侧光斑的最远距离为 D．无采光装置和漫射装置（如图丙所示）时地面上左、右两侧光斑的最远距离为 12．如图为一半圆柱形均匀透明材料的横截面，一束红光a从空气沿半径方向入射到圆心O，当时，反射光b和折射光c刚好垂直。下列说法正确的是（　　） A．该材料对红光的折射率为 B．若，光线c消失 C．若入射光a变为白光，光线b为白光 D．若入射光a变为紫光，光线b和c仍然垂直 三、解答题 13．如图所示，一半径为R的半圆形薄玻璃砖，某种单色光以α=45º的入射角照射到玻璃砖的上表面，已知玻璃砖对该单色光的折射率为，真空中的光速为c，不考虑多次反射。求： (1)从圆心O处入射的光在玻璃砖处的折射角； (2)从圆心O处入射的光在玻璃砖中传播的时间。 14．有一个半径为R的半圆柱形透明体，其俯视图如图所示。某同学进行了如下实验：用激光笔从右侧沿垂直于直径AB方向朝透明体射入，保持入射方向不变，入射点由圆心O处缓慢向A处移动，观察到从圆弧面上射出的光逐渐减弱。当入射点到达C处时，恰好看不到光从圆弧面上D处射出，测得OC=0.5R，真空中光速为c。 (1)求透明体材料的折射率n； (2)从C处垂直入射的光线恰好从B点射出，求光线在透明体中传播的时间t。 15．夜晚在高速公路上行车，当车灯照射到公路旁边的指示牌上时，指示牌能将照射到其上的光线返回，使司机看清指示牌上的标志。其反光原理是在指示牌上涂有一层由玻璃制成的微小球体，示意图如图所示。假定车灯射出的光为单色光，平行入射到玻璃微球表面，玻璃微球右侧面有反光膜，入射角为的灯光能够逆向返回，玻璃微球半径为，光速，求： (1)玻璃微球的折射率； (2)单色光在玻璃微球内的传播时间。 16．在一些建筑内部，即便是白天也比较昏暗。巴西科学家莫泽利用塑料瓶和水设计了一种简易灯具，可以将太阳光导入室内，提供较强的照明效果。一位工程师参考莫泽灯原理设计了如下的装置，将太阳光导入室内。该装置由某种均匀透明材质制成，上下两端为半球体，半径为R，分别置于室外和室内；中间部分为圆柱体，高度为L＝6R，圆柱体侧边用特殊的反光膜包裹，安装在建筑材料中。在测试中发现，当太阳光与AB夹角θ＝30°时，照射到球面的所有光恰好能全部通过半球底面AB进入圆柱中（不计光线在球面的反射），求： (1)该材料的折射率； (2)已知光线在反光膜上每反射一次，能量就变为反射前的。求此时，A点入射的光线从室外到室内后，能量保留的比例η（不计光线在A点的能量损失，）。 17．如图所示为一半径为R＝6cm的透明半球体，PQ为半球体的直径，O为半球体的球心。已知半球体的折射率为1.5，现有一束激光垂直半球的平面射入半球体，入射点从P点沿直径PQ方向缓慢向Q点移动，（不考虑光线在半球体内多次反射）求： (1)当入射点移动至距离球心为3cm位置时，光线射出半球体的折射角的正弦值为多少？ (2)当入射点移动至距离球心为多少时，才开始有光线从下方球冠射出？ 18．如图所示，一半圆形透明玻璃砖平放在水平桌面上，其横截面是半径为R的半圆，O为圆心。将激光束垂直于AB面射入，若光到达右表面后，都能从右表面射出，已知玻璃的折射率为n，真空中的光速为c。求： (1)光在玻璃砖中传播的速度。 (2)求入射光束在AB上的最大宽度。 19．一个水平放置半径为的圆柱形罐体内装了一半的透明液体，液体上方是空气，其截面如图所示。一激光器从罐体底部P点沿着罐体的内壁向上移动，它所发出的光束始终指向圆心O点。当光束与竖直方向成角时，恰好观察不到从液体表面射向空气的折射光束。已知光在空气中的传播速度为，求： (1)液体的折射率； (2)当时，激光从入射点传播到圆柱形罐体出射点的时间。（不考虑反射光） 20．如图所示，半圆ABC为半圆柱形玻璃砖的截面，半圆的半径为R，O为圆心，AC为半圆的水平直径，一束单色光以与水平面成45°角的方向照射到AC上，移动入射点，当入射点在D点时，折射光线刚好照射到圆弧的最低点B点，测得。 (1)求玻璃砖对该光的折射率； (2)试判断：通过改变光在AC上的入射点和入射角（小于90°），能不能使折射光线在B点发生全反射（不考虑二次反射），请说明理由。 21．由透明介质制成的半圆柱光学元件，其横截面如图所示，半径，半圆的圆心为O，直径与x轴重合，该光学器件的面是反光材料。一束垂直于x轴的激光，从横截面上的P点由空气射入光学元件后，经折射与反射后恰好从O点正上方Q点射出。已知入射角，光在真空中的传播速度为。 (1)画出光路图并求该透明材料的折射率； (2)求光从P点传播到Q点需要的时间。（不考虑多次反射情况） 22．如图所示，某玻璃砖的横截面是半径为R的半圆，圆心为，将玻璃砖保持上表面水平固定于水平桌面上，玻璃砖与桌面的切点为。一细束激光在玻璃砖截面所在平面内经射入玻璃砖，出射光线打在桌面上A点。已知激光的入射角为45°，与A点的距离为，不考虑多次反射，已知该激光在真空中的传播速度为c，。 (1)求该玻璃砖对入射激光的折射率n； (2)将入射激光向左平移，当入射点为B点（图中未画出）时，激光恰能在左侧圆弧面上C点（图中未画出）发生全反射，求激光在玻璃砖内由B点传播到C点所需的时间t。 23．如图所示，半径为的半球形玻璃砖固定在水平面上，上表面水平，为其竖直截面，为圆弧最低点，为圆心，为的中点，在点正上方点有一光源。沿方向射出一束光，经玻璃砖折射后，出射光线照射在水平面上的点，已知，。不考虑光在圆弧面上的反射，光在真空中传播的速度为。求： (1)玻璃砖对该光的折射率； (2)光在玻璃砖中传播的时间。 24．如图，玻璃砖的横截面是半径为R的半圆，圆心为O点，直径与x轴重合。一束平行于x轴的激光，从横截面上的P点由空气射入玻璃砖，从Q点射出。已知P点到x轴的距离为，P、Q间的距离为。 (1)求玻璃砖的折射率； (2)在该横截面沿圆弧任意改变入射点的位置和入射方向，使激光能在圆心O点发生全反射，求入射光线与x轴之间夹角的范围。 25．一玻璃柱的折射率，其横截面为四分之一圆，圆的半径为R，如图所示。截面所在平面内，一束与AB边平行的光线从圆弧入射。入射光线与AB边的距离由小变大，距离为h时，光线进入柱体后射到BC边恰好发生全反射。求此时h与R的比值。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $