第24章 解直角三角形（高效培优单元测试·强化卷）数学华东师大版九年级上册

第24章 解直角三角形(高效培优单元测试·强化卷) (考试时间:100分钟，试卷满分:120分) 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（本题3分）如图，一同学在湖边看到一棵树，他目测出自己与树的距离为20m，树的顶端在水中的倒影距自己5m远，该同学的身高为1.7m，则树高为（　　）m． A．3.4 B．5.1 C．6.8 D．8.5 【答案】B 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】根据相似三角形的性质即可列方程求解． 【详解】由相似三角形的性质，设树高x米，则， ∴x＝5.1m． 故选：B． 【点睛】此题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟知相似三角形的性质． 2．（本题3分）如图，在菱形中，，，则等于（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查菱形的性质、30°角所对直角边是斜边的一半、勾股定理． 根据菱形的性质求出，根据30°角所对直角边是斜边的一半求出，再利用勾股定理即可得答案． 【详解】解：∵是菱形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 3．（本题3分）如图，在中，，点为的中点，在中，，连接，若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等边对等角、三角形的外角的定义及性质、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形性质，三角形外角性质. 根据直角三角形性质得到,再结合等腰三角形的性质和三角形外角性质得到,进而得到,即可解题. 【详解】解：∵，点E为的中点,， ∴, ∵， ∴， ∴， ∵， 同理可得， ∴ 故选：B. 4．（本题3分）如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【知识点】勾股定理与网格问题、求角的正弦值 【分析】本题考查了求角的正弦值，解题关键是掌握正弦的定义． 先找出所在的直角三角形，根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：如图所示，连接网格点和点D， ∴， ， 故选：A． 5．（本题3分）如图，在等腰中，是上一点，若，则的长为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、已知正切值求边长、等边对等角 【分析】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了等腰直角三角形的性质．作于E，先根据等腰直角三角形的性质得到，设，则，在中，利用的正切得到，然后由可计算出，再利用进行计算． 【详解】解：作于E，如图， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 设，则， ∵在中，， ，解得 ． 故选：D． 6．（本题3分）在锐角中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据特殊角三角函数值求角的度数、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了特殊角的三角函数，非负数的性质，三角形内角和等知识，根据非负数的性质、特殊角三角函数求得是解题的关键；由非负数的性质及特殊角三角函数求得，再由三角形内角和即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 7．（本题3分）如图，为方便行人推车过天桥，某市政府在高的天桥两端分别修建了长的斜道，用科学计算器计算这条斜道的倾斜角，下列按键顺序正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】给出三角函数值，用计算器求锐角度数 【分析】本题考查了用科学计算器求锐角度数，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．先在中，根据正弦的定义求出，再利用科学计算器求解即可得． 【详解】解：由图可知，在中，，， 则， 所以用科学计算器求这条斜道的倾斜角的度数时，按键的顺序为选项A， 故选：A． 8．（本题3分）余切表示在直角三角形中一个锐角其相邻的直角边与相对的直角边的比值，如图，直角坐标平面内有一点，那么与轴正半轴的夹角的余切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了点在平面直角坐标系里的意义以及锐角三角函数的定义．解决本题的关键是构造直角三角形．过点作轴于点由点的坐标得、的长，根据余切函数的定义得结论． 【详解】解：过点作轴于点． 由于点， ， ． 故选：B． 9．（本题3分）如图所示是一个左右两侧不等长的跷跷板，跷板长为4米，支柱垂直地面．如图①，当的一端接触地面时，与地面的夹角的正弦值为；如图②，当的另一端接触地面时，与地面的夹角的正弦值为，则支柱的长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了三角函数的应用． 根据正弦值得到，，进而根据跷跷板长为4米，计算即可． 【详解】解：在中，， ， 同理可得：， 米， ， 解得：米， 故选：C． 10．（本题3分）如图，一无人机在建筑物上空点P处测得建筑物底端点A的俯角比顶端点B的俯角大，已知建筑物位于水平地面上，小明从A处出发沿着走了24米后到达点C处，发现无人机正好在他的正上方．无人机，建筑物都与水平面垂直．则建筑物AB的高度为（　　）（参考数据：，，） A．米 B．米 C．25米 D．28米 【答案】C 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，过点B作于点D，根据题意可得，四边形是矩形，再根据锐角三角函数求出，再根据勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图，过点B作于点D， 根据题意可知： ， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵P处测得建筑物底端点A的俯角比顶端点B的俯角大， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 即， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理，得 即， 解得． 所以建筑物的高度为25米． 故选：C． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．（本题3分）如图，一根直立于水平地面的木杆在灯光下形成影子，当木杆绕点按逆时针方向旋转，直至到达地面时，影子的长度发生变化．已知，在旋转过程中，影长的最大值为，最小值为，且影长最大时，木杆与光线垂直，则路灯的高度为 m． 【答案】12 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，熟悉掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 当旋转到达地面时，为最短影长，则，影长最大时，木杆与光线垂直， 影长的最大值为，即，利用勾股定理求出的长，再证明，利用相似三角形的性质，得出对应边成比例，就可求出的长． 【详解】解：如图 当旋转到达地面时，为最短影长，等于， ∵最小值， ∴， ∵影长最大时，木杆与光线垂直，如图 ： 即， 在中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：； 故答案为：． 12．（本题3分）如图，点B在x轴上，，将绕点O按顺时针方向旋转，则点B的对应点所在位置的坐标是 ． 【答案】 【知识点】根据旋转的性质求解、含30度角的直角三角形 【分析】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，旋转的性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据含角的直角三角形的性质求出的长度，然后根据旋转的性质进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵将绕点O按顺时针方向旋转， ∴点B的对应点在轴的负半轴上， ∴点B的对应点坐标为， 故答案为：． 13．（本题3分）若，，，则由小到大的顺序为 ． 【答案】 【知识点】根据特殊角三角函数值求角的度数、已知角度比较三角函数值的大小 【分析】本题考查锐角三角函数的应用，熟练掌握锐角三角函数的性质及特殊的锐角三角函数值是解题关键．根据锐角三角函数的性质及正弦值与余弦值的关系解答即可． 【详解】解：，， ． 故答案为：． 14．（本题3分）如图，在矩形中，点在边上，连接，交对角线于点，将沿着直线翻折到矩形所在的平面，得到，延长交线段于点．若，则 ， ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合、矩形与折叠问题 【分析】证明，可得，再由，可得，从而得到，再由勾股定理可得，从而得到；由折叠的性质得：，，，，再结合，可得，从而得到，设，则，在中，利用勾股定理可求出x的值，即可求解． 【详解】解：在矩形中，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 由折叠的性质得：，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 即， ∴． 故答案为：； 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，等角对等边，折叠性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 15．（本题3分）如图，航拍无人机从处测得一幢建筑物顶部的仰角为，测得底部的俯角为，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离为，那么该建筑物的高度为 ． 【答案】 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，分别解和，求出和，进而即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本题8分）已知，是矩形的对角线，过的中点作，交于点，连接、． (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图2，若，直接写出所有长度等于的线段． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】含30度角的直角三角形、证明四边形是菱形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据矩形的性质求线段长 【分析】（1）由矩形的性质证明可得， 证明四边形是平行四边形，再结合即可证明结论； （2）先说明，再根据直角三角形的性质可得，再运用勾股定理以及矩形的性质可得；再证明是等边三角形可得，再运用直角三角形的性质、勾股定理、菱形的性质可得． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴，， 又∵点O为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． （2）解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴长度等于的线段有． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质和判定定理是解题的关键． 17．（本题8分）如题图，为矩形的对角线． (1)作的垂直平分线，垂足为，且与、相交于点； (2)连接，，，求的长． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、作已知线段的垂直平分线、根据矩形的性质求线段长、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】（）根据线段垂直平分线的作法作图即可； （）由勾股定理得，再根据直角三角形的性质即可求解； 本题考查了线段垂直平分线的作法，矩形的性质，直角三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所求，直线即为所求； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵直线垂直平分线段， ∴， ∴． 18．（本题8分）（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）1；（2）， 【知识点】因式分解法解一元二次方程、特殊角三角函数值的混合运算、实数的混合运算 【分析】本题主要考查了实数的运算及解一元二次方程-因式分解法，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤及实数的运算法则是解题的关键． （1）根据实数的运算法则进行计算即可； （2）将方程变形后利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可． 【详解】解（1） ； （2）， ， ， 则或， 所以，，． 19．（本题8分）已知在，，D、E是边上的点，将绕点A旋转，得到，连接． (1)如图1，当，，求证：； (2)如图2，，与有怎样的数量关系？请你写出这个关系，并说明理由； (3)在（2）的结论下，当添加“，”条件时，判断形状，并加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)．理由见解析 (3)是等腰直角三角形；证明见解析 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解、根据特殊角三角函数值求角的度数 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，然后求出，从而得到，再利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可； （2）根据旋转的性质可得，再利用“边边边”证明和全等，然后根据全等三角形对应角相等求出，然后求出，从而得解； （3）证明，然后根据，可得，再进一步解答即可． 【详解】（1）证明：∵绕点A旋转得到， ∴，， ∵，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：．理由如下， 在和中： ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：是等腰直角三角形，理由如下， 由旋转可得：，， ∵，， ∴， ∴， 由（2）知，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． 【点睛】本题考查了几何变换的综合题，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定，三角函数的应用，熟记旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小找出三角形全等的条件是解题的关键． 20．（本题8分）计算： (1)； (2)； (3)在中，，，，解这个直角三角形． 【答案】(1)； (2)； (3)，，． 【知识点】解直角三角形的相关计算、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的计算、解直角三角形． 把特殊角的三角函数值代入算式中，根据二次根式的运算法则进行计算即可； 把特殊角的三角函数值代入算式中，根据二次根式的运算法则进行计算即可； 根据勾股定理求出，根据，可知，根据直角三角形两个锐角互余求出． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3）解：在中，，，， ， ， ， ． 21．（本题10分）如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题： ____ ；________；___． (1)观察上述等式，猜想：在中，，都有____ ； (2)如图④，在中，，，，的对边分别是a，b，c，利用三角函数的定义和勾股定理，证明（1）中的猜想； (3)若，且，求的值． 【答案】(1)1，1，1 (2)见解析 (3) 【知识点】用勾股定理解三角形、通过对完全平方公式变形求值、利用同角三角函数关系求值 【分析】本题考查三角函数计算综合，涉及三角函数定义、同角三角函数关系、勾股定理及三角函数恒等变形求值，数形结合，灵活运用三角函数定义是解决问题的关键． （1）根据三角函数定义，数形结合，分别得到正弦函数值与余弦函数值，代入式子求解即可得到答案； （2）根据题意，由勾股定理及三角函数定义，得到正弦函数值与余弦函数值，代入式子求解即可得证； （3）由上述归纳及证明的结论知，结合，根据完全平方和公式恒等变形，由确定，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：1，1，1； 由上面运算结果即可猜想在中，，都有， 故答案为：1； （2）证明：在中，，，，的对边分别是，，， 由勾股定理即可得到， ， ； （3）解：， ， ， ， ． 22．（本题10分）如图，在中，，求和的长． 【答案】， 【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、解非直角三角形 【分析】本题考查了解直角三角形．作于点D，证明为等腰直角三角形，求得，在中利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：作于点D， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上，，． 23．（本题15分）定义：如图1，已知点Q、R是的边上的两个定点，点P是边上的一个动点，当时，称点P是线段的最佳视野点． 如图2，某商业广场上安装了一块巨型显示屏，点A到水平地面的距离为5米，在水平地面的E处有一个自动扶梯米，点A、B、C在同一直线上．某一时刻，自动扶梯上一行人（用点G表示）到地面的高度为米时，他与自动扶梯底端E处的水平距离米．（忽略行人的高度） (1)当行人行走在水平地面时，发现点H恰好是屏幕的最佳视野点，此时，．求的长； (2)在（1）的条件下，如果要在自动扶梯上找到屏幕的最佳视野点，有人说“最佳视野点就是屏幕的垂直平分线与的交点”．你同意这个说法吗？请通过计算说明理由． 【答案】(1)的长是10米； (2)不同意，理由见解析． 【知识点】用勾股定理解三角形、坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、含30度角的直角三角形 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，含角的直角三角形等知识，掌握解直角三角形的应用是解题的关键． 连接BH，由题意得，，，设CH为x，则BC为，根据点H恰好是屏幕AB的最佳视野点列方程求出x即可解答； 作AB的垂直平分线交AB于K，交EF于点G，分别延长FE与BC交于点L，分别求出LG，LA，LB，计算得出从而判断点G不是屏幕AB的最佳视野点． 【详解】（1）解：如图，连接， 由题意得，，，米，则， 设，则，， ∵点H恰好是屏幕的最佳视野点， ， ， 解得：舍去，， 米， 米， 的长是10米； （2）解：不同意，理由如下： 作的垂直平分线交于K，交EF于点I，分别延长与交于点L， 由题意，可得：，， ∵自动扶梯上一行人用点G表示到地面的高度为米时，他与自动扶梯底端E处的水平距离米， 自动扶梯的坡度是， ， ∵， ， ，，， ， ， ∵， ， 点I不是自动扶梯上的最佳视野点． 2 / 23 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $ 第24章 解直角三角形(高效培优单元测试·强化卷) (考试时间:100分钟，试卷满分:120分) 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（本题3分）如图，一同学在湖边看到一棵树，他目测出自己与树的距离为20m，树的顶端在水中的倒影距自己5m远，该同学的身高为1.7m，则树高为（　　）m． A．3.4 B．5.1 C．6.8 D．8.5 2．（本题3分）如图，在菱形中，，，则等于（    ） A． B．1 C．2 D． 3．（本题3分）如图，在中，，点为的中点，在中，，连接，若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 4．（本题3分）如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值为（   ） A． B． C． D．2 5．（本题3分）如图，在等腰中，是上一点，若，则的长为（    ） A．1 B． C． D．2 6．（本题3分）在锐角中，，则（    ） A． B． C． D． 7．（本题3分）如图，为方便行人推车过天桥，某市政府在高的天桥两端分别修建了长的斜道，用科学计算器计算这条斜道的倾斜角，下列按键顺序正确的是（　　） A． B． C． D． 8．（本题3分）余切表示在直角三角形中一个锐角其相邻的直角边与相对的直角边的比值，如图，直角坐标平面内有一点，那么与轴正半轴的夹角的余切值为（    ） A． B． C． D． 9．（本题3分）如图所示是一个左右两侧不等长的跷跷板，跷板长为4米，支柱垂直地面．如图①，当的一端接触地面时，与地面的夹角的正弦值为；如图②，当的另一端接触地面时，与地面的夹角的正弦值为，则支柱的长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 10．（本题3分）如图，一无人机在建筑物上空点P处测得建筑物底端点A的俯角比顶端点B的俯角大，已知建筑物位于水平地面上，小明从A处出发沿着走了24米后到达点C处，发现无人机正好在他的正上方．无人机，建筑物都与水平面垂直．则建筑物AB的高度为（　　）（参考数据：，，） A．米 B．米 C．25米 D．28米 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．（本题3分）如图，一根直立于水平地面的木杆在灯光下形成影子，当木杆绕点按逆时针方向旋转，直至到达地面时，影子的长度发生变化．已知，在旋转过程中，影长的最大值为，最小值为，且影长最大时，木杆与光线垂直，则路灯的高度为 m． 12．（本题3分）如图，点B在x轴上，，将绕点O按顺时针方向旋转，则点B的对应点所在位置的坐标是 ． 13．（本题3分）若，，，则由小到大的顺序为 ． 14．（本题3分）如图，在矩形中，点在边上，连接，交对角线于点，将沿着直线翻折到矩形所在的平面，得到，延长交线段于点．若，则 ， ． 15．（本题3分）如图，航拍无人机从处测得一幢建筑物顶部的仰角为，测得底部的俯角为，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离为，那么该建筑物的高度为 ． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本题8分）已知，是矩形的对角线，过的中点作，交于点，连接、． (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图2，若，直接写出所有长度等于的线段． 17．（本题8分）如题图，为矩形的对角线． (1)作的垂直平分线，垂足为，且与、相交于点； (2)连接，，，求的长． 18．（本题8分）（1）计算：； （2）解方程：． 19．（本题8分）已知在，，D、E是边上的点，将绕点A旋转，得到，连接． (1)如图1，当，，求证：； (2)如图2，，与有怎样的数量关系？请你写出这个关系，并说明理由； (3)在（2）的结论下，当添加“，”条件时，判断形状，并加以证明． 20．（本题8分）计算： (1)； (2)； (3)在中，，，，解这个直角三角形． 21．（本题10分）如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题： ____ ；________；___． (1)观察上述等式，猜想：在中，，都有____ ； (2)如图④，在中，，，，的对边分别是a，b，c，利用三角函数的定义和勾股定理，证明（1）中的猜想； (3)若，且，求的值． 22．（本题10分）如图，在中，，求和的长． 23．（本题15分）定义：如图1，已知点Q、R是的边上的两个定点，点P是边上的一个动点，当时，称点P是线段的最佳视野点． 如图2，某商业广场上安装了一块巨型显示屏，点A到水平地面的距离为5米，在水平地面的E处有一个自动扶梯米，点A、B、C在同一直线上．某一时刻，自动扶梯上一行人（用点G表示）到地面的高度为米时，他与自动扶梯底端E处的水平距离米．（忽略行人的高度） (1)当行人行走在水平地面时，发现点H恰好是屏幕的最佳视野点，此时，．求的长； (2)在（1）的条件下，如果要在自动扶梯上找到屏幕的最佳视野点，有人说“最佳视野点就是屏幕的垂直平分线与的交点”．你同意这个说法吗？请通过计算说明理由． 2 / 23 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $