专题10 锐角三角函数的综合应用的十大类型（专项训练）数学华东师大版九年级上册

专题10 锐角三角函数的综合应用的十大类型（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用设参数法求锐角三角函数值 题型二、在网格中求锐角三角函数值 题型三、特殊角的三角函数值的计算 题型四、由特殊的三角函数值判断三角形的形状 题型五、锐角三角函数与平面直角坐标系的综合 题型六、灵活运用已知条件解直角三角形 题型七、构建直角三角形求锐角三角函数值 题型八、构建直角三角形进行线段或角的计算 题型九、锐角三角函数与相似三角形的综合应用 题型十、 解直角三角形与四边形的综合应用 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用设参数法求锐角三角函数值 1．（23-24九年级上·山东威海·期中）在中， ， ，则的值是（  ） A． B． C．2 D． 2．（24-25九年级上·浙江衢州·阶段练习）在中，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．如图，，于点，，则 ．    4．如图，在菱形中，，，，则菱形的周长为 ． 5．如图，在中，，点D是的中点，连接，过点D作交于点E，若，，则的长为 ．    题型二、在网格中求锐角三角函数值 6．（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，在网格中每个小正方形边长为1，若点A、B、C均在格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段和的端点都在网格线的交点上．若与相交于点，则的值为（   ） A． B． C． D．2 8．（24-25九年级下·江苏无锡·期中）如图，在的网格图中，点A、B、C、D都在小正方形的顶点上，、相交于点E，则的值是 ． 9．（24-25九年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，A，B，C，D均为网格图中的格点，线段与相交于点P，则的正弦值为 ． 10．（2025·广东广州·二模）如图，每个小正方形的边长为1，在中，点D为的中点，则 ． 题型三、特殊角的三角函数值的计算 11．（24-25九年级下·山东济南·开学考试）计算： 12．（2025·湖南永州·三模）计算：． 13．（2025·云南临沧·一模）计算：． 14．（2025·云南玉溪·二模）计算：． 15．（2025·云南昆明·三模）计算：． 题型四、由特殊的三角函数值判断三角形的形状 16．（23-24九年级下·福建龙岩·阶段练习）在中，若，则么一定是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 17．（23-24九年级下·湖南衡阳·期中）在中， ，那么是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 18．（23-24九年级上·福建泉州·期中）在中，若，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 19．（2025九年级下·全国·专题练习）在中，满足：，则的形状为 ． 20．在中，若，则是 三角形． 题型五、 锐角三角函数与平面直角坐标系的综合 21．如图，在平面直角坐标系xOy中，点P（4，3），OP与x轴正半轴的夹角为α，则sinα的值为（　　） A． B． C． D． 22．如图，∠ACB＝90°，AC＝10，OB＝17，cos∠OBC，则点C的坐标为（　　） A． B．（8，12） C． D．（6，10） 23．（24-25九年级上·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在第二象限内，若与轴负半轴的夹角的正切值为，则的值为 ． 24．（24-25九年级下·甘肃平凉·期中）如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点，将沿着翻折，得到，则点的坐标为 ． 25．如图，在平面直角坐标系内，O为原点，点A在x轴正半轴上，点B（4，3）， （1）求sin∠BOA； （2）若tan∠BAO＝sin∠BOA，求点A的坐标． 题型六、灵活运用已知条件解直角三角形 26．已知在△ABC中，∠A＝60°，AB＝1，AC＝2，则∠C＝（　　） A．45° B．75° C．90° D．105° 27．（2024秋•工业园区校级月考）在Rt△ABC中，AC＝2BC，求： （1）cosA； （2）当AB＝10时，求BC的长． 28．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15，AD＝16． （1）求CD和AB的长； （2）求∠ACB的度数． 29．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD 是∠CAB的平分线．设AC，AD，解这个直角三角形． 30．在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c （1）已知a＝6，b＝2，解这个直角三角形 （2）已知∠B＝45°，a+b＝6，解这个直角三角形 （3）已知sinA＝，c＝6，解这个直角三角形． 题型七、构建直角三角形求锐角三角函数值 31．如图，在△ABC中，AB＝14，AC＝13，BC＝15，则sin A＝　 　． 32．（24-25九年级下·重庆·阶段练习）如图，在边长为5的菱形中，为对角线，过点D作，交的延长线于点E．若，则的值为 ． 33．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的中线，    求： (1)的长； (2)的正弦值． 34．（2025·浙江绍兴·二模）如图，在中，，点在边上，且，连结． (1)求的长． (2)求的值． 35．（2023秋•崇明区期中）如图，在△ABC中，AB＝5，sinB，tanC． （1）求BC的长． （2）若点D在BC边上，且BD：CD＝3：2，求tan∠CAD的值． 题型八、构建直角三角形进行线段或角的计算 36．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，在中，，则的长为（   ） A． B． C． D． 37．已知在中，，，，则（　　） A． B． C． D． 38．（22-23九年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 39．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，则的长为 ． 40．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，BC＝3，求AB的长及△ABC的面积． 题型九、锐角三角函数与相似三角形的综合应用 41．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在矩形中，，是边的中点，连接，过点作交于点，连接，则的值为（    ） A． B． C． D． 42．如图所示，在中，斜边，，点D在AB上，且，则的值是（    ） A． B．1 C． D． 43．（2025·山西朔州·三模）如图，在中，，，分别为，边上的点，且，，若，，则的长为 ． 44．（24-25九年级下·上海·阶段练习）如图，已知中，，，将绕点旋转至，如果直线，垂足记为点，那么的值为 ． 45．如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，对角线AC、BD相交于点O，AD＝2，AB＝3，BC＝4． （1）求△BOC的面积； （2）求∠ACD的正弦值． 题型十、 解直角三角形与四边形的综合应用 46．中国最早的一部数学著作《周髀算经》中记载着勾股定理，约1400年后的汉代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的证明．这就是如图所示的“赵爽弦图”，若，则小正方形与直角三角形的面积比为（    ）    A． B．1∶1 C． D．1∶5 47．如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD． （1）求证：四边形ABEF是菱形； （2）若AB＝4，AD＝6，∠ABC＝60°，求cos∠ADP的值． 48．如图，在中，对角线的垂直平分线分别交，于点，，与相交于点，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）已知，，，请你写出的值． 49．如图，在矩形中，，，点E在上，，P是上一点，将矩形沿折叠，点A落在点处．连接，与相交于点F，设．    (1)________； (2)若点A在的平分线上，求的长； (3)求点，D距离的最小值，并求此时的值． 50．如图，矩形的对角线，相交于点O，关于的对称图形为．    (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，． ①求的值； ②若点P为线段上一动点（不与点A重合），连接，一动点Q从点O出发，以的速度沿线段匀速运动到点P，再以的速度沿线段匀速运动到点A，到达点A后停止运动．设点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间为t，求t的最小值． 1.如图，在四边形中，，，为边上的点，为等边三角形，，，则的值为（　　）    A． B． C． D． 2.如图是个形状、大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角 为，点，，，都在格点上，且线段，相交于点，则的值是(    )    A． B． C． D． 3．（2024•安阳二模）在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，直角边AC的中点为D，点E在斜边上且AE＝3，若△ADE为直角三角形，则BC的值为 　 ． 4.如图所示，将一副三角板摆放在一起，组成四边形，，，，连接，则的值为__________． 5.如图，在中，，若，连接交于点，则的值为 ． 6．计算： (1)； (2) ． 7．（2025九年级下·浙江·专题练习）在中，，求的长． 8．如图，在中，，，点D是延长线上一点，．    (1)求点A到的距离； (2)求的值． 9．（2024秋•工业园区校级月考）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（记作sad）．如图①，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： （1）sad60°＝ 　 ； （2）如图②，△ABC中，CB＝CA，若sadC，求tanB的值； （3）如图③，Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA，sadA＝ 　 　． 10．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，4），点B在x轴负半轴上，且tan∠ABO． （1）求AB的长及∠BAO的正弦值． （2）若点C在x轴正半轴上，且OC＝3．点D是x轴上的动点，当∠CAD＝∠ABC时，求点D坐标． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 锐角三角函数的综合应用的十大类型（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用设参数法求锐角三角函数值 题型二、在网格中求锐角三角函数值 题型三、特殊角的三角函数值的计算 题型四、由特殊的三角函数值判断三角形的形状 题型五、锐角三角函数与平面直角坐标系的综合 题型六、灵活运用已知条件解直角三角形 题型七、构建直角三角形求锐角三角函数值 题型八、构建直角三角形进行线段或角的计算 题型九、锐角三角函数与相似三角形的综合应用 题型十、 解直角三角形与四边形的综合应用 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用设参数法求锐角三角函数值 1．（23-24九年级上·山东威海·期中）在中， ， ，则的值是（  ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了同角三角函数的关系，先根据题意画出直角三角形，设，求出及，然后可得出的值． 【详解】解：如图： ∵， ∴可以假设，， ∴ ∴， 故选：B． 2．（24-25九年级上·浙江衢州·阶段练习）在中，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了余弦的定义，勾股定理，求角的正切值等知识点，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据，设，则，利用勾股定理可得，最后根据即可得出答案． 【详解】解：如图， 在中，，， ∴设，则， ∴， ∴， 故选：A． 3．如图，，于点，，则 ．    【答案】 【分析】设，，则，根据已知条件得出，根据真切的定义得出，进而在中，，勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设，，则 ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 整理得，， 解得：或， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 4．如图，在菱形中，，，，则菱形的周长为 ． 【答案】20 【分析】根据菱形的性质可得，结合，设，则，再建立方程求解k的值，从而可得答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的周长， 故答案为：20． 【点睛】本题考查的是菱形的性质，锐角三角函数的应用，熟记锐角的余弦的定义，并灵活应用是解本题的关键． 5．如图，在中，，点D是的中点，连接，过点D作交于点E，若，，则的长为 ．    【答案】15 【分析】由 ，可设，由勾股定理得到，由直角角三角形斜边上中线的性质得到，再证，求得，据此求解即可得到答案． 【详解】解： ， ∴设， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：15． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、三角函数、直角三角形斜边上中线的性质，掌握三角函数，直角三角形中线的性质是解题的关键． 题型二、在网格中求锐角三角函数值 6．（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，在网格中每个小正方形边长为1，若点A、B、C均在格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求角的余弦值，勾股定理，连接，根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，再根据余弦函数的定义求解． 【详解】解：如图，连接， 由格点及勾股定理知：，，， ， ， 是直角三角形，， ∵， ． 故选：B． 7．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段和的端点都在网格线的交点上．若与相交于点，则的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了求正切值，平行四边形的判定与性质，勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．取格点F，连接、，根据网格的特点可推出四边形为平行四边形，从而得到，然后根据勾股定理的逆定理可得，即可求得． 【详解】解：取格点F，连接、，如图， ，， 四边形为平行四边形， ， ， ，，， ， ， ． 故选：B． 8．（24-25九年级下·江苏无锡·期中）如图，在的网格图中，点A、B、C、D都在小正方形的顶点上，、相交于点E，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形及勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接，，过点作，垂足为，先利用勾股定理求出和的长，再利用面积法求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的值，最后根据题意可得：，从而可得，即可解答． 【详解】解：如图：连接，，过点作，垂足为， 由题意得：，， 的面积 ， ， ∴， ∴， 在中，， 由题意得：， ， ， 故答案为：． 9．（24-25九年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，A，B，C，D均为网格图中的格点，线段与相交于点P，则的正弦值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了求正弦，勾股定理，平行线的性质， 作，交格点于点E，F，连接，再根据勾股定理得，可知，然后根据平行线的性质得，最后根据正弦的定义得出答案. 【详解】解：如图所示，过点C作，交格点于点E，F，连接， 根据勾股定理，得， ∴， ∴. ∵， ∴， 即. 故答案为：. 10．（2025·广东广州·二模）如图，每个小正方形的边长为1，在中，点D为的中点，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理逆定理，求角的余弦值等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 根据所给网格，得出，再由点D为的中点，得出，最后结合余弦的定义即可解决问题． 【详解】解：由图得：， ，， ∴， ∴． 因为点D为的中点， 所以， 所以． ∵，． ∴ ， 所以 ． 故答案为：． 题型三、特殊角的三角函数值的计算 11．（24-25九年级下·山东济南·开学考试）计算： 【答案】 【分析】本题考查实数的运算，负整数指数幂，特殊锐角三角函数值，零指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用算术平方根的定义，负整数指数幂，特殊锐角三角函数值，零指数幂，绝对值的性质计算后再算加减即可． 【详解】解：原式 ． 12．（2025·湖南永州·三模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据有理数的乘方、特殊角的三角函数值、零指数幂、绝对值，计算即可得出答案，熟练掌握运算法则以及运算顺序是解此题的关键． 【详解】解：原式 ． 13．（2025·云南临沧·一模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据立方根的定义、负整数指数幂、零指数幂、绝对值的性质及特殊角的三角函数值分别运算，再相加减即可求解，掌握实数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 14．（2025·云南玉溪·二模）计算：． 【答案】3 【分析】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是熟练掌握运算顺序和法则． 首先计算零指数幂，化简绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，求立方根，然后计算乘法，最后计算加减法． 【详解】解： ． 15．（2025·云南昆明·三模）计算：． 【答案】6 【分析】本题主要考查了含特殊角三角函数的混合运算、零次幂、负整数次幂、二次根式等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键． 先根据有理数乘方、零次幂、负整数次幂、二次根式、特殊角的三角函数值化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 题型四、由特殊的三角函数值判断三角形的形状 16．（23-24九年级下·福建龙岩·阶段练习）在中，若，则么一定是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，根据特殊角三角函数值，可得A、B的值，根据直角三角形的判定，可得答案． 本题考查了特殊角三角函数值，直角三角形的判定，熟记特殊角三角函数值是解题关键． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴． ∴一定是等腰直角三角形， 故选：D． 17．（23-24九年级下·湖南衡阳·期中）在中， ，那么是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键，根据特殊角的三角函数值即可求出的大小，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 是等腰三角形 故选：A． 18．（23-24九年级上·福建泉州·期中）在中，若，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查根据特殊角的三角函数值求角度，绝对值的非负性，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴，， 解得：，， ∴， ∴是钝角三角形， 故选B． 19．（2025九年级下·全国·专题练习）在中，满足：，则的形状为 ． 【答案】等边三角形 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，三角形的分类，先根据非负数的性质及特殊角的三角函数值求出的度数，再根据三角形的内角和定理求出的度数，最后根据三个内角的关系判断出其形状． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 故答案为：等边三角形． 20．在中，若，则是 三角形． 【答案】等边 【分析】直接绝对值的性质以及偶次方的性质得出，，再利用特殊角的三角函数值求出答案． 【详解】解：， ，， ，， 是等边三角形． 故答案为：等边． 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 题型五、 锐角三角函数与平面直角坐标系的综合 21．如图，在平面直角坐标系xOy中，点P（4，3），OP与x轴正半轴的夹角为α，则sinα的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A． 【分析】过P作PN⊥x轴于N，PM⊥y轴于M，根据点P的坐标求出PN和ON，解直角三角形求出即可． 【解答】解：过P作PN⊥x轴于N，PM⊥y轴于M，则∠PMO＝∠PNO＝90°， ∵点P（4，3）， ∴ON＝PM＝4，PN＝3，， ∴， 故选：A． 【点评】本题考查了点的坐标和解直角三角形，能求出PN和OP的长是解此题的关键． 22．如图，∠ACB＝90°，AC＝10，OB＝17，cos∠OBC，则点C的坐标为（　　） A． B．（8，12） C． D．（6，10） 【答案】B． 【分析】过点C作CD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥y轴于点E，结合题意得出∠EAC＝∠OBC，继而得出EC＝OD＝8，解Rt△CDB，得出CD＝12，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点C作CD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥y轴于点E， ∵∠ACB＝90°，∠AOB＝90°， ∴∠OBC+∠OAC＝180°， ∵∠EAC+∠OAC＝180°， ∴∠EAC＝∠OBC， ∵AC＝10，， ∴， ∴EA＝6， ∴， ∴OD＝EC＝8， ∵OB＝17， ∴BD＝9， ∵， ∴CB＝15， ∴， ∴C（8，12）． 故选：B． 【点睛】本题考查了坐标与图形，解直角三角形，勾股定理，得出∠EAC＝∠OBC是解题的关键． 23．（24-25九年级上·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在第二象限内，若与轴负半轴的夹角的正切值为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解直角三角形． 过点作轴，交轴于点，根据题意得出，，即可求出． 【详解】解：过点作轴，交轴于点， 点在第二象限， ，， ，， ∴， ， 故答案为：． 24．（24-25九年级下·甘肃平凉·期中）如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点，将沿着翻折，得到，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了翻折的性质，利用锐角三角函数解直角三角形，一次函数的图象和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握翻折的性质和锐角三角函数． 过点作轴，交轴于点，利用一次函数的性质求出与坐标轴的交点坐标，利用锐角三角函数解直角三角形，求出相关的边长即可． 【详解】解：如图，过点作轴，交轴于点， 由得， 当时，， ∴， 当时，， ∴， ， ， ∴， 由翻折的性质可得，， ， ，， ， ， ∴， 故答案为：． 25．如图，在平面直角坐标系内，O为原点，点A在x轴正半轴上，点B（4，3）， （1）求sin∠BOA； （2）若tan∠BAO＝sin∠BOA，求点A的坐标． 【答案】（1）； （2）（9，0）． 【分析】（1）作BC⊥OA于C，如图，由B点坐标得到OC＝4，BC＝3，则根据勾股定理可计算出BC＝5，然后根据正弦的定义求解； （2）利用tan∠BAO＝sin∠BOA可得tan∠BAC，则可计算出AC＝5，所以OA＝9，于是可确定点A的坐标． 【详解】解：（1）作BC⊥OA于C，如图， ∵B（4，3）， ∴OC＝4，BC＝3， ∴BC5， ∴sin∠BOC， 即sin∠BOA； （2）∵tan∠BAO＝sin∠BOA， ∴在Rt△ABC中，tan∠BAC， ∴AC3＝5， ∴OA＝OC+AC＝9， ∴点A的坐标为（9，0）． 【点睛】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了坐标与图形性质． 题型六、灵活运用已知条件解直角三角形 26．已知在△ABC中，∠A＝60°，AB＝1，AC＝2，则∠C＝（　　） A．45° B．75° C．90° D．105° 【答案】B． 【分析】过点C作CD⊥AB，先在Rt△ACD中求出∠ACD、CD、AD，再求出BD，最后在Rt△BCD中，利用等腰三角形的性质得结论． 【详解】解：过点C作CD⊥AB，垂足为D． 在Rt△ACD中， ∵∠A＝60°， ∴∠ACD＝30°． ∵sinA，cosA， ∴CD＝sin60°×2， AD＝cos60°×2＝1． ∴BD＝AB﹣AD＝11． 在Rt△BCD中， ∵CD＝BD， ∴∠BCD＝45°． ∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝75°． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、特殊角的函数值及等腰三角形的性质是解决本题的关键． 27．（2024秋•工业园区校级月考）在Rt△ABC中，AC＝2BC，求： （1）cosA； （2）当AB＝10时，求BC的长． 【分析】（1）根据在Rt△ABC中，AC＝2BC，得出BC是直角边，分为当AC是斜边时和当AC是直角边时根据勾股定理和余弦的定义求解即可； （2）分为当AC是斜边时和当AC是直角边时，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）∵在Rt△ABC中，AC＝2BC， 设BC＝x，则AC＝2x， 当AC是斜边时，， 则； 当AC是直角边时，， 则； 综上，cosA的值为或； （2）∵在Rt△ABC中，AC＝2BC， 设BC＝x，则AC＝2x， 当AC是直角边时，（2x）2+x2＝100，解得：（负值已经舍去）； 当AC是斜边时，（2x）2＝x2+100，解得：（负值已经舍去）； 综上，或． 【点睛】本题考查解直角三角形、解一元二次方程及勾股定理，熟练掌握锐角三角函数值是解题关键． 28．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15，AD＝16． （1）求CD和AB的长； （2）求∠ACB的度数． 【分析】（1）在Rt△ACD和Rt△BCD中，利用勾股定理求出相应线段长即可得到答案； （2）在△ABC中，利用勾股定理的逆定理判定即可得到答案． 【详解】解：（1）∵CD⊥AB， ∴在Rt△ACD中，AD2+CD2＝AC2；在Rt△BCD中，BD2+CD2＝BC2， ∵AC＝20，AD＝16， ∴； ∵BC＝15，CD＝12， ∴； ∴AB＝AD+BD＝25； （2）由（1）知，AB＝25， ∴在△ABC中，AC＝20，BC＝15，AB＝25，则AC2＝400，BC2＝225，AB2＝625， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴由勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°． 【点睛】本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理，数形结合，准确运用勾股定理及勾股定理的逆定理是解决问题的关键． 29．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD 是∠CAB的平分线．设AC，AD，解这个直角三角形． 【分析】先在Rt△ADC中利用边角间关系求出∠CAD的度数，再通过角平分线求出∠CAB，内角和定理求出∠B，最后利用特殊角的函数值和勾股定理求出AB、BC． 【详解】解：在Rt△ADC中， ∵cos∠CAD ， ∴∠CAD＝30°． ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠CAB＝2∠CAD＝60°． ∴∠B＝90°﹣∠CAB＝30°． ∵sinB，sinB＝sin30°， ∴AB＝2AC＝2×816． ∴BC ＝8． 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握特殊角的函数值和直角三角形的边角间关系是解决本题的关键． 30．在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c （1）已知a＝6，b＝2，解这个直角三角形 （2）已知∠B＝45°，a+b＝6，解这个直角三角形 （3）已知sinA＝，c＝6，解这个直角三角形． 【答案】（1）；（2），；（3）， 【分析】（1）直角三角形中知两边，求第三边，运用勾股定理即可 （2），即，，即可知．再运用勾股定理即可 （3），其中，即可求解． 【详解】解：依题意 （1）在中，， ，， 根据勾股定理得，， ； （2）， 为等腰直角三角形， ， ， 根据勾股定理得， ， ， 此三角形的三边分别为：，，； （3）在中，， ， ， ， 根据勾股定理得． ， 此三角形的三边分别为：，，． 【点睛】此题主要考查直角三角形勾股定理的运用，要掌握三角形“知二求三”的技巧，熟练运用勾股定理． 题型七、构建直角三角形求锐角三角函数值 31．如图，在△ABC中，AB＝14，AC＝13，BC＝15，则sin A＝　 　． 【答案】． 【分析】过点C作CD⊥AB于点D，设AD＝x，则BD＝14﹣x，由勾股定理得出方程132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2，解得x＝5，则AD＝5，再由勾股定理求出CD的长，即可解决问题． 【详解】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D， 则∠CDA＝∠CDB＝90°， 设AD＝x，则BD＝14﹣x， 由勾股定理得：CD2＝AC2﹣AD2＝132﹣x2，CD2＝BC2﹣BD2＝152﹣（14﹣x）2， 则132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2， 解得：x＝5， ∴AD＝5， ∴CD12， ∴sinA， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形以及勾股定理等知识，熟练掌握锐角三角函数定义，根据勾股定理求出AD的长是解题的关键． 32．（24-25九年级下·重庆·阶段练习）如图，在边长为5的菱形中，为对角线，过点D作，交的延长线于点E．若，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识．先利用勾股定理求得的长，由面积可求出高的长，再利用正弦函数的定义，即可求解． 【详解】解：连接交于点O，作于点F， ∵菱形， ∴，，，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵菱形的面积，即， ∴， ∴， 故答案为：． 33．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的中线，    求： (1)的长； (2)的正弦值． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是： （1）作于．在中，求出，在中，求出即可解决问题； （2）在中，求出，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，作于．        在中，，， ，， 在中，， ， ． （2）， ，，， 在中，． 的正弦值为． 34．（2025·浙江绍兴·二模）如图，在中，，点在边上，且，连结． (1)求的长． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点A作，垂足为E，根据已知易得，再利用等腰三角形的性质可得，从而可得，然后在中，利用勾股定理求出的长，再在中，利用勾股定理求出的长，即可解答； （2）过点D作，垂足为F，先利用面积法求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】（1）解：过点作于点，如图． ， ， 又， ，． 在中，， 在中，． （2）解：过点作于点，如图． 由已知可得：， ， ， ， ． ． 35．（2023秋•崇明区期中）如图，在△ABC中，AB＝5，sinB，tanC． （1）求BC的长． （2）若点D在BC边上，且BD：CD＝3：2，求tan∠CAD的值． 【分析】（1）过点A作AE⊥BC，垂足为E，在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，从而利用勾股定理求出BE的长，然后在Rt△AEC中，利用锐角三角函数的定义求出CE的长，从而求出BC的长； （2）根据BD：CD＝3：2，求出CD的长，过点D作AF⊥AC，垂足为F，在Rt△CDF中，利用锐角三角函数的定义和勾股定理求出DF和CF的长，从而求出AF的长，然后在Rt△ADF中，利用锐角三角函数的定义即可求出答案． 【详解】解：（1）如图，过点A作AE⊥BC，垂足为E， 在Rt△ABE中，AB＝5，sinB， ∴， ∴AE＝3， ∴BE4， 在Rt△AEC中，tanC， ∴， ∴CE＝2AE＝6， ∴BC＝BE+CE＝10； （2）过点D作AF⊥AC，垂足为F，连接AD， ∵BD：CD＝3：2，BC＝10， ∴CD＝104， 在Rt△CDF中，tanC， ∴， ∴设DF＝x，则CF＝2x， ∵DF2+CF2＝CD2， ∴x2+4x2＝16， 解得x， ∴DF，CF， 由（1）得AC3， ∴AF＝3， ∴在Rt△ADF中，tan∠CAD． 【点睛】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 题型八、构建直角三角形进行线段或角的计算 36．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，在中，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理，作交的延长线于，求出是等腰直角三角形，结合勾股定理得出，从而得出，再利用勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：如图，作交的延长线于， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 37．已知在中，，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，垂足为，根据，得出,进而求得，由已知条件得出，进而得出，即可求解． 【详解】解：如图所示， 过点作，垂足为， 在中，， ∴, ∴ \ ∴， 在中， 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形，构造直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键． 38．（22-23九年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】作于，根据，，算出和，再根据，算出，最后根据计算即可． 【详解】如下图，作于，    在中，，， ，， 在中，， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了用锐角三角函数解非直角三角形，作垂直构造直角三角形是解题的关键． 39．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解直角三角形以及勾股定理，熟练掌握解直角三角形的方法是解答本题的关键．作于，设，根据题意可得，进而解直角得出，，即可求解． 【详解】解：如图所示，作于， 设， ， ， ，， ， 即， 解得：， 在中，， 即：， ， ， 故答案为：． 40．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，BC＝3，求AB的长及△ABC的面积． 【答案】． 【分析】过点C作CD⊥AB，根据∠B＝45°，得CD＝BD，根据勾股定理和BC＝3得出BD，再根据∠A＝30°，得出AD，从而得出AB即可，然后根据三角形面积公式计算△ABC的面积． 【详解】解；过点C作CD⊥AB，交AB于D． ∵∠B＝45° ∴CD＝BD， ∵BC＝3， ∴BD＝CD＝3， ∵∠A＝30°， ∴tan30°， ∴AD3， ∴AB＝AD+BD＝3+3． ∴△ABC的面积AB•AD． 【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练应用三角函数的定义是解题的关键． 题型九、锐角三角函数与相似三角形的综合应用 41．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在矩形中，，是边的中点，连接，过点作交于点，连接，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，余弦的定义，证明，列出比例式求出的长，进而得到的长，利用勾股定理求出的长，再利用余弦的定义即可求解． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵点E是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∴， ∴ 故选：A． 42．如图所示，在中，斜边，，点D在AB上，且，则的值是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】过点D作DE⊥BC于点E，构造含∠BCD的Rt△CDE，分别算出DE、CE的长，利用正切的定义计算即可． 【详解】如图，过点D作DE⊥BC于点E， ∵∠ACB=∠DEB=90°， ∴AC∥DE ∴∠A=∠EDB ∴△ACB∽△DEB（AA） ∵， ∴ 又∵AB=3，BC=1 ∴，， ∵Rt△BDE ∴ ∵BC=1 ∴ ∴ 故选C． 【点睛】本题考查了正切的定义，相似三角形的性质与判定，勾股定理等知识点，正切值定义的成立条件是在直角三角形中，这点是容易被忽略的易错点． 43．（2025·山西朔州·三模）如图，在中，，，分别为，边上的点，且，，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要查了平行线分线段成比例，角平分线的性质，解直角三角形．作，交于点F，过点E作于点G，则，可得，从而得到，再由角平分线的性质可得，设，则，再由，可得，即可求解． 【详解】解：如图，作，交于点F，过点E作于点G，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵，， ∴，， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴． 故答案为： 44．（24-25九年级下·上海·阶段练习）如图，已知中，，，将绕点旋转至，如果直线，垂足记为点，那么的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，正弦函数，相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．设，则，，分两种情况讨论，画出图形，利用相似三角形的判定和性质，列式计算即可求解． 【详解】解：∵中，，， ∴， 设，则，， ∵将绕点旋转至， ∴，则，，，， 如图，，，， ∴， ∴，则， ∴， ∴， ∴； 如图，，，， ∴， ∴，则， ∴， ∴， ∴； 故答案为：或． 45．如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，对角线AC、BD相交于点O，AD＝2，AB＝3，BC＝4． （1）求△BOC的面积； （2）求∠ACD的正弦值． 【分析】（1）可过点O作AB的平行线，借助于相似三角形的性质求出BC边上的高即可解决问题． （2）过点A作CD边的垂线，借助于面积法求出垂线段的长即可解决问题． 【详解】解：（1）过点O作AB的平行线，分别与AD，BC交于点M，N， ∵AD∥BC，MN∥AB， ∴四边形ABNM是平行四边形， 又∵∠ABC＝90°， ∴四边形ABNM是矩形， ∴OM⊥AD，ON⊥BC． ∵AD∥BC， ∴△AOD∽△COB， ∴， 又∵MN＝AB＝3， ∴OM＝1，ON＝2， ∴． （2）在Rt△ABC中， AC． 过点D作BC的垂线，垂足为E，过点A作CD垂线，垂足为F， 在Rt△CDE中， CD． ∵， ∴AF． 在Rt△CAF中， sin∠ACD． 【点睛】本题考查解直角三角形，构造出合适的直角三角形是解题的关键． 题型十、 解直角三角形与四边形的综合应用 46．中国最早的一部数学著作《周髀算经》中记载着勾股定理，约1400年后的汉代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的证明．这就是如图所示的“赵爽弦图”，若，则小正方形与直角三角形的面积比为（    ）    A． B．1∶1 C． D．1∶5 【答案】B 【分析】在中，根据锐角三角函数的定义得出，代入，两边平方得出，由“赵爽弦图”，结合图形可知等于小正方形的边长，那么．再根据，即可求解． 【详解】解：如图．    在中，∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 即． 设，则， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正方形的面积，勾股定理的证明等知识，难度中等．知道“赵爽弦图”中各线段之间的关系是解题的关键． 47．如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD． （1）求证：四边形ABEF是菱形； （2）若AB＝4，AD＝6，∠ABC＝60°，求cos∠ADP的值． 【分析】（1）根据平行四边形和角平分线的性质可得AB＝BE，AB＝AF，AF＝BE，从而证明四边形ABEF是菱形； （2）作PH⊥AD于H，由菱形的性质得到AB＝AF＝4，∠ABF＝∠ADB＝30°，AP⊥BF，得PH，AH＝1，则DH＝5，由勾股定理求出PD的长，然后由锐角三角函数的定义求解即可． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC． ∴∠DAE＝∠AEB． ∵AE平分∠BAD， ∴∠DAE＝∠BAE． ∴∠BAE＝∠AEB． ∴AB＝BE． 同理：AB＝AF． ∴AF＝BE． ∴四边形ABEF是平行四边形． ∵AB＝BE， ∴四边形ABEF是菱形． （2）解：作PH⊥AD于H，如图所示： ∵四边形ABEF是菱形，∠ABC＝60°，AB＝4， ∴AB＝AF＝4，∠ABF＝∠AFB＝30°，AP⊥BF， ∴APAB＝2， ∴AHAP＝1，PHAH， ∴DH＝AD﹣AH＝5， ∴PD2， ∴cos∠ADP． 【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定．勾股定理以及三角函数定义等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 48．如图，在中，对角线的垂直平分线分别交，于点，，与相交于点，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）已知，，，请你写出的值． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）方法一：先证明≌，可得，再证明四边形是平行四边形，结合，从而可得结论；方法二：先证明≌，可得，再证明四边形是平行四边形，结合，从而可得结论；方法三：证明从而可得结论； （2）如图，过作于 利用菱形的性质结合三角函数先求解菱形的对角线的长及菱形的面积，再利用 求解 从而可得答案. 【详解】（1）方法一：∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ 又∵垂直平分， ∴．． ∴≌． ∴． ∴四边形是平行四边形． ∵ ∴四边形是菱形． 方法二：∵四边形是平行四边形， ∴． ∴ 又∵垂直平分， ∴．． ∴≌． ∴． ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． 方法三：∵垂直平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴ ∴≌． ∴． ∴ ∴四边形是菱形． （2）如图，过作于 四边形是菱形． 则 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，菱形的判定，菱形的性质，锐角三角函数的应用，掌握“选择合适的判定方法判断菱形及利用等面积法求解菱形的高”是解本题的关键. 49．如图，在矩形中，，，点E在上，，P是上一点，将矩形沿折叠，点A落在点处．连接，与相交于点F，设．    (1)________； (2)若点A在的平分线上，求的长； (3)求点，D距离的最小值，并求此时的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用勾股定理求解即可． （2）证明，可得结论． （3）利用勾股定理求出，根据，可得结论． 【详解】（1）如图1中，    ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：； （2）如图1中，∵平分，    ∴， 由翻折可知，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）如图2中，连接，．    在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为8， 此时，，D共线，设，则有， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了四边形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 50．如图，矩形的对角线，相交于点O，关于的对称图形为．    (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，． ①求的值； ②若点P为线段上一动点（不与点A重合），连接，一动点Q从点O出发，以的速度沿线段匀速运动到点P，再以的速度沿线段匀速运动到点A，到达点A后停止运动．设点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间为t，求t的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)①；②t的最小值为3 【分析】（1）根据矩形的性质可得，折叠的性质可得，即可求证； （2）①连接交于点M，作交的延长线于H，根据菱形的性质得出，，，通过证明四边形是矩形，得出， ，则，根据勾股定理得出最后根据，即可求解；②根据题意得出点Q的运动时间 ，连接，过点P作于H，则，进而得出，根据垂线段最短可知，当点O，P，H共线且与重合时，t有最小值，t的最小值为的值，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵关于的对称图形为， ∴， ∴四边形是菱形． （2）解：①如答图1中，连接交于点M，作交的延长线于H．    ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴为中位线， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ， ∴， 在中， ∴   ②由题意得：点Q的运动时间 如答图2中，连接，过点P作于H，    由①，得 过点O作于M．如答图2 根据垂线段最短可知，当点O，P，H共线且与重合时， t有最小值，t的最小值为的值，   又 所以t的最小值为3． 【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定和性质、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、勾股定理、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用垂线段最短解决最值问题，是中考压轴题． 1.如图，在四边形中，，，为边上的点，为等边三角形，，，则的值为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作于点，于点，解直角，得出，证明，得出，再求出，，然后利用正切函数定义即可求解． 【详解】如图，作于点，于点，        ∵，， ∴， ∴． ∵为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 故选：． 【点睛】此题考查了解直角三角形，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，锐角三角函数定义等知识，准确作出辅助线，构造全等三角形以及直角三角形是解题的关键． 2.如图是个形状、大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角 为，点，，，都在格点上，且线段，相交于点，则的值是(    )    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图取格点，连接、．设小菱形的边长为．首先证明，再证明，根据，即可解决问题． 【详解】解：如图取格点，连接、．设小菱形的边长为． ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴， ， 依题意，则是等边三角形， 则，， ， ，，    如图所示，过点作，∵， ∴，， ∴， 又∵ ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 3．（2024•安阳二模）在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，直角边AC的中点为D，点E在斜边上且AE＝3，若△ADE为直角三角形，则BC的值为 　 ． 【答案】3或4． 【分析】分情况讨论，当∠EDA＝90°时，利用中位线的性质即可得到结论，当∠AED＝90°时，利用特殊角的锐角三角函数求解，即可得结论． 【详解】解：①当∠EDA＝90°时， ∵AE＝3，∠A＝30°， ∴AD， ∵AC的中点为D， ∴BC＝3； ②当∠AED＝90°， ∵AE＝3，∠A＝30°， ∴AD＝2， ∵Rt△ABC的直角边AC的中点为D， ∴AC＝2AD＝4， ∴BC＝4． 故答案为：3或4． 【点睛】本题考查锐角三角函数．正确记忆相关知识点是解题关键． 4.如图所示，将一副三角板摆放在一起，组成四边形，，，，连接，则的值为__________． 【答案】  【解析】 本题考查了解直角三角形，同时考查了特殊角的三角函数值，如何作辅助线，是解题的关键． 如图所示，连接，过点作垂直于的延长线于点，构造直角三角形，将置于直角三角形中，设为，根据特殊直角三角形分别求得线段、、，从而按正切函数的定义可解． 【解答】 解：如图所示，连接，过点作垂直于的延长线于点， 在中，，在中， ， ， ， 设，则， 在中， ， ，则， 在中，， ， 在中， 故答案为：． 5.如图，在中，，若，连接交于点，则的值为 ． 【答案】 【分析】过作，过作，如图所示，先证明，得到，从而判定四边形是平行四边形，进而，得到，在中，；在中，；在中，，即可得到． 【详解】解：过作，过作，如图所示： ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则，则，解得， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 在中，，，则， 在中，，，则， 在中，，则 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查求三角函数值，涉及相似三角形判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理及余弦函数定义，准确构造辅助线，熟练运用相似三角形判定与性质是解决问题的关键． 6．计算： (1)； (2) ． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将特殊角三角函数值代入，然后先算乘法，再算加法； （2）先将特殊角三角函数值代入，然后先算乘方，再算乘除，最后算加减． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 【点睛】本题考查特殊角三角函数值，二次根式的混合运算，掌握特殊角三角函数值以及二次根式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键． 7．（2025九年级下·浙江·专题练习）在中，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查解直角三角形，勾股定理，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点作，交的延长线于点，由平角的定义可求解，通过解直角三角形可求解，的长，即可求解的长，再利用勾股定理可求解的长． 【详解】解：过点作，交的延长线于点， ， ， ， ，， 即，， ，， ， ， ． 8．如图，在中，，，点D是延长线上一点，．    (1)求点A到的距离； (2)求的值． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）作于点E，设，由可得，由可得．由得到，解得，得到，即可得到点A到的距离； （2）作于点F，由（1）可得，，由勾股定理得到，，由得到CF＝，即可得到的值． 【详解】（1）解：作于点E，    设， 在中，， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； 即点A到的距离为3； （2）作于点F，    由（1）可得，， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴， 在中，， 则． 【点睛】此题考查了解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握锐角三角函数的定义和勾股定理是解题的关键． 9．（2024秋•工业园区校级月考）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（记作sad）．如图①，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： （1）sad60°＝ 　 ； （2）如图②，△ABC中，CB＝CA，若sadC，求tanB的值； （3）如图③，Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA，sadA＝ 　 　． 【分析】（1）根据题意可知，sad60°为顶角为60°的等腰三角形，从而可以求得sad60°的值； （2）根据△ABC中，CB＝CA，sadC，可以求得CB与AB的关系，从而可以求得CB与AB边上的高的关系，从而可以解答本题； （3）根据Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA，构造以∠A为顶角的等腰三角形，然后根据题意可以解答本题． 【详解】（1）∵顶角为60°的等腰三角形是等边三角形， ∴sad60°． 故答案为：1． （2）如图②所示： 作CD⊥BA于点D， ∵△ABC中，CB＝CA，sadC，sadC， ∴ABBC，BD＝ADAB， ∴BD＝ADAB， ∴CDBC， ∴tanB， 即tanB； （3）如图③所示，在AB上截取AD＝AC，作DE⊥AC于点E， Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA， 设AB＝5a，BC＝3a，则AC＝AD＝4a． ∴DE＝AD•sinA＝4a，AE＝AD•cosA＝4a， ∴CE＝AC﹣AE＝4a， ∴CDa， ∴sadA， 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是能明确题目中给出的新定义，前提必须是等腰三角形，会做合适的辅助线，构造等腰三角形． 10．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，4），点B在x轴负半轴上，且tan∠ABO． （1）求AB的长及∠BAO的正弦值． （2）若点C在x轴正半轴上，且OC＝3．点D是x轴上的动点，当∠CAD＝∠ABC时，求点D坐标． 【分析】（1）先由点A（0，4），得OA＝4，在Rt△OAB中由tan∠ABO，可求出OB；再由勾股定理求出AB，进而可得∠BAO的正弦值； （2）过点C作CE⊥AD于E，设点D的坐标为（t，0），则OD＝t，由勾股定理得AD，AC＝5，在Rt△AOB中求出sin∠ABC，则sin∠CAD，由此得CE，然后由三角形的面积公式得S△ACDAD•CECD•OA，得，解此方程求出t的值即可得出点D的坐标． 【解答】解：（1）∵点A（0，4）， ∴OA＝4， 在Rt△OAB中，tan∠ABO， ∴OBOA＝6， 由勾股定理得：AB， ∴sin∠BAO， （2）过点C作CE⊥AD于E，如图所示： 设点D的坐标为（t，0），则OD＝t， 在Rt△AOD中，由勾股定理得：AD， ∵点C在x轴正半轴上，且OC＝3， ∴在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC5， 在Rt△AOB中，sin∠ABO， 即sin∠ABC， ∵∠CAD＝∠ABC， 在Rt△ACE中，AC＝5，sin∠CAD， ∴CE， 又∵OD＝t，OC＝3， ∴CD＝|t﹣3|， 由三角形的面积公式得：S△ACDAD•CECD•OA， ∴， 整理得：27t2﹣312t+68＝0， 解得：t1，t2， ∴点D的坐标为（，0）或（，0）． 【点评】此题主要考查了解直角三角形，点的坐标，熟练掌握锐角三角函数的定义，灵活运用三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $