第12章 全等三角形（高效培优单元测试·强化卷）数学华东师大版2024八年级上册

第12章 全等三角形(高效培优单元测试·强化卷) (考试时间:100分钟，试卷满分:120分) 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（本题3分）以下四个命题中，假命题是（    ） A．三角形的三条高所在的直线一定相交于三角形内 B．三角形三个内角中至少有两个锐角 C．对顶角相等 D．一个数能被4整除，这个数也能被2整除 2．（本题3分）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块，你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形，应该带第（     ）块． A． B． C． D． 3．（本题3分）如图，，，且点A在上，点D在上，添加下列一个条件后，仍然无法判定的是（    ） A． B． C． D． 4．（本题3分）如图，，垂足为点，厘米，厘米，射线，垂足为点，一动点从点出发以2厘米/秒的速度沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，当点离开点后，运动秒时，与全等，的值可能为（   ） A．2 B．2或6 C．6或8 D．2或6或8 5．（本题3分）如图，在中，，，，（   ） A． B． C． D． 6．（本题3分）如图，在中，，为的角平分线，在边上取点E，使，且，若，，则（    ） A． B． C． D． 7．（本题3分）如图，是等腰底边上的中线，点在上，且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．（本题3分）如图，中，、的角平分线BP、CP交于点P，延长BA、BC，于M，于N，则下列结论：①AP平分；②；③；④，其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（本题3分）如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法一定正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（本题3分）如图，在中，，的垂直平分线交于，交于，平分，则等于（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．（本题3分）用三个不等式，，中的两个不等式作为题设条件，余下的一个不等式作为结论，组成一个命题，可以组成真命题的个数为 个，请同学们写出一个真命题 ． 12．（本题3分）如图，，，，，垂足分别为，，，，则 ． 13．（本题3分）如图，点C在线段上，于点B，于点D，，且，，点P从点A开始以速度沿向终点C运动，同时点Q以的速度从点E开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点P到达终点时，P、Q同时停止运动．过P、Q分别作的垂线，垂足分别为M、N．设运动的时间为，当以P、C、M三点为顶点的三角形与全等时，t的值为 ． 14．（本题3分）如图，在中，、的平分线相交于，过作∥，交于，交于，那么下列结论中：①都是等腰三角形；②；③的周长等于；④．其中正确的是 （填写正确的序号） 15．（本题3分）如图，在纸片中，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，若，求的长为 ． 三、解答题（共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本题8分）如图，有下列三个条件：①，②，③． (1)从这三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论组成命题．在保证该命题为真命题的情况下，你选择的条件是　　　，结论是　　　； (2)请写出（1）中你组成的命题的证明过程． 17．（本题8分）如图，，，，． (1)求证：； (2)求的度数． 18．（本题8分）如图1，在中，，延长至点D，过点D作交的延长线于点E，延长至点F，过点F作交的延长线于点G，且． (1)求证：； (2)如图2，连接，交于点H，猜想与的数量关系，并证明． 19．（本题8分）如图，在梯形中，，E是中点，平分，求证：． 20．（本题8分）如图，在等边三角形中，为边上一点，为的延长线上一点，且，连接，交边于点，过点作于点． (1)求证：； (2)若的边长为，求的长． 21．（本题10分）如图，在四边形中，平分，，于点E． (1)求证：． (2)若，求的值． 22．（本题10分）如图，是等腰直角三角形，，点是线段延长线上一点，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，连接交直线于点． (1)若，则 ； (2)探究线段，之间的数量关系，并给出证明； (3)将“点是线段延长线上一点”改为“点是射线上一点”，其余条件不变，若，，则 ．（直接写出答案即可） 23．（本题15分）如图①，中，，、的平分线交于点，过点作交于． (1)图中有___________个等腰三角形；与、之间数量关系是___________； (2)如图②，若，其他条件不变，图中有___________个等腰三角形；与、间数量关系是___________； (3)如图③，若中的平分线与三角形外角平分线交于，过点作交于，交于．与、关系又如何？说明你的理由． 2 / 26 1 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12章 全等三角形(高效培优单元测试·强化卷) (考试时间:100分钟，试卷满分:120分) 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（本题3分）以下四个命题中，假命题是（    ） A．三角形的三条高所在的直线一定相交于三角形内 B．三角形三个内角中至少有两个锐角 C．对顶角相等 D．一个数能被4整除，这个数也能被2整除 【答案】A 【知识点】对顶角相等、三角形内角和定理的应用、与三角形的高有关的计算问题、判断命题真假 【分析】本题考查真假命题的判断，逐一分析各选项的正确性，重点在于理解每个命题的数学依据，尤其是可能存在特殊情况或前提条件的情况． 【详解】解：选项A：锐角三角形的垂心在内部；直角三角形的垂心在直角顶点（即边上）；钝角三角形的垂心在外部； 因此，选项A中“一定相交于三角形内”不成立，存在反例（如钝角三角形），是假命题，选项正确； 选项B： 根据三角形内角和为： 若存在一个直角，则剩余两角和为，必为两个锐角； 若存在一个钝角（如），剩余两角和为，均为锐角； 若三个角均为锐角（如等边三角形），显然满足条件， 因此选项B中“三角形三个内角中至少有两个锐角”为真命题，选项错误； 选项C：根据几何基本定理，对顶角一定相等，选项C为真命题，选项错误； 选项D：因为，能被4整除的数必为偶数（即能被2整除），选项D为真命题，选项错误． 故选：A． 2．（本题3分）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块，你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形，应该带第（     ）块． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题主要考查三角形全等的判定，掌握判定两个三角形全等的一般方法有、、、、是解题的关键． 根据三角形全等判定的条件进行解答即可． 【详解】解：、、块玻璃不同时具备包括一个完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，只有第块有完整的两角及夹边，符合，满足题目要求的条件，是符合题意的． 故选：A． 3．（本题3分）如图，，，且点A在上，点D在上，添加下列一个条件后，仍然无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题时要熟练掌握并能灵活运用全等三角形的判定方法是关键．依据题意，添加各个选项的条件后逐个分析判断可以得解． 【详解】解：A，添加，结合，， ∴不能满足判定的条件，故A符合题意． B，添加，结合，， ∴，故B不符合题意． C，添加，结合，， ∴，故C不符合题意． D，添加，结合，， ∴，故D不符合题意． 故选：A． 4．（本题3分）如图，，垂足为点，厘米，厘米，射线，垂足为点，一动点从点出发以2厘米/秒的速度沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，当点离开点后，运动秒时，与全等，的值可能为（   ） A．2 B．2或6 C．6或8 D．2或6或8 【答案】D 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查三角形全等的性质．首先根据题意可知，本题要分两种情况讨论：①当E在线段上时，②当E在射线上时；再分别分成两种情况，，结合已知，运用即可得出 与全等，然后分别计算的长度即可． 【详解】解：①当E在线段上，时，， ，， ， ， ∴点E的运动时间为（秒）； ②当E在上，时，， ， ， ， ∴点E的运动时间为（秒）； ③当E在线段上，时，， 这时E在B点未动，不合题意舍去； ④当E在上，时，， ， 点E的运动时间为（秒）， 故选：D． 5．（本题3分）如图，在中，，，，（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等边对等角、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了等边对等角、三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据等边对等角得到，，根据三角形外角的性质得到，，进而得到，再利用等量代换即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 6．（本题3分）如图，在中，，为的角平分线，在边上取点E，使，且，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、与角平分线有关的三角形内角和问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，在上截取，证明，推出，根据等边对等角，结合三角形的内角和定理和平角的定义，进行求解即可． 【详解】解：在上截取， ∵为的角平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； 故选A 7．（本题3分）如图，是等腰底边上的中线，点在上，且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】等边对等角、三线合一、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，三角形内角和定理，垂直平分线的性质的运用，掌握等腰三角形的判定及性质，是解题的关键． 根据等腰三角形的定义可得，，由是中线可得，，，则是的垂直平分线，由此可得，，由，可得，根据即可求解． 【详解】解：∵是等腰三角形，， ∴，， ∵是上的中线，且， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 故选：D ． 8．（本题3分）如图，中，、的角平分线BP、CP交于点P，延长BA、BC，于M，于N，则下列结论：①AP平分；②；③；④，其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】角平分线的性质定理、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查的是角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，过点作于，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明根据全等三角形的性质得出判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 【详解】解：①过点作于，如图： ∵平分，平分，， ∴， ∴， ∵， ∴平分，故①符合题意； ②∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，故②不符合题意； ③∵平分，平分， ∴， ∴，故③不符合题意； ④由②可知，， 故④符合题意， ∴符合题意的有个， 故选：B． 9．（本题3分）如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】作垂线(尺规作图)、作角平分线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查作图-基本作图、线段的垂直平分线、角平分线等知识点，读懂图形信息、灵活运用所学知识是解题的关键． 由作图可知平分，垂直平分线段，再根据线段的垂直平分线的性质判断即可． 【详解】解：由作图可知：平分，垂直平分线段， ∴，，即C选项符合题意． 故选：C． 10．（本题3分）如图，在中，，的垂直平分线交于，交于，平分，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等边对等角、直角三角形的两个锐角互余、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、直角三角形以及等腰三角形的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，再根据直角三角形的性质列式计算即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．（本题3分）用三个不等式，，中的两个不等式作为题设条件，余下的一个不等式作为结论，组成一个命题，可以组成真命题的个数为 个，请同学们写出一个真命题 ． 【答案】 3 如果，，那么或如果，，那么或如果，，那么 【知识点】写出命题的题设与结论、不等式的性质、判断命题真假 【分析】本题主要考查了判断命题真假，不等式的性质，写出命题的题设和结论当选取，作为条件，为结论时，根据不等式两边同时除以一个正数不等号不改变方向即可证明；当选取，作为条件，为结论时，根据不等式两边同时乘以一个正数，不等号不改变方向即可证明；当选取，作为条件 为结论时，据不等式两边同时乘以一个正数，不等号不改变方向即可证明． 【详解】解：当选取，作为条件，为结论时， ∵，， ∴，即， ∴此时命题是真命题； 当选取，作为条件，为结论时， ∵， ∴当时，则 ，即，符合题意； 当时，则 ，即，不符合题意； ∴此时命题是真命题； 当选取，作为条件 为结论时， ∵，， ∴，即， ∴此时命题是真命题； 综上所述，可以组成真命题的个数为3个，命题为：如果，，那么；如果，，那么；如果，，那么． 故答案为：3；如果，，那．么或如果，，那么或如果，，那么． 12．（本题3分）如图，，，，，垂足分别为，，，，则 ． 【答案】7 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质．根据题意可证，可得，，再根据，由此即可求解． 【详解】解：∵， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：7． 13．（本题3分）如图，点C在线段上，于点B，于点D，，且，，点P从点A开始以速度沿向终点C运动，同时点Q以的速度从点E开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点P到达终点时，P、Q同时停止运动．过P、Q分别作的垂线，垂足分别为M、N．设运动的时间为，当以P、C、M三点为顶点的三角形与全等时，t的值为 ． 【答案】2或 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质．分两种情况讨论，由全等三角形的判定和性质可求解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ， 当点在上，点在上时， ∵以为顶点的三角形与全等， ，又，，，， ， ； 当点在上，点第一次从点返回时， ∵以为顶点的三角形与全等， ， ， ； 综上所述：t的值为2或． 故答案为：2或． 14．（本题3分）如图，在中，、的平分线相交于，过作∥，交于，交于，那么下列结论中：①都是等腰三角形；②；③的周长等于；④．其中正确的是 （填写正确的序号） 【答案】①② 【知识点】两直线平行内错角相等、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题综合运用了角平分线的性质、平行线的性质以及等腰三角形的判定．结合角平分线的性质和平行线的性质，即可证明和是等腰三角形，然后根据线段的和差分析其它结论． 【详解】解：①∵的平分线相交于F， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴都是等腰三角形．故①正确； ②根据①得．故②正确； ③根据②得．故③错误； ④和不一定相等，∴和不一定相等．故④错误． 故答案为：①②． 15．（本题3分）如图，在纸片中，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，若，求的长为 ． 【答案】 【知识点】角平分线的性质定理、三角形折叠中的角度问题 【分析】本题考查了折叠的性质等面积法求高，解题的关键是作出常用辅助线及熟练掌握折叠的性质． 由折叠的性质可得：，，，进而证得，得到，由面积法可求解． 【详解】解：由折叠的性质可得：，，，，， 如图，过点D作于点M，作于点N，则， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本题8分）如图，有下列三个条件：①，②，③． (1)从这三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论组成命题．在保证该命题为真命题的情况下，你选择的条件是　　　，结论是　　　； (2)请写出（1）中你组成的命题的证明过程． 【答案】(1)①②，③；或①③，②；或②③，① (2)证明过程见解析 【知识点】写出命题的题设与结论、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定与性质．应用平行线的判定和性质定理时，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．解题时一定要弄清题设和结论，切莫混淆． （1）三个命题分别是：已知①②，求证：③；已知①③，求证：②；已知②③，求证：①； （2）命题一证明：根据得到，接着得到即可证明；命题二证明：根据得到，接着由得到即可证明；命题三证明：根据得到，接着得到即可证明． 【详解】（1）解：命题一：已知①②，求证：③； 命题二：已知①③，求证：②； 命题三：已知②③，求证：①； （2）命题一：已知①②，求证：③ 证明：， ， ． ， ， ， ； 命题二：已知①③，求证：② 证明：， ， ． ， ， ， ； 命题三：已知②③，求证：① 证明：， ， ． ， ， ， ． 17．（本题8分）如图，，，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS）、三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，外角性质，熟练运用全等三角形的性质是本题的关键． （1）由可证； （2）先根据全等三角形的性质得，再由三角形内角和定理可求，然后由外角的性质求解即可． 【详解】（1）解：在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 18．（本题8分）如图1，在中，，延长至点D，过点D作交的延长线于点E，延长至点F，过点F作交的延长线于点G，且． (1)求证：； (2)如图2，连接，交于点H，猜想与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质和判定证明即可； （2）证明，得到，即可得解． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下， ， ， ， ，，， ， ， ． 19．（本题8分）如图，在梯形中，，E是中点，平分，求证：． 【答案】见详解 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，过点作，证明，得出，，证明，得出，即可证明． 【详解】解：过点作， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵E是中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20．（本题8分）如图，在等边三角形中，为边上一点，为的延长线上一点，且，连接，交边于点，过点作于点． (1)求证：； (2)若的边长为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】三线合一、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】此题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形三线合一等知识点，掌握其性质定理是解决此题的关键． （1）过作的平行线至于，易证是等边三角形，再证明，得出结论； （2）利用是等边三角形，，得出，再由，得出，由此得出与的关系解决问题． 【详解】（1）证明：如图， 过作交于点， ，， 为等边三角形， ， ， 是等边三角形； ， ∵， ， ∵， ， ． （2）解：是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ． 21．（本题10分）如图，在四边形中，平分，，于点E． (1)求证：． (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)． 【知识点】角平分线的性质定理、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质． （1）过点C作于点F，易得，根据角平分线的性质可得，再利用证明，利用全等三角形的性质即可证得； （2）证明，推出，通过线段的和差与等量代换即可证得结论． 【详解】（1）证明：过点C作于点F，如图所示：    ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵平分， ∴． ∵，， ∴． 在和中，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴． ∵平分， ∴． ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 22．（本题10分）如图，是等腰直角三角形，，点是线段延长线上一点，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，连接交直线于点． (1)若，则 ； (2)探究线段，之间的数量关系，并给出证明； (3)将“点是线段延长线上一点”改为“点是射线上一点”，其余条件不变，若，，则 ．（直接写出答案即可） 【答案】(1)； (2)，证明见解析； (3)或3． 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解 【分析】（1）利用等腰直角三角形性质和旋转性质，求出相关角的度数，进而得到∠D的度数． （2）通过作辅助线构造全等三角形，证明线段相等，再结合等腰直角三角形的性质得出与的数量关系． （3）分点在线段延长线和线段上两种情况，利用三角形面积关系和相似三角形性质求解的长度． 【详解】（1）解：∵线段绕着点逆时针旋转得到线段， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴在中，， 故答案为：； （2）解：，证明如下： 过点作，交直线于点． ∵，， ∴． ∵， ∴， 又， ∴． 在和中， ， ∴（）． ∴，． ∵， ∴． ∵，， ∴（）． ∴． （3）解：当点在线段延长线上时，设， 由（）知，设， 则，． 由，得，， 由，得， ∴， ． ∵， ∴， 解得． 当点在线段上时，设， 同理可得， ． ∵， ∴， 解得， 综上的长为或3． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形面积的计算，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 23．（本题15分）如图①，中，，、的平分线交于点，过点作交于． (1)图中有___________个等腰三角形；与、之间数量关系是___________； (2)如图②，若，其他条件不变，图中有___________个等腰三角形；与、间数量关系是___________； (3)如图③，若中的平分线与三角形外角平分线交于，过点作交于，交于．与、关系又如何？说明你的理由． 【答案】(1)5， (2)2， (3)，理由见解析 【知识点】角平分线的判定定理、角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，中垂线的性质，角平分线的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）连接，作，证明是的平分线，三线合一得到垂直平分，得到，平行线的性质结合角平分线的定义，推出，进而确定等腰三角形的个数，以及与、之间数量关系； （2）平行线的性质结合角平分线的定义，推出，进而确定等腰三角形的个数，以及与、之间数量关系； （3）平行线的性质结合角平分线的定义，推出，根据线段的和关系即可得出结论． 【详解】（1）解：连接，作， ∵， ∴为等腰三角形， ∵、的平分线交于点， ∴，， ∴， ∴是的平分线， ∴垂直平分， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴均为等腰三角形，； 综上：共有5个等腰三角形，； （2）解：∵、的平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴均为等腰三角形，； 故共有2个等腰三角形，； （3）解：，理由如下： ∵的平分线与三角形外角平分线交于， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 2 / 26 1 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $