微专题02 角4题型9重难点（专项训练）数学苏科版2024七年级上册

微专题02 角 题型一 角中的设元思想 在求角的度数时，若不能直接通过和、差、倍、分求得，则可把角的度数设为未知数，并根据所求角与其他角之间的关系列方程求解.方程能清楚、简洁地表示出几何图形中的数量关系，是解决几何计算问题的一种重要方法. 重难点一 根据角的比关系设元 1．（23-24七年级下·陕西榆林·期中）如图，直线相交于点，过点作射线，，平分，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，设，则，再由角平分线的定义得到，由平角的定义得到，则可得． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2．（23-24七年级下·山东潍坊·阶段练习）如图，直线与相交于点，，，射线平分，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了角的和差，对顶角相等，首先设，，然后表示出和，再根据平角定义列出方程，解方程求出，进而可求出，解题的关键是理清图中角之间的关系，利用方程思想解决问题． 【详解】解：设，， ∵， ∴， ∵射线平分， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 故选：． 3．（22-23七年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，直线相交于点，平分，若，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角平分线的定义得到，根据邻补角的定义列出方程，解方程求出，根据对顶角相等求出，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：设， ， ， 平分， ， ， 解得，，即，， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查的是对顶角、邻补角的概念，掌握对顶角相等、邻补角之和为是解题的关键． 4．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，，在内作两条射线和，且平分平分，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角的计算，角平分线定义，掌握角的计算，角平分线定义是解题的关键． 根据题意，可设，由，即可得出，求出x的值，即可得出的度数，进而得出的度数，再根据平分平分，由角平分线定义可得出：，，最后由进行计算即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴可设， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴， ∴， 又∵平分平分， ∴，， ∴． 故选：A． 5．（21-22七年级下·广西梧州·期末）如图，直线和相交于O点，，，则，的度数为 ．      【答案】 【分析】本题主要考查垂线、对顶角与邻补角，熟练掌握垂线、对顶角与平角的定义是解决本题的关键． 根据垂线的定义，由，得，进而推断出．再根据对顶角的定义，求得． 【详解】解： ， ． ． 又 ， ． 又与是对顶角， ． 故答案为：． 6．（23-24七年级下·陕西安康·期末）如图，已知直线、相交于点O，，点O为垂足，平分．    (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了垂直的定义，角平分线的定义以及角的和差倍分计算，解决此题的关键是熟练运用以上知识点． （1）先根据角平分线的定义算出，再根据垂直的定义得到，进而根据角度的和差即可得到答案； （2）现在根据角度的比例设出未知数，再根据角平分线的定义和垂直的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， （2）解：∵， ∴可设 ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 即的度数为． 重难点二 根据角的倍分关系设元 7．（24-25七年级上·江苏·期末）如图，O是直线上一点，将直角三角板的直角顶点放在点O处（点M，N分别在异侧），射线平分．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查角平分线的定义，余角和补角，熟知如果两个角的和等于（直角），就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角是解题的关键．设，则，，，，最后根据，列方程即可得到结论． 【详解】解：设，则，，，， ， ， ， ， 解得：， ， ， 故选：D． 8．（24-25七年级上·全国·期末）如图，，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了几何图形中角的运算，要求学生灵活掌握运用．根据平面各角和为，又因为各角与有关系，用表示其余角，设故有，解之可得，又因为，即可得解． 【详解】解：设，由题意， 可得，即， 又因为，即． 故选：C． 9．（22-23七年级上·河南新乡·期末）如图，已知，，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义、角的计算、方程，根据已知条件列方程即可． 【详解】设，则，． 因为，所以，解得． 所以 故选：C． 10．（24-25七年级下·重庆·开学考试）如图所示，已知O为直线上一点，是位于直线同侧的三条射线，若且平分，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查角的计算的知识点，设，则，根据角之间的等量关系求出、、、的大小，然后解得x，再根据即可得解． 【详解】解：设，则， ∵， ∵， ∵平分， ∴， ∵， 解得， ∴． 故选：C． 11．（21-22七年级上·四川绵阳·期末）如图，在内部有三条射线依次分布，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角的和差倍关系，设，可得，，进而得到，再根据角的和差关系即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 12．（23-24七年级上·浙江温州·期末）如图所示，直线与直线交于点O，射线在内部，是的平分线，且． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了垂线、角平分线的定义以及角的计算、解一元一次方程，解决本题的关键是熟练运用这些知识点建立等量关系式． （1）先求，再求即可求出答案； （2）设，根据题意列出方程式，再根据补角的定义即可解决问题， 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴． （2）解：设，则． ∵， ∴， ． ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 13．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，是直线上一点，是一条射线，平分，在内，，．    (1)求和的度数； (2)图中互补的角共有 对． 【答案】(1) (2)4 【分析】此题考查了角平分线的相关计算、一元一次方程的应用、补角的定义等知识， （1）先设为为，根据角平分线的定义、与的关系建立方程解答即可． （2）根据补角的定义和等量代换即可得到答案． 【详解】（1）解：设为，则为， ∵平分， ∴ 则可得， ∵ ， 则可得：， 解得， （2）∵，， ∴图中互补的角共有4对， 故答案为：4 14．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）如图，已知于O，． (1)若平分，求的度数； (2)若的度数比的度数的3倍多，试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了角的计算、角平分线的定义、垂线的定义． （1）根据，可得，再结合角平分线的定义可得， 即可求解； （2）根据，可得，再结合的度数比的度数的3倍多，可得，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴．                                                    ∵， ∴．                                                            ∵平分， ∴，                                                          ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴．                                                    ∵， ∴． ∵的度数比的度数的3倍多， ∴，                                             ∴．                                                          ∵， ∴． 重难点三 根据角的和差关系设元 15．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）如图，射线，在的内部，若满足，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角的和，差计算，设，分别是已知条件，化简计算即可． 【详解】设， 根据题意，得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选B． 16．（23-24七年级上·北京海淀·期末）一副直角三角板如图1放置：直角三角板的边与直角三角板的边重合，点F在线段的延长线上．如图2，将图1的直角三角板绕点B以每秒的速度顺时针旋转（当射线与射线重合时停止），平分，当满足时，三角板的运动时间为（　　） A．31秒 B．秒 C．32秒 D．秒 【答案】B 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，一元一次方程的应用，直角三角板中角度的计算，解题的关键是根据旋转的特点，利用角平分线的定义，列出关于t的方程，解方程即可． 【详解】解：由题意可得：， ∵，， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴， 解得：． 故选：B． 题型二 角中的分类讨论思想 若题目中没有给出具体的图形，则应考虑多解，要根据已知条件画出所有符合条件的图形，进而分类讨论求解. 重难点一 单条待定射线的分类讨论问题 17．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）如图，射线在的内部，图中共有个角：，和，若其中一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“平衡线”若，且射线是的“平衡线”，则的度数为（    ） A． B．或 C．或 D．或或 【答案】D 【分析】本题主要考查了角的计算、一元一次方程的应用等知识点，理解“平衡线”的定义以及分类讨论思想是解题的关键． 根据“平衡线”的定义，分、、三种情况，分别列出关于的方程求解即可． 【详解】解：根据“平衡线”的定义，可分三种情况讨论： ①当时，即，解得：； ②当时， ， ，解得：； ③当时， ， ，解得：； 综上，的度数为或或． 故选：D． 18．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）已知，平分，过点作射线，使得，则度数是（    ）． A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的定义及角的和差关系．分两种情况考虑：①射线在内；②射线在内，再根据角的和差求解．利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：∵，平分，， ∴， ①当射线在内时，如图， ； ②当射线在内时，如图， ； ∴度数是或． 故选：B． 19．（23-24七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知，过点O作射线，使．是的平分线，则的度数为 A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，分点B在内部和点B在外部两种情况先求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图1所示，当点B在内部时， ∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴； 如图2所示，当点B在外部时， ∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或， 故选：B． 20．（2021·山东烟台·一模）如图，已知是平角，平分，在平面上画射线，使和互余，若，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了角的和差，角平分线的定义，互余的定义，根据角平分线的定义求出的度数， 分两种情况：射线在直线的左上方和射线在直线的右下方一一加以计算即可，掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键． 【详解】解：∵平分， ∴， 当射线在直线的左上方时，如图所示， ∵和互余， ∴，即， ∴， 射线在直线的右下方，如图所示， ∵和互余， ∴， ∴， ∴， 故选：． 21．（2024七年级上·全国·专题练习）以的顶点为端点引射线，使．若 ，求的度数． 【答案】或 【分析】本题考查了几何图形中角的计算．属于基础题，解题的关键是分两种情况进行讨论． 分射线在的内部和外部两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：分两种情况：①如图1，当射线在的内部时， ∵， 设， ∵， ∴， 解得：， ∴； ②如图2，当射线在的外部时， ∵， 设， ∵， ∴， 解得：， ∴， 综上：或． 重难点二 多条待定射线的分类讨论问题 22．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）已知，， 以O为顶点作射线， 使， 若设 ，则的值有可能为：①；②；③；④．以上结论中正确的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，根据题意，分情况讨论射线和的位置，计算出的可能值即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， 如图，分四种情况进行讨论： 由图可知：； ； ； ； 综上：正确的个数是4个； 故选A． 23．（24-25七年级上·重庆·期末）如图，射线在的内部，射线在平面内，射线平分．射线平分．若，，则的度数是（   ） A． B．或 C．或 D．或或 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的定义，几何中角度的计算，理解图示，掌握角平分线的定义，角的和差计算，分类讨论思想是解题的关键． 根据题意，分类讨论：当在左边时；当在右边时；由角平分线的定义，数形结合，计算角的和差即可求解． 【详解】解：如图所示，， 设， ∵射线平分，射线平分， ∴，， ∴ ， ∴， 解得，， ∵， ∴； 如图所示，， ∵射线平分， 设， ∴， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴， ∴； 如图所示，， ∴， ∵射线平分．射线平分， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，， ∵射线平分， ∴， ∴设， ∴，， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴； 综上所述，的度数是或， 故选：B ． 24．（23-24七年级下·河北廊坊·阶段练习）在直线上任取一点O，过点O作射线，使，当时，的度数是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了角度之间的和差关系，解题的关键是正确画出图形，进行分类讨论． 根据题意进行分类讨论：①当在同侧时，②当在两侧时，即可解得． 【详解】解：①当在同侧时， ∵， ∴， ∵， ∴， ②当在两侧时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 25．（21-22七年级上·四川绵阳·期末）在同一平面内，点O在直线上，与互补，，分别为与的平分线，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用角平分线求角度，几何图形中的角度计算，补角的定义，由题意，得到，然后进行分类讨论：①当点B、O、C三点共线时；②当点B、O、C三点不共线时，；③当点B、O、C三点不共线时，；结合角平分线的定义，即可求出答案．解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的画出图形，运用分类讨论的思想进行分析． 【详解】解：∵与互补， ∴， ∵，分别为，的平分线， ①当点B、O、C三点共线时， 则； ∵， ∴点B、O、C三点共线时，不符合题意； ②当点B、O、C三点不共线时，，如下图： 则， ∵， ∴； ③当点B、O、C三点不共线时，，如下如： 则， ∵， ∴； 综上所述，； 故选：D． 题型三 双角平分线模型 重难点一 双角平分线模型直接运用 26．（24-25七年级上·全国·期末）如图所示，、、分别是、、内部的一条射线． (1)如图1，平分，平分，已知，，求的度数． (2)如图2，若，，且，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查角的计算和角平分线定义，一元一次方程的应用． （1）先根据平分求出的度数，根据计算，最后根据平分即可求出的度数； （2）设，分别用含x的代数式表示出和，建立关于x的方程后解方程求出x的值后即可求出的度数． 【详解】（1）解：因为平分， 所以 因为， 所以 又因为， 所以， 又因为平分， 所以； （2）解：因为， 设，则，， 所以． 因为， 所以． 因为， 所以， 解得， 所以． 27．（24-25七年级上·广东东莞·期末）如图，内部有顺次的四条射线，，，，，其中平分，平分． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质及角的和差关系．通过和差关系角平分线的性质得到是解决本题的关键． （1）根据平分，平分，得出，，再根据 代入求值即可． （2）根据（1）中思路求解即可． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴ ． （2）解：∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴ ． 28．（20-21七年级上·陕西延安·期末）如图，已知O为直线上一点，是内部一条射线且满足与互补，，分别为，的平分线． (1)若，求与的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题主要考查了补角，角的计算，角平分线的定义，关键是根据图形，理清角之间的关系是解题的关键． （1）首先由互补求出，然后根据角平分线的定义得到，，进而求解即可； （2）首先根据同角的补角相等得到，求出，然后根据角平分线的定义得到，进而就即可． 【详解】（1）因为与互补，， 所以， 因为为的平分线， 所以， 因为为的平分线， 所以， 所以； （2）因为与互补，， 所以， 所以， 因为为的平分线， 所以， 所以． 29．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）已知：如图1，分别为锐角内部的两条动射线，当运动到如图的位置时， (1)求的度数； (2)如图2，射线分别为的平分线，求的度数． (3)如图3，若是外部的两条射线，且平分，平分，当绕着点O旋转时，的大小是否会发生变化，若不变，求出其度数，若变化，说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)的大小不会变化，理由见详解． 【分析】本题考查了角的和差计算、角平分线的定义，整体思想等知识点，掌握这些是解题的关键． （1）根据题目所给条件，结合图形计算，即可得出角度； （2）根据角平分线的定义计算的度数； （3）根据角平分线的定义以及角的和差关系，计算出的度数，即可得出的大小不会变化． 【详解】（1）解： ， ； （2） 射线分别为的平分线， （3） 的大小不会变化，理由如下： 又平分，平分， ． 重难点二 双角平分线模型与分类讨论综合 30．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）若，，平分，平分，则 ． 【答案】/40度 【分析】此题主要考查了角平分线的定义，正确利用分类讨论得出是解题关键．根据题意画出图形，利用分类讨论求出结果即可． 【详解】解：当在外部时，如图所示： ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴； 当在内部时，如图所示： ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴； 综上分析可知，． 故答案为：． 31．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）已知，是的平分线，，是的平分线，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，弄清各角之间的数量关系是解题的关键，先根据角平分线的定义得出，再根据在内部时和在外部时，分两种情况，结合角平分线定义及各角之间的数量关系得出答案． 【详解】解：当在内时，如图所示，    ∵是的平分线，是的平分线，，， ，， ； 当在外部时，如图所示，    ∵是的平分线，是的平分线，，， ，， ∴． 故答案为：或． 32．（23-24七年级上·浙江台州·期末）已知是的平分线，，平分，设，则（   ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的定义，角的和与差，角的n等分线．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．分类讨论：当位于内部时和当位于外部时，解答即可． 【详解】解：如图1，当位于内部时， ∵，是的平分线， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴， ∴； 如图2，当位于外部时， ∵，是的平分线， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴， ∴； 综上可知 或． 故选：A． 33．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）线段的计算和角的计算有紧密联系，它们之间的解法可以互相迁移，下面是某节课的学习片段，请完成探索过程：课上，老师提出问题：如图①，点O是线段上一点，C、D分别是线段的中点，当时，求线段的长度．下面是小明根据老师的要求进行的分析及解答过程： 未知线段 转化 已知线段 …… 因为C，D分别是线段的中点， 所以 因为 所以    线段中点的定义线段的和、差等式的性质 （1）小明举一反三，发现有些角度的计算也可以用类似的方法进行转化，如图②，已知是内部的一条射线，分别是的平分线，探究与的数量关系，请同学们尝试解决该问题．    （2）小丽同学很善于思考，她提出新的问题：，，分别是的平分线，则的度数是 ． 【答案】；；8；（1）；（2）或 【分析】本题考查与线段中点有关的计算、角平分线的定义、几何图形中角的运算，利用数形结合思想得到角之间的关系，分类讨论是解答的关键．根据线段中点定义补充题干即可； （1）根据角平分线的定义表示出和，然后根据进行计算即可得解； （2）根据角平分线的定义表示出和，然后分两种情况作出图形，列式计算即可得解． 【详解】解：因为C，D分别是线段的中点， 所以 ， 因为， 所以， 故答案为：；；8； （1）∵分别是的平分线， ∴，， ∴ ； （2）∵，分别是，的平分线，，， ∴，， 当在内部时，如图，    则； 当在外部时，如图，    则； 综上：的度数是或， 故答案为：或． 题型四 角中的动态问题 ①标记转动方向与速度； ②用含有运动时间t的式子表示相关角度； ③结合等量关系列方程求解. 重难点一 单条射线的旋转探究 34．（24-25七年级下·重庆巫山·期中）如图，点O在直线上，过O作射线，一块三角板的直角顶点与点O重合，边在射线上，边在直线的下方．若三角板绕点O按每秒的速度按逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，则t的值为（　　） A．5 B．6 C．5或23 D．6或24 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及角平分线的定义，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 由与互补，可求出的度数，结合角平分线的定义，可得出与的度数，由与互余，结合对顶角相等，可求出的度数，根据“在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角”，可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， 如图，平分，当旋转到直线上时，满足题意， ∴． ∵，， ∴． 根据题意得：或， 解得：或， ∴t的值为6或24． 故选：D． 35．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）如图，点O在直线上，过O在上方作射线，，直角三角板的直角顶点与点O重合，边与重合，边在直线的下方．如果三角板绕点O按10度/秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第 秒时，． 【答案】12或30 【分析】本题考查了垂线的定义，与三角板有关的角度的计算，解题的关键是分两种情况进行讨论，分别依据在右边和左边两种情况，画出示意图，得到三角板旋转的度数，进而得到的值． 【详解】解：当在右边时，如图： ，， ∴此时，重合， ， ∴三角板旋转的角度为， （秒）； 当在左边时，如图： ，， ∴此时，与延长线重合， ∴ 三角板旋转的角度为， （秒）； 的值为：12或30． 故答案为：12或30． 36．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）如图，、、在一条直线上，射线从出发，绕点顺时针旋转，同时射线也以相同的速度从出发，绕点逆时针旋转，当、分别到达、上时，运动停止．已知、分别平分和，设，，则与之间的数量关系为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查角度和差关系和角平分线的性质，分两种情况：当、未相遇时，有，结合角平分线的性质得和，则有，即可求得；当、相遇后，结合角平分线的性质得和，由，得，结合即可求得答案． 【详解】解：①当、未相遇时，， ∵、分别平分和， ∴，， ∵， ∴， 则； ②当、相遇后， ∵、分别平分和， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：或． 37．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若，则是的内半角． (1)如图①所示，已知，，是的内半角，则________． (2)如图②，已知，将绕点O按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的内半角？ (3)已知，把一块含有角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点O以/秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线始终在的外部，射线能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)当旋转的时间为或或时，射线，，，能构成内半角 【分析】（1）由内半角的定义得 ，再由即可求解； （2）由旋转得：，由角的和差得，，再由内半角的定义得，即可求解； （3）分三种情况讨论，利用内半角的含义，建立一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解： ，是的内半角， ， ； 故答案：； （2）解：当旋转的角度为时，是的内半角； 理由如下： 由旋转得：， ， ， 是的内半角， ， ， 解得：； （3）在旋转一周的过程中，射线，，，能构成内半角，理由如下； 理由：设按顺时针方向旋转一个角度，旋转的时间为t， 如图1，∵是的内半角，， ∴， ∴， 解得：， ∴； 如图2，∵是的内半角，， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图3，∵是的内半角，， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，当旋转的时间为或或时，射线，，，能构成内半角. 【点睛】本题考查了新定义，旋转的性质，角的和差，一元一次方程的应用，理解新定义，能根据旋转的过程确定时间范围，进行分类讨论是解题的关键． 重难点二 多条射线的旋转探究 38．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）如图，是平角，射线从开始，先顺时针绕点O向射线旋转，到达后再绕点O逆时针向射线旋转，速度为6度/秒．射线从开始，以4度/秒的速度绕点O向旋转，到当到达时，射线与都停止运动．当时，则 ． 【答案】秒或秒或秒 【分析】本题考查了动角问题，角的和差，一元一次方程的应用；当时， 由角的和差得 ，列方程即可求解；当时，同理可求；当时，同理可求；能熟练利用角的和差表示出所求的角，能根据角的边的不同位置进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：当时，如图， ， ， ， ， ， 解得：； 当时，如图， ， ， ， ， 解得：； 当时，如图， ， ， ， 解得：； 故答案：秒或秒或秒． 39．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图1，点O是直线上一点，射线从开始以每秒的速度绕点O顺时针转动，射线从开始以每秒的速度绕点O逆时针转动，当、相遇时，停止运动；将、分别沿、翻折，得到、，设运动的时间为t（单位：秒）． (1)如图2，当、重合时， ； (2)当时， ，当时， ； (3)如图3，射线在直线的上方，且，在运动过程中，当射线、、其中一条射线是另外两条射线组成角的平分线时，求出t的值． 【答案】(1)90 (2)20，12 (3)t的值为10或或． 【分析】（1）利用折叠性质得，，再利用邻补角即可求解； （2）利用折叠性质得求出、、、的度数，即可得解； （3）根据角平分线的不同，分是的角平分线、是的角平分线、是的角平分线三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵将、分别沿、翻折，得到、， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：90； （2）解：当时， ，， ∴， 当时，如下图，，， ∴， 故答案为：20，12； （3）解：当是的角平分线时，则，如图， 由折叠可知，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 解得； 当是的角平分线时，则，如下图， 由折叠可知，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 解得； 当是的角平分线时，则，如下图， 由折叠可知，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 解得； 综上，的值为或或． 【点睛】本题主要考查了几何图形中角度的计算，邻补角的性质，折叠的性质，一元一次方程的应用，根据题意正确分类讨论是解题的关键． 40．（24-25七年级上·江苏·期末）如图1，点、、依次在直线上，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度旋转，直线保持不动，如图，设旋转时间为的值在到之间，单位：秒． (1)当时，求的度数； (2)在运动过程中，当第二次达到时，求的值； (3)在旋转过程中是否存在这样的，使得射线与射线的夹角为？如果存在，请直接写出的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)的度数是 (2)的值是秒 (3)存在，的值是秒或秒 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程． （1）当时，，，即得； （2）根据题意，当第二次达到时，可得，即可解得答案； （3）分两种情况：当射线与射线第一次夹角为时，可得，当射线与射线第二次夹角为时，可得，即可解得答案． 【详解】（1）解：当时，，， ， 答：的度数是； （2）根据题意，当第二次达到时， ， 解得， 答：当第二次达到时，的值是秒； （3）存在这样的，使得射线与射线的夹角为，理由如下： 当射线与射线第一次夹角为时，两条射线共旋转， ， 解得； 当射线与射线第二次夹角为时，两条射线共旋转， ， 解得， 综上所述，的值是秒或秒． 41．（24-25七年级上·江苏南京·期末）【操作拼图】已知一副直角三角尺先按如图的方式拼接在一起，其中与直线重合，． (1)在上述所拼图形中，的度数为 °． (2)【问题探究】在上述所拼图形基础上，让三角尺固定不动，将三角尺绕着点O以每秒的速度按逆时针方向旋转，且两块三角尺均在直线的上方．设三角尺的旋转时间为，在旋转过程中，请求出当时t的值． (3)【拓展延伸】在按照【操作拼图】要求拼好图后，让三角尺绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，三角尺也绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转．在旋转过程中，两块三角尺均在直线的上方，且当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．设三角尺的旋转时间为．在旋转过程中，当与三角尺的某一边平行时，请直接写出的值． 【答案】(1)75 (2)12或 (3)或15 【分析】（1）根据平角的定义求解即可； （2）根据的位置分类讨论，列出等式求解即可； （3）根据与边平行的边不同分类讨论，根据平行线的性质进行求解即可． 本题考查了旋转的性质，平行线的判定和性质，平角的定义，熟练掌握旋转性质，平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ， ∴； 故答案为：75． （2）解：当和重合时，，则， 当和重合时，，则， 当和重合时，，则， ①当时，，， ∴， 解得：； ②当时，， ∴， 解得：； ③当时，， ∴，t无解； 综上所述，或． （3）解：当和重合时，，则， ∴转动过程中，， ①当时，， ∴， ∴， 即， 解得：； ②当时，， ∴， ∴， 即， 解得：； ③当时，， ∴和重合， ∴， 即， 解得：； 当时，，且位于下面，不符合题意，舍去； 综上所述，或15． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题02 角 题型一 角中的设元思想 在求角的度数时，若不能直接通过和、差、倍、分求得，则可把角的度数设为未知数，并根据所求角与其他角之间的关系列方程求解.方程能清楚、简洁地表示出几何图形中的数量关系，是解决几何计算问题的一种重要方法. 重难点一 根据角的比关系设元 1．（23-24七年级下·陕西榆林·期中）如图，直线相交于点，过点作射线，，平分，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·山东潍坊·阶段练习）如图，直线与相交于点，，，射线平分，则（　　） A． B． C． D． 3．（22-23七年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，直线相交于点，平分，若，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，，在内作两条射线和，且平分平分，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．（21-22七年级下·广西梧州·期末）如图，直线和相交于O点，，，则，的度数为 ．      6．（23-24七年级下·陕西安康·期末）如图，已知直线、相交于点O，，点O为垂足，平分．    (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 重难点二 根据角的倍分关系设元 7．（24-25七年级上·江苏·期末）如图，O是直线上一点，将直角三角板的直角顶点放在点O处（点M，N分别在异侧），射线平分．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级上·全国·期末）如图，，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 9．（22-23七年级上·河南新乡·期末）如图，已知，，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25七年级下·重庆·开学考试）如图所示，已知O为直线上一点，是位于直线同侧的三条射线，若且平分，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 11．（21-22七年级上·四川绵阳·期末）如图，在内部有三条射线依次分布，若，，则（   ） A． B． C． D． 12．（23-24七年级上·浙江温州·期末）如图所示，直线与直线交于点O，射线在内部，是的平分线，且． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 13．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，是直线上一点，是一条射线，平分，在内，，．    (1)求和的度数； (2)图中互补的角共有 对． 14．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）如图，已知于O，． (1)若平分，求的度数； (2)若的度数比的度数的3倍多，试判断与的位置关系，并说明理由． 重难点三 根据角的和差关系设元 15．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）如图，射线，在的内部，若满足，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 16．（23-24七年级上·北京海淀·期末）一副直角三角板如图1放置：直角三角板的边与直角三角板的边重合，点F在线段的延长线上．如图2，将图1的直角三角板绕点B以每秒的速度顺时针旋转（当射线与射线重合时停止），平分，当满足时，三角板的运动时间为（　　） A．31秒 B．秒 C．32秒 D．秒 题型二 角中的分类讨论思想 若题目中没有给出具体的图形，则应考虑多解，要根据已知条件画出所有符合条件的图形，进而分类讨论求解. 重难点一 单条待定射线的分类讨论问题 17．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）如图，射线在的内部，图中共有个角：，和，若其中一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“平衡线”若，且射线是的“平衡线”，则的度数为（    ） A． B．或 C．或 D．或或 18．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）已知，平分，过点作射线，使得，则度数是（    ）． A． B．或 C．或 D．或 19．（23-24七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知，过点O作射线，使．是的平分线，则的度数为 A． B．或 C．或 D． 20．（2021·山东烟台·一模）如图，已知是平角，平分，在平面上画射线，使和互余，若，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 21．（2024七年级上·全国·专题练习）以的顶点为端点引射线，使．若 ，求的度数． 重难点二 多条待定射线的分类讨论问题 22．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）已知，， 以O为顶点作射线， 使， 若设 ，则的值有可能为：①；②；③；④．以上结论中正确的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 23．（24-25七年级上·重庆·期末）如图，射线在的内部，射线在平面内，射线平分．射线平分．若，，则的度数是（   ） A． B．或 C．或 D．或或 24．（23-24七年级下·河北廊坊·阶段练习）在直线上任取一点O，过点O作射线，使，当时，的度数是（    ） A． B． C．或 D．或 25．（21-22七年级上·四川绵阳·期末）在同一平面内，点O在直线上，与互补，，分别为与的平分线，若，则（ ） A． B． C． D． 题型三 双角平分线模型 重难点一 双角平分线模型直接运用 26．（24-25七年级上·全国·期末）如图所示，、、分别是、、内部的一条射线． (1)如图1，平分，平分，已知，，求的度数． (2)如图2，若，，且，求的度数． 27．（24-25七年级上·广东东莞·期末）如图，内部有顺次的四条射线，，，，，其中平分，平分． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的度数． 28．（20-21七年级上·陕西延安·期末）如图，已知O为直线上一点，是内部一条射线且满足与互补，，分别为，的平分线． (1)若，求与的度数； (2)若，求的度数． 29．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）已知：如图1，分别为锐角内部的两条动射线，当运动到如图的位置时， (1)求的度数； (2)如图2，射线分别为的平分线，求的度数． (3)如图3，若是外部的两条射线，且平分，平分，当绕着点O旋转时，的大小是否会发生变化，若不变，求出其度数，若变化，说明理由． 重难点二 双角平分线模型与分类讨论综合 30．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）若，，平分，平分，则 ． 31．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）已知，是的平分线，，是的平分线，则的度数为 ． 32．（23-24七年级上·浙江台州·期末）已知是的平分线，，平分，设，则（   ） A．或 B．或 C．或 D． 33．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）线段的计算和角的计算有紧密联系，它们之间的解法可以互相迁移，下面是某节课的学习片段，请完成探索过程：课上，老师提出问题：如图①，点O是线段上一点，C、D分别是线段的中点，当时，求线段的长度．下面是小明根据老师的要求进行的分析及解答过程： 未知线段 转化 已知线段 …… 因为C，D分别是线段的中点， 所以 因为 所以    线段中点的定义线段的和、差等式的性质 （1）小明举一反三，发现有些角度的计算也可以用类似的方法进行转化，如图②，已知是内部的一条射线，分别是的平分线，探究与的数量关系，请同学们尝试解决该问题．    （2）小丽同学很善于思考，她提出新的问题：，，分别是的平分线，则的度数是 ． 题型四 角中的动态问题 ①标记转动方向与速度； ②用含有运动时间t的式子表示相关角度； ③结合等量关系列方程求解. 重难点一 单条射线的旋转探究 34．（24-25七年级下·重庆巫山·期中）如图，点O在直线上，过O作射线，一块三角板的直角顶点与点O重合，边在射线上，边在直线的下方．若三角板绕点O按每秒的速度按逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，则t的值为（　　） A．5 B．6 C．5或23 D．6或24 35．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）如图，点O在直线上，过O在上方作射线，，直角三角板的直角顶点与点O重合，边与重合，边在直线的下方．如果三角板绕点O按10度/秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第 秒时，． 36．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）如图，、、在一条直线上，射线从出发，绕点顺时针旋转，同时射线也以相同的速度从出发，绕点逆时针旋转，当、分别到达、上时，运动停止．已知、分别平分和，设，，则与之间的数量关系为 ． 37．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若，则是的内半角． (1)如图①所示，已知，，是的内半角，则________． (2)如图②，已知，将绕点O按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的内半角？ (3)已知，把一块含有角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点O以/秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线始终在的外部，射线能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由． 重难点二 多条射线的旋转探究 38．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）如图，是平角，射线从开始，先顺时针绕点O向射线旋转，到达后再绕点O逆时针向射线旋转，速度为6度/秒．射线从开始，以4度/秒的速度绕点O向旋转，到当到达时，射线与都停止运动．当时，则 ． 39．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图1，点O是直线上一点，射线从开始以每秒的速度绕点O顺时针转动，射线从开始以每秒的速度绕点O逆时针转动，当、相遇时，停止运动；将、分别沿、翻折，得到、，设运动的时间为t（单位：秒）． (1)如图2，当、重合时， ； (2)当时， ，当时， ； (3)如图3，射线在直线的上方，且，在运动过程中，当射线、、其中一条射线是另外两条射线组成角的平分线时，求出t的值． 40．（24-25七年级上·江苏·期末）如图1，点、、依次在直线上，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度旋转，直线保持不动，如图，设旋转时间为的值在到之间，单位：秒． (1)当时，求的度数； (2)在运动过程中，当第二次达到时，求的值； (3)在旋转过程中是否存在这样的，使得射线与射线的夹角为？如果存在，请直接写出的值；如果不存在，请说明理由． 41．（24-25七年级上·江苏南京·期末）【操作拼图】已知一副直角三角尺先按如图的方式拼接在一起，其中与直线重合，． (1)在上述所拼图形中，的度数为 °． (2)【问题探究】在上述所拼图形基础上，让三角尺固定不动，将三角尺绕着点O以每秒的速度按逆时针方向旋转，且两块三角尺均在直线的上方．设三角尺的旋转时间为，在旋转过程中，请求出当时t的值． (3)【拓展延伸】在按照【操作拼图】要求拼好图后，让三角尺绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，三角尺也绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转．在旋转过程中，两块三角尺均在直线的上方，且当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．设三角尺的旋转时间为．在旋转过程中，当与三角尺的某一边平行时，请直接写出的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $