暑期预习讲义（第14讲）——角平分线与角的和与差 - 2026-2027学年苏科版七年级数学上册

暑期预习讲义（第14讲）——角平分线与角的和与差（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.预习目标与填空 2 1. 预习目标 2 2.自主填空梳理 2 二.教材知识解读 2 【知识点一】角的定义与表示 3 【知识点二】角的和与差 3 【知识点三】角平分线核心定义（必考几何语言） 3 【知识点四】角等分点拓展 4 【知识点五】角度计算分类讨论思想（重难点） 4 【知识点六】经典几何模型（中点迁移模型） 4 三.经典题型精析（基础夯实） 4 【题型 1】角的定义与角的表示 4 【题型 2】角的比较与基础角的和差计算 7 【题型 3】角平分线基础计算（必考） 9 【题型 4】求一个角的余角与补角 11 【题型 5】角平分线综合计算（中档常考） 12 四.经典题型精析（巩固提升） 15 【题型 6】双角平分线模型 15 【题型 7】射线位置不确定·分类讨论（拔高核心） 18 【题型 8】余角与补角的性质 23 五.同步自测 26 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 26 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 30 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 35 预习方法：读概念→理解定义性质→学例题→练变式→同步自测 一.预习目标与填空 1. 预习目标 （1）掌握角定义与角的表示方法； （2）掌握角的大小比较两种方法，理解角的和、差的几何意义与图形关系； （3）熟练掌握角平分线的定义、规范几何推理语言、核心计算公式，做到精准书写步骤； （4）了解角的三等分线、四等分线的含义，掌握基础角度等分计算； （5）掌握经典双角平分线模型结论，能快速解决综合计算题； （6）掌握余角、补角定义及性质； （7）重难点：角平分线几何推理、双角平分线模型计算、无图角度分类讨论、余角补角性质应用。 2.自主填空梳理 （1）比较角的大小常用两种方法：________、________。 （2）若射线OC在∠AOB内部，则∠AOB＝________＋________，∠AOC＝∠AOB－________。 （3）从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等角的射线，叫做这个角的________。 （4）若OC平分∠AOB，则∠AOC＝________＝________∠AOB，∠AOB＝2∠AOC＝________。 （5）从角顶点出发，将角平均分成三份的两条射线，叫做角的________。 （6）如果两个角的和为，两角互为________；和为，两角互为________。 （7）同角或等角的余角________，同角或等角的补角________。 参考答案： （1）度量法；叠合法 （2）∠AOC；∠BOC；∠BOC （3）角平分线 （4）∠BOC；；2∠BOC （5）三等分线 （6）余角；补角 （7）相等；相等 二.教材知识解读 【知识点一】角的定义与表示 （1）定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． 图2 2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 【知识点二】角的和与差 情况1：射线在角内部（内分角） 射线OC在∠AOB内部： 常用变形：， 情况2：射线在角外部（外分角） 射线OC在∠AOB外部： 核心原则：角度计算先定射线位置，再列和差式子，图形位置是列式的核心依据。 【知识点三】角平分线核心定义（必考几何语言） 文字定义：从角的顶点出发，将一个角分成两个相等角的射线，叫做这个角的平分线。一个角有且只有一条平分线。 三种几何等价表达（解题直接套用） 已知：OC平分∠AOB ①；② ；③ 【知识点四】角等分点拓展 角三等分线：从顶点出发，将一个角分成三个相等小角的两条射线； 若OC、OD是∠AOB的三等分线，则。 【知识点五】角度计算分类讨论思想（重难点） 题目仅说明“过顶点作射线”，未明确射线在角内部还是外部时，必须分两种情况计算： ① 射线在角内部：角度相减、平分细分； ② 射线在角外部：角度相加、外角拓展； 几何无图题默认多解，严禁主观臆断图形位置。 【知识点六】经典几何模型（中点迁移模型） 若OC为∠AOB内任意射线，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，则： 此模型与线段中点嵌套模型原理一致，考试高频可直接套用。 三.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】角的定义与角的表示 【例题1】（25-26六年级下·山东威海·期末）已知在同一平面内，，，是的平分线，则的度数为__________． 【答案】或 【分析】分在内部和在外部两种情况讨论，先根据角的和差求出的度数，再根据角平分线的定义计算的度数． 解：如图所示，当在的外部时， 则， 为的平分线， ； 如图所示，当在的内部时， 则， 为的平分线， ， 综上所述，的度数为或． 【变式1】（25-26六年级下·全国·课后作业）下列关于角的说法正确的是（   ） A．角是由有公共点的两条射线组成的图形 B．两条有公共端点的线段组成的图形叫作角 C．角是由一条射线绕它的端点旋转而成的图形 D．两条直线相交，组成的图形叫作角 【答案】C 【分析】本题考查角的定义，需根据角的静态与动态定义逐一判断各选项的正误，即可解题． 解：∵角的静态定义为有公共端点的两条射线组成的图形，动态定义为一条射线绕它的端点旋转而成的图形 ∴A选项中“有公共点”表述错误，应为“有公共端点”，故A错误，不符合题意． ∵角是由射线组成的，而非线段， ∴B选项错误，不符合题意． ∵C选项符合角的动态定义 ∴C选项正确，符合题意． ∵两条直线相交组成的图形包含四个角，不符合角的定义， ∴D选项错误，不符合题意． 故选：C． 【变式2】（26-27七年级上·全国·随堂练习）如图，写出符合下列条件的角： （1）能用一个大写字母表示的角有______； （2）以B为顶点的角有______（用较简洁的方法表示）； （3）以CD为边的角有______． 【答案】 ， ，， ，， 【分析】本题主要考查角的表示方法，需要根据角的顶点处角的数量情况，选择合适的表示方法； 本题考查了角的表示方法，掌握当角的顶点处只有一个角时，可用一个大写字母表示；当顶点处有多个角时，需用三个大写字母或数字、希腊字母表示角，根据这些规则确定符合条件的角是解题的关键． 解：（1）能用一个大写字母表示的角：当角的顶点处只有一个角时，可用一个大写字母表示。图中顶点处各只有一个角，所以能用一个大写字母表示的角有，故①处填； （2）以为顶点的角：以为顶点的角有，所以②处填； （3）以为边的角：以为边的角有，所以③处填． 故答案为：，；，，；，，． 【变式3】（25-26七年级上·山东滨州·阶段检测）如图所示，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，则、、三个角的数量关系为________． 【答案】 【分析】本题主要考查余角的性质，将角度进行转化得到关系是解题的关键． 首先根据正方形的性质得到角度为，再进行角度转化即可得到、、三个角的数量关系． 解：如图，将三个大小相同的正方形的一个顶点O重合放置， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【题型 2】角的比较与基础角的和差计算 【例题2】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，按要求写出符合条件的角． （1）能用一个字母表示的角． （2）以为顶点的角． （3）图中共有几个小于平角的角？请表示出来． 【答案】（1），；（2），，；（3）有7个：，，，，，，． 【分析】根据角的概念和角的表示方法，依题意求得答案． 解：（1）解：能用一个字母表示的角有2个：； （2）解：以为顶点的角有3个：； （3）解：图中小于平角的角有7个：． 【点拨】本题主要考查了角的概念，熟练掌握是解决本题的关键． 【变式1】（25-26七年级上·陕西西安·期末）已知，，则与的关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】根据度分秒的进率，统一单位后即可比较大小． 解：将换算为度分秒形式， ， ， 可得， 又，且， ． 【变式2】（0496.2角（3）同步练习卷）对于任意的和，可能的大小关系是______________． 【答案】或或 【分析】本题考查了角的大小，角的大小体现在度数的大小，两个任意角的度数未知，则可能相等，可能其中一个角大，另一个角较小． 解：∵任意的和， ∴可能它们的大小关系是或或， 故答案为：或或． 【变式3】（25-26六年级下·全国·单元测试）如图： （1）以点B为顶点的角有几个？分别表示出来． （2）请分别指出以射线为边的角． （3）以D为顶点，为一边的角有几个？分别写出来． 【答案】（1），，，共3个；（2），；（3），，共2个 【分析】（1）根据角的表示方法写出答案； （2）根据角的定义和角的表示方法写出答案； （3）角的表示方法写出答案． 解：（1）解：以点为顶点的角：，，，共3个； （2）以射线为边的角：，； （3）以为顶点，为一边的角有：，，共2个． 【点拨】此题主要考查了角的概念，关键是掌握角的表示方法． 【题型 3】角平分线基础计算（必考） 【例题3】（25-26七年级上·贵州铜仁·阶段检测）如图，O是直线上一点，平分，平分．求： （1）的度数． （2）如果，求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据角平分线的定义得到，由平角的定义可得，再根据可得答案； （2）根据平角的定义可得，据此求解即可． 解：（1）解：∵平分，平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，，， ∴． 【变式1】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，点在直线上，平分．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平角的定义结合角平分线的定义，进行求解即可． 解：∵点在直线上，， ∴， ∵平分， ∴． 【变式2】（25-26七年级上·贵州安顺·期末）已知射线，若从点O引两条射线，，使得，，则______． 【答案】或 【分析】根据在的不同位置，分两种情况分别计算的度数即可． 解：当在的内部时， ． 当在的外部时， ． 综上，的度数为或． 【变式3】（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，已知，平分，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、角的和与差、一元一次方程的应用，根据，可设，，根据角之间的关系可得，角平分线的定义可得：，解方程即可得到，根据即可求出结果． 解：， 设，， ， 平分， ， ， 解得：， ． 【题型 4】求一个角的余角与补角 【例题4】（25-26七年级下·云南·期末）如图，、、在一条直线上，已知平分，是内部的一条射线． （1）若，，求的度数； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据角平分线的定义得，进而根据，即可求解； （2）根据设，则，，根据角平分线的定义得，，由得，根据列方程，求出后即可求解． 解：（1）解：平分，， ， 又， ； （2）解：设，则， ， 平分， ，， ， ， ， ， 解得， ． 【变式1】（25-26七年级下·广东清远·期末）已知，则的余角的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据互余两角的和为计算即可得到结果. 解：∵ 互余的两个角的和为，， ∴ 的余角为 . 【变式2】（25-26七年级下·江西抚州·期末）若的余角是，则它的补角是________． 【答案】/142度 【分析】先根据余角定义求出的度数，再根据补角定义计算即可． 解：由题意得，， 的补角为． 【变式3】（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）如图，直线，交于点，，平分，若，求． 【答案】 【分析】由，可以求解出，又有，则，而平分，可求解出，最后由与互补，即可得到答案． 解：∵直线，交于点，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【题型 5】角平分线综合计算（中档常考） 【例题5】（25-26七年级上·江西新余·期末）如图，点在直线上，是上方的一条射线，且． （1）若与互为余角，求的度数． （2）若平分，求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查两角互余的定义，角平分线的性质，平角的定义； （1）设，则，根据两角互余列方程解答即可； （2）由题意得，设，则，根据平角的定义列方程解答即可． 解：（1）解：∵， 设，则， ∵与互为余角， ∴ 解得， ∴； （2）解：∵平分，， ∴， 设，则， ∴， 解得， ， ∴ 【变式1】（25-26七年级上·河南开封·期末）如图，点在一条直线上，是的平分线，且，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由是的平分线，，得，；由邻补角可求得，结合，解得，进而即可求解． 解：∵是的平分线，且， ∴， ∵点在同一直线上， ∴ ， ∵， ， ∴ ∴， ∴． 【变式2】（25-26六年级下·山东烟台·期中）如图所示，将一副三角板叠放在一起，使它们的直角顶点重合于点，已知，则的度数是________． 【答案】/度 【分析】先理解题意得，再运算出，最后把数值代入计算，即可作答． 解：依题意，， ∵， ∴， 则． 【变式3】（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如图，A、O、B三点共线，，平分． （1）图中与互余的角是：_____________； （2）已知，求的度数． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查了余角与补角、角平分线的定义，正确把握角平分线的定义是解题关键． （1）根据余角的定义解答即可； （2）根据余角的定义得，由角平分线定义得，再根据平角的定义得出． 解：（1）解：∵A、O、B三点共线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴与互余； ∵平分， ∴， ∴与互余； 故答案为：，； （2）解：∵，与互余， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 四.经典题型精析（巩固提升） 【题型 6】双角平分线模型 【例题6】（24-25七年级上·河北保定·期末）如图，是的平分线，是的平分线．是直角，．求的度数． 【答案】 【分析】根据角平分线的定义可得，再求出，结合角平分线的定义可得，从而得到，即可求解． 解：∵是的平分线，， ∴， ∵是直角，即， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 【变式1】（25-26六年级下·山东烟台·期中）将一副含和的直角三角尺按如图所示的方式放置，若平分，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的定义、角的运算，根据角平分线的定义以及角的几何运算求解即可． 解：∵平分，平分， ∴，， ∴. 【变式2】（25-26六年级下·山东烟台·期末）如图所示，把平角放置在量角器上，与量角器的中心重合，射线，分别对准刻度和，在内部作射线，使平分，则的度数为________． 【答案】/65度 【分析】根据角平分线的定义计算即可． 解：由题意知，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【变式3】（25-26六年级下·山东济宁·阶段检测）如图，是的平分线，是的平分线． （1）若，，求的度数． （2）若，求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由角平分线的定义得到的度数，再由角的和差关系可得答案； （2）由角平分线的定义得到，再由角的和差关系可得，据此可得答案． 解：（1）解：∵是的平分线，是的平分线，，， ∴， ∴； （2）解：∵是的平分线，是的平分线， ∴， ∴ ． 模型结论：角内任意射线分角，两分角平分线的夹角恒为原角的一半，可直接套用。 【题型 7】射线位置不确定·分类讨论（拔高核心） 【例题7】（25-26七年级上·四川广安·期末）已知，，射线、分别是和的平分线，求的度数．（温馨提示；请同学们结合题意画出图形，然后求解） 【答案】的度数为或 【分析】分两种情况讨论：（1）当在的内部时，（2）当在的外部时，分别作出图形，利用角平分线的定义进行角度计算即可． 解：当在的内部时，如图1所示： ∵是的平分线， ∴， 又∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）当在的外部时，如图2所示： ∵是的平分线， ∴， 又∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或． 【变式1】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）已知，过点作射线､，使，是的平分线，则的度数为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】根据角平分线的定义，再运用分类讨论的思想解答即可． 解：根据题意得： 如图所示，当射线在内部时， ，， ， 是的平分线， ， ； 如图所示，当射线在外部时， ，， ， 是的平分线， ， ， 综上，或． 【变式2】（24-25六年级下·山东烟台·期中）如图，平分，，已知，则的度数为_____________． 【答案】/120度 【分析】设，则，求出，，得出，即可求出答案． 解：设，则． ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 【变式3】（25-26七年级上·四川成都·期末）如图，已知，是内的一条射线，且． （1）作射线平分，在内作射线，使得，求的度数； （2）过点作射线，若，求的度数． 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）先求出，，由求出，由射线平分，可得，再由求解即可； （2）分两种情况讨论：在内部和在外部，设未知数，根据角的和差建立方程求解． 解：（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵，射线平分 ∴， ∴； （2）解：如图，当在内部时， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 由（1）知，， ∴， 如图，当在外部时， 设， ∵， ∴， ∵， ∴ 解得：， ∴ ， 综上所述，的度数为或． 重点提醒：无图角度题必分类，射线分内、外两种位置，杜绝漏解。 【题型 8】余角与补角的性质 【例题8】（25-26七年级下·河北保定·阶段检测）如图，和均为直角． （1）若，求的度数； （2）若逐渐增大，将如何变化？请你给出结论并说明理由． 【答案】（1）；（2）将逐渐增大，理由见分析 【分析】（1）由同角的余角相等即可得到答案； （2）按照题意，作出图形讨论即可得到答案． 解：（1）解：和均为直角， ， 则； （2）解：将逐渐增大． 理由如下： 若逐渐增大，应顺时针旋转，则可知最大值为，如图所示： 若继续旋转，将逐渐减小，与题中所给条件矛盾， 若逐渐增大，则将逐渐增大． 【变式1】（25-26七年级上·江苏连云港·期末）如图，不同的位置摆放，摆放位置中与一定相等的图形个数共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查余角和补角，根据“等角或同角的余角相等”以及余角和补角的定义，即可求得答案． 解：第一个图形中，，与不一定相等； 第二个图形中，根据“同角的余角相等”， 可知； 第三个图形中，，与不一定相等； 第四个图形中，根据“等角的余角相等”， 可知； 综上所述，∠α与∠β一定相等的图形个数共有个． 故选：B 【变式2】（25-26七年级上·重庆江北·周测）如图，是钝角，，，是内的三条射线，若，平分，平分，那么的度数是______． 【答案】 【分析】设，则，通过角平分线定义求出和，然后通过角度和差即可求解． 解：设， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【变式3】（25-26七年级上·山东枣庄·期末）把一副三角尺按照图①的方式放置，其中，边在的内部． 【问题探究】 （1）如果，那么______； （2）试判断与的关系，并说明理由； 【迁移应用】 （3）在图②中利用能够画直角的工具（如：三角尺）再画一个与相等的角． 【答案】（1）；（2）；理由见分析；（3）见分析 【分析】本题考查的是角的和差关系，互为余角的含义，三角尺特点，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据角的和差关系求解，即可解题； （2）根据同角的余角相等，即可解题； （3）根据同角的余角相等，以及三角尺特点作图，即可解题； 解：（1）因为，， 所以， 故答案为：； （2）； 理由如下： 因为，， 所以． （3）如图，过点，分别作，的垂线，，即为所求的角． 五.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2026年河北省初中学业水平考试数学模拟试卷（二））用一个7倍的放大镜看一个的角，看到的角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】角的大小仅由两边张开的程度决定，放大镜仅放大图形的边长，不改变角两边的张开程度，因此角的度数不变． 解：∵角的大小只与角的两边张开的程度有关，与边的长度无关，放大镜只改变角两边的长度，不改变两边张开程度， ∴用7倍放大镜看的角，看到的角的度数仍为． 2．（2026·河南南阳·模拟预测）如图所示，有一个四边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据量角器的测量角的方法和对顶角性质，可得所测零件的内角的度数． 解：由图可知，量角器所量的角的一边指向量角器的 刻度线，另一边指向 刻度线，量的角为， 零件的内角与所量的角是对顶角， ∴所量的零件的内角的度数为 ． 故选：C． 3．（2026·北京·中考真题）如图，三角尺的直角顶点在直线l上．若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 解：三角尺的直角顶点在直线上，且直角等于， ， ， ． 4．（2026·内蒙古锡林郭勒·一模）如图，在直线上取一点O，过点O作射线，使，以点O为圆心，任意长度为半径画弧，分别交边，于点D，E，再以点E为圆心，的长为半径画弧，交前弧于点F，再画射线．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由作图方法可知，再由平角的定义可得答案． 解：由作图方法可知， ∴． 5．（2025八年级上·全国·专题练习），射线是它的四等分线，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等分线的有关计算．根据射线是它的四等分线，将均分为四份，根据图形可得是其中的3份，即可求解． 解：∵，射线是它的四等分线， ∴ ∴ 故选：C． 6．（23-24七年级下·陕西汉中·阶段检测）若，则的余角的补角度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 解：∵， ∴的余角的补角为． 7．（25-26七年级下·山东泰安·期中）如图所示，点为直线上一点，，那么下列互为余角的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】利用角度和差表示出角的数量关系，利用互余的定义求解． 解：∵， ∴，， ∴， 即与互余． 8．（25-26七年级下·北京顺义·期末）如图，打台球时，选择适当的方向用白球击打黑球，黑球碰撞库边（台球桌四边的边框）后直接入袋．此时，，，则黑球碰撞库边前后的运动路线所夹的角大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据互余的定义求出的度数，结合已知条件得出的度数，最后根据平角的定义计算黑球碰撞库边前后的运动路线所夹的角的大小即可． 解：，， ， ， ， 库边是一条直线，即平角为 ， 黑球碰撞库边前后的运动路线所夹的角大小为：． 9．（25-26六年级下·四川成都·期中）如图所示，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，再结合，即可得出结果． 解：∵，， ∴， ∵， ∴． 10．（2026·河南洛阳·一模）将一块含有的等腰直角三角板按照如图方式摆放，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰直角三角板的性质可知其在直线上的角为 ，利用平角的定义及对顶角性质建立 与 的关系，即可求解． 解： 三角板是含有 的等腰直角三角板 ， 三角板在直线上的角为 ， ∴ 与 的邻补角构成直角， ， ， ， ． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示的图形中有______个小于平角的角，写出以为一边的所有角：______． 【答案】 7 ，，， 【分析】本题考查了角的表示及分类熟练掌握角的表示及分类是解答本题的关键．根据角的表示方法及角的分类，即可得到答案． 解：题图中小于平角的角有，，，，，，，共7个；其中以为一边的角有，，，． 故答案为：7； ，，，． 12．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图所示的网格是正方形网格，点，，，，是网格线交点，则_____．（填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】题考查网格中角度的比较，掌握正方形网格的性质是解题的关键． 先连接小正方形对角线，根据小正方形的性质推出，直接比较即可求解． 解：如图，连接小正方形对角线， ∵、是小正方形的对角线， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 13．（25-26六年级下·山东烟台·期末）如图，是直线上一点，为射线，若平分，平分，则的度数为____________． 【答案】 【分析】根据角的平分线，平角的定义求解即可． 解：∵平分，平分， ∴， ∴， ∴． 14．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图所示，一位同学把锐角的顶点放在量角器的中心，角的边、的读数分别为35、85，则的补角为______度． 【答案】 【分析】本题主要考查了实际问题中角度计算问题，求一个角的补角等知识点，根据的两边在量角器上的读数求出其度数是解题的关键． 根据的两边在量角器上的读数求出其度数，然后再求其补角即可． 解：由题意可得： ， 则的补角为：， 故答案为：． 15．（25-26六年级下·山东威海·期末）如图，，平分，平分，则的度数为______． 【答案】/度 【分析】根据角平分线的定义得出，，根据平角的定义得出，根据角的和差关系即可求出． 解：∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 16．（25-26七年级下·山西晋中·期末）若一个角的度数为，则它的余角的大小是______． 【答案】/40度 【分析】互为余角的两个角的和为，据此求解． 解：已知该角的度数为，它的余角为． 17．（25-26七年级下·湖南永州·期中）已知和的两边分别互相平行，且比的2倍少，的度数为______． 【答案】或 【分析】根据两边分别平行的两个角的位置关系，分两种情况讨论，利用方程思想求解. 解：设，则， 分两种情况讨论： ①当时， 由两边分别平行的两个角相等，可得方程： ， 解得， ∴； ②当与互补时， 由两边分别平行的两个角互补，可得方程： ， 解得， ∴， 综上所述，的度数为或. 18．（2026·河南周口·模拟预测）如图，已知，射线在的内部，且，射线是平面上绕点B旋转的一条动射线，平分．若，则的度数为______．（用含的式子表示） 【答案】或 【分析】首先根据及 求出和的度数；然后根据射线的位置分两种情况讨论：当射线在的内部时，当射线在的外部时；分别利用角平分线的定义和角的和差关系求解即可． 解：， ， 分两种情况讨论： ①当射线在的内部时， 平分 ②当射线在的外部时， 平分 综上所述，的度数为或． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26六年级下·山东东营·期中）如图，直线，，相交于点．，若，求的度数． 【答案】 【分析】设，则，结合，即可求解． 解：设，则． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 20．（本小题满分8分）（25-26七年级上·陕西西安·期末）如图，，是的平分线，，是的平分线，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了关于角平分线的计算．根据角平分线的定义可得，从而得到，进而得到，再根据是的平分线，可得，即可求解． 解：∵，是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 21．（本小题满分10分）（24-25七年级下·重庆·开学考试）解答下列各题： （1）一个角的余角比它的补角的少，求这个角． （2）如图，若平分， ， ，求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）设这个角为，列出方程即可求解； （2）由平分，可得，再根据即可求解． 解：（1）解：设这个角为， 由题意得，， 解得， ∴这个角为． （2）解：∵平分，， ∴， ∴． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，和都是直角． （1）如果，那么的度数为 °． （2）找出图中相等的角．如果，它们还会相等吗？ （3）若的度数越来越小，则的度数将如何变化？ 【答案】（1）151；（2）相等的角有，；当时，它们仍然相等；（3）的度数会越来越大． 【分析】（1）利用直角的度数减去的度数求出的度数，再将与直角的度数相加，通过角的和差求出的度数； （2）先根据直角的定义直接得到与相等，再利用角的和差得出和均为的余角，结合同角的余角相等的性质，判断即使的度数改变，这些角仍保持相等； （3）先通过角的和差推导出与的数量关系式，再根据该关系式分析当度数越来越小时，的度数变化情况． 解：（1）解：∵和都是直角， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：相等的角有，， ∵， ∴， ∴， 即使，和仍然是的余角， 根据同角的余角相等，它们仍然相等，和始终是直角，也仍然相等； （3）解：由， 可知当的度数越来越小时，的度数会越来越大． 23．（本小题满分10分）（25-26七年级下·河北廊坊·阶段检测）如图，直线与相交于点，射线在内． （1）若的邻补角是它的余角的3倍， ①的度数为 ； ②若，求的度数； （2）若射线平分，，探求与的数量关系． 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】（1）①设，根据题意列方程求解即可； ②根据平角的定义列方程求出，然后代入求解即可； （2）根据角平分线的定义设，然后分别表示出和，进而求解即可． 解：（1）解：①设 根据题意得， 解得 ∴的度数为； ②∵，， ∴ 解得 ∴； （2）解：∵平分 ∴设 ∵ ∴， ∴． 24．（本小题满分12分）（24-25六年级下·山东烟台·期中）如图，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起． （1）试判断图（1）中与的大小关系，并说明理由； （2）在图（1）中若，求的度数； （3）在图（1）中猜想与的数量关系，并说明理由； （4）若改变其中一个三角板的位置，如图（2），则第（3）小题的结论还成立吗？并说明理由． 【答案】（1），理由见分析；（2）；（3），理由见分析；（4）结论仍然成立，理由见分析 【分析】（1）利用同角的余角相等即可证明两角相等； （2）先求，再通过角的和差计算即可； （3）用两个直角的和减去重叠角，即可推导两角互补； （4）利用周角减去两个直角的和，即可证明互补结论仍成立． 解：（1）解：，理由如下： ∵， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （3）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴； （4）解：结论仍然成立 ∵， ∴， 又∵， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第14讲）——角平分线与角的和与差（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.预习目标与填空 2 1. 预习目标 2 2.自主填空梳理 2 二.教材知识解读 2 【知识点一】角的定义与表示 3 【知识点二】角的和与差 3 【知识点三】角平分线核心定义（必考几何语言） 3 【知识点四】角等分点拓展 4 【知识点五】角度计算分类讨论思想（重难点） 4 【知识点六】经典几何模型（中点迁移模型） 4 三.经典题型精析（基础夯实） 4 【题型 1】角的定义与角的表示 4 【题型 2】角的比较与基础角的和差计算 5 【题型 3】角平分线基础计算（必考） 6 【题型 4】求一个角的余角与补角 7 【题型 5】角平分线综合计算（中档常考） 7 四.经典题型精析（巩固提升） 8 【题型 6】双角平分线模型 8 【题型 7】射线位置不确定·分类讨论（拔高核心） 9 【题型 8】余角与补角的性质 10 五.同步自测 12 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 12 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 14 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 15 预习方法：读概念→理解定义性质→学例题→练变式→同步自测 一.预习目标与填空 1. 预习目标 （1）掌握角定义与角的表示方法； （2）掌握角的大小比较两种方法，理解角的和、差的几何意义与图形关系； （3）熟练掌握角平分线的定义、规范几何推理语言、核心计算公式，做到精准书写步骤； （4）了解角的三等分线、四等分线的含义，掌握基础角度等分计算； （5）掌握经典双角平分线模型结论，能快速解决综合计算题； （6）掌握余角、补角定义及性质； （7）重难点：角平分线几何推理、双角平分线模型计算、无图角度分类讨论、余角补角性质应用。 2.自主填空梳理 （1）比较角的大小常用两种方法：________、________。 （2）若射线OC在∠AOB内部，则∠AOB＝________＋________，∠AOC＝∠AOB－________。 （3）从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等角的射线，叫做这个角的________。 （4）若OC平分∠AOB，则∠AOC＝________＝________∠AOB，∠AOB＝2∠AOC＝________。 （5）从角顶点出发，将角平均分成三份的两条射线，叫做角的________。 （6）如果两个角的和为，两角互为________；和为，两角互为________。 （7）同角或等角的余角________，同角或等角的补角________。 参考答案： （1）度量法；叠合法 （2）∠AOC；∠BOC；∠BOC （3）角平分线 （4）∠BOC；；2∠BOC （5）三等分线 （6）余角；补角 （7）相等；相等 二.教材知识解读 【知识点一】角的定义与表示 （1）定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． 图2 2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 【知识点二】角的和与差 情况1：射线在角内部（内分角） 射线OC在∠AOB内部： 常用变形：， 情况2：射线在角外部（外分角） 射线OC在∠AOB外部： 核心原则：角度计算先定射线位置，再列和差式子，图形位置是列式的核心依据。 【知识点三】角平分线核心定义（必考几何语言） 文字定义：从角的顶点出发，将一个角分成两个相等角的射线，叫做这个角的平分线。一个角有且只有一条平分线。 三种几何等价表达（解题直接套用） 已知：OC平分∠AOB ①；② ；③ 【知识点四】角等分点拓展 角三等分线：从顶点出发，将一个角分成三个相等小角的两条射线； 若OC、OD是∠AOB的三等分线，则。 【知识点五】角度计算分类讨论思想（重难点） 题目仅说明“过顶点作射线”，未明确射线在角内部还是外部时，必须分两种情况计算： ① 射线在角内部：角度相减、平分细分； ② 射线在角外部：角度相加、外角拓展； 几何无图题默认多解，严禁主观臆断图形位置。 【知识点六】经典几何模型（中点迁移模型） 若OC为∠AOB内任意射线，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，则： 此模型与线段中点嵌套模型原理一致，考试高频可直接套用。 三.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】角的定义与角的表示 【例题1】（25-26六年级下·山东威海·期末）已知在同一平面内，，，是的平分线，则的度数为__________． 【变式1】（25-26六年级下·全国·课后作业）下列关于角的说法正确的是（   ） A．角是由有公共点的两条射线组成的图形 B．两条有公共端点的线段组成的图形叫作角 C．角是由一条射线绕它的端点旋转而成的图形 D．两条直线相交，组成的图形叫作角 【变式2】（26-27七年级上·全国·随堂练习）如图，写出符合下列条件的角： （1）能用一个大写字母表示的角有______； （2）以B为顶点的角有______（用较简洁的方法表示）； （3）以CD为边的角有______． 【变式3】（25-26七年级上·山东滨州·阶段检测）如图所示，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，则、、三个角的数量关系为________． 【题型 2】角的比较与基础角的和差计算 【例题2】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，按要求写出符合条件的角． （1）能用一个字母表示的角． （2）以为顶点的角． （3）图中共有几个小于平角的角？请表示出来． 【变式1】（25-26七年级上·陕西西安·期末）已知，，则与的关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式2】（0496.2角（3）同步练习卷）对于任意的和，可能的大小关系是______________． 【变式3】（25-26六年级下·全国·单元测试）如图： （1）以点B为顶点的角有几个？分别表示出来． （2）请分别指出以射线为边的角． （3）以D为顶点，为一边的角有几个？分别写出来． 【题型 3】角平分线基础计算（必考） 【例题3】（25-26七年级上·贵州铜仁·阶段检测）如图，O是直线上一点，平分，平分．求： （1）的度数． （2）如果，求的度数． 【变式1】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，点在直线上，平分．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·贵州安顺·期末）已知射线，若从点O引两条射线，，使得，，则______． 【变式3】（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，已知，平分，，求的度数． 【题型 4】求一个角的余角与补角 【例题4】（25-26七年级下·云南·期末）如图，、、在一条直线上，已知平分，是内部的一条射线． （1）若，，求的度数； （2）若，，求的度数． 【变式1】（25-26七年级下·广东清远·期末）已知，则的余角的大小为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·江西抚州·期末）若的余角是，则它的补角是________． 【变式3】（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）如图，直线，交于点，，平分，若，求． 【题型 5】角平分线综合计算（中档常考） 【例题5】（25-26七年级上·江西新余·期末）如图，点在直线上，是上方的一条射线，且． （1）若与互为余角，求的度数． （2）若平分，求的度数． 【变式1】（25-26七年级上·河南开封·期末）如图，点在一条直线上，是的平分线，且，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26六年级下·山东烟台·期中）如图所示，将一副三角板叠放在一起，使它们的直角顶点重合于点，已知，则的度数是________． 【变式3】（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如图，A、O、B三点共线，，平分． （1）图中与互余的角是：_____________； （2）已知，求的度数． 四.经典题型精析（巩固提升） 【题型 6】双角平分线模型 【例题6】（24-25七年级上·河北保定·期末）如图，是的平分线，是的平分线．是直角，．求的度数． 【变式1】（25-26六年级下·山东烟台·期中）将一副含和的直角三角尺按如图所示的方式放置，若平分，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26六年级下·山东烟台·期末）如图所示，把平角放置在量角器上，与量角器的中心重合，射线，分别对准刻度和，在内部作射线，使平分，则的度数为________． 【变式3】（25-26六年级下·山东济宁·阶段检测）如图，是的平分线，是的平分线． （1）若，，求的度数． （2）若，求的度数． 模型结论：角内任意射线分角，两分角平分线的夹角恒为原角的一半，可直接套用。 【题型 7】射线位置不确定·分类讨论（拔高核心） 【例题7】（25-26七年级上·四川广安·期末）已知，，射线、分别是和的平分线，求的度数．（温馨提示；请同学们结合题意画出图形，然后求解） 【变式1】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）已知，过点作射线､，使，是的平分线，则的度数为（    ） A． B．或 C． D．或 【变式2】（24-25六年级下·山东烟台·期中）如图，平分，，已知，则的度数为_____________． 【变式3】（25-26七年级上·四川成都·期末）如图，已知，是内的一条射线，且． （1）作射线平分，在内作射线，使得，求的度数； （2）过点作射线，若，求的度数． 重点提醒：无图角度题必分类，射线分内、外两种位置，杜绝漏解。 【题型 8】余角与补角的性质 【例题8】（25-26七年级下·河北保定·阶段检测）如图，和均为直角． （1）若，求的度数； （2）若逐渐增大，将如何变化？请你给出结论并说明理由． 【变式1】（25-26七年级上·江苏连云港·期末）如图，不同的位置摆放，摆放位置中与一定相等的图形个数共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（25-26七年级上·重庆江北·周测）如图，是钝角，，，是内的三条射线，若，平分，平分，那么的度数是______． 【变式3】（25-26七年级上·山东枣庄·期末）把一副三角尺按照图①的方式放置，其中，边在的内部． 【问题探究】 （1）如果，那么______； （2）试判断与的关系，并说明理由； 【迁移应用】 （3）在图②中利用能够画直角的工具（如：三角尺）再画一个与相等的角． 五.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2026年河北省初中学业水平考试数学模拟试卷（二））用一个7倍的放大镜看一个的角，看到的角的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·河南南阳·模拟预测）如图所示，有一个四边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·北京·中考真题）如图，三角尺的直角顶点在直线l上．若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·内蒙古锡林郭勒·一模）如图，在直线上取一点O，过点O作射线，使，以点O为圆心，任意长度为半径画弧，分别交边，于点D，E，再以点E为圆心，的长为半径画弧，交前弧于点F，再画射线．则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（2025八年级上·全国·专题练习），射线是它的四等分线，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（23-24七年级下·陕西汉中·阶段检测）若，则的余角的补角度数为（     ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·山东泰安·期中）如图所示，点为直线上一点，，那么下列互为余角的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 8．（25-26七年级下·北京顺义·期末）如图，打台球时，选择适当的方向用白球击打黑球，黑球碰撞库边（台球桌四边的边框）后直接入袋．此时，，，则黑球碰撞库边前后的运动路线所夹的角大小为（     ） A． B． C． D． 9．（25-26六年级下·四川成都·期中）如图所示，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．（2026·河南洛阳·一模）将一块含有的等腰直角三角板按照如图方式摆放，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示的图形中有______个小于平角的角，写出以为一边的所有角：______． 12．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图所示的网格是正方形网格，点，，，，是网格线交点，则_____．（填“”，“”或“”） 13．（25-26六年级下·山东烟台·期末）如图，是直线上一点，为射线，若平分，平分，则的度数为____________． 14．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图所示，一位同学把锐角的顶点放在量角器的中心，角的边、的读数分别为35、85，则的补角为______度． 15．（25-26六年级下·山东威海·期末）如图，，平分，平分，则的度数为______． 16．（25-26七年级下·山西晋中·期末）若一个角的度数为，则它的余角的大小是______． 17．（25-26七年级下·湖南永州·期中）已知和的两边分别互相平行，且比的2倍少，的度数为______． 18．（2026·河南周口·模拟预测）如图，已知，射线在的内部，且，射线是平面上绕点B旋转的一条动射线，平分．若，则的度数为______．（用含的式子表示） （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26六年级下·山东东营·期中）如图，直线，，相交于点．，若，求的度数． 20．（本小题满分8分）（25-26七年级上·陕西西安·期末）如图，，是的平分线，，是的平分线，求的度数． 21．（本小题满分10分）（24-25七年级下·重庆·开学考试）解答下列各题： （1）一个角的余角比它的补角的少，求这个角． （2）如图，若平分， ， ，求的度数． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，和都是直角． （1）如果，那么的度数为 °． （2）找出图中相等的角．如果，它们还会相等吗？ （3）若的度数越来越小，则的度数将如何变化？ 23．（本小题满分10分）（25-26七年级下·河北廊坊·阶段检测）如图，直线与相交于点，射线在内． （1）若的邻补角是它的余角的3倍， ①的度数为 ； ②若，求的度数； （2）若射线平分，，探求与的数量关系． 24．（本小题满分12分）（24-25六年级下·山东烟台·期中）如图，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起． （1）试判断图（1）中与的大小关系，并说明理由； （2）在图（1）中若，求的度数； （3）在图（1）中猜想与的数量关系，并说明理由； （4）若改变其中一个三角板的位置，如图（2），则第（3）小题的结论还成立吗？并说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $