第11章 整式的乘除（高效培优单元测试·强化卷）数学华东师大版2024八年级上册

第11章 整式的乘除(高效培优单元测试·强化卷) (考试时间:100分钟，试卷满分:120分) 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（本题3分）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（本题3分）若，则的值是（   ） A．7 B． C． D． 3．（本题3分）如图，有两个正方形，，其边长分别表示为，现将放置在的内部得到图甲，将，并列放置，以正方形与正方形的边长之和为新的边长构造正方形得到图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（本题3分）如图，现有类、类正方形卡片和类长方形卡片各若干张，若要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要类卡片（    ） A．7张 B．6张 C．3张 D．2张 5．（本题3分）已知，代数式的值是（    ） A．24 B．30 C．35 D．36 6．（本题3分）乘积应等于（   ） A． B． C． D． 7．（本题3分）若表示一个单项式，且，则表示的单项式是（　　） A． B． C． D． 8．（本题3分）对于实数，，整式，，规定整式的运算：，．当时，若对于始终成立，则，满足的条件是（   ） A． B． C． D． 9．（本题3分）若，则M的最小值是（   ） A．2018 B．2019 C．2020 D．2021 10．（本题3分）已知的三边长分别是，，且满足，判断此三角形的形状为（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（本题3分）计算： ． 12．（本题3分）若，为正整数，则的最大值与最小值的差为 ． 13．（本题3分）已知，则的值为 ． 14．（本题3分）在进行一些数学式计算时，我们可以把某一单项式或多项式看作一个整体，运用整体换元，使得运算更简单．已知，则代数式的值为 15．（本题3分）如图是一个运算程序，若输入的m为，输出的x为，则p为 ． 16．（本题3分）已知，则 ． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题8分）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．（本题8分）运用乘法公式简便计算： (1) (2) (3)． 19．（本题8分）因式分解： (1)． (2) (3) (4) 20．（本题10分）已知展开后，不含和的项，求． 21．（本题10分）如图，一块矩形草坪的长为（a＋1）m，宽为（a）m（a1），现将草坪扩建后，长和宽都分别增加了2m． (1)求扩建前与扩建后矩形草坪的面积（用含a的代数式表示）； (2)若扩建后矩形草坪的面积增加了36，求扩建前这个矩形草坪的面积． 22．（本题14分）甲、乙二人共同计算时，均出现了失误：甲由于抄错了第一个多项式中的运算符号，即把“”抄成“”，得到的结果为；乙由于抄漏了第二个多项式中的系数，即把“”抄成“”，得到的结果为． (1)求出，的值． (2)在（1）的条件下，试求的正确结果． 23．（本题14分）数学活动课上，老师准备了若干个如图1所示的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形．用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张可拼成如图2所示的大正方形． (1)请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积. 方法1：__________；方法2：__________； (2)观察图2，请你写出代数式，之间的等量关系：_______； (3)根据（2）中的等量关系，解决如下问题： ①已知，，，求的值； ②已知，求的值． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11章 整式的乘除(高效培优单元测试·强化卷) (考试时间:100分钟，试卷满分:120分) 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（本题3分）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】合并同类项、幂的乘方运算、积的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】利用合并同类项，同底数幂的除法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可． 【详解】解：A、，故该选项计算错误，不符合题意； B、，故该选项计算错误，不符合题意； C、，该选项计算正确，符合题意； D、，故该选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 2．（本题3分）若，则的值是（   ） A．7 B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、（x+p）（x+q）型多项式乘法、代入消元法 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，代入消元法，已知字母的值求代数式的值，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先根据多项式乘以多项式法则，得到关于，的方程组求解，再将方程组的解代入代数式求值． 【详解】解：， 又， 所以， 解得：， 所以， 故选：D． 3．（本题3分）如图，有两个正方形，，其边长分别表示为，现将放置在的内部得到图甲，将，并列放置，以正方形与正方形的边长之和为新的边长构造正方形得到图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查完全平方公式的几何应用，平方差公式的应用，根据图形可得图甲阴影部分面积为，即可判定选项；根据图乙阴影部分的面积为，可得，进而由完全平方公式得，即可判定；利用平方差公式可得，即可判定；由完全平方公式得，即可判定，综上即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：图甲中阴影部分是边长为的正方形， ∴图甲阴影部分面积为，故选项符合题意； 图乙整体上是边长为的正方形，面积为， ∴图乙阴影部分的面积为，即， ，故选项不合题意； 由可得，由可得， ，故选项不合题意； ，即， ，故选项不合题意． 故选：． 4．（本题3分）如图，现有类、类正方形卡片和类长方形卡片各若干张，若要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要类卡片（    ） A．7张 B．6张 C．3张 D．2张 【答案】A 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题主要考查多项式的计算，解决此题的关键是正确的计算；先算出大长方形的面积，然后根据C类卡片的面积，确定C类卡片的数量即可得到答案； 【详解】解：由题可知： 大长方形的面积为：， ∵C类卡片的面积为， ∴需要类卡片为7张； 故选：A． 5．（本题3分）已知，代数式的值是（    ） A．24 B．30 C．35 D．36 【答案】C 【知识点】整式乘法混合运算、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，巧用整体思想是解题的关键． 由得到，再整体代入变形后的代数式即可求得． 【详解】解：， ， ． ， ， ． 故选：C． 6．（本题3分）乘积应等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查平方差公式的应用，解题的关键是利用平方差公式对每个括号内的式子进行因式分解，然后通过约分计算出结果． 利用平方差公式将每个分解为，然后展开式子，通过约分计算出最终的乘积． 【详解】解：根据平方差公式，对进行因式分解可得：．那么原式可转化为： ． 7．（本题3分）若表示一个单项式，且，则表示的单项式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】计算单项式除以单项式 【分析】此题主要考查了单项式除以单项式，利用单项式与单项式除法，把它们的系数，相同字母分别相除，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式，进而得出即可，熟练掌握运算法则是解题关键． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：． 8．（本题3分）对于实数，，整式，，规定整式的运算：，．当时，若对于始终成立，则，满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】整式四则混合运算 【分析】本题考查了整式的运算，解题的关键是掌握新定义的运算法则．由，，推出，结合，即可求解． 【详解】解：，， 当时，则， 当时，则， ， ， 始终成立， ， ， ， 故选：D． 9．（本题3分）若，则M的最小值是（   ） A．2018 B．2019 C．2020 D．2021 【答案】C 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了完全平方公式分解因式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 利用完全平方公式变形得到，再根据非负数的性质即可求出M的最小值． 【详解】解： ， ∵，， ∴， ∴M的最小值是2020． 故选：C． 10．（本题3分）已知的三边长分别是，，且满足，判断此三角形的形状为（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 【答案】B 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题考查因式分解的应用，将题目中的式子变形，然后利用完全平方公式和非负数的性质，可以求得a、b、c的关系，从而可以判断的形状． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（本题3分）计算： ． 【答案】 【知识点】积的乘方的逆用 【分析】本题考查积的乘方公式的逆用．根据计算即可． 【详解】解：原式， 故答案为：． 12．（本题3分）若，为正整数，则的最大值与最小值的差为 ． 【答案】 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】本题考查了多项式乘多项式的法则的应用，利用多项式乘以多项式法则对等式左边进行变形，再根据多项式相等的条件确定出的最大值与最小值，再相减即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴，， ∵为正整数， ∴， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴的最大值为，最小值为，其差为， 故答案为：． 13．（本题3分）已知，则的值为 ． 【答案】16 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查代数式求值，将变形为，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：16． 14．（本题3分）在进行一些数学式计算时，我们可以把某一单项式或多项式看作一个整体，运用整体换元，使得运算更简单．已知，则代数式的值为 【答案】54 【知识点】幂的乘方的逆用、多项式除以单项式、积的乘方的逆用 【分析】本题考查了多项式除以单项式、幂的乘方与积的乘方的逆用，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算多项式除以单项式可得原式等于，再利用幂的乘方与积的乘方的逆用计算即可得． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：54． 15．（本题3分）如图是一个运算程序，若输入的m为，输出的x为，则p为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的除法，根据题意列出除法算式，掌握多项式除以单项式的法则是解决问题的关键． 根据题意列出除法算式，利用多项式除以单项式的法则进行计算，即可得出答案． 【详解】解：由题意得： ， 故答案为：． 16．（本题3分）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查完全平方公式的运用，解决此题的关键是运用换元思想；先把和看作m和n，已知条件变成了两个数的乘积，根据已知可得两个数的差，进而运用完全平方公式即可得到答案； 【详解】解：令，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题8分）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据积的乘方，单项式乘以单项式，单项式除以单项式法则计算即可； （2）根据单项式除以单项式，积的乘方，同底数幂乘法计算即可 （3）根据多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，单项式除以单项式计算即可； （4）根据多项式乘以多项式，单项式乘以多项式． 本题考查了积的乘方，整式的乘除，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ． （2）解：； ． （3）解： ． （4）解： ． 18．（本题8分）运用乘法公式简便计算： (1) (2) (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式乘法公式的应用，解题的关键是掌握平方差公式和完全平方公式． （1）将原式变为，再利用平方差公式求解即可； （2）将原式变为，再利用完全平方公式求解即可；； （3）将原式变为，再利用平方差公式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 19．（本题8分）因式分解： (1)． (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键； （1）根据平方差公式进行分解因式即可； （2）根据平方差公式及完全平方公式进行分解因式即可； （3）先去括号，然后再根据完全平方公式进行分解因式即可； （4）根据完全平方公式进行分解因式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 20．（本题10分）已知展开后，不含和的项，求． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的化简和项无关，解决此题的关键是正确的计算；先把整式运用多项式乘多项式的法则化简，再合并同类项，根据项无关的概念得到m的值，进而得到答案即可； 【详解】解：， ， ， ， ∵式子不含和的项， ∴，， ∴，， ∴． 21．（本题10分）如图，一块矩形草坪的长为（a＋1）m，宽为（a）m（a1），现将草坪扩建后，长和宽都分别增加了2m． (1)求扩建前与扩建后矩形草坪的面积（用含a的代数式表示）； (2)若扩建后矩形草坪的面积增加了36，求扩建前这个矩形草坪的面积． 【答案】(1)扩建前：，扩建后： (2) 【分析】本题主要考查代数式的表示，多项式乘法运算以及通过建立方程解决的能力，准确计算是解题的关键． （1）扩建前后的面积均通过长宽计算，注意代数式的展开与化简； （2）利用扩建后面积与原面积的差建立方程，求解出未知数的值，进而求出原面积． 【详解】（1）矩形草坪的长为，宽为， 扩建前矩形草坪的面积为； 由题意可得，扩建后矩形草坪的长为，宽为， 扩建后矩形草坪的面积为； （2）由可得，扩建后矩形草坪的面积增加了， 。 解得：， ． 扩建前这个矩形草坪的面积为． 22．（本题14分）甲、乙二人共同计算时，均出现了失误：甲由于抄错了第一个多项式中的运算符号，即把“”抄成“”，得到的结果为；乙由于抄漏了第二个多项式中的系数，即把“”抄成“”，得到的结果为． (1)求出，的值． (2)在（1）的条件下，试求的正确结果． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了计算多项式乘多项式，加减消元法，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据甲抄错与乙抄漏，列出关于、的方程组求解； （2）将代入式子中，再利用多项式乘多项式法则计算即可． 【详解】（1）解：由题意，得， ， ， 解得∶， ；； （2）解：由（1）得， 原式． 23．（本题14分）数学活动课上，老师准备了若干个如图1所示的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形．用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张可拼成如图2所示的大正方形． (1)请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积. 方法1：__________；方法2：__________； (2)观察图2，请你写出代数式，之间的等量关系：_______； (3)根据（2）中的等量关系，解决如下问题： ①已知，，，求的值； ②已知，求的值． 【答案】(1)； (2) (3)； 【分析】本题考查了乘法公式的几何意义： （1）方法1可根据正方形面积公式算，方法2可根据大正方形的面积为四个小纸片的面积之和来算； （2）根据（1）可知等量关系； （3）①根据（2）的等量关系得到，代入即可；②设，则，按照（2）的等量关系计算即可． 【详解】（1）方法1：大正方形的边长为， 大正方形的面积为； 方法2：大正方形的面积； （2）根据（1）可知：； （3）①， ， ，， ； ②设， ， ， ， ． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $