专题04 整式运算中含参数及新定义型问题的六类综合题型（压轴题专项训练）数学华东师大版2024八年级上册

专题04 整式运算中含参数及新定义型问题的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用单项式乘法求字母或代数式的值 类型二、利用单项式乘多项式求字母的值 类型三、已知多项式乘积不含某项求字母的值 类型四、完全平方式中的字母参数问题 类型五、多项式乘多项式与图形面积中无关型问题 类型六、整式的运算中的新定义型问题 压轴专练 类型一、利用单项式乘法求字母或代数式的值 1.系数与指数对应求值：单项式相乘后，系数和同字母指数分别相等，如2xm * 3x2 = 6x5，得m+2=5，求m=3。 2.代入化简代数式：先算单项式乘积化简，再代入字母值。如3a * 2b = 6ab，代入a=1、b=2，得结果12。 例1．设，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 【变式1-1】设，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 【变式1-2】若，则的值为 ． 【变式1-3】已知与的积与是同类项． (1)求的值， (2)先化简，再求值：． 类型二、利用单项式乘多项式求字母的值 1.展开后系数对应：单项式乘多项式展开后，同类项系数对应相等。如2x(x + a)=2x² + 6x，对比得2a=6，求a=3。 2.整体代入求值：先展开化简，如a(2b + c) - 2ab = ac，代入a=2、c=5，直接得2×5=10。 例2．若，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【变式2-1】若，则a的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 【变式2-2】已知，当x为任意数时该等式都成立，则的值为（   ） A．17 B． C． D．-17 【变式2-3】若对任意都成立，则 ． 类型三、已知多项式乘积不含某项求字母的值 1. 合并同类项后系数为0：多项式相乘展开后，合并同类项，令不含项的系数等于0。如(x + a)(x + 2)=x²+(a+2)x+2a，不含一次项则a+2=0，得a=-2。 2. 通过系数关系求解：分析乘积中某项系数构成，列方程求解。如(2x + m)(x - 3)不含常数项，常数项-3m=0，得m=0。 例3．若的乘积中不含项和项，则 ． 【变式3-1】若的积中不含项和项．求： (1)p、q的值； (2)代数式的值． 【变式3-2】若的积中不含与项． (1)求，的值； (2)求代数式的值． 【变式3-3】若的积中不含x项与项． (1)求p，q的值； (2)求代数式的值． 类型四、完全平方式中的字母参数问题 1.缺项补全求参数：形如x² + ax + 9为完全平方式，因9=3²，故ax=±2·x·3，得a=±6，利用中间项是两数积的2倍。 2.配方确定参数范围：如x² + 2x + m是完全平方式，配方为(x+1)² + (m-1)，需m-1=0，即m=1。 例4．（24-25八年级上·吉林·期末）若式子是一个完全平方式，则k= ． 【变式4-1】（24-25八年级上·吉林松原·期末）若是一个完全平方式，则常数k的值为 ． 【变式4-2】如果关于的多项式 是完全平方式，那么的值为 ． 【变式4-3】（24-25八年级上·重庆万州·期中）已知M是含字母x的单项式，要使多项式是某个多项式的平方，则M为 ． 类型五、多项式乘多项式与图形面积中无关型问题 1.面积表达式去无关项：图形面积用多项式乘积表示后，合并同类项，令含无关字母的项系数为0。如某面积式为x² + (a-2)y + 3，与y无关则a-2=0，得a=2。 2.乘积化简消参数：多项式相乘后，若结果与某字母无关，说明该字母系数为0。如(x + m)(x + 2)=x² + (m+2)x + 2m，与x无关则m+2=0，得m=-2。 例5．如图1，有足够多的边长为的小正方形（A类），长为、宽为的长方形（类）以及边长为的大正方形（类）卡片，发现利用图1中的三种卡片各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式． 例如图2可以解释的等式为． (1)图3可以解释的等式为 ； (2)要拼成一个长为，宽为的长方形，那么需用A类卡片 张，类卡片 张，类卡片 张； (3)用5张类卡片按图4的方式不重叠地放在长方形内，未被遮盖的部分（两个长方形）用阴影表示，设右下角与左上角的阴影部分的面积之差为S，，若S的值与无关，试探究与的数量关系，并说明理由． 【变式5-1】如图，长为，宽为的大长方形被分割成部分，除阴影图形外，其余部分为形状和大小完全相同的小长方形，其中小长方形的宽为．    (1)计算：小长方形的长________，小长方形的周长________；（用含的代数式表示）； (2)小明发现阴影图形与阴影图形的周长之和与值无关，请你通过计算对他的发现作出合理解释． 【变式5-2】（23-24七年级下·安徽淮北·期中）［知识回顾] 有这样一类题： 代数式的值与x的取值无关，求a的值； 通常的解题方法； 把x，y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即． ［理解应用] (1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知的值与x无关，求y的值； (3)（能力提升）如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当AB的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 类型六、整式的运算中的新定义型问题 1. 理解新运算规则：按定义转化为整式运算，如定义a*b=a² - b，则3*2=3² - 2=7，用熟悉公式计算。 2. 结合公式化简：新定义含多项式时，套用乘法公式，如a⊕b=(a+b)(a-b)，即平方差，直接用公式简化运算。 例6．（24-25七年级下·安徽淮北·期末）定义：是以为系数的二次多项式，即，其中均为实数．例如：，．完成下面的探究： （1）当时，的值是 ； （2）若，则的值是 ． 【变式6-1】（24-25七年级下·陕西西安·期中）新定义：为二阶行列式，它的运算规则是，例如：． (1)计算的值； (2)若，求的值． 【变式6-2】（24-25七年级下·广东深圳·期中）定义：是多项式A化简后的项数，例如多项式，则．一个多项式A乘多项式B化简得到多项式C（即），如果，则称B是A的“好多项式”，如果，则称B是A的“极好多项式”．例如多项式，，则，则，，，所以B是A的“好多项式”，但B不是A的“极好多项式”． (1)若，均是关于x的多项式，则B是不是A的“好多项式”？是不是A的“极好多项式”？请判断并说明理由； (2)若，均是关于x的多项式，且B是A的“极好多项式”，则______； (3)若，均是关于x的多项式，且B是A的“极好多项式”，求m的值． 【变式6-3】（24-25七年级下·广东佛山·期中）教科书第一章《整式的乘除》中，我们学习了整式的几种乘除运算，学会了研究运算的方法．现定义了一种新运算“”，对于任意有理数，，，规定．例如：． 请解答下列问题： (1)填空： = ； (2)若的代数式中不含的一次项时，求的值； (3)如图1，在六边形中，对角线和相交于点，当四边形和四边形都为正方形时，设正方形和正方形的边长分别为，，若，，求出阴影部分的面积． (4)如图2，小长方形长为，宽为，用张图中的小长方形按照图方式不重叠地放在大长方形内，其中，大长方形中未被覆盖的两个部分图中阴影部分，设左下角长方形的面积为，右上角长方形的面积为，当时，求的值． 一、单选题 1．（24-25七年级下·全国·期中）若的计算结果中不含项，则（   ） A． B．0 C． D． 2．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）为常数，展开式中项的系数与常数项都等于10，则的值等于（   ） A．6 B．6 C．8 D．8 3．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）二次三项式是一个完全平方公式，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 4．（24-25七年级下·江苏常州·阶段练习）现定义运算“”，对于任意有理数，都有．例如：，由此可知等于（　　） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，长为，宽为的大长方形被分割为小块，除阴影，外，其余块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的是（　　） 小长方形的较长边为；阴影的较短边和阴影的较短边之和为；阴影和阴影的周长之和与值无关；当时，阴影和阴影的面积和为定值． A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25六年级下·山东淄博·期末）已知，则 ， ． 7．（24-25八年级上·湖南·阶段练习）若的展开式中不含项，则的值是 ． 8．（24-25七年级下·浙江金华·期末）已知代数式中含项的系数为3，则n的值为 ． 9．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）将多项式加上一个单项式，使它成为完全平方式，这个单项式可能是 ．（写出有可能的结果） 10．（23-24七年级下·辽宁锦州·阶段练习）将4个数，，，排成2行、2列，两边各加一条竖线记成，定义，上述记号就叫做二阶行列式．若，则 ． 三、解答题 11．（24-25八年级上·河南周口·期末）若 ，则求的值． 12．（24-25七年级下·北京·期末）关于x的代数式 化简后不含 项和常数项． (1)求m，n的值； (2)求 的值． 13．（24-25七年级下·安徽六安·期中）已知长方形纸片甲和正方形纸片乙的周长相同，面积分别为和，其中纸片甲的两边长分别为和． (1)正方形纸片乙的边长用代数式可以表示为______； (2)分别用代数式表示两个纸片的面积：______，______； (3)小方同学发现甲、乙两纸片的面积差与的取值无关，请判断小方同学的发现是否正确，并通过计算说明你的理由． 14．（辽宁省锦州市2024-2025学年七年级下学期7月期末数学试题）定义一种新的运算：对于任意两个有理数，规定． 例如，；． 若为有理数，请解答下列问题： (1)若是一个完全平方式，求的值； (2)若，，求的值． 15．（24-25七年级下·四川成都·期末）对于任意四个有理数a，b，c，d，定义一种新运算：，例 (1)对于有理数x， y， 若，，求与 的值； (2)如图所示，E是长方形的边上一点，连接并延长至F，过F作 于G，且． ，连接， ． 若 ，在（1）的条件下，且当时，求n的值． 16．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）对于两个正数a，，定义一种新的运算，记作，即：如果，那么．例如：，则． (1)根据上述运算填空：__________；__________；__________． (2)先观察，与的结果之间的关系，再观察（1）中的三个数4，8，32之间的关系，试着归纳：__________． (3)如图①，正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若，，．求图中阴影部分的面积． (4)如图②，四边形，是长方形纸条，，，按如图所示叠放在一起，将重叠的部分矩形沿着翻折得到矩形．若，矩形的面积是15，，，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 整式运算中含参数及新定义型问题的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用单项式乘法求字母或代数式的值 类型二、利用单项式乘多项式求字母的值 类型三、已知多项式乘积不含某项求字母的值 类型四、完全平方式中的字母参数问题 类型五、多项式乘多项式与图形面积中无关型问题 类型六、整式的运算中的新定义型问题 压轴专练 类型一、利用单项式乘法求字母或代数式的值 1.系数与指数对应求值：单项式相乘后，系数和同字母指数分别相等，如2xm * 3x2 = 6x5，得m+2=5，求m=3。 2.代入化简代数式：先算单项式乘积化简，再代入字母值。如3a * 2b = 6ab，代入a=1、b=2，得结果12。 例1．设，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【知识点】利用单项式乘法求字母或代数式的值 【分析】本题考查单项式的乘法，根据求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， ∵， ∴，， 解得：，， ∴， 故选：B． 【变式1-1】设，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【知识点】利用单项式乘法求字母或代数式的值 【分析】本题考查单项式的乘法，根据求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， ∵， ∴，， 解得：，， ∴， 故选：B． 【变式1-2】若，则的值为 ． 【答案】/ 【知识点】利用单项式乘法求字母或代数式的值、代入消元法 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式的计算法则得到，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-3】已知与的积与是同类项． (1)求的值， (2)先化简，再求值：． 【答案】(1) (2)， 【知识点】积的乘方运算、利用单项式乘法求字母或代数式的值 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，积的乘方，同类项的定义： （1）先根据单项式乘以单项式的计算法按照求出，再由同类项的定义得到，解之即可得到答案； （2）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式， 然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】（1）解：， ∵与的积与是同类项， ∴与是同类项， ∴， ∴； （2）解： ， 当时，原式． 类型二、利用单项式乘多项式求字母的值 1.展开后系数对应：单项式乘多项式展开后，同类项系数对应相等。如2x(x + a)=2x² + 6x，对比得2a=6，求a=3。 2.整体代入求值：先展开化简，如a(2b + c) - 2ab = ac，代入a=2、c=5，直接得2×5=10。 例2．若，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【知识点】利用单项式乘多项式求字母的值 【分析】本题考查了单项式乘多项式，解决本题的关键是掌握单项式乘多项式法则；根据单项式乘多项式，可得相等的多项式，根据相等多项式的项相等，可得a，b的值，根据有理数的加法，可得答案． 【详解】解：， ， ， 故选：． 【变式2-1】若，则a的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】C 【知识点】利用单项式乘多项式求字母的值 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，根据单项式乘以多项式的计算法则求出的结果即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2-2】已知，当x为任意数时该等式都成立，则的值为（   ） A．17 B． C． D．-17 【答案】B 【知识点】利用单项式乘多项式求字母的值 【分析】本题主要考查了整式乘法混合运算．先把原式变形为，根据当x为任意数时该等式都成立，可得，然后代入，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∵，当x为任意数时该等式都成立， ∴， ∴ 故选：B 【变式2-3】若对任意都成立，则 ． 【答案】1 【知识点】利用单项式乘多项式求字母的值 【分析】本题主要考查单项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用单项式乘多项式的法则对等式左边进行整理，再结合等式的性质进行求解即可． 【详解】解：， ， ， 原式子对任意都成立， ，， 解得：，， ． 故答案为：1． 类型三、已知多项式乘积不含某项求字母的值 1. 合并同类项后系数为0：多项式相乘展开后，合并同类项，令不含项的系数等于0。如(x + a)(x + 2)=x²+(a+2)x+2a，不含一次项则a+2=0，得a=-2。 2. 通过系数关系求解：分析乘积中某项系数构成，列方程求解。如(2x + m)(x - 3)不含常数项，常数项-3m=0，得m=0。 例3．若的乘积中不含项和项，则 ． 【答案】16 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题考查多项式乘多项式，将原式展开并合并同类项，根据题意求得m，n的值后代入中计算即可． 【详解】解： ， ∵乘积中不含项和项， ∴，， ∴，， 则， 故答案为：16． 【变式3-1】若的积中不含项和项．求： (1)p、q的值； (2)代数式的值． 【答案】(1)，； (2)． 【知识点】幂的混合运算、已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的法则，注意不要漏项、漏字母、有同类项的合并同类项，解题的关键是正确求出p、q的值． （1）利用条件中积不含项和项，将积算出来后，令相应的项系数为0即可求解； （2）先化简，再利用第（1）问中的结果，代入求值． 【详解】（1）解：原式， ， ∵的积中不含项和项， ∴，， ∴，； （2）， ， ， ， ∵，， ∴原式 【变式3-2】若的积中不含与项． (1)求，的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2)12 【知识点】积的乘方的逆用、已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，积的乘方的逆运算． （1）将展开，根据结果不含与项，即含与项的系数为0进行求解即可； （2）将（1）所求值代入计算即可． 【详解】（1）解： ， 的积中不含与项， ， ； （2）解：∵，， ∴ ． 【变式3-3】若的积中不含x项与项． (1)求p，q的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1)， (2) 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值、负整数指数幂 【分析】本题考查的是多项式乘以多项式，负整数指数幂的含义，积的乘方运算的含义，掌握运算法则是解本题的关键； （1）先计算多项式的乘法，再合并同类项，再根据积中不含x项与项，建立方程求解即可； （2）先计算积的乘方，再把，代入计算即可． 【详解】（1）解： ． ∵积中不含项与项， ∴，， 解得，． （2）∵，， ∴ ． 类型四、完全平方式中的字母参数问题 1.缺项补全求参数：形如x² + ax + 9为完全平方式，因9=3²，故ax=±2·x·3，得a=±6，利用中间项是两数积的2倍。 2.配方确定参数范围：如x² + 2x + m是完全平方式，配方为(x+1)² + (m-1)，需m-1=0，即m=1。 例4．（24-25八年级上·吉林·期末）若式子是一个完全平方式，则k= ． 【答案】 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题主要考查了完全平方式，先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值． 【详解】解：∵， ∴， 解得． 故答案为：． 【变式4-1】（24-25八年级上·吉林松原·期末）若是一个完全平方式，则常数k的值为 ． 【答案】 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】此题考查了完全平方式，利用完全平方公式的结构特征确定出的值即可． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴ 故答案为：． 【变式4-2】如果关于的多项式 是完全平方式，那么的值为 ． 【答案】或/或 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查完全平方式，根据完全平方式的特点：首平方，尾平方，首尾的2倍放中央，进行求解即可． 【详解】解：， ∴， 解得：或， 故答案为：或． 【变式4-3】（24-25八年级上·重庆万州·期中）已知M是含字母x的单项式，要使多项式是某个多项式的平方，则M为 ． 【答案】或 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可求出M． 【详解】解：①∵， ∴， ②若中M是多项式的平方， 则； 故答案为：或． 类型五、多项式乘多项式与图形面积中无关型问题 1.面积表达式去无关项：图形面积用多项式乘积表示后，合并同类项，令含无关字母的项系数为0。如某面积式为x² + (a-2)y + 3，与y无关则a-2=0，得a=2。 2.乘积化简消参数：多项式相乘后，若结果与某字母无关，说明该字母系数为0。如(x + m)(x + 2)=x² + (m+2)x + 2m，与x无关则m+2=0，得m=-2。 例5．如图1，有足够多的边长为的小正方形（A类），长为、宽为的长方形（类）以及边长为的大正方形（类）卡片，发现利用图1中的三种卡片各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式． 例如图2可以解释的等式为． (1)图3可以解释的等式为 ； (2)要拼成一个长为，宽为的长方形，那么需用A类卡片 张，类卡片 张，类卡片 张； (3)用5张类卡片按图4的方式不重叠地放在长方形内，未被遮盖的部分（两个长方形）用阴影表示，设右下角与左上角的阴影部分的面积之差为S，，若S的值与无关，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)5，46，9 (3)，理由见解析 【知识点】整式加减中的无关型问题、多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式、整式的混合运算的应用等知识点，掌握数形结合能力以及整式的混合运算法则成为解题的关键． （1）根据图②结合图形的面积以及整式乘法列代数式即可； （2）根据多项式乘多项式的法则计算，然后根据相关系数即可解答； （3）设，由图可知，然后再化简，最后让x的系数为0即可解答． 【详解】（1）解：由． 故答案为：． （2）解：∵， ∴需用A类卡片5张，类卡片46张，类卡片9张． 故答案为：5，46，9． （3）解：，理由如下： 设， 由题意可得 由于S的值与无关，则，即． 【变式5-1】如图，长为，宽为的大长方形被分割成部分，除阴影图形外，其余部分为形状和大小完全相同的小长方形，其中小长方形的宽为．    (1)计算：小长方形的长________，小长方形的周长________；（用含的代数式表示）； (2)小明发现阴影图形与阴影图形的周长之和与值无关，请你通过计算对他的发现作出合理解释． 【答案】(1)， (2)与值无关，理由见详解 【知识点】整式的加减运算、整式加减中的无关型问题、多项式乘多项式与图形面积 【分析】（1）根据图示的分割情况即可求解； （2）根据图示分别表示出阴影图形与阴影图形的长、宽，并计算其周长，由此即可求解； 本题主要考查整式的混合运算与图形周长的关系，掌握整式的混合运算是解题的关键． 【详解】（1）解：根据图示可得，小长方形的长为， ∴小长方形的周长为， 故答案为：，． （2）解：由（1）可知，小长方形的长为，小长方形的宽为， ∴阴影图形的长为，宽为，则阴影图形的周长为：， 阴影图形的长为，宽为，则阴影图形的周长为：， ∴阴影图形与阴影图形的周长之和为：， ∴与值无关． 【变式5-2】（23-24七年级下·安徽淮北·期中）［知识回顾] 有这样一类题： 代数式的值与x的取值无关，求a的值； 通常的解题方法； 把x，y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即． ［理解应用] (1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知的值与x无关，求y的值； (3)（能力提升）如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当AB的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 【答案】(1)； (2)； (3) 【知识点】整式的加减中的化简求值、整式加减中的无关型问题、多项式乘多项式与图形面积 【分析】（1）根据含项的系数为0建立方程，解方程即可得； （2）先根据整式的加减求出的值，再根据含项的系数为0建立方程，解方程即可得； （3）设，先求出，从而可得，再根据“当的长变化时，的值始终保持不变”可知的值与的值无关，由此即可得． 【详解】（1）解： ， 关于的多项式的值与的取值无关， ， 解得； （2）令 ， 原式= ， 的值与无关， ， 解得； （3）解：设， 由图可知，，， 则 ， 当的长变化时，的值始终保持不变， 的值与的值无关， ， ． 【点睛】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，涉及整式的乘法、整式的加减知识，熟练掌握整式加减乘法的运算法则是解题关键． 类型六、整式的运算中的新定义型问题 1. 理解新运算规则：按定义转化为整式运算，如定义a*b=a² - b，则3*2=3² - 2=7，用熟悉公式计算。 2. 结合公式化简：新定义含多项式时，套用乘法公式，如a⊕b=(a+b)(a-b)，即平方差，直接用公式简化运算。 例6．（24-25七年级下·安徽淮北·期末）定义：是以为系数的二次多项式，即，其中均为实数．例如：，．完成下面的探究： （1）当时，的值是 ； （2）若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，新定义问题，正确理解题意是解题的关键． （1）根据定义，求出，再将即可解答； （2）根据定义求得，得到，，再求出，最后整体代入即得答案． 【详解】解：（1） ； 故答案为：； （2） ， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 【变式6-1】（24-25七年级下·陕西西安·期中）新定义：为二阶行列式，它的运算规则是，例如：． (1)计算的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算及乘法公式，熟练掌握完全平方公式及平方差公式是解题关键． （1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出的值． 【详解】（1）解： ． （2）解：． ， ∴， ∴， ． 【变式6-2】（24-25七年级下·广东深圳·期中）定义：是多项式A化简后的项数，例如多项式，则．一个多项式A乘多项式B化简得到多项式C（即），如果，则称B是A的“好多项式”，如果，则称B是A的“极好多项式”．例如多项式，，则，则，，，所以B是A的“好多项式”，但B不是A的“极好多项式”． (1)若，均是关于x的多项式，则B是不是A的“好多项式”？是不是A的“极好多项式”？请判断并说明理由； (2)若，均是关于x的多项式，且B是A的“极好多项式”，则______； (3)若，均是关于x的多项式，且B是A的“极好多项式”，求m的值． 【答案】(1)B是A的“好多项式”，但不是A的“极好多项式”，理由见解析； (2)3； (3)或． 【分析】本题考查了新定义，多项式与多项式的乘法，理解“好多项式”和“极好多项式”的定义是解答本题的关键． （1）根据多项式乘多项式的法则计算，根据“好多项式”的定义判断； （2）根据多项式乘多项式的法则计算，根据“极好多项式”，得到关于a的方程，解方程即可求解； （3）根据多项式乘多项式的法则计算，根据“极好多项式”，得到关于m的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）B是A的“好多项式”，但不是A的“极好多项式”， 理由如下： ， ∵的项数比A的项数多1项， ∴B是A的“好多项式”，不是A的“极好多项式”； （2） ， ∵B是A的“极好多项式”， ∴且， 解得． 故答案为：3； （3） ， ∵B是A的“极好多项式”， ∴或， 解得或0． ∴的值是或0． 【变式6-3】（24-25七年级下·广东佛山·期中）教科书第一章《整式的乘除》中，我们学习了整式的几种乘除运算，学会了研究运算的方法．现定义了一种新运算“”，对于任意有理数，，，规定．例如：． 请解答下列问题： (1)填空： = ； (2)若的代数式中不含的一次项时，求的值； (3)如图1，在六边形中，对角线和相交于点，当四边形和四边形都为正方形时，设正方形和正方形的边长分别为，，若，，求出阴影部分的面积． (4)如图2，小长方形长为，宽为，用张图中的小长方形按照图方式不重叠地放在大长方形内，其中，大长方形中未被覆盖的两个部分图中阴影部分，设左下角长方形的面积为，右上角长方形的面积为，当时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题通过新定义运算将代数运算与几何图形问题巧妙结合，既考查了对新定义的理解和运用能力，又综合考查了整式运算、方程求解以及图形面积计算等知识点，对综合运用能力要求较高． （1）直接根据新运算定义代入计算即可； （2）先根据新运算得出代数式，再通过合并同类项，根据一次项系数为求解； （3）利用新运算得到等式，结合已知线段长度，通过完全平方公式变形求阴影部分面积(即两个正方形面价和)； （4）先根据图形表示出、，结合已知等式得出 和关系，再代入新运算式子求值． 【详解】（1）解：根据新运算， 对于； 故答案为：． （2）， ∵代数式中不含x的一次项， ∴一次项系数， ∴解得； （3）， 可得：， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 阴影部分面积为两个三角形面积和； （4）∵， ∴，， ∵ ∴， 即， ∴ ． 一、单选题 1．（24-25七年级下·全国·期中）若的计算结果中不含项，则（   ） A． B．0 C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用单项式乘多项式法则计算，根据结果中不含项，求出a的值即可． 【详解】解： ∵的计算结果中不含项， ∴， 解得：． 故选B． 2．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）为常数，展开式中项的系数与常数项都等于10，则的值等于（   ） A．6 B．6 C．8 D．8 【答案】D 【分析】本题考查多项式乘多项式．利用多项式乘多项式的法则进行运算，再根据条件得出方程求解即可． 【详解】解：∵ ， ∵展开式中项的系数与常数项相等，都等于， ∴，， 解得：，． 故选：D． 3．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）二次三项式是一个完全平方公式，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方式，掌握完全平方式的结构特征是解题的关键，根据完全平方式的结构特征得出，进行求解即可． 【详解】解：二次三项式是一个完全平方公式， ， ， 解得：或． 故选：C． 4．（24-25七年级下·江苏常州·阶段练习）现定义运算“”，对于任意有理数，都有．例如：，由此可知等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的四则混合运算，根据新定义代入，然后根据完全平方公式以及平方差公式展开，最后合并同类项即可． 【详解】解：根据题意可知： ， 故选：C 5．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，长为，宽为的大长方形被分割为小块，除阴影，外，其余块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的是（　　） 小长方形的较长边为；阴影的较短边和阴影的较短边之和为；阴影和阴影的周长之和与值无关；当时，阴影和阴影的面积和为定值． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列代数式以及整式的混合运算，逐一分析四条说法的正误是解题的关键．①观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为，说法①正确；②由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影，的较短边长，将其相加可得出阴影的较短边和阴影的较短边之和为，说法②错误；③由阴影，的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影和阴影的周长之和为，可得出说法③正确；④由阴影，的相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影和阴影的面积之和为，代入可得出说法④正确． 【详解】解：①大长方形的长为，小长方形的宽为， 小长方形的长为，说法①正确； ②大长方形的宽为，小长方形的长为，小长方形的宽为， 阴影的较短边为，阴影的较短边为， 阴影的较短边和阴影的较短边之和为，说法②错误； ③阴影的较长边为，较短边为，阴影的较长边为，较短边为， 阴影的周长为，阴影的周长为， 阴影和阴影的周长之和为， 阴影和阴影的周长之和与值无关，说法③正确； ④阴影的较长边为，较短边为，阴影的较长边为，较短边为， 阴影的面积为，阴影的面积为 ， 阴影和阴影的面积之和为， 当时，，说法④正确． 综上所述，正确的说法有①③④． 故选：A． 二、填空题 6．（24-25六年级下·山东淄博·期末）已知，则 ， ． 【答案】 9 【分析】本题考查了单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式的运算法则是解题的关键． 根据单项式乘单项式的运算法则得到，再结合题中条件列方程求解． 【详解】，， ， ， 解得， 故答案为：；9． 7．（24-25八年级上·湖南·阶段练习）若的展开式中不含项，则的值是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，先根据多项式乘以单项式的计算法则去括号，然后合并同类项得到的展开式，再根据展开式中不含项，即含项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵的展开式中不含项， ∴， ∴， 故答案为：4． 8．（24-25七年级下·浙江金华·期末）已知代数式中含项的系数为3，则n的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了多项式乘以多项式．根据展开式中含项的系数为3，求得的值即可． 【详解】解：∵ ， ∵代数式中含项的系数为3， ∴， 解得， 故答案为：3． 9．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）将多项式加上一个单项式，使它成为完全平方式，这个单项式可能是 ．（写出有可能的结果） 【答案】，，， 【分析】由于多项式加上一个单项式后能成为一个整式的完全平方，那么此单项式可能是二次项、可能是常数项，可能是一次项，还可能是4次项，分4种情况讨论即可． 【详解】解：∵多项式加上一个单项式后能成为一个整式的完全平方， ∴此单项式可能是二次项，可能是常数项，可能是一次项，还可能是4次项， ，故此单项式是； ，故此单项式是； ，故此单项式是； 故此单项式是． 故答案是，，，． 10．（23-24七年级下·辽宁锦州·阶段练习）将4个数，，，排成2行、2列，两边各加一条竖线记成，定义，上述记号就叫做二阶行列式．若，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，完全平方公式，去括号，合并同类项，解一元一次方程等知识点，根据二阶行列式的定义及已知条件正确列出方程是解题的关键． 根据二阶行列式的定义及已知条件可得，将方程左边利用完全平方公式展开，然后去括号，合并同类项，解一元一次方程即可求出的值． 【详解】解：根据二阶行列式的定义可得： ， 展开，得：， 去括号，得：， 合并同类项，得：， 解得：， 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25八年级上·河南周口·期末）若 ，则求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式的计算法则得到，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．（24-25七年级下·北京·期末）关于x的代数式 化简后不含 项和常数项． (1)求m，n的值； (2)求 的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查已知多项式乘积不含某项求字母的、积的乘方的逆运算、代数式求值，熟练掌握整式运算法则是解题的关键． （1）先将原式括号展开，再合并同类项，最后根据不含和常数项得出，，即可解答； （2）根据幂的运算法则得出，根据（1）中得出的和的值，即可解答． 【详解】（1）解： ∵不含的项和常数项 ∴，， ∴，； （2）解：， 由（1）知，，， ∴原式． 13．（24-25七年级下·安徽六安·期中）已知长方形纸片甲和正方形纸片乙的周长相同，面积分别为和，其中纸片甲的两边长分别为和． (1)正方形纸片乙的边长用代数式可以表示为______； (2)分别用代数式表示两个纸片的面积：______，______； (3)小方同学发现甲、乙两纸片的面积差与的取值无关，请判断小方同学的发现是否正确，并通过计算说明你的理由． 【答案】(1)； (2)， ； (3)小方同学的发现正确，理由见解析． 【分析】本题主要考查代数式的表达，长方形与正方形的周长和面积，代数式得到化简与比较，解题的关键是根据题意正确列出代数式． （1）求出长方形的周长，即为正方形的周长，用正方形的周长公式即可求解； （2）把甲的两边长代入长方形的面积公式，化简整理即可得，把乙的边长代入正方形的面积公式，化简整理即可得； （3）用和作差，化简整理，看结果是否含有即可． 【详解】（1）解：∵长方形纸片甲的两边长分别为和， ∴长方形纸片甲的周长为 ∵长方形纸片甲和正方形纸片乙的周长相同， ∴正方形纸片乙的周长为 ∴正方形纸片乙的边长为 故答案为：． （2）解：∵长方形纸片甲的两边长分别为和， ∴， ∵正方形纸片乙的边长为， ∴， 故，． （3）解：小方同学的发现正确． 理由如下： ∵，， ∴，与的取值无关， ∴甲、乙两纸片的面积差与的取值无关， 答：小方同学的发现正确． 14．（辽宁省锦州市2024-2025学年七年级下学期7月期末数学试题）定义一种新的运算：对于任意两个有理数，规定． 例如，；． 若为有理数，请解答下列问题： (1)若是一个完全平方式，求的值； (2)若，，求的值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查定义新运算，完全平方公式，理解新定义的法则是解题的关键： （1）根据新定义的法则，列式计算，根据完全平方公式的结构得出的值； （2）根据新定义得出，进而根据，利用完全平方公式变形求值，即可求解． 【详解】（1）解： ． 因为是一个完全平方式， 所以．所以或． （2）因为， 所以． 所以． 因为， 所以． 所以 15．（24-25七年级下·四川成都·期末）对于任意四个有理数a，b，c，d，定义一种新运算：，例 (1)对于有理数x， y， 若，，求与 的值； (2)如图所示，E是长方形的边上一点，连接并延长至F，过F作 于G，且． ，连接， ． 若 ，在（1）的条件下，且当时，求n的值． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，完全平方公式的应用，因式分解的应用； （1）由条件可得：，，再进一步求解可得答案； （2）利用长方形的性质求解，，结合，可得，求解，再进一步求解可得答案. 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴，① ∵， ∴， 即，② ①②得：， ∴； ∴； （2）解：∵， ∴，，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， 当，，时， ∴，解得：. 16．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）对于两个正数a，，定义一种新的运算，记作，即：如果，那么．例如：，则． (1)根据上述运算填空：__________；__________；__________． (2)先观察，与的结果之间的关系，再观察（1）中的三个数4，8，32之间的关系，试着归纳：__________． (3)如图①，正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若，，．求图中阴影部分的面积． (4)如图②，四边形，是长方形纸条，，，按如图所示叠放在一起，将重叠的部分矩形沿着翻折得到矩形．若，矩形的面积是15，，，求的值． 【答案】(1)、、 (2) (3) (4) 【分析】本题考查定义新运算，完全平方公式的变形求值，平方差公式的应用； （1）根据如果，那么，据此计算即可； （2）由得； （3）由得到，由得到，由得到，最后根据图中阴影部分的面积为计算即可． （4）由得到，，由图可得：矩形的面积是，，解得，即可得到，，再根据，得到，，代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； 故答案为：、、； （2）解：∵，，，，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：∵， ∴由（2）可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵正方形的边长为m，小正方形的边长为n， ∴图中阴影部分的面积为． （4）解：∵， ∴，， 由图可得：矩形的面积是，， ∴，解得， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$