微专题01 线段5题型9重难点（专项训练）数学苏科版2024七年级上册

微专题01线段 题型一 车票种类问题 向是不同的，那么在票务印制中，所制的票务也是不同的.即当一条直线上有n(n>1)个不同的点时，有条线段，需要印制 n(n-1)类车票. 1．（23-24七年级上·山东聊城·期中）复兴号列车在哈尔滨和北京之间运行，途中要停靠3个站点，如果任意两站之间的票价都不同，那么有 种不同的票价，应发行 种不同的车票． 2．（22-23七年级上·全国·单元测试）阅读并填空： 问题：在一条直线上有，，，四个点，那么这条直线上总共有多少条线段？ 要解决这个问题，我们可以这样考虑，以为端点的线段有，，共3条，同样 以为端点，以为端点，以为端点的线段也各有3条，这样共有4个3，即4×3＝12（条），但和是同一条线段，即每一条线段重复一次，所以一共有 条线段．那么，若在一条直线上有5个点，则这条直线上共有 条线段；若在一条直线上有个点，则这条直线上共有 条线段． 知识迁移：若在一个锐角内部画2条射线，，则这个图形中总共有 个角；若在内部画条射线，则总共有 个角． 学以致用：一段铁路上共有5个火车站，若一列火车往返过程中，必须停靠每个车站，则铁路局需为这段线路准备 种不同的车票． 3．（23-24六年级下·全国·假期作业）往返于A，B两地的客车，中途停靠三个车站．假设站点与站点之间的路程及站点与A，B两地之间的路程都不相等，请问： (1)一共有多少种不同的票价？ (2)一共要准备多少种不同的车票？ 4．（2024七年级上·全国·专题练习）阅读：在直线上有n个不同的点，则共有多少条线段？通过分析、画图得如下表格： 图形 直线上点的个数 共有线段的条数 两者关系 2 1 3 3 4 6 … … … …    n 问题： (1)把表格补充完整； (2)根据上述得到的信息解决下列问题： ①某学校七年级共有6个班进行辩论赛，规定进行单循环赛（每两班赛一场），那么该校七年级的辩论赛共要进行多少场？ ②乘火车从A站出发，沿途经过10个车站方可到达B站，那么在A，B两站之间需要安排多少种不同的车票？ 题型二 线段中的设元思想 已知几条线段之间的比例关系或倍、分关系时，一般可以运用方程思想，设出未知数，利用线段之间的关系构造一元一次方程求解. 重难点一 根据线段的比关系设元 5．（22-23七年级上·重庆巴南·期末）如图，点C、D、E在线段上，且，点E为的中点．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 6．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，将线段延长到，使，的中点为，，是上的点，且，，，求，的长． 7．（24-25七年级上·山东临沂·期末）如图，已知C，D两点将线段分为三部分，，若线段的中点为，线段的中点为，，求线段的长． 8．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）如图，点是线段的中点，是上一点，且，． (1)求的长； (2)若为的中点，求长． 9．（22-23七年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，已知B，C两点把线段分成三部分，M为的中点，，求的长． 10．（2022七年级上·全国·专题练习）如图，B、C两点把线段分成三部分，，M为的中点． (1)判断线段与的大小关系，说明理由． (2)若，求的长． 11．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图，B，C两点把线段分成三部分，，M为的中点． (1)判断线段与的大小关系，说明理由； (2)若，求的长． 重难点二 根据线段的倍分关系设元 12．（21-22七年级上·湖北十堰·期末）如图，，是线段上的两点，且，已知图中所有线段长度之和为81，则长为（ ） A．9 B． C． D．以上都不对 13．（24-25七年级上·江苏南通·期末）延长线段到C，使．反向延长线段到D，使，点E为的中点，点F为的中点、若．则线段的长为 ． 14．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）如图，已知线段，延长至点，使，点、均在线段的延长线上，且，是线段的中点，当点是线段的中点时，的长为 ．（用含有的式子表示） 15．（21-22七年级上·江苏盐城·期末）已知：如图，三点在同一条直线上，，为中点，为中点．若线段的长为8，求线段的长． 重难点三 根据线段和差关系设元 16．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图，线段，动点从出发，以的速度沿运动，为的中点，为的中点． ①运动后，；②的值随着运动时间的改变而改变；③的值不变；④当时，运动时间为．   以上说法正确的是 ． 17．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）如图，，点是线段延长线上一点，点为线段的中点，在线段上存在一点（在的右侧且不与、重合），使得且，则的值为 18．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，线段的长为，点为线段的中点，为线段上一点，且．若为直线上一点，且，则的值为 ． 19．（23-24七年级上·江苏南通·期末）点A为数轴上表示数2的点，点M为数轴上的一个动点（不与点A重合），设（）． (1)若点M表示的数为，则______； (2)若，求点M在数轴上表示的数； (3)若点N为线段OM的中点，当时，求a的值． 20．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，线段的长为，点C为线段的中点，D为线段上一点，且． (1)若，①求线段的长________；②求所有线段长度的总和________． (2)若为直线上一点，且，求的值． 题型三 线段中的分类讨论思想 题目如果没有图形，计算时，要讨论字母的顺序，可能有多种情况. 重难点一 单个待定点的分类讨论 21．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）已知线段，点为线段的中点，点是直线上的一点，且，则线段的长是（   ） A．1 cm B．2 cm C．2 cm或4 cm D．1 cm或5 cm 22．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）如图，已知A，B为数轴上的两个点，点A表示的数是，点B表示的数是10．若点D在数轴上，且，则的长为 ． 23．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，是线段上一点，为的中点，且，，若点在直线上，且，则的长为 ． 重难点二 多个待定点的分类讨论 24．（23-24七年级上·湖北襄阳·期末）已知A、B，C三点在同一直线上，，，点D为线段的中点，则线段的长为 ． 25．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）一根绳子长为，C，D是绳子上任意两点（C在D 的左侧）．将，分别沿C，D 两点翻折（翻折处长度不计），A，B 两点分别落在上的点E，F处．当E，F两点间的距离为时，的长为 ． 26．（21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知线段，在线段上有一点，且，点是线段的一个三等分点，点为线段的中点，则线段的长为 ． 题型四 线段中的双中点模型 重难点一 双中点结构的直接运用（有图） 27．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）如图，点C是线段的中点，点D是线段的中点，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 28．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，延长线段至点C，使，延长线段至点D，使，E是线段的中点，F是线段的中点．若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 29．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）如图，点C是线段上一点，点M是线段的中点，点N是线段的中点 (1)如果，求的长 (2)如果，求的长 30．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）已知线段上有若干个不重合的点，求出该线段上任意两点所决定的线段长度（包括线段），并记所有这些线段的长度总和为y．例如：图1中，，C为的中点，则． (1)如图2，线段上有C、D两点，其中，，求y； (2)如图3，线段上有C、D、E三点，其中C为的中点，E为的中点，且，，求的长度； (3)线段上有C、D两点，线段上任意两点所决定的线段长度是整数，若，且的长度为奇数，直接写出的长度． 重难点二 双中点结构与分类讨论结合（无图） 31．（河南省郑州市2022-2023学年七年级上学期11月月考数学试题）若C，D是线段上任意两点，M，N分别是，的中点，若，则的长为（　　） A． B． C． D．以上均不对 32．（23-24七年级上·四川成都·期中）线段的长为，点C在直线上，为，M、N分别为线段的中点，则线段的长为 ． 33．（江苏省南京市东山外国语学校2024-2025学年七年级上学期月考数学试卷（12月份））已知点C在直线上，，，点分别是的中点．则线段的长为 ． 34．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，已知线段，点C在直线上，，点D是的中点，点E是的中点，求线段的长． 35．（24-25七年级上·广东广州·期中）已知、、三点在同一条直线上，线段，线段，若是线段的中点，是线段的中点，则线段的长度是多少？ 题型五 线段中的动点问题 数轴上的动点问题主要考查线段的变化以及线段之间的数量关系，但数轴上利用点所对应的数比较容易将问题代数化，结合图形容易找出线段长度与数之间的关系，这种“以数解形”的思想是解决这类问题最常用的思想方法.此类问题需要注意分类讨论. 【注意】 (1)注意分析动点运动时的出发点与停止点； (2)注意分析动点运动的方向与速度，尤其当题目中出现多个动点时； (3)注意区分定点与动点，同时注意分析动点运动过程中保持不变的量. 重难点一 单个动点问题 36．（25-26七年级上·江苏·阶段练习）已知A，B两点在数轴上的位置如图所示，P是数轴上的一个动点． (1)当P，B两点之间的距离为2时，求点P表示的数； (2)当点P将A，B两点之间的距离分成长为的两部分，求点P表示的数； (3)是否存在点P，使点P到A，B两点之间的距离之和最小？若存在，请写出所有符合条件的整数点P的坐标，并求出点P到A，B两点之间的距离之和的最小值；若不存在，请说明理由． 37．（24-25七年级上·辽宁朝阳·期末），两点在数轴上的位置如图所示，其中点对应的有理数为，且．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为秒（）． (1)直接写出当时，的长是______，此时点在数轴上对应的有理数是______； (2)请用含的代数式表示线段的长为______，此时数轴上点所对应的数表示为______； (3)在（）的条件下，点是线段的中点，点是线段的中点，求此时线段的长度． (4)为线段的中点，为线段的中点．在点从点出发沿数轴正方向运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变求出线段的长度． 38．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图所示，点表示数轴的原点，点在原点的左侧，所表示的数是，点在原点的右侧，所表示的数是，并且关于的多项式是三次二项式．    (1)求线段的长； (2)动点从点出发，沿线段运动，到达点停止，速度是个单位长度/秒，点A为线段的中点，设运动时间为秒，请用含有的式子表示线段的长； (3)在（2）的条件下，是否存在值，使线段的长度是？并说明理由． 重难点二 多动点问题 39．（22-23七年级上·江苏宿迁·期末）如图，在长方形中，，，动点P沿边从点A开始，向点B以的速度运动；同时，动点Q沿边从点D开始，向点A以的速度运动；设运动时间为t． (1)当t为何值时，？ (2)当t为何值时，等于长方形周长的？ (3)如果点P到达点B后沿方向继续运动，点Q达到点A后沿方向继续运动，当点P到达点C时，求点Q的位置． 40．（22-23七年级上·江苏镇江·期末）如图1，射线上有A、B两点，，．一动点P从点O出发，以每秒4个单位的速度沿射线的方向运动，当点P到达点A时，射线开始绕点A按逆时针方向以每秒的速度旋转，同时点P降速一半沿射线的方向运动（如图2），当点P到达点B时，射线旋转停止，接着，射线开始绕点B按顺时针方向以每秒的速度旋转，同时点P再降速一半沿射线的方向运动（如图3），设点P运动的时间为t秒． (1)的长等于________；当点P到达点B时，等于________； (2)当射线与所在直线第一次重合（不包括图2的情形）时，点P是线段的中点吗？为什么？ (3)在射线旋转的过程中，若它与所在直线第二次重合时所有运动停止，则t为多少秒时，所在直线与所在直线垂直？ 41．（22-23七年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图1，已知线段，点、、在线段上，且． (1)__________，__________； (2)已知动点从点出发，以的速度沿向点运动；同时动点从点出发，以的速度沿向点运动，当点到达点后立即以原速返回，直到点到达点，运动停止；设运动的时间为． ①求为何值，线段的长为； ②如图2，现将线段折成一个长方形（点、重合），请问：是否存在某一时刻，以点、、、为顶点的四边形面积与以点、、、为顶点的四边形面积相等，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 42．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，直线上有两点，，点是线段上的一点，． (1)____________； (2)若点是直线上一点，且满足，求的长； (3)若动点分别从同时出发，向右运动，点的速度为，点的速度为．设运动时间为，当点与点重合时，两点停止运动．问当为何值时，． 43．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）如图，是线段上一动点，沿的路线以的速度往返运动1次，是线段的中点，，设点的运动时间为． (1)当时，则线段________，线段________； (2)当为何值时，？ (3)点从点出发的同时，点也从点出发，以的速度向点运动，若当运动时间满足时，线段的长度始终是一个定值，求这个定值和的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题01线段 题型一 车票种类问题 向是不同的，那么在票务印制中，所制的票务也是不同的.即当一条直线上有n(n>1)个不同的点时，有条线段，需要印制 n(n-1)类车票. 1．（23-24七年级上·山东聊城·期中）复兴号列车在哈尔滨和北京之间运行，途中要停靠3个站点，如果任意两站之间的票价都不同，那么有 种不同的票价，应发行 种不同的车票． 【答案】 10 20 【分析】本题考查了有关线段、射线、直线的应用，主要考查学生的理解能力．由题意可知：从哈尔滨开北京的复兴号途中要停靠于3个站点，则在哈尔滨车票的票价有4种．依此类推，在第一个站点的票价有3种．在第二个站点的票价有2种，在第三个站点的票价有1种，从而求得总结果数． 【详解】解：根据分析，得： 共有票价（种）， 因此应该发行20种不同的车票． 故答案为：10；20． 2．（22-23七年级上·全国·单元测试）阅读并填空： 问题：在一条直线上有，，，四个点，那么这条直线上总共有多少条线段？ 要解决这个问题，我们可以这样考虑，以为端点的线段有，，共3条，同样 以为端点，以为端点，以为端点的线段也各有3条，这样共有4个3，即4×3＝12（条），但和是同一条线段，即每一条线段重复一次，所以一共有 条线段．那么，若在一条直线上有5个点，则这条直线上共有 条线段；若在一条直线上有个点，则这条直线上共有 条线段． 知识迁移：若在一个锐角内部画2条射线，，则这个图形中总共有 个角；若在内部画条射线，则总共有 个角． 学以致用：一段铁路上共有5个火车站，若一列火车往返过程中，必须停靠每个车站，则铁路局需为这段线路准备 种不同的车票． 【答案】 6 10 6 20 【分析】问题：根据线段的定义以及阅读部分提供的思路解答； 知识迁移：结合问题部分的解题思路，再根据角的定义解答； 学以致用：先计算出线段的条数，再根据两站之间需要两种车票解答． 【详解】解：问题：根据题意，则 ；；； 知识迁移：在内部画2条射线，则图中有个不同的角，在内部画n条射线，则图中有 个不同的角； 学以致用：5个火车站代表的所有线段的条数， ， 需要车票的种数：（种）． 故答案为：6 ，10，，6，，20； 【点睛】此题主要考查了线段的计数问题，角的计数问题，解本题的关键是找出规律，此类题目容易数重或遗漏，要特别注意． 3．（23-24六年级下·全国·假期作业）往返于A，B两地的客车，中途停靠三个车站．假设站点与站点之间的路程及站点与A，B两地之间的路程都不相等，请问： (1)一共有多少种不同的票价？ (2)一共要准备多少种不同的车票？ 【答案】(1)10种 (2)20种 【分析】本题主要考查运用线段知识解决生活中的问题，需要掌握正确数线段的方法． （1）先画出示意图，求出线段的条数，再计算票价即可； （2）根据往返的车票都不相同，计算车票的种数即可． 【详解】（1）解：如图，记中途三个车站分别为，则共有： ， ∴10种不同的票价， （2）解：因为车票需要考虑方向性，如“”与“”票价相同，但车票不同， 所以共有种车票． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）阅读：在直线上有n个不同的点，则共有多少条线段？通过分析、画图得如下表格： 图形 直线上点的个数 共有线段的条数 两者关系 2 1 3 3 4 6 … … … …    n 问题： (1)把表格补充完整； (2)根据上述得到的信息解决下列问题： ①某学校七年级共有6个班进行辩论赛，规定进行单循环赛（每两班赛一场），那么该校七年级的辩论赛共要进行多少场？ ②乘火车从A站出发，沿途经过10个车站方可到达B站，那么在A，B两站之间需要安排多少种不同的车票？ 【答案】(1)； (2)①15场；②132元 【分析】本题考查图形类规律探究．解题的关键是得到一条线段上有个点，可以得到条线段． （1）根据表格中的等式，得到以这些点为端点的线段总数共有条； （2）①根据（1）中的结论，进行求解即可；②根据（1）中的结论进行求解即可． 【详解】（1）解：从左到右依次为；． 故答案为：，； （2）①把每一个班级看作一个点，则该校七年级的辩论赛共要进行（场）． ②由题意可得一共有12个车站，将其看作12个点，则线段的条数为． 因为有起点站和终点站之分， 所以需要安排种车票． 题型二 线段中的设元思想 已知几条线段之间的比例关系或倍、分关系时，一般可以运用方程思想，设出未知数，利用线段之间的关系构造一元一次方程求解. 重难点一 根据线段的比关系设元 5．（22-23七年级上·重庆巴南·期末）如图，点C、D、E在线段上，且，点E为的中点．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，可得，再由点E为的中点，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴可设， ∵， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 故选：B 【点睛】本题主要考查了有关线段中点的计算，明确题意，准确得到线段之间的数量是解题的关键． 6．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，将线段延长到，使，的中点为，，是上的点，且，，，求，的长． 【答案】， 【分析】本题主要考查了线段的和与差，等式的性质，代数式求值等知识点，明确题意，弄清线段之间的和差关系是解题的关键． 设，则依据题意可得，，于是，由可得，根据可得，进而求得，于是可求得，，的长，由的中点为可求得的长，于是根据，即可求得，的长． 【详解】解：设， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的中点为， ， ， ． 7．（24-25七年级上·山东临沂·期末）如图，已知C，D两点将线段分为三部分，，若线段的中点为，线段的中点为，，求线段的长． 【答案】 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，设，，，进而求出的长，根据中点的定义结合线段的和差关系，列出方程，求出的值，进而求出线段的长即可． 【详解】．解：， ∴设，， ． 又线段的中点为，线段的中点为， ，． ． ． ． 答：线段的长为． 8．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）如图，点是线段的中点，是上一点，且，． (1)求的长； (2)若为的中点，求长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了线段中点，线段和差，一元一次方程的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设的长为，则有，，又为线段的中点，则，，根据线段和差得出，然后求出的值即可； （）由为线段的中点，则，然后把代入即可求解． 【详解】（1）解：设的长为，     ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵为线段的中点， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， 解得：， ∴； （2）解：∵为线段的中点， ∴， 又∵， ∴． 9．（22-23七年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，已知B，C两点把线段分成三部分，M为的中点，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段的和差，中点的定义．先根据题意设可设，，，即可表示，再根据中点的定义表示出，进而表示出，再结合的长列出方程，求出解，最后根据得出答案． 【详解】解：由B，C两点把线段分成三部分，可设，，， 所以． 因为M是的中点，所以， 所以． 因为， 所以， 解得， 所以． 10．（2022七年级上·全国·专题练习）如图，B、C两点把线段分成三部分，，M为的中点． (1)判断线段与的大小关系，说明理由． (2)若，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)50 【分析】（1）设，，，则，根据M为的中点可得：，继而根据线段和差可得，继而即可求解； （2）由可得，继而即可求解． 【详解】（1），理由如下： 设，，，则 ， ∵M为的中点， ∴， ∴， ∴． （2）∵， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了两点间的距离，利用线段的和差，线段中点的性质是解题关键． 11．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图，B，C两点把线段分成三部分，，M为的中点． (1)判断线段与的大小关系，说明理由； (2)若，求的长． 【答案】(1)，理由见解析． (2)80 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，一元一次方程的应用： （1）设，求出的长，中点求出的长，进而求出的长，即可得出结论； （2）根据，求出的值，进而求出的长即可． 【详解】（1）解：， 理由如下：由题意，设， 则， ∵M为的中点， ∴， ∴， ∴． （2）∵， ∴，解得， ∴． 重难点二 根据线段的倍分关系设元 12．（21-22七年级上·湖北十堰·期末）如图，，是线段上的两点，且，已知图中所有线段长度之和为81，则长为（ ） A．9 B． C． D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题考查了线段的和差、一元一次方程的几何应用，正确找出图中所有的线段，并建立方程是解题关键．设，将所有线段表示出来计算即可． 【详解】解：设，则， ， 图中所有线段长度之和为81， ，即， 解得， 则， 故选：A． 13．（24-25七年级上·江苏南通·期末）延长线段到C，使．反向延长线段到D，使，点E为的中点，点F为的中点、若．则线段的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了线段的和与差，中点的定义，解一元一次方程，利用线段的和差得出的长是解题关键； 令，则，根据线段和和差得，然后线段中点的性质，可得，的长，然后再利用线段的和差即可解答． 【详解】解：因为， 令，则， 所以． 则． 如图所示， 因为， 所以， 解得， 所以． 因为点为的中点，点为的中点， 所以，， 所以， 所以． 故答案为：2． 14．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）如图，已知线段，延长至点，使，点、均在线段的延长线上，且，是线段的中点，当点是线段的中点时，的长为 ．（用含有的式子表示） 【答案】/ 【分析】本题考查了线段的中点计算，线段的和差计算，正确理解线段的中点是解题的关键，根据中点，线段的和差，依次计算即可． 【详解】∵，， ∴． ∵，是线段的中点， ∴． ∵点是线段的中点， ∴． ∵， ∴． ∴． 故答案为：． 15．（21-22七年级上·江苏盐城·期末）已知：如图，三点在同一条直线上，，为中点，为中点．若线段的长为8，求线段的长． 【答案】1 【分析】本题考查两点间的距离，线段的中点计算，线段的和差运算．可设，则，根据线段的长为8，可求出，再根据为中点，为中点可求出结论． 【详解】解：设，则， 为中点 为中点 ． 重难点三 根据线段和差关系设元 16．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图，线段，动点从出发，以的速度沿运动，为的中点，为的中点． ①运动后，；②的值随着运动时间的改变而改变；③的值不变；④当时，运动时间为．   以上说法正确的是 ． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了线段的中点定义，线段的和差倍问题，一元一次方程的应用，根据题意分别用代数式表示出的长，根据线段之间和差倍关系逐一判断即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：运动后，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴，故①错误； 设运动，则，， ∵为的中点，为的中点， ∴，， ∴， ∴的值随着运动时间的改变而改变，故②正确； ∵，， ∴， ∴的值不变，故③正确； ∵，， 当时，则， 解得，故④正确； 综上，说法正确的是②③④， 故答案为：②③④． 17．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）如图，，点是线段延长线上一点，点为线段的中点，在线段上存在一点（在的右侧且不与、重合），使得且，则的值为 【答案】/ 【分析】此题主要考查了线段的计算，线段中点的定义，一元一次方程的应用，熟练掌握线段的和差运算是解决问题的关键； 设，根据线段中点的定义得，求得的长度，再根据，然后根据即可得出的值； 【详解】解：设，， ， ， ， ， 点为线段的中点， ， ， ， ， 整理得：， ， ， 解得：； 故答案为： 18．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，线段的长为，点为线段的中点，为线段上一点，且．若为直线上一点，且，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查线段的和差关系，线段中点的有关计算，解题的关键是注意进行分类讨论．分点P在的延长线上和点P在的延长线上两种情况，分别运用线段的和差关系即可解答． 【详解】解：∵点C为线段的中点，D为线段上一点，且， ∴，， ∵， ∴点P在线段的延长线上或点P在线段的延长线上， 如图：当点P在线段的延长线上时，则， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴； 如图：当点P在的延长线上时，则， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 故答案为：或． 19．（23-24七年级上·江苏南通·期末）点A为数轴上表示数2的点，点M为数轴上的一个动点（不与点A重合），设（）． (1)若点M表示的数为，则______； (2)若，求点M在数轴上表示的数； (3)若点N为线段OM的中点，当时，求a的值． 【答案】(1) (2)点表示的数为4或 (3)当时，的值为4或或8或 【分析】本题考查数轴上的动点问题，化简绝对值，一元一次方程的应用，解题关键是分类讨论，找出等量关系，列出相应的方程，利用数形结合的思想解答． （1）由题意可知，，结合可得答案； （2）设点表示的数为，根据题意可得，分三种情况当时，当时，当时，分别化简绝对值，解方程求解即可； （3）设点表示的数为，则，，由题意知，根据，得，分当时，当时，当时，三种情况解方程即可， 根据，则，再将求得的x代入即可求解． 【详解】（1）解：∵点为数轴上表示数2的点，点M表示的数为， ∴，， 则， ∴， 故答案为：； （2）设点表示的数为，则， ∵，，即： ∴， 当时，，解得：， 当时，，解得：， 当时，，解得：，不符合题意， 综上，点表示的数为4或； （3）设点表示的数为，则，， 则， ∵点为线段的中点， ∴， ∵ ∴， 当时，若，解得：；若，解得：； 当时，若，解得：；若，解得：； 当时，，此时无解， ∵， 则， 当时，；当时，；当时，；当时，； 综上，当时，的值为4或或8或． 20．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，线段的长为，点C为线段的中点，D为线段上一点，且． (1)若，①求线段的长________；②求所有线段长度的总和________． (2)若为直线上一点，且，求的值． 【答案】(1)①2；②38 (2)1或 【分析】本题考查了线段中点的定义、线段的和差、一元一次方程的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）①根据线段中点的定义得到，由得到，，利用线段的和差即可求出线段的长；②由图可得，线段有、、、、、，共6条，将这6条线段的长相加即可得出答案； （2）根据题意，对点的位置分三种情况讨论：①点在延长线上；②点在线段上；③点在延长线上，画出对应的示意图，再利用线段的和差即可求解． 【详解】（1）解：①∵线段的长为，， ∴， ∵点C为线段的中点， ∴， ∵D为线段上一点，且， ∴，， ∴； 故答案为：2； ②由图可得，线段有、、、、、，共6条， ∴所有线段长度的总和为 ， 故答案为：38； （2）解：∵D为线段上一点，且， ∴，， ①若点在延长线上， 则， ∵，即， ∴， ∴， ∴； ②若点在线段上，则， ∴， 解得：，不符合题意，舍去； ③若点在延长线上， 则， ∵，即， ∴， ∴， ∴； ∴综上所述，的值为1或． 题型三 线段中的分类讨论思想 题目如果没有图形，计算时，要讨论字母的顺序，可能有多种情况. 重难点一 单个待定点的分类讨论 21．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）已知线段，点为线段的中点，点是直线上的一点，且，则线段的长是（   ） A．1 cm B．2 cm C．2 cm或4 cm D．1 cm或5 cm 【答案】D 【分析】本题考查的是两点间的距离．根据题意画出图形，由于点的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论． 【详解】解：∵线段，为的中点， ∴当点如图1所示时， ， ； 当点如图2所示时， ∴线段的长为1cm或5cm． 故选：D． 22．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）如图，已知A，B为数轴上的两个点，点A表示的数是，点B表示的数是10．若点D在数轴上，且，则的长为 ． 【答案】或40 【分析】本题考查了数轴上两点间距离，线段和差计算，熟练掌握知识点是解题的关键．先求出，然后分类讨论，根据线段占比计算即可． 【详解】解：由题意得， ①当点在线段上， ∵， ∴； ②点在线段延长线上， ∵， 则， 故答案为：或40． 23．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，是线段上一点，为的中点，且，，若点在直线上，且，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查线段的和差关系，根据题意，点E的位置关系有两种情况：①点E在点A左侧；②点E在点A右侧；在不同情况下，作出图形，数形结合，表示出线段之间的和差关系，代值求解即可得到答案，读懂题意，准确分类，作出图形，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：∵点在直线上， ∴点E的位置关系有两种情况：①点E在点A左侧；②点E在点A右侧； 当点E在点A左侧时，如图， ∵，， ∴； 当点E在点A右侧时， ∵为的中点， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴点E在C右侧，则， ∴； 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 重难点二 多个待定点的分类讨论 24．（23-24七年级上·湖北襄阳·期末）已知A、B，C三点在同一直线上，，，点D为线段的中点，则线段的长为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查两点之间的距离，以及线段中点的计算．本题需先分两种情况进行讨论，再根据点的位置，求出的长，再根据已知条件即可求出的长． 【详解】解：当C在的延长线上的时候， ∵，， ∴， 当点C在线段的延长线上 则， ∵点D为线段的中点， ∴， ∴， 当点A在线段之间时， ∵，， ∴， ∴， ∵点D为线段的中点， ∴， ∴， 故答案为：或 25．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）一根绳子长为，C，D是绳子上任意两点（C在D 的左侧）．将，分别沿C，D 两点翻折（翻折处长度不计），A，B 两点分别落在上的点E，F处．当E，F两点间的距离为时，的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了线段的和差，分两种情况：当点E在点F左侧时，当点E在点F右侧时，分别画出图形，即可求解． 【详解】解：当点E在点F左侧时，如图， 由于翻折，则，， 由图知，，即， ∴， ∴； 当点E在点F右侧时，如图， 则，即， ∴， ∴； 综上，的长为或． 故答案为：或． 26．（21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知线段，在线段上有一点，且，点是线段的一个三等分点，点为线段的中点，则线段的长为 ． 【答案】或或或 【分析】本题主要考查线段中点，等分点的计算，根据题意，图形结合分析，线段的和差运算即可求解，掌握线段中点的计算方法是解题的关键． 【详解】解：点在点右边，点是靠近点的三等分点，如图所示， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 点是靠近点的三等分点，如图所示， ∴=， ∴，， ∴； 当点在点的坐标，点是靠近点的三等分点，如图所示， ∴， ∴， ∴，， ∴； 点是靠近点的三等分点，如图所示， ∴M， ∴，， ∴； 故答案为：或或或． 题型四 线段中的双中点模型 重难点一 双中点结构的直接运用（有图） 27．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）如图，点C是线段的中点，点D是线段的中点，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因为点C、D分别是线段的中点，所以线段间存在长度相当，通过替换等检验选项是否正确． 此题考查线段中点定义，以及等式的转化等． 【详解】解：∵点C是线段的中点，点D是线段的中点， ∴，， A、，正确，不符合题意； B、，正确，不符合题意； C、，正确，不符合题意； D、，但，选项不正确，符合题意． 故选：D． 28．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，延长线段至点C，使，延长线段至点D，使，E是线段的中点，F是线段的中点．若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段中点的定义，线段间的数量关系，先根据题意得出，，再根据，求出的长度即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵E是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∵F是线段的中点， ∴， ∴， ∴． 故选B． 29．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）如图，点C是线段上一点，点M是线段的中点，点N是线段的中点 (1)如果，求的长 (2)如果，求的长 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了线段中点的性质及线段的和差计算，解题的关键是利用中点性质将线段长度进行转化，结合已知条件通过和差关系求解． （1）主要关键步骤：由M是中点得求出长度；再由与的差求出长度；最后由N是中点得求出长度． （2）主要关键步骤：由M、N分别是、中点得、；根据推出，进而求出长度． 【详解】（1）解：∵点M是线段的中点， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵点N是线段的中点 ∴ （2）∵点M是线段的中点，点N是线段的中点 ∴ ∵ ∴ 30．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）已知线段上有若干个不重合的点，求出该线段上任意两点所决定的线段长度（包括线段），并记所有这些线段的长度总和为y．例如：图1中，，C为的中点，则． (1)如图2，线段上有C、D两点，其中，，求y； (2)如图3，线段上有C、D、E三点，其中C为的中点，E为的中点，且，，求的长度； (3)线段上有C、D两点，线段上任意两点所决定的线段长度是整数，若，且的长度为奇数，直接写出的长度． 【答案】(1)40 (2)14 (3)11 【分析】本题主要考查线段中点的有关计算以及两点间的距离，解题的关键在于能够正确读懂题意，利用数形结合以及方程的思想求解． （1）根据比例求得，，的长，进而利用求解即可； （2）根据中点的定义，设，结合，用x表示每条线段长，再根据，列方程即可求解； （3）根据，可用表示，由是奇数，为正整数，，可求得的长，进而求得的长． 【详解】（1）解：∵，， ∴，，， ∴，， ∴； （2）解：设， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵C为的中点， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是奇数，为正整数， ∴，11，17，23，29，35， 又∵， ∴满足条件的有， ∴． 重难点二 双中点结构与分类讨论结合（无图） 31．（河南省郑州市2022-2023学年七年级上学期11月月考数学试题）若C，D是线段上任意两点，M，N分别是，的中点，若，则的长为（　　） A． B． C． D．以上均不对 【答案】D 【分析】分两种情况讨论，当点C在点D的左侧时，当点C在点D的右侧时，根据图象，分别求解即可． 【详解】由题意得， 当点C在点D的左侧时，如图， ； 当点C在点D的右侧时，如图， ； 综上，的长为或， 故选：D． 【点睛】本题考查了表示线段的长短，能够利用中点性质转化线段之间的关系并运用分类讨论的思想是解题的关键． 32．（23-24七年级上·四川成都·期中）线段的长为，点C在直线上，为，M、N分别为线段的中点，则线段的长为 ． 【答案】4或8 【分析】本题主要考查了线段中点和线段的和与差，分点C在线段上时，点C在线段的延长线上时，根据线段中点的定义求出的长，再根据线段的和差关系求解即可． 【详解】解：如图所示，当点C在线段上时， ∵，M、N分别为线段的中点， ∴， ∴； 如图，当点C在线段的延长线上时， ∵，M、N分别为线段的中点， ∴， ∴； 综上所述，线段的长为或． 故答案为：4或8． 33．（江苏省南京市东山外国语学校2024-2025学年七年级上学期月考数学试卷（12月份））已知点C在直线上，，，点分别是的中点．则线段的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了线段的中点定义，线段的和差关系，分情况讨论是解题的关键．本题需分情况讨论点C在线段上或在的延长线上时的长度。利用中点性质及线段和差计算即可． 【详解】分类讨论：点C在线段上，点C在线段的延长线上，根据线段中点的性质，可得的长，根据线段的和差，可得答案． 解：①当点C在线段上时， ， 由点M、N分别是的中点，得 ，， 由线段的和差，得； ②当点C在线段的延长线上时， ， 由点M、N分别是的中点，得 ，． 由线段的和差，得， 综上，MN的长或， 故答案为：或． 34．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，已知线段，点C在直线上，，点D是的中点，点E是的中点，求线段的长． 【答案】线段的长为4或2 【分析】本题考查了线段的和差，两点间的距离，掌握线段的和差计算，线段的中点定义，两点间的距离是解题的关键． 根据题意，分两种情况画出图形：①点C在线段的延长线上时；②点C在的延长线上时．根据线段的和差计算，线段的中点定义进行解答即可． 【详解】解：分两种情况： ①如图所示，点C在线段的延长线上时， ∵，， ∴， ∵点D是B的中点，点E是的中点， ∴，， ∴； ②如图所示，点C在的延长线上时， ∵，， ∴， ∵点D是B的中点，点E是的中点， ∴，， ∴， 综上所述，线段的长为4或2． 35．（24-25七年级上·广东广州·期中）已知、、三点在同一条直线上，线段，线段，若是线段的中点，是线段的中点，则线段的长度是多少？ 【答案】线段的长度是 【分析】本题主要考查了线段的和差倍分，主要利用了线段中点的定义，难点在于要分情况讨论． 分两种情况讨论：①当点在线段上时；②当点在线段的延长线上时，根据线段中点的定义，计算即可． 【详解】解：①当点在线段上时，，，如图所示： ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴， 则； ②当点在线段的延长线上时，如图所示： ∴， ， 答：若是线段的中点，是线段的中点，则线段的长度是． 题型五 线段中的动点问题 数轴上的动点问题主要考查线段的变化以及线段之间的数量关系，但数轴上利用点所对应的数比较容易将问题代数化，结合图形容易找出线段长度与数之间的关系，这种“以数解形”的思想是解决这类问题最常用的思想方法.此类问题需要注意分类讨论. 【注意】 (1)注意分析动点运动时的出发点与停止点； (2)注意分析动点运动的方向与速度，尤其当题目中出现多个动点时； (3)注意区分定点与动点，同时注意分析动点运动过程中保持不变的量. 重难点一 单个动点问题 36．（25-26七年级上·江苏·阶段练习）已知A，B两点在数轴上的位置如图所示，P是数轴上的一个动点． (1)当P，B两点之间的距离为2时，求点P表示的数； (2)当点P将A，B两点之间的距离分成长为的两部分，求点P表示的数； (3)是否存在点P，使点P到A，B两点之间的距离之和最小？若存在，请写出所有符合条件的整数点P的坐标，并求出点P到A，B两点之间的距离之和的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2或6 (2)0或2 (3)存在的值最小，点P所表示的整数为，最小值为6 【分析】本题主要考查数轴上两点距离、绝对值的几何意义及线段的和差关系，熟练掌握数轴上两点距离、绝对值的几何意义及线段的和差关系是解题的关键； （1）根据，分两种情况：①点在点的左边；②点在点的右边；分别求出点表示的数即可； （2）根据点是线段的三等分点，分两种情况：①；②；分别求出点表示的数即可； （3）根据图示，可得当点在、两点之间时，的值最小，据此判断即可． 【详解】（1）解：由题意知点、表示的数分别为，4，分两种情况进行解答： ①点在点的左边时， ，， ∴点表示数的是2， ②点在点的右边时， ，， ∴点表示的是6， 综上，可得点表示的数是2或6； （2）解：点P将A，B两点之间的距离分成长为的两部分，可知：点是线段的三等分点， ， ∴线段的长度是6，分两种情况进行解答： ①时，点表示的数是， ②时，点表示的数是， 综上，可得点表示的是0或2； （3）解：存在，理由如下： 根据绝对值的几何意义，可得： 当点在、两点之间时，的值最小，此时点P所表示的整数为， 此时，最小值为， 所以的最小值是6． 37．（24-25七年级上·辽宁朝阳·期末），两点在数轴上的位置如图所示，其中点对应的有理数为，且．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为秒（）． (1)直接写出当时，的长是______，此时点在数轴上对应的有理数是______； (2)请用含的代数式表示线段的长为______，此时数轴上点所对应的数表示为______； (3)在（）的条件下，点是线段的中点，点是线段的中点，求此时线段的长度． (4)为线段的中点，为线段的中点．在点从点出发沿数轴正方向运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变求出线段的长度． 【答案】(1)，； (2)，； (3)； (4)点在运动过程中，线段的长度保持不变，为，理由见解析． 【分析】（）由题意得，再根据两点间的距离可得点表示的有理数为，得到答案； （）根据题意列出代数式即可； （）由（）得，则，然后利用线段中点和线段和差即可求解； （）分两种情况：当点P在点B的左侧时，当点P在点B的右侧时，分别求出即可． 【详解】（1）解：∵点表示的有理数为，从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动， ∴时，，点表示的有理数为， 故答案为：，； （2）解：线段的长为，此时点在数轴上对应的有理数是， 故答案为：，； （3）解：由（）得， ∴， ∵点是线段的中点，点是线段的中点， ∴，， ∴； （4）解：点在运动过程中，线段的长度保持不变，为，理由， ∵点是线段的中点，点是线段的中点， ∴，， 当点在点的左侧时， ， 当点在点的右侧时，， 综上，点在运动过程中，线段的长度保持不变，为． 【点睛】本题考查了利用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，列代数式，线段中点和线段和差，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想是解题的关键． 38．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图所示，点表示数轴的原点，点在原点的左侧，所表示的数是，点在原点的右侧，所表示的数是，并且关于的多项式是三次二项式．    (1)求线段的长； (2)动点从点出发，沿线段运动，到达点停止，速度是个单位长度/秒，点A为线段的中点，设运动时间为秒，请用含有的式子表示线段的长； (3)在（2）的条件下，是否存在值，使线段的长度是？并说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，1或3 【分析】（1）根据关于的多项式是三次二项式得到，，得到点所表示的数是，点所表示的数是4，即可得到线段的长； （2）当点在线段上时，，由中点的定义即可得到线段的长；当点在线段上时，，由中点的定义即可得到线段的长； （3）分点在线段上和点在线段上两种情况，列方程求解即可． 【详解】（1）∵关于的多项式是三次二项式， ∴，， 解得，， ∴点所表示的数是，点所表示的数是4， ∴； （2）当点在线段上时，，    ∵点A为线段的中点， ∴； 当点在线段上时，，    ∵点A为线段的中点， ∴； ∴线段的长为或； （3）当点在线段上时，，解得， 当点在线段上时，，解得， 故存在值，当或时，线段的长度是． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用、列代数式、数轴上两点之间的距离、线段的中点等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键． 重难点二 多动点问题 39．（22-23七年级上·江苏宿迁·期末）如图，在长方形中，，，动点P沿边从点A开始，向点B以的速度运动；同时，动点Q沿边从点D开始，向点A以的速度运动；设运动时间为t． (1)当t为何值时，？ (2)当t为何值时，等于长方形周长的？ (3)如果点P到达点B后沿方向继续运动，点Q达到点A后沿方向继续运动，当点P到达点C时，求点Q的位置． 【答案】(1)2秒 (2)3秒 (3)在线段上距离A点处 【分析】（1）由点Q在边上运动且运动时间为ts时，表示、，令其相等，即可求出t值； （2）由点Q在边上运动时，点P在边上运动时， 表示、，利用等于长方形周长的，建立关于t的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）先求解P运动到C的时间，再求解Q的运动路程，从而可得答案． 【详解】（1）解：当点Q在边上运动，运动时间为时， ，， 根据题意得：， 解得：． 答：t为时，． （2）由点Q在边上运动时， 此时，， 根据题意得：， 解得：； （3）当点P到达点C时，此时运动时间为， ∴的运动路程为：， ∵， ∴在上，与距离为． 【点睛】本题考查的是几何动点问题，一元一次方程的应用，确定相等关系，建立方程求解是关键． 40．（22-23七年级上·江苏镇江·期末）如图1，射线上有A、B两点，，．一动点P从点O出发，以每秒4个单位的速度沿射线的方向运动，当点P到达点A时，射线开始绕点A按逆时针方向以每秒的速度旋转，同时点P降速一半沿射线的方向运动（如图2），当点P到达点B时，射线旋转停止，接着，射线开始绕点B按顺时针方向以每秒的速度旋转，同时点P再降速一半沿射线的方向运动（如图3），设点P运动的时间为t秒． (1)的长等于________；当点P到达点B时，等于________； (2)当射线与所在直线第一次重合（不包括图2的情形）时，点P是线段的中点吗？为什么？ (3)在射线旋转的过程中，若它与所在直线第二次重合时所有运动停止，则t为多少秒时，所在直线与所在直线垂直？ 【答案】(1)24，； (2)点P是线段的中点，理由见解析； (3)25秒或37秒． 【分析】（1）利用，即可得解；用的长度除以点的运动速度，求出时间，求出射线旋转的度数，进而求出的度数即可； （2）求出射线与所在直线第一次重合时，所用的时间，利用点的运动速度乘以时间，求出的长，利用求出的长，比较的大小关系，即可得出结论； （3）分射线旋转和旋转两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 由题意，得：点从点移动到点所需时间为：秒， ∴射线旋转的度数为：， ∴； 故答案为：； （2）点P是线段的中点． 理由如下： 当射线旋转时，射线与所在直线第一次重合时，如图1， ∴射线旋转时间为：秒， ∴． ∴． ∴． ∴当射线与所在直线第一次重合时，点P是线段的中点． （3）点P从点O运动到点B所需时间： 秒 如图，当旋转到或的位置时，， ①当旋转到的位置时 由（1）知， ∴，此时，旋转的度数为：， ∴旋转的时间为：秒， ∴秒； ②当从的位置，再旋转到达时，第二次与垂直，此时旋转的总度数为：， ∴旋转的时间为：秒， ∴秒； 综上：t为25秒或37秒时，所在直线与所在直线垂直． 【点睛】本题考查线段的计算，角度的计算．正确的理解题意，画出图形，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 41．（22-23七年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图1，已知线段，点、、在线段上，且． (1)__________，__________； (2)已知动点从点出发，以的速度沿向点运动；同时动点从点出发，以的速度沿向点运动，当点到达点后立即以原速返回，直到点到达点，运动停止；设运动的时间为． ①求为何值，线段的长为； ②如图2，现将线段折成一个长方形（点、重合），请问：是否存在某一时刻，以点、、、为顶点的四边形面积与以点、、、为顶点的四边形面积相等，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)16，8 (2)①或或；②存在， 【分析】本题主要考查了与线段有关的动点问题， 线段等分点的相关计算，列一元一次方程解决实际问题等知识，解决问题的关键是弄清运动的过程和画出图形． （1）根据比值列方程或直接列乘积式求得结果； （2）①分为相遇前，相遇后以及M点返回三种情形，通过线段图列方程求得；②分为相遇前（点M在上，N在上），此时即可列出方程求得，当M点返回时，点M在上，点N在上，此时，列出方程求得， 【详解】（1）解：，， 故答案是：16，8； （2）①当M、N第一次相遇时，， 当M到达E点时，， 如图1， 当时，， ∴， 如图2， 当时，， ∴， 如图3， 当时，， ∴， 综上所述：或或； ②如图4， 当时， 由得，， ∴， 如图5， 当时，， ∴，此时不构成四边形，舍去 综上所述：． 42．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，直线上有两点，，点是线段上的一点，． (1)____________； (2)若点是直线上一点，且满足，求的长； (3)若动点分别从同时出发，向右运动，点的速度为，点的速度为．设运动时间为，当点与点重合时，两点停止运动．问当为何值时，． 【答案】(1)24；12 (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用和两点之间的距离， （1）根据，点O是线段上的一点，．即可得出答案； （2）设的长是，当点在线段上，线段上，线段的延长线上时，分别列出方程，解之即可得到答案； （3）当运动时间为时，点表示的数为，点表示的数为，当点P与点Q重合时，即，得到t的值，然后分情况讨论，即可得到答案； 正确理解题意，弄清题中量的关系是解题的关键． 【详解】（1）∵， ∵， 解得，， 故答案为：24；12； （2）设的长是，依题意有： ①当点在线段上时，，解得，； ②当点在线段上时，，解得，（舍去）； ③当点在线段的延长线上时，，解得，， 故的长为或； （3）当运动时间为时，点表示的数为，点表示的数为， 当时，， ， ， 当时，有，解得，； 当时，有，解得， 故当为或时，． 43．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）如图，是线段上一动点，沿的路线以的速度往返运动1次，是线段的中点，，设点的运动时间为． (1)当时，则线段________，线段________； (2)当为何值时，？ (3)点从点出发的同时，点也从点出发，以的速度向点运动，若当运动时间满足时，线段的长度始终是一个定值，求这个定值和的值． 【答案】(1)4；3 (2)或 (3)，定值为5 【分析】本题考查线段动点问题，线段中点性质，线段和差关系 （1）根据可求出的长以及的长，再由是线段的中点，即可求得； （2）分情况讨论，当时，存在；当时，存在，考虑两种情况即可； （3）根据点和点的速度，可以大概画出示意图，从而表示出线段，即可求得． 【详解】（1）解：∵，点以的速度运动， ∴时，，， ∵是线段的中点， ∴ 故答案为： （2）解：∵是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， 当点从时， 当点从时， ∵点沿的路线需要 故 综上所述，当为或时，． （3）解：如图， 由题意得：点的速度是，点速度为 ∵， ∴点在点右侧， 由题意可知 ∴ ∵是线段的中点 ∴ 即 ∵线段的长度始终是一个定值 ∴ 故解得，定值为5 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $