立体几何中的动态轨迹问题教学设计-2026届高三数学一轮复习

该高中数学教学设计聚焦立体几何动态轨迹高考核心考点，涵盖平行垂直中的轨迹、距离角度相关的轨迹问题，按定义回顾-题型分类-方法总结逻辑架构知识点。通过问题驱动引入、典例精讲（如例1线面平行轨迹）、跟踪训练等环节，帮助学生突破空间图形想象与轨迹寻找难点，体现复习系统性。 教案采用问题驱动与四权下放教学法，如例2结合球与距离培养直观想象，通过分层练习（基础巩固、思维提升）和思维升华总结策略，提升逻辑推理能力。高效突破难点，为教师把控复习节奏提供支撑，助力学生提升应考能力。

立体几何中的动态轨迹问题 教学目标及其设计说明(设计者：汉寿一中 王建辉) 学习目标 设计说明 （1）  知识目标：能利用圆、球、圆锥曲线的定义解决立体几何中的动态轨迹问题； （2）  能力目标：能利用圆、球、圆锥曲线的定义解决立体几何中的动态轨迹问题；培养学生动手能力，培养直观想象、逻辑推理的数学核心素养，提高自身的数学素养，提升解决问题的能力。  （3）情感目标：通过对立体几何中的动态轨迹问题的学习研究明白事物之间的相互转化，动与静之间的转化。 本章对立体几何的教学，是在学生对于立体几何知识和研究方法已经熟悉基础上进行的，所以讲解时应采用类比的方法让学生自主研究、合作交流等方式.这一课时主要是复习回顾圆、球、圆锥曲线的定义并反思应用。学习时要注意三维和二维的联系与区别，对学生进行运动、变化、联系、对立、统一的辩证唯物主义思想教育，并在解决问题的过程中感悟数学思想方法的灵活运用，提升学生的数学核心素养。 教学的重、难点 （1）教学重点：能利用圆、球、圆锥曲线的定义解决立体几何中的动态轨迹问题。 （2）教学难点：空间图形难以想象、勾勒，轨迹的寻找。 “动态”问题是高考立体几何问题最具创新意识的题型，它渗透了一些“动态”的点、线、面等元素，给静态的立体几何题赋予了活力，题型更新颖．同时，由于“动态”的存在，也使立体几何题更趋多元化，将立体几何问题与平面几何中的解三角形问题、多边形面积问题以及解析几何问题之间建立桥梁，使得它们之间灵活转化． 新授内容 教学实录 设计说明 巩固定义， 练习引入 典型例题，直观想象 思维提升： 跟踪训练，提升经验 典型例题，直观想象 跟踪训练，提升经验 变式训练，启迪思维 1、 问题驱动： 立体几何中的动态轨迹问题过关： 问题1：圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义还记得吗？ 问题2：线面平行、面面平行的性质定理还熟悉吗？ 问题3：你已做过哪些立体几何的动态轨迹问题？有难度吗？ 问题4：本节内容涉及哪些经典题型与方法？你掌握了吗？ 问题5：本节内容你的易错点在哪儿？ 问题6：本节内容主要培养哪些数学核心素养？ 3、典例分析： 题型一　平行、垂直中的动态轨迹问题 例1 如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H，N分别是CC1，C1D1，DD1，CD，BC的中点，M在四边形EFGH边上及其内部运动，若MN∥平面A1BD，则点M轨迹的长度是(　　) A.a B.a C. D. 答案　D 解析　连接HN，GN(图略)， ∵在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H，N分别是CC1，C1D1，DD1，CD，BC的中点，则GH∥BA1，HN∥BD， 又GH⊄平面A1BD，BA1⊂平面A1BD， ∴GH∥平面A1BD， 同理可证得NH∥平面A1BD， 又GH∩HN＝H，GH，HN⊂平面GHN， ∴平面A1BD∥平面GHN， 又∵点M在四边形EFGH上及其内部运动，MN∥平面A1BD， 则点M在线段GH上运动，即满足条件， 又GH＝a，则点M轨迹的长度是. 跟踪训练1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，Q是正方形B1BCC1内的动点，A1Q⊥BC1，则Q点的轨迹是(　　) A．点B1 B．线段B1C C．线段B1C1 D．平面B1BCC1 1.答案　B 解析　如图，连接A1C， 因为BC1⊥A1Q，BC1⊥A1B1，A1Q∩A1B1＝A1，A1Q，A1B1⊂平面A1B1Q， 所以BC1⊥平面A1B1Q， 又B1Q⊂平面A1B1Q，所以BC1⊥B1Q， 又BC1⊥B1C，所以点Q在线段B1C上． 2.正四棱锥S－ABCD的底面边长为2，高为2，E是边BC的中点，动点P在正四棱锥表面上运动，并且总保持PE⊥AC，则动点P的轨迹的周长为(　　) A.＋ B.－ C．4 D.＋1 答案　A 解析　如图，设AC，BD交于O，连接SO， 由正四棱锥的性质可得SO⊥平面ABCD， 因为AC⊂平面ABCD，故SO⊥AC. 又BD⊥AC，SO∩BD＝O，SO，BD⊂平面SBD，故AC⊥平面SBD. 由题意，PE⊥AC则动点P的轨迹为过E且垂直AC的平面与正四棱锥S－ABCD的交线，即平面EFG，则AC⊥平面EFG. 由线面垂直的性质可得平面SBD∥平面EFG， 又由面面平行的性质可得EG∥SB，GF∥SD，EF∥BD， 又E是边BC的中点，故EG，GF，EF分别为△SBC，△SDC，△BCD的中位线． 由题意BD＝2，SB＝SD＝＝， 故EG＋EF＋GF＝×(＋＋2)＝＋. 即动点P的轨迹的周长为＋. 题型二　距离、角度有关的动态轨迹问题 例2 已知长方体ABCD－A1B1C1D1的外接球的表面积为5π，AA1＝2，点P在四边形A1ACC1内，且直线BP与平面A1ACC1所成的角为，则长方体的体积最大时，动点P的轨迹长为(　　) A．π B. C. D. 答案　C 解析　因为长方体ABCD－A1B1C1D1的外接球的表面积为5π，设外接球的半径为R， 所以4πR2＝5π，解得R＝或R＝－(舍去)， 即外接球的直径为， 设AB＝a，BC＝b，则＝，可得a2＋b2＝1， 所以V＝2ab≤a2＋b2＝1，当且仅当a＝b＝时，等号成立． 如图，设AC，BD相交于点O， 因为BO⊥AC，BO⊥AA1，AC∩AA1＝A，AC，AA1⊂平面A1ACC1， 所以BO⊥平面A1ACC1，因为直线BP与平面A1ACC1所成的角为，所以∠BPO＝，故OP＝， 则点P的轨迹是以O为圆心，半径r＝的半圆弧，所以动点P的轨迹长为πr＝. 跟踪训练2 2.(2023·佛山模拟)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点P为正方形A1B1C1D1内的动点，满足直线BP与下底面ABCD所成角为60°的点P的轨迹长度为(　　) A. B. C. D. 2.答案　B 解析　直线BP与下底面ABCD所成的角等于直线BP与上底面A1B1C1D1所成的角，连接B1P，如图， 因为BB1⊥平面A1B1C1D1，PB1⊂平面A1B1C1D1， 所以BB1⊥PB1，故∠BPB1为直线BP与上底面A1B1C1D1所成的角，则∠BPB1＝60°， 因为BB1＝1，所以PB1＝＝， 故点P的轨迹为以B1为圆心，为半径，位于平面A1B1C1D1内的圆， 故轨迹长度为×2π×＝. 变式训练：(2024·连云港模拟)在矩形ABCD中，AB＝，AD＝1，点E在CD上，现将△AED沿AE折起，使平面AED⊥平面ABC，当E从D运动到C时，求点D在平面ABC上的射影K的轨迹长度为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由题意，将△AED沿AE折起，使平面AED⊥平面ABC，在平面AED内过点D作DK⊥AE，垂足K为D在平面ABC上的射影，连接D′K，由翻折的特征知， 则∠D′KA＝90°，故K点的轨迹是以AD′为直径的圆上一段弧，根据长方形知圆半径是， 如图当E与C重合时，∠D′AC＝60°，所以AK＝， 取O为AD′的中点，得到△OAK是正三角形． 故∠KOA＝，所以∠KOD′＝， 射影K的轨迹长度为×＝. 问题驱动引入，通过学生动手动脑，回顾圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义及其变化和注意点。 过渡到在立体几何中的运用，本节课的内容。 让学生带着问题进入课堂，有目的的学习。 例1通过线面平行导出线线平行，寻找到点M的轨迹是一条线段。 通过对例题的解答，进一步加深对截面问题的掌握。这里的入手关键线面平行的应用。这里可以培养学生的逻辑推理、直观想象的核心素养。 思维升华 动点轨迹的判断一般根据线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程． 下放学生的思维权和话语权，培养学生直观想象的素养。 教师在前面分析的基础上进行练习，训练学生在通法中选取最适合的解法，数形结合，同时培养了学生把前后知识联系起来进行思维的习惯。 锻炼了学生转化化归的能力，讲练结合。 例2是在立体几何中结合了圆、球的知识，综合性较强。 学习时要注意联系与区别，深刻体会圆的定义，可对学生进行运动、变化、联系、对立、统一的辩证唯物主义思想教育.教学时采用教师引导下学生自主完成的方法，下放学生的动手权。 下放学生的思维权、话语权和归纳总结权，以问题作为小结的提纲由学生以学生回顾、反思的形式进行小结。要求围绕数学知识、数学能力、学习启示三个层面谈自身的学习体会与收获,并进行交流。教师根据的信息适时地归纳与提炼,帮助学生提升学习经验。 思维升华 距离、角度有关的轨迹问题 (1)距离：可转化为在一个平面内的距离关系，借助于圆锥曲线定义或者球和圆的定义等知识求解轨迹． (2)角度：直线与面成定角，可能是圆锥侧面；直线与定直线成等角，可能是圆锥侧面． 训练2是对例2的补充练习，讲练结合，提升学生的能力，巩固基础。 变式训练是翻折有关的轨迹问题 (1)翻折过程中寻找不变的垂直的关系求轨迹． (2)翻折过程中寻找不变的长度关系求轨迹． (3)可以利用空间坐标运算求轨迹． 小结 · 小结 · 类型一：平行、垂直中的动态轨迹问题 · 类型二：距离、角度有关的动态轨迹问题 · 解决策略：1、结合圆、球、圆锥曲线定义求轨迹；2、建立坐标系得动点轨迹方程. 让学生进行小结，体现课堂以学生为主，四权下放，提升学生的总结能力，语言的表达能力。 布置作业，巩固提高 思维创新题： 上海东方明珠广播电视塔（简称“东方明珠”）是上海的标志性建筑和旅游热门景点之一，被列入上海十大新景观，是全国首批5A级旅游景区。东方明珠塔体由三根斜撑、三根直径九米的擎天立柱及广场、塔座、下球体、五个小球、上球体、太空舱、发射天线桅杆组成。现有类似的几何体如图所示：正三棱锥中，，，恰好为半径为的球的球心. （1） 当球与底面相切时，求该球与各侧面的交线的轨迹长度； （2） 若时，球面上动点满足三棱锥的体积为，则面积取最大值时，求平面与平面所成角的余弦值. 作业布置：“步步高.一轮复习” P369 T1,2,5,6及T9 思维创新题进行思维的发散、创新，提升学生解决问题的能力，学习数学的兴趣；作业布置，巩固基础，提高解题能力。 学科网（北京）股份有限公司 $