圆锥曲线中韦达定理的应用教学设计-2026届高三数学一轮复习

圆锥曲线中韦达定理的应用 范杰 徐彦纳 新疆喀什地区伽师县第二中学 1 教学设计 1.1 内容和内容解析 内容：圆锥曲线中韦达定理的应用. 内容解析：本节内容是在前期复习了圆锥曲线的几何特征及求解其标准方程的基础上，运用代数方法进一步探究直线与圆锥曲线的位置关系. 1.2 学习目标和目标解析 学习目标： （1） 理解和掌握直线方程的两种形式的区别和联系. （2）采用类比数学研究对象特性的方法融入思政教育，进行唯物辩证法渗透. 目标解析： （1）采用判定直线斜率是否存在的方法来确定直线方程两种形式的选取. （2）辨析事务的内在联系，渗透唯物辩证法；分析直线方程的特性与中国革命道路选择的共性，采用类比教学法进行“五观教育”. 1.3 学生的学情分析 学生已经熟悉和掌握圆锥曲线的定义及其标准方程，有一定的观察分析和逻辑推理的能力. 2 教学过程 2.1课前预习安排 教师：请同学们预习并回答下列问题： （1）本节课要学习的直线方程的两种形式是什么？ （2）一元二次方程根的判别式与韦达定理是什么关系？ 设计意图：回顾知识的同时，让学生了解直线方程两种形式的特征，并且明确韦达定理公式使用的前提是方程有两个根，即. 2.2教师主导，提出问题 教师：选取直线方程的依据是什么？ 学生：（当直线与轴不垂直时，直线斜率存在） （直线斜率不确定是否存在,且直线不平行于轴即） 教师：解决直线与圆锥曲线相关问题步骤有哪些？ 教师引导，学生讨论，得出解题步骤： （1） 正确写出直线方程；（2）明确圆锥曲线方程；（3）联立方程组；（4）列出含有（或）的二次函数；（5）判断；（6）利用韦达定理列出代数式. 设计意图：让学生根据直线方程斜截式的几何意义掌握直线方程表达式可以由直线在轴、轴上的截距直接写出. 2.3学生探求，发现问题 例1 已知抛物线的焦点到点的距离为， 求抛线的方程； 若直线过点与抛物线交于两点，关于轴的对称点为，直线与轴的交点为，求点到直线距离的取值范围. 解：抛物线的方程为 设直线的方程为，， 联立直线与抛物线的方程 消去可得 ， 直线的方程为 当时， 将代入上式可得 所以点，所以点到直线的距离 因为1，所以 即点到直线的距离的取值范围为 设计意图：师生共同探究直线与抛物线位置关系的判定方法，学会两种直线方程形式选取的方法，知道为什么要讨论的情况，学会正确写出一元二次方程根与系数的关系，让学生了解韦达定理的用法。明确本节课的学习任务. 师生互动：①是否能判断出直线的斜率存在？②为什么要设出点的坐标？为什么能联立方程组（数形结合的重要思想方法）？③二次项系数能为吗？为什么要判断？韦达定理怎么用？ 设计意图：及时归纳小结明确每一个教学环节，照顾到每一个学生；鼓励学生积极参与课堂活动，做课堂的主人. 例2（2024届高三2月大联考新疆专用）已知双曲线的一条渐近线的一个方向向量为，右顶点到一条渐近线的距离为. 求双曲线的标准方程； 不与轴垂直的直线与双曲线交于两点(异于点)，若直线、的斜率之积为，试问：直线是否过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 设计意图：师生共同探究、发现例1、例2的共同点，明确直线与圆锥曲线的位置关系，列出方程组并且化简，根据韦达定理写出根与系数的关系。根据课件展示，让学生观察明确学习任务和解题方法. 2.4变式练习与交流展示 将学生按照座位分成两大组，分别研究变式1和变式2（两道变式练习题第一问直接给出结果）.讨论出结果后，每个小组选派两名学生代表上台分析并进行板书展示. 变式练习1 （新疆维吾尔自治区2024年普通高考第一次适应性检测）已知双曲线的左右焦点，离心率为，是C上一点，且， 的周长为. 求C的方程； 过的直线与C的右支交于两点，过原点作的垂线，并且与双曲线右支交于点，证明：为定值. 师生互动，解题回顾，交流解题经验. 教师：解题过程中遇到了哪些问题？你是怎样克服的？ 学生： ①解题的关键是正确的判断直线方程的形式.②运算时要注意去分母、去括号的准确性.③要验证△>0确保方程两个根的存在. 设计意图：学生通过自主探究得出结论，及时总结，理清思路. 变式练习2：(真题链接：2023·新高考全国Ⅱ)已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(－2，0)，离心率为. (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(－4,0)的直线与的左支交于两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P.证明：点P在定直线上． 设计意图：挑战高考真题，让学生学会分析和思考，感受严谨求实勇于探索的科学精神，培养学生的理性思维意识，树立学习自信. 2.5课堂整理，解决问题 （1）今天我们学到了什么？（圆锥曲线中韦达定理的应用技巧） 设计意图：通过问题的引领让学生自主表达自己的收获，教师给予正面、积极的评价并规范表达方式. （2）今天我们主要用到了哪些数学思想方法？（分类讨论、数形结合、整体代入） 设计意图：通过问题引领适当拔高难度，以满足不同层次学生的需要，达到因材施教的目的. 3 回顾与反思 本节课作为高三复习的重要内容，教师在教学中尝试对“圆锥曲线模块”进行整合，以知识间的关联为主线，以数形结合思想方法为引领，让学生运用必备知识和关键能力来解决问题。教师选题注重基础性、综合性、应用性、创新性，难度逐步提升。学生通过独立思考、自主探究、合作交流、知识分享等形式培养学生解决问题的能力，体会数学思想方法，提升数学素养和关键能力. 4 反馈训练 （1）（新疆维吾尔自治区2024年普通高考第二次适应性检测）已知椭圆的左焦点为上任意一点到的距离的最大值和最小值之积为，离心率为. （1）求的方程； （2）设过点的直线交于两点，若动点满足，动点在椭圆上，求的最小值. 设计意图：让学生依据同类题型去提出、发现、解决问题，让学生充分经历自己探索问题的过程，培养学生科学探索精神和独自动手实践能力。 5. 作业： （1） 整理课堂笔记. （2） 查阅研讨高考圆锥真题. 学科网（北京）股份有限公司 $